专题06 有理数的减法（新知讲练+高频易错点+六大模块讲练+培优精练）-2024年小升初数学无忧衔接（苏科版）

专题06 有理数的减法 （新知讲练+高频易错点+六大模块讲练+培优精练） 知识教学点 理解掌握有理数的减法法则：学生应能够准确理解并熟练掌握有理数的减法法则，即“减去一个数，等于加上这个数的相反数”。 掌握有理数减法的运算技巧：学生应能够掌握同号数相减、异号数相减以及整数与分数相减的运算技巧，并能准确地进行计算。 能力训练点 逻辑思维能力：通过学习有理数的减法法则，学生应能够发展逻辑思维能力，理解事物间普遍联系、相互转化的辩证唯物主义思想。 运算能力：通过大量的有理数减法运算练习，学生应能够提高运算的准确性和速度，为后续的数学学习打下坚实的基础。 转化思想：学生应能够体会减法运算转化为加法运算的转化思想，并能够在解题过程中灵活运用这种思想。 到数学知识体系的完整美和解题过程的逻辑美。 一场跨越正负世界的数学冒险 在一个充满奇幻色彩的数学世界里，七年级的小明和他的数学老师张老师即将开始一场关于有理数减法的冒险。这个数学世界分为正负两个领域，小明将在这个世界里学会如何跨越这两个领域，掌握有理数的减法。 一、正负世界的初识 小明站在一个巨大的分界线前，这条线将数学世界分为正负两个领域。张老师告诉他，这条线就是零的界限，左边是负数世界，右边是正数世界。小明好奇地观察着这两个世界，发现它们各自有着独特的规则和特点。 二、减法冒险的开始 张老师给小明一个任务：从正数世界的+5出发，减去负数世界的-3，看看会到达哪里。小明兴奋地接受了任务，跨过分界线，进入了负数世界。 在负数世界里，小明遇到了一个难题：他不知道该如何减去一个负数。张老师微笑着告诉他：“在数学世界里，减去一个数其实就相当于加上这个数的相反数。”小明恍然大悟，他找到了-3的相反数+3，然后将其与+5相加。 三、跨越正负世界的计算 小明开始进行计算：+5（来自正数世界）加上+3（来自负数世界的-3的相反数）。他小心翼翼地将两个数相加，得到了结果+8。张老师赞赏地点点头，告诉小明他已经成功地完成了这次冒险，现在正站在正数世界的+8位置上。 四、冒险的启示 小明兴奋地分享了他的冒险经历。他明白了有理数减法的实质其实就是将减法转化为加法。他也深刻体会到在数学世界里，正负两个领域虽然看似不同，但其实是紧密相连、相互转化的。 通过这次冒险，小明不仅掌握了有理数的减法法则，还学会了用转化的思想来解决问题。他意识到数学不仅仅是一堆数字和公式，更是一个充满奇幻和惊喜的世界。 在结束这次冒险之前，张老师告诉小明：“数学世界还有很多未知等待你去探索。记住，每一次冒险都是一次学习的机会，只有保持好奇心和探索精神，你才能在数学的道路上走得更远。”小明点点头，心中充满了对数学的热爱和期待。 有理数的减法法则 有理数的减法法则主要基于一个核心概念：“减去一个数，等于加上这个数的相反数”。这个法则适用于所有有理数，包括整数、分数和正负数。以下是具体的解释和示例： 同号数相减：当两个有理数的符号相同时，即它们都是正数或都是负数，我们需要相减它们的绝对值。例如： ( -2 - (-6) ) = ( -2 + 6 ) = 4 ( 4.5 - 1.2 ) = 3.3 异号数相减：当两个有理数的符号不同时，即一个正数和一个负数，我们需要相加它们的绝对值，并用绝对值较大的数的符号作为结果的符号。例如： ( -8 - 5 ) = ( -8 + (-5) ) = -13 ( 9.6 - (-2.3) ) = ( 9.6 + 2.3 ) = 11.9 高频常考易错点 在学习和应用有理数减法法则时，学生容易犯以下错误： 符号处理不当：在异号数相减时，学生容易忘记使用绝对值较大的数的符号作为结果的符号，导致符号判断错误。 绝对值计算错误：在同号数相减或异号数相减时，学生可能会错误地计算绝对值，导致结果不准确。 混淆加法和减法：学生有时会将减法误认为是加法，特别是在处理异号数相减时，容易忘记加上减数的相反数。 整数与分数相减时的转换错误：在将整数转化为分数时，学生可能会忘记与分数的分母保持一致，导致计算结果错误。 考点：有理数的加减法． 重难点：有理数的加减法运算法则． 易错点：有理数减法的运算步骤：减去一个数，等于加上这个数的相反数 【典例精讲】（2022秋•建邺区期中）计算（﹣3）﹣（﹣5）的结果等于（　　） A．8 B．﹣8 C．2 D．﹣2 【变式演练01】（2023秋•鼓楼区校级月考）设a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的数，则a﹣b﹣c＝　 　． 【典例精讲】（2021秋•江阴市校级月考）若|x|＝7，|y|＝5，且x+y＞0，那么x﹣y的值是（　　） A．2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或12 D．﹣2或﹣12 【变式演练01】（2023秋•天宁区校级月考）已知|x|＝3，|y|＝1，且|x+y|＝x+y，则x﹣y的值是 　 【试题思路分析】根据题意得出x和y的值，然后计算即可． 【变式演练02】（2023秋•启东市校级月考）已知|a|＝5，|b|＝3，且|a﹣b|＝b﹣a，则2a+b＝　 ． 【典例精讲】（2022秋•铜山区校级月考）同学们都知道，|4﹣（﹣2）|表示4与﹣2的差的对值，实际上也可理解为4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请完成： （1）|x﹣2|可理解为 　在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）若|x+4|＝5，则x＝　 ； （3）使得|1﹣x|+|x+2|＝4，则x＝　 　； （4）已知a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，且|a|＝|b|，化简：|a+b|+|a﹣b|+|a+c|+|b﹣c|． 【变式演练01】（2020秋•滨海县月考）【阅读】|4﹣1|表示4与1差的绝对值，也可以理解为4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|4+1|可以看作|4﹣（﹣1）|，表示4与﹣1的差的绝对值，也可以理解为4与﹣1两数在数轴上所对应的两点间的距离． （1）|4﹣（﹣1）|＝　 （2）|5+2|＝　 　 （3）利用数轴找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|＝5，则x＝　 ． （4）利用数轴找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣2|＝5，这样的整数是：　 　． 【典例精讲】（2023秋•相城区校级月考）观察下面一组等式： |2﹣1|＝2﹣1＝1，|1﹣2|＝2﹣1＝1； |（﹣2）﹣（﹣5）|＝（﹣2）﹣（﹣5）＝3，|（﹣5）﹣（﹣2）|＝（﹣2）﹣（﹣5）＝3； |6.4﹣（﹣3.5）|＝6.4﹣（﹣3.5）＝9.9，|（﹣3.5）﹣6.4|＝6.4﹣（﹣3.5）＝9.9； …… 解决下列问题： （1）化简|（﹣3）﹣2|的结果是 　 　，化简|3﹣π|的结果是 　 ； （2）求||+||+||+……+||的值． 【变式演练】（2023秋•宜兴市月考）阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以当a≥0时|a|＝a，例如：|π﹣2|＝π﹣2；当a＜0时|a|＝﹣a，例如：|3﹣π|＝π﹣3，根据以上阅读完成： （1）|3.14﹣π|＝ ． （2）计算：|1|+||+||⋯+||+||． 【典例精讲】（2022秋•高邮市期末）定义：对于确定位置的三个数：a，b，c，计算a﹣b，，，将这三个数的最小值称为a，b，c的“分差”，例如，对于1，﹣2，3，因为1﹣（﹣2）＝3，1，，所以1，﹣2，3的“分差”为． （1）﹣2，﹣4，1的“分差”为 　 ； （2）调整“﹣2，﹣4，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，那么这些不同“分差”中的最大值是 　　； （3）调整﹣1，6，x这三个数的位置，得到不同的“分差”，若其中的一个“分差”为2，求x的值． 【变式演练】（2023秋•南通月考）对于有理数x，y，a，t，若|x﹣a|+|y﹣a|＝t，则称x和y关于a的“美好关联数”为t，例如，|2﹣1|+|3﹣1|＝3，则2和3关于1的“美好关联数”为3． （1）﹣3和5关于2的“美好关联数”为 　 　； （2）若x和2关于3的“美好关联数”为4，求x的值； （3）若x0和x1关于1的“美好关联数”为1，x1和x2关于2的“美好关联数”为1，x2和x3关于3的“美好关联数”为1，x3和x4关于4的“美好关联数”为1，x4和x5关于5的“美好关联数”为1…，则x1+x2+x3+x4的最小值为 　 　． 【典例精讲】（2023秋•淮安期末）2023年12月15日，淮安迎来了这一年冬天的第一场雪．下图是淮安市这一天的天气预报图，淮安市这天的最高气温与最低气温的温差是（　　） A．6℃ B．14℃ C．﹣8℃ D．﹣5℃ 【变式演练01】（2023秋•姜堰区期末）如图，两支温度计的读数分别是某地当天的最高气温和最低气温，那么该地当天的温差是 　 　℃． 【变式演练02】（2023秋•阜宁县期末）今年我省元月份某一天的天气预报中，最低温度为﹣3℃，最高温度为5℃，这一天的最高温度比最低温度高　 　℃． 1．（2022秋•海州区期中）若|m|＝3，|n|＝7，且m﹣n＞0，则m+n的值是（　　） A．10 B．4 C．4或﹣4 D．﹣10或﹣4 2．（2022秋•盱眙县校级月考）小华做这样一道题“计算|（﹣4）﹣*|”，其中*表示被墨水染黑看不清的一个数，他翻开后面的答案得知该题的结果为7，那么*表示的数是　 ． 3．（2022秋•赣榆区校级月考）某冷库的温度是﹣16℃，下降了5℃，又下降了4℃，则两次变化后的冷库的温度是　 ． 4．（2023秋•新北区校级月考）已知：|a|＝3，|b|＝2，若a＜b，a﹣b＝　 　，若|a﹣b|＝a﹣b，则a+b的值等于 ． 5．（2023秋•秦淮区校级月考）设[x]表示不超过x的整数中最大的整数，如：[1.99]＝1，[﹣1.02]＝﹣2，根据此规律计算：[﹣3.4]﹣[﹣0.6]＝　 　． 6．（2023秋•宜兴市校级月考）若|a|＝5，|b|＝2，a+b＜0，求a﹣b的值． 7．（2022秋•东台市月考）若有理数x、y满足|x|＝3，|y|＝2，且|x+y|＝x+y，求x﹣y的值． 8．（2021秋•相城区校级月考）阅读理解：因为a的相反数是﹣a，所以①﹣（+2）为+2的相反数，故﹣（+2）＝﹣2；②﹣（﹣2）为﹣2的相反数，故﹣（﹣2）＝2．即利用相反数的意义可以对多重符号进行化简． 化简：（1）﹣（）； （2）﹣（﹣2）； （3）﹣[+（）]； （4）﹣[﹣（﹣3）]． 9．（2022秋•仪征市校级月考）对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将绝对值符号去掉，例如：|7﹣6|＝7﹣6；|6﹣7|＝7﹣6；；． 观察上述式子的特征，解答下列问题： （1）把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）： ①|23﹣47|＝　 　； ②　 ； （2）当a＞b时，|a﹣b|＝　a﹣b　；当a＜b时，|a﹣b|＝　 　； （3）计算：． 10．（2023秋•高邮市校级月考）对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将绝对值符号去掉，例如： |7﹣6|＝7﹣6； |6﹣7|＝7﹣6； ； ． 观察上述式子的特征，解答下列问题： （1）把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）： ①　 ； ②|3.14﹣π|＝　 　； （2）当a＞b时，|a﹣b|＝　a﹣b　；当a＜b时，|a﹣b|＝　 　； （3）计算：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 有理数的减法 （新知讲练+高频易错点+四大模块讲练+培优精练） 知识教学点 理解掌握有理数的减法法则：学生应能够准确理解并熟练掌握有理数的减法法则，即“减去一个数，等于加上这个数的相反数”。 掌握有理数减法的运算技巧：学生应能够掌握同号数相减、异号数相减以及整数与分数相减的运算技巧，并能准确地进行计算。 能力训练点 逻辑思维能力：通过学习有理数的减法法则，学生应能够发展逻辑思维能力，理解事物间普遍联系、相互转化的辩证唯物主义思想。 运算能力：通过大量的有理数减法运算练习，学生应能够提高运算的准确性和速度，为后续的数学学习打下坚实的基础。 转化思想：学生应能够体会减法运算转化为加法运算的转化思想，并能够在解题过程中灵活运用这种思想。 到数学知识体系的完整美和解题过程的逻辑美。 一场跨越正负世界的数学冒险 在一个充满奇幻色彩的数学世界里，七年级的小明和他的数学老师张老师即将开始一场关于有理数减法的冒险。这个数学世界分为正负两个领域，小明将在这个世界里学会如何跨越这两个领域，掌握有理数的减法。 一、正负世界的初识 小明站在一个巨大的分界线前，这条线将数学世界分为正负两个领域。张老师告诉他，这条线就是零的界限，左边是负数世界，右边是正数世界。小明好奇地观察着这两个世界，发现它们各自有着独特的规则和特点。 二、减法冒险的开始 张老师给小明一个任务：从正数世界的+5出发，减去负数世界的-3，看看会到达哪里。小明兴奋地接受了任务，跨过分界线，进入了负数世界。 在负数世界里，小明遇到了一个难题：他不知道该如何减去一个负数。张老师微笑着告诉他：“在数学世界里，减去一个数其实就相当于加上这个数的相反数。”小明恍然大悟，他找到了-3的相反数+3，然后将其与+5相加。 三、跨越正负世界的计算 小明开始进行计算：+5（来自正数世界）加上+3（来自负数世界的-3的相反数）。他小心翼翼地将两个数相加，得到了结果+8。张老师赞赏地点点头，告诉小明他已经成功地完成了这次冒险，现在正站在正数世界的+8位置上。 四、冒险的启示 小明兴奋地分享了他的冒险经历。他明白了有理数减法的实质其实就是将减法转化为加法。他也深刻体会到在数学世界里，正负两个领域虽然看似不同，但其实是紧密相连、相互转化的。 通过这次冒险，小明不仅掌握了有理数的减法法则，还学会了用转化的思想来解决问题。他意识到数学不仅仅是一堆数字和公式，更是一个充满奇幻和惊喜的世界。 在结束这次冒险之前，张老师告诉小明：“数学世界还有很多未知等待你去探索。记住，每一次冒险都是一次学习的机会，只有保持好奇心和探索精神，你才能在数学的道路上走得更远。”小明点点头，心中充满了对数学的热爱和期待。 有理数的减法法则 有理数的减法法则主要基于一个核心概念：“减去一个数，等于加上这个数的相反数”。这个法则适用于所有有理数，包括整数、分数和正负数。以下是具体的解释和示例： 同号数相减：当两个有理数的符号相同时，即它们都是正数或都是负数，我们需要相减它们的绝对值。例如： ( -2 - (-6) ) = ( -2 + 6 ) = 4 ( 4.5 - 1.2 ) = 3.3 异号数相减：当两个有理数的符号不同时，即一个正数和一个负数，我们需要相加它们的绝对值，并用绝对值较大的数的符号作为结果的符号。例如： ( -8 - 5 ) = ( -8 + (-5) ) = -13 ( 9.6 - (-2.3) ) = ( 9.6 + 2.3 ) = 11.9 高频常考易错点 在学习和应用有理数减法法则时，学生容易犯以下错误： 符号处理不当：在异号数相减时，学生容易忘记使用绝对值较大的数的符号作为结果的符号，导致符号判断错误。 绝对值计算错误：在同号数相减或异号数相减时，学生可能会错误地计算绝对值，导致结果不准确。 混淆加法和减法：学生有时会将减法误认为是加法，特别是在处理异号数相减时，容易忘记加上减数的相反数。 整数与分数相减时的转换错误：在将整数转化为分数时，学生可能会忘记与分数的分母保持一致，导致计算结果错误。 考点：有理数的加减法． 重难点：有理数的加减法运算法则． 易错点：有理数减法的运算步骤：减去一个数，等于加上这个数的相反数 【典例精讲】（2022秋•建邺区期中）计算（﹣3）﹣（﹣5）的结果等于（　　） A．8 B．﹣8 C．2 D．﹣2 【试题思路分析】根据减去一个数等于加上这个数的相反数，可得答案． 【详细规范解答】解：（﹣3）﹣（﹣5）＝﹣3+5＝5﹣3＝2． 故选：C． 【考察易错点与重难点】本题考查了有理数的减法，减去一个数等于加上这个数的相反数是解题关键． 【变式演练01】（2023秋•鼓楼区校级月考）设a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的数，则a﹣b﹣c＝　2　． 【试题思路分析】求出a、b、c的值，代入计算即可． 【详细规范解答】解：∵a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的数， ∴a＝1，b＝﹣1，c＝0， ∴a﹣b﹣c＝1﹣（﹣1）﹣0＝2， 故答案为：2． 【考察易错点与重难点】本题考查有理数的意义和加减运算，理解有理数的意义，掌握有理数加减的计算方法是正确解答的关键． 【典例精讲】（2021秋•江阴市校级月考）若|x|＝7，|y|＝5，且x+y＞0，那么x﹣y的值是（　　） A．2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或12 D．﹣2或﹣12 【试题思路分析】题中给出了x，y的绝对值，可求出x，y的值；再根据x+y＞0，分类讨论，求x﹣y的值． 【详细规范解答】解：∵|x|＝7，|y|＝5， ∴x＝±7，y＝±5． 又x+y＞0，则x，y同为正数或x，y异号，但正数的绝对值较大， ∴x＝7，y＝5或x＝7，y＝﹣5． ∴x﹣y＝2或12． 故选：A． 【考察易错点与重难点】理解绝对值的概念，同时要熟练运用有理数的减法运算法则． 【变式演练01】（2023秋•天宁区校级月考）已知|x|＝3，|y|＝1，且|x+y|＝x+y，则x﹣y的值是 　4或2　． 【试题思路分析】根据题意得出x和y的值，然后计算即可． 【详细规范解答】解：∵|x|＝3，|y|＝1，且|x+y|＝x+y， ∴x＝3，y＝﹣1或y＝1， ∴x﹣y＝3+1＝4或3﹣1＝2， 故答案为：4或2． 【考察易错点与重难点】本题主要考查绝对值的定义及有理数的加减法，熟练掌握绝对值的定义及有理数的加减法是解题的关键． 【变式演练02】（2023秋•启东市校级月考）已知|a|＝5，|b|＝3，且|a﹣b|＝b﹣a，则2a+b＝　﹣13或﹣7　． 【试题思路分析】先根据绝对值的定义得到a＝±5，b＝±3，再由|a﹣b|＝b﹣a推出a＜b，从而得到a＝﹣5，再讨论b的值进行求解即可． 【详细规范解答】解：∵|a|＝5，|b|＝3， ∴a＝±5，b＝±3， ∵|a﹣b|＝b﹣a＝﹣（a﹣b）， ∴a﹣b＜0，即a＜b， ∴a＝﹣5， 当b＝﹣3时，2a+b＝﹣5×2+（﹣3）＝﹣13， 当b＝3时，2a+b＝﹣5×2+3＝﹣7， 综上所述，2a+b＝﹣13或2a+b＝﹣7 故答案为：﹣13或﹣7． 【考察易错点与重难点】本题主要考查了绝对值和代数式求值，熟知负数的绝对值是它的相反数是解题的关键． 【典例精讲】（2022秋•铜山区校级月考）同学们都知道，|4﹣（﹣2）|表示4与﹣2的差的对值，实际上也可理解为4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请完成： （1）|x﹣2|可理解为 　x与2两数　在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）若|x+4|＝5，则x＝　1或﹣9　； （3）使得|1﹣x|+|x+2|＝4，则x＝　﹣2.5或1.5　； （4）已知a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，且|a|＝|b|，化简：|a+b|+|a﹣b|+|a+c|+|b﹣c|． 【试题思路分析】（1）根据题意，可以写出|x﹣2|表示的意义； （2）根据|x+4|＝5，可以得到x的值； （3）根据|1﹣x|+|x+2|＝4，利用分类讨论的方法可以得到x的值； （4）根据数轴和题意，可以将所求式子化简． 【详细规范解答】解：（1）由题意可得， |x﹣2|可理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离， 故答案为：x与2两数； （2）∵|x+4|＝5， ∴x+4＝±5， 解得x＝1或x＝﹣9， 故答案为：1或﹣9； （3）|1﹣x|+|x+2|＝4， 当x＜﹣2时，1﹣x﹣（x+2）＝4，得x＝﹣2.5； 当﹣2≤x≤1时，1﹣x+x+2＝4，得3＝4（不合实际，舍去）； 当x＞1时，x﹣1+x+2＝4，得x＝1.5； 故答案为：﹣2.5或1.5； （4）由数轴可得，c＜b＜0＜a，|c|＞|b|， ∵|a|＝|b|， ∴|a+b|+|a﹣b|+|a+c|+|b﹣c| ＝0+a﹣b﹣a﹣c+b﹣c ＝﹣2c． 【考察易错点与重难点】本题考查有理数的减法、数轴、绝对值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【变式演练01】（2020秋•滨海县月考）【阅读】|4﹣1|表示4与1差的绝对值，也可以理解为4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|4+1|可以看作|4﹣（﹣1）|，表示4与﹣1的差的绝对值，也可以理解为4与﹣1两数在数轴上所对应的两点间的距离． （1）|4﹣（﹣1）|＝　5　 （2）|5+2|＝　7　 （3）利用数轴找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|＝5，则x＝　2或﹣8　． （4）利用数轴找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣2|＝5，这样的整数是：　﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2　． 【试题思路分析】（1）根据4与﹣1两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5，可得结论． （2）根据绝对值的意义即可得到结论； （3）根据||x+3|＝5表示x与﹣3两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5，可得结论． （4）因为﹣3与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5，所以使得|x+3|+|x﹣2|＝5成立的整数是﹣3和2之间的所有整数（包括﹣3和2），据此求出这样的整数有哪些即可． 【详细规范解答】解：（1）|4﹣（﹣1）|＝5； （2）|5+2|＝7； （3）∵|x+3|＝5， ∴x+3＝±5， ∴x＝2或﹣8， （4）∵﹣3与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5， ∴使得|x+3|+|x﹣2|＝5成立的整数是﹣3和2之间的所有整数（包括﹣3和2）， ∴这样的整数是﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2． 故答案为：5；7；2或﹣8；﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2． 【考察易错点与重难点】本题考查了绝对值，由数轴上点的关系，得出到一点距离相等的点有两个，到两点相等的点是这两点的中点，到两点距离和最小的点是这条线段上的点． 【典例精讲】（2023秋•相城区校级月考）观察下面一组等式： |2﹣1|＝2﹣1＝1，|1﹣2|＝2﹣1＝1； |（﹣2）﹣（﹣5）|＝（﹣2）﹣（﹣5）＝3，|（﹣5）﹣（﹣2）|＝（﹣2）﹣（﹣5）＝3； |6.4﹣（﹣3.5）|＝6.4﹣（﹣3.5）＝9.9，|（﹣3.5）﹣6.4|＝6.4﹣（﹣3.5）＝9.9； …… 解决下列问题： （1）化简|（﹣3）﹣2|的结果是 　5　，化简|3﹣π|的结果是 　π﹣3　； （2）求||+||+||+……+||的值． 【试题思路分析】（1）根据绝对值的定义去绝对值符号即可； （2）先去绝对值符号，再把互为相反数的项合并计算即可． 【详细规范解答】解：（1）|（﹣3）﹣2|＝2﹣（﹣3）＝5；|3﹣π|＝π﹣3． 故答案为：5；π﹣3． （2）原式 ． 【考察易错点与重难点】本题主要考查了有理数的解法以及绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义是解答本题的关键． 【变式演练】（2023秋•宜兴市月考）阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以当a≥0时|a|＝a，例如：|π﹣2|＝π﹣2；当a＜0时|a|＝﹣a，例如：|3﹣π|＝π﹣3，根据以上阅读完成： （1）|3.14﹣π|＝　π﹣3.14　． （2）计算：|1|+||+||⋯+||+||． 【试题思路分析】（1）原式利用绝对值的代数意义化简即可； （2）原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果． 【详细规范解答】解：（1）|3.14﹣π|＝π﹣3.14， 故答案为：π﹣3.14； （2）|1|+||+||⋯+||+|| ＝1 ＝1 ． 【考察易错点与重难点】此题考查了有理数的加减混合运算以及绝对值的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【典例精讲】（2022秋•高邮市期末）定义：对于确定位置的三个数：a，b，c，计算a﹣b，，，将这三个数的最小值称为a，b，c的“分差”，例如，对于1，﹣2，3，因为1﹣（﹣2）＝3，1，，所以1，﹣2，3的“分差”为． （1）﹣2，﹣4，1的“分差”为 　　； （2）调整“﹣2，﹣4，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，那么这些不同“分差”中的最大值是 　　； （3）调整﹣1，6，x这三个数的位置，得到不同的“分差”，若其中的一个“分差”为2，求x的值． 【试题思路分析】（1）按“新定义”代入三个代数式求值再比较大小． （2）三个数顺便不同可以有6种组合，除第（1）题的顺序，计算其余五种情况的“分差”，再比较大小． （3）由“分差”为2（是正数）和﹣1﹣6＝﹣7＜2可知，﹣1﹣6不能对应a﹣b，a﹣c，b﹣c，所以剩三种情况：6，﹣1，x或6，x，﹣1或x，6，﹣1．每种情况下计算得三个代数式后，分别令两个含x的式子等于2，求出x，再代入检查此时“分差”是否为2． 【详细规范解答】解：（1）∵a＝﹣2，b＝﹣4，c＝1 ∴a﹣b＝﹣2﹣（﹣4）＝2，，， ∴﹣2，﹣4，1的“分差”为 故答案为： （2）①若a＝﹣2，b＝1，c＝﹣4 则a﹣b＝﹣2﹣1＝﹣3，1，， ∴﹣2，1，﹣4的“分差”为﹣3 ②若a＝﹣4，b＝﹣2，c＝1 则a﹣b＝﹣4﹣（﹣2）＝﹣2，， ∴﹣4，﹣2，1的“分差”为 ③若a＝﹣4，b＝1，c＝﹣2 则a﹣b＝﹣4﹣1＝﹣5，， ∴﹣4，1，﹣2的“分差”为﹣5 ④若a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2 则a﹣b＝1﹣（﹣4）＝5，， ∴1，﹣4，﹣2的“分差”为 ⑤若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4 则a﹣b＝1﹣（﹣2）＝3，， ∴1，﹣2，﹣4的“分差”为 综上所述，这些不同“分差”中的最大值为 故答案为： （3）∵“分差”为2，﹣1﹣6＝﹣7 ∴三个数的顺序不能是﹣1，6，x和﹣1，x，6和x，﹣1，6 ①a＝6，b＝x，c＝﹣1， ∴a﹣b＝6﹣x，， 若6﹣x＝2，得x＝4，2，不符合 若，得x＝5，6﹣x＝1＜2，不符合 ②a＝6，b＝﹣1，c＝x， ∴a﹣b＝6﹣（﹣1）＝7，， 若，得x＝2，2，不符合 若，得x＝﹣7，2，符合 ③a＝x，b＝6，c＝﹣1 ∴a﹣b＝x﹣6，， 若x﹣6＝2，得x＝8，2，符合 若，得x＝3，x﹣6＝﹣3＜2，不符合 综上所述，x的值为﹣7或8． 【考察易错点与重难点】本题考查了实数的加减、一元一次方程的解法，分类讨论．分类的依据是3个数顺序不同时算法不同，还要再检验求出的x是否满足题意． 【变式演练】（2023秋•南通月考）对于有理数x，y，a，t，若|x﹣a|+|y﹣a|＝t，则称x和y关于a的“美好关联数”为t，例如，|2﹣1|+|3﹣1|＝3，则2和3关于1的“美好关联数”为3． （1）﹣3和5关于2的“美好关联数”为 　8　； （2）若x和2关于3的“美好关联数”为4，求x的值； （3）若x0和x1关于1的“美好关联数”为1，x1和x2关于2的“美好关联数”为1，x2和x3关于3的“美好关联数”为1，x3和x4关于4的“美好关联数”为1，x4和x5关于5的“美好关联数”为1…，则x1+x2+x3+x4的最小值为 　10　． 【试题思路分析】（1）认真读懂题意，利用新定义计算即可； （2）利用新定义计算求未知数x； （3）①读懂题意寻找规律，利用规律计算；②由①得到的规律写出含有绝对值的等式，一一分析到2、4、的距离和为1的时候两点表示的数的和的最小值，最后得出最小值． 【详细规范解答】解：（1）|﹣3﹣2|+|5﹣2|＝8， 故答案为：8； （2）∵x和2关于3的“美好关联数”为4， ∴|x﹣3|+|2﹣3|＝4， ∴|x﹣3|＝3， 解得x＝6或x＝0； （3）①∵x0和x1关于1的“美好关联数”为1， ∴|x0﹣1|+|x1﹣1|＝1， ∴在数轴上可以看作数x0到1的距离与数x1到1的距离和为1， ∴x0+x1有最小值1， 故答案为：1； ②由题意可知： |x1﹣2|+|x2﹣2|＝1，x1+x2的最小值1+2＝3； |x3﹣4|+|x4﹣4|＝1，x3+x4的最小值3+4＝7； 3+7＝10． 故答案为：10． 【考察易错点与重难点】本题考查了绝对值的应用，解题的关键是掌握绝对值的意义，数轴上点与点的距离． 【典例精讲】（2023秋•淮安期末）2023年12月15日，淮安迎来了这一年冬天的第一场雪．下图是淮安市这一天的天气预报图，淮安市这天的最高气温与最低气温的温差是（　　） A．6℃ B．14℃ C．﹣8℃ D．﹣5℃ 【试题思路分析】直接利用有理数的加减运算法则计算得出答案． 【详细规范解答】解：由题意可得，淮安市这天的最高气温与最低气温的温差是：2﹣（﹣4）＝6（℃）． 故选：A． 【考察易错点与重难点】此题主要考查了有理数的加减法，正确掌握相关运算法则是解题关键． 【变式演练01】（2023秋•姜堰区期末）如图，两支温度计的读数分别是某地当天的最高气温和最低气温，那么该地当天的温差是 　12　℃． 【试题思路分析】温差即为最高气温减去最低气温，由此计算即可． 【详细规范解答】解：由题意得，最高气温为7°C，最低气温为﹣5°C， 所以7﹣（﹣5）＝7+5＝12（°C）， 故答案为：12． 【考察易错点与重难点】本题考查了有理数的减法，熟知有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数是解题的关键． 【变式演练02】（2023秋•阜宁县期末）今年我省元月份某一天的天气预报中，最低温度为﹣3℃，最高温度为5℃，这一天的最高温度比最低温度高　8　℃． 【试题思路分析】用最高气温减去最低气温，然后根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解． 【详细规范解答】解：5﹣（﹣3），＝5+3＝8℃． 故答案为：8． 【考察易错点与重难点】本题考查了有理数的减法，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键． 1．（2022秋•海州区期中）若|m|＝3，|n|＝7，且m﹣n＞0，则m+n的值是（　　） A．10 B．4 C．4或﹣4 D．﹣10或﹣4 【试题思路分析】根据绝对值的概念，可以求出m、n的值，分别代入m+n求解即可． 【详细规范解答】解：∵|m|＝3，|n|＝7， ∴m＝±3，n＝±7， ∵m﹣n＞0， ∴m＝±3，n＝﹣7， ∴m+n＝±3﹣7， ∴m+n＝﹣4或m+n＝﹣10． 故选：D． 【考察易错点与重难点】本题考查了有理数的减法，理解绝对值的意义是解题的关键． 2．（2022秋•盱眙县校级月考）小华做这样一道题“计算|（﹣4）﹣*|”，其中*表示被墨水染黑看不清的一个数，他翻开后面的答案得知该题的结果为7，那么*表示的数是　﹣11或3　． 【试题思路分析】根据绝对值的性质求得结果，采用排除法判定正确选项． 【详细规范解答】解：设这个数为x，则 |（﹣4）﹣x|＝7， ∴﹣4﹣x＝﹣7或﹣4﹣x＝7， ∴x＝3或﹣11． 故答案为：﹣11或3． 【考察易错点与重难点】此题考查了绝对值的运算．注意绝对值等于一个正数的数有两个，它们互为相反数． 3．（2022秋•赣榆区校级月考）某冷库的温度是﹣16℃，下降了5℃，又下降了4℃，则两次变化后的冷库的温度是　﹣25℃　． 【试题思路分析】用冷库的温度减去两次下降的温度，然后根据有理数的减法运算法则进行计算即可得解． 【详细规范解答】解：﹣16﹣5﹣4， ＝﹣（16+5+4）， ＝﹣25℃． 故答案为：﹣25℃． 【考察易错点与重难点】本题考查了有理数的减法运算，是基础题，熟记运算法则是解题的关键． 4．（2023秋•新北区校级月考）已知：|a|＝3，|b|＝2，若a＜b，a﹣b＝　﹣5或﹣1　，若|a﹣b|＝a﹣b，则a+b的值等于 　5或1　． 【试题思路分析】根据题意，利用绝对值的代数意义求出a与b的值，即可求出a﹣b的值；利用绝对值的代数意义判断a≥b，确定出a与b的值，即可求出a+b的值． 【详细规范解答】解：∵|a|＝3，|b|＝2，a＜b， ∴a＝﹣3，b＝2或a＝﹣3，b＝﹣2， ∴a﹣b＝﹣3﹣2＝﹣5或a﹣b﹣3﹣（﹣2）＝﹣3+2＝﹣1； ∵|a|＝3，|b|＝2，|a﹣b|＝a﹣b， ∴a＝3，b＝2或a＝3，b＝﹣2， ∴a+b＝3+2＝5或a+b＝3+（﹣2）＝1． 故答案为：﹣5或﹣1，5或1． 【考察易错点与重难点】此题考查了有理数的减法，绝对值，有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5．（2023秋•秦淮区校级月考）设[x]表示不超过x的整数中最大的整数，如：[1.99]＝1，[﹣1.02]＝﹣2，根据此规律计算：[﹣3.4]﹣[﹣0.6]＝　﹣3　． 【试题思路分析】根据新定义写成一般算式，然后根据有理数的减法进行计算即可得解． 【详细规范解答】解：[﹣3.4]﹣[﹣0.6] ＝﹣4﹣（﹣1） ＝﹣4+1 ＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【考察易错点与重难点】本题考查了有理数的减法，读懂题意，理解新定义是解题的关键． 6．（2023秋•宜兴市校级月考）若|a|＝5，|b|＝2，a+b＜0，求a﹣b的值． 【试题思路分析】先根据绝对值的性质判断出a与b的值，再根据有理数的加法法则判断出a，b的值，最后代入进行计算即可． 【详细规范解答】解：∵|a|＝5，|b|＝2， ∴a＝±5，b＝±2， ∵a+b＜0， ∴a＝﹣5，b＝2或a＝﹣5，b＝﹣2． 则a﹣b＝﹣7或﹣3． 【考察易错点与重难点】本题考查有理数的减法、有理数的加法和绝对值，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 7．（2022秋•东台市月考）若有理数x、y满足|x|＝3，|y|＝2，且|x+y|＝x+y，求x﹣y的值． 【试题思路分析】根据题意得出x和y的值，然后得出结论即可． 【详细规范解答】解：∵|x|＝3，|y|＝2，且|x+y|＝x+y， ∴x＝3，y＝2或x＝3，y＝﹣2， ∴x﹣y的值为5或1． 【考察易错点与重难点】本题主要考查有理数的加减计算，熟练掌握有理数加减计算的方法是解题的关键． 8．（2021秋•相城区校级月考）阅读理解：因为a的相反数是﹣a，所以①﹣（+2）为+2的相反数，故﹣（+2）＝﹣2；②﹣（﹣2）为﹣2的相反数，故﹣（﹣2）＝2．即利用相反数的意义可以对多重符号进行化简． 化简：（1）﹣（）； （2）﹣（﹣2）； （3）﹣[+（）]； （4）﹣[﹣（﹣3）]． 【试题思路分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数． 【详细规范解答】解：（1）﹣（）； （2）﹣（﹣2）； （3）﹣[+（）]； （4）﹣[﹣（﹣3）]＝﹣3． 【考察易错点与重难点】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数，负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是它本身． 9．（2022秋•仪征市校级月考）对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将绝对值符号去掉，例如：|7﹣6|＝7﹣6；|6﹣7|＝7﹣6；；． 观察上述式子的特征，解答下列问题： （1）把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）： ①|23﹣47|＝　47﹣23　； ②　　； （2）当a＞b时，|a﹣b|＝　a﹣b　；当a＜b时，|a﹣b|＝　b﹣a　； （3）计算：． 【试题思路分析】（1）结合有理数加法减法运算法则以及绝对值的意义进行化简； （2）根据绝对值的意义进行化简； （3）根据有理数减法运算法则结合绝对值的意义先化简绝对值，然后根据数字的变化规律进行分析计算． 【详细规范解答】解：（1）①|23﹣47|＝47﹣23；②； 故答案为：47﹣23，； （2）当a＞b时，|a﹣b|＝a﹣b；当a＜b时，|a﹣b|＝b﹣a； 故答案为：a﹣b，b﹣a； （3）原式＝1••• ＝1 ． 【考察易错点与重难点】本题考查有理数的加减运算，理解绝对值意义，掌握有理数加减运算法则，探索数字变化规律是解题关键． 10．（2023秋•高邮市校级月考）对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将绝对值符号去掉，例如： |7﹣6|＝7﹣6； |6﹣7|＝7﹣6； ； ． 观察上述式子的特征，解答下列问题： （1）把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）： ①　　； ②|3.14﹣π|＝　π﹣3.14　； （2）当a＞b时，|a﹣b|＝　a﹣b　；当a＜b时，|a﹣b|＝　b﹣a　； （3）计算：． 【试题思路分析】（1）①②结合有理数加法减法运算法则以及绝对值的意义进行化简； （2）根据绝对值的意义进行化简； （3）根据有理数减法运算法则结合绝对值的意义先化简绝对值，然后根据数字的变化规律进行分析计算． 【详细规范解答】解：（1）①； ②|3.14﹣π|＝π﹣3.14； 故答案为：，π﹣3.14； （2）当a＞b时，|a﹣b|＝a﹣b；当a＜b时，|a﹣b|＝b﹣a； 故答案为：a﹣b，b﹣a； （3）原式＝1••• ＝1 ． 【考察易错点与重难点】本题考查有理数的减法运算，绝对值，掌握有理数加减运算法则，探索数字变化规律是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$