专题04 绝对值与相反数（新知讲练+高频易错点+七大模块讲练+培优精练）-2024年小升初数学无忧衔接（苏科版）

专题04 绝对值与相反数 （新知讲练+高频易错点+七大模块讲练+培优精练） 知识与技能目标 理解绝对值的概念：明白绝对值是一个数到数轴上原点的距离，是一个非负的量。 掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 理解相反数的概念：明确只有符号不同的两个数互为相反数，例如2和-2，而0的相反数是0。 理解相反数的几何意义，即表示互为相反数的两个点（除0外）分别在原点O的两边，并且到原点的距离相等。 求数的绝对值和相反数：掌握求一个数的绝对值和相反数的方法，并能熟练进行运算。 比较两个负数的大小：明白绝对值大的负数反而小，如|-3| > |-2|，但-3 < -2。能够运用绝对值来比较两个负数的大小。 过程与方法目标 培养数感和符号感：通过运用“||”来表示一个数的绝对值，加强对数和符号的理解。 培养实践能力和创新意识：通过探索求一个数绝对值的方法和两个负数比较大小方法的过程，发展学生的实践能力，并鼓励他们在实践中发现和总结规律，培养创新意识。 培养用语言表达方法的能力：通过对问题的思考和讨论，有条理地用语言表达解决问题的方法。 新知学习一：绝对值 甲、乙两辆出租车在一条东西走向的街道上行驶，记向东行驶的里程数为正.两辆出租车都从O地出发，甲车向东行驶10km到达A处，记作 km，乙车向西行驶10km到达B处，记做 km. 以O为原点，取适当的单位长度画数轴，并在数轴上标出A、B的位置，则A、B两点与原点距离分别是多 少？它们的实际意义是什么？ 我们把一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，用“| |”表示. 新知学习二：相反数 成语故事《南辕北辙》讲了一个人…… 如果点O表示魏国的位置，点A表示楚国的位置，我们假设楚国与魏国的距离为30 km，以魏国为坐标原点0，我们规定向南为正方向，而此人从魏国出发向北到了点B也走了30 km，请同学们把这3个点在数轴上表示出来． 察这两个数，有什么相同和不同？ 像3.5和-3.5这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数. 例如，-8的相反数是8，7的相反数是-7. 一般地，a和-a互为相反数；特别地，0的相反数是0. 考点：绝对值的非负性、绝对值的几何意义． 重难点：绝对值的非负性、绝对值的几何意义． 易错点： 1．一个数的绝对值，一定不小于它本身，也不小于它的相反数．即对于任意有理数a，总有，． 2． 一个数的绝对值等于它的相反数的绝对值．即对于任意实数a，． 3． 乘积的绝对值等于绝对值的乘积，商的绝对值等于绝对值的商． 即对于任意实数a、b，，． 4． 绝对值内的非负因数或因式可以直接提到绝对值号外面． 例如：，． 新知学习一：绝对值 1．绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作． 2．绝对值运算：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 3．绝对值的性质： （1）非负性：； （2）双解性：若，则或． 【注】如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0． 例如，若，则，，． 新知学习二：相反数 1．相反数：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．特别地，0的相反数是0． 【例】与互为相反数；是的相反数； 【注】相反数必须成对出现，单独一个数不能说是相反数.“是相反数”是错误的. 2．相反数的性质： （1）代数性质：若a与b互为相反数，则；反之，若，则a与b互为相反数． （2）几何性质：一对相反数在数轴上对应的点分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等，即这两点是关于原点对称的． 3．倒数：乘积为的两个有理数互为倒数． 【例】2与，与，与． 4．负倒数：乘积为的两个有理数互为负倒数． 【例】2与，与，与． 【注】①0没有倒数，也没有负倒数； ②倒数是它的本身的数1或． 【典例精讲】（2023•锡山区模拟）﹣2的相反数是（　　） A．﹣2 B．2 C． D．±2 【变式演练01】（2022秋•苏州期中） 是　　的相反数． 【变式演练02】（2022秋•高淳县期末）绝对值为2的数是（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D． 【典例精讲】（2023秋•广陵区校级期末）2024的相反数是（　　） A．2024 B．﹣2024 C．|2024| D． 【变式演练01】（2013秋•滨湖区校级期末）当|x|＝﹣x时，则x一定是（　　） A．负数 B．正数 C．负数或0 D．0 【变式演练02】（2023秋•天宁区校级期中）有理数a，b，c在数轴上表示的点如图所示，化简|a+b|﹣|a﹣c|﹣2|b+c|＝　 　． 【典例精讲】（2023秋•吴中区月考）比较大小：﹣（﹣1 ） 　　﹣|﹣1.35|．（填“＜”、“＞”或“＝”） 【变式演练】（2023秋•东台市月考）已知|a|，|b|，求a，b的值，并比较它们的大小． 【典例精讲】（2022秋•江阴市期中）对于任意有理数a，下列结论正确的是（　　） A．|a|是正数 B．﹣a是负数 C．﹣|a|是负数 D．﹣|a|不是正数 【变式演练01】（2022秋•淮安区期中）已知|x+2|+|y﹣4|＝0．则x+y的值为 　 ． 【变式演练02】（2023秋•滨海县月考）（1）若|x+2|+|y﹣3|＝0，求x﹣y+1的值． （2）已知|a﹣2|与|b+2|互为相反数．求3a+2b的值． 【典例精讲】（2021秋•新沂市校级月考）下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．﹣1与（﹣1）2 B．1与（﹣1）2 C．2与 D．2与|﹣2| 【变式演练01】（2023秋•启东市校级月考）已知a是﹣[﹣（﹣5）]的相反数，b比最小的正整数大4，c是相反数等于它本身的数，则3a+2b+c的值是　 ． 【变式演练02】（2022秋•铜山区校级月考）﹣a的相反数是﹣3，则a＝　 ． 【典例精讲】（2022秋•相城区校级月考）在数轴上表示下列各数：0，﹣2.5，﹣3，+5，，4.5及它们的相反数． 【变式演练】（2023秋•吴中区月考）有理数a，b在数轴上的位置如图所示． （1）在数轴上分别用A、B两点表示﹣a，﹣b． （2）若数b与﹣b表示的点相距20个单位长度，则b与﹣b表示的数分别是什么？ （3）在（2）的条件下，若数a表示的点与数b的相反数表示的点相距5个单位长度，则a与﹣a表示的数是多少？ 【典例精讲】（2023秋•锡山区期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图，则|a+b|﹣|b﹣c|+|c﹣a|的化简结果为 　 ． 【变式演练】（2023秋•海安市月考）同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： （1）求|5﹣（﹣2）|＝　 　． （2）找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7．这样的整数是 　 　． （3）对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由． （4）对于任何有理数x，|x+4|+|x+2|+|x﹣3|是否有最小值？如果有写出最小值及此时x的值，如果 没有说明理由． 1、 选择题 1．（2024•昆山市一模）的相反数是（　　） A．2024 B．﹣2024 C． D． 2．（2023•广陵区校级二模）﹣2的相反数是（　　） A．2 B．﹣2 C． D． 3．（2023秋•昆山市校级月考）下面说法：①π的相反数是﹣π；②符号相反的数互为相反数；③﹣（﹣3.8）的相反数是﹣3.8；④一个数和它的相反数可能相等；⑤正数与负数互为相反数．正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（2022秋•射阳县校级月考）下列计算结果为3的是（　　） A．﹣（+3） B．+（﹣3） C．﹣（﹣3） D．﹣|﹣3| 5．（2023秋•射阳县期末）若|x﹣2|+|y+1|＝0，则x﹣y的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．2 6．（2022秋•海安市校级月考）已知|a+2|+|b﹣1|＝0，则ab的值是（　　） A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1 7．（2023秋•玄武区校级期末）下列说法中，正确的是（　　） A．﹣（﹣3）与|﹣3|互为相反数 B．相反数等于它本身的数有无数个 C．有理数a一定比﹣a大 D．﹣a的相反数就是a 8．（2023秋•宝应县期末）2024年央视春晚主题、主标识近日正式发布，本次龙年春晚主题为“龙行龖龖（dá），欣欣家国”，请问2024的相反数是（　　） A． B．﹣2024 C．2024 D． 2、 填空题 9．（2022秋•射阳县校级月考）a的相反数是﹣5，则a＝　 　． 10．（2022秋•高港区校级月考）数轴上，若点A和点B分别表示互为相反数的两个数，A在B的左侧，并且这两点的距离是6.4，则这两点所表示的数分别是　 　和　 ． 11．（2023秋•海安市期末）当1＜x＜5时，化简：|5﹣x|+|x﹣1|＝　 　． 12．（2022秋•灌南县期中）在数轴上表示a、b两个实数的点的位置如图所示，则化简|a﹣b|﹣|a+b|的结果是 ． 13．（2023秋•宝应县期末）若一个负数的绝对值等于8，则这个负数是 　 　． 14．（2022秋•海陵区校级月考）若|x﹣1|+（y+2）2＝0，则x﹣y＝　 　． 15．（2023秋•海陵区校级月考）已知b、c满足|b﹣1|+|c|＝0，则b+c的值是 　． 三、解答题 16．（2023秋•宜兴市月考）请根据下面的对话解答下列问题． 小锦：我不小心把老师留的作业题弄丢了，只记得式子是6﹣a﹣b﹣c． 小军：我告诉你“a的相反数是4，b的绝对值是2，c与b的和是﹣8．” 这时数学老师笑着补充说：a和b的符号相反哦! （1）填空：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 ； （2）求6﹣a﹣b﹣c的值． 17．（2023秋•昆山市校级月考）已知|m|＝1，|n|＝4． （1）当m、n异号时，求m+n的值； （2）求m﹣n的最大值． 18．（2023秋•姑苏区校级月考）请根据图示的对话解答下列问题． （1）a＝　 　，b＝　 　． （2）已知|m﹣a|+|b+n|＝0，求mn的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 绝对值与相反数 （新知讲练+高频易错点+七大模块讲练+培优精练） 知识与技能目标 理解绝对值的概念：明白绝对值是一个数到数轴上原点的距离，是一个非负的量。 掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 理解相反数的概念：明确只有符号不同的两个数互为相反数，例如2和-2，而0的相反数是0。 理解相反数的几何意义，即表示互为相反数的两个点（除0外）分别在原点O的两边，并且到原点的距离相等。 求数的绝对值和相反数：掌握求一个数的绝对值和相反数的方法，并能熟练进行运算。 比较两个负数的大小：明白绝对值大的负数反而小，如|-3| > |-2|，但-3 < -2。能够运用绝对值来比较两个负数的大小。 过程与方法目标 培养数感和符号感：通过运用“||”来表示一个数的绝对值，加强对数和符号的理解。 培养实践能力和创新意识：通过探索求一个数绝对值的方法和两个负数比较大小方法的过程，发展学生的实践能力，并鼓励他们在实践中发现和总结规律，培养创新意识。 培养用语言表达方法的能力：通过对问题的思考和讨论，有条理地用语言表达解决问题的方法。 新知学习一：绝对值 甲、乙两辆出租车在一条东西走向的街道上行驶，记向东行驶的里程数为正.两辆出租车都从O地出发，甲车向东行驶10km到达A处，记作 +10 km，乙车向西行驶10km到达B处，记做 -10 km. 以O为原点，取适当的单位长度画数轴，并在数轴上标出A、B的位置，则A、B两点与原点距离分别是多 少？它们的实际意义是什么？ 我们把一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，用“| |”表示. 新知学习二：相反数 成语故事《南辕北辙》讲了一个人…… 如果点O表示魏国的位置，点A表示楚国的位置，我们假设楚国与魏国的距离为30 km，以魏国为坐标原点0，我们规定向南为正方向，而此人从魏国出发向北到了点B也走了30 km，请同学们把这3个点在数轴上表示出来． 察这两个数，有什么相同和不同？ 像3.5和-3.5这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数. 例如，-8的相反数是8，7的相反数是-7. 一般地，a和-a互为相反数；特别地，0的相反数是0. 考点：绝对值的非负性、绝对值的几何意义． 重难点：绝对值的非负性、绝对值的几何意义． 易错点： 1．一个数的绝对值，一定不小于它本身，也不小于它的相反数．即对于任意有理数a，总有，． 2． 一个数的绝对值等于它的相反数的绝对值．即对于任意实数a，． 3． 乘积的绝对值等于绝对值的乘积，商的绝对值等于绝对值的商． 即对于任意实数a、b，，． 4． 绝对值内的非负因数或因式可以直接提到绝对值号外面． 例如：，． 新知学习一：绝对值 1．绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作． 2．绝对值运算：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 3．绝对值的性质： （1）非负性：； （2）双解性：若，则或． 【注】如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0． 例如，若，则，，． 新知学习二：相反数 1．相反数：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．特别地，0的相反数是0． 【例】与互为相反数；是的相反数； 【注】相反数必须成对出现，单独一个数不能说是相反数.“是相反数”是错误的. 2．相反数的性质： （1）代数性质：若a与b互为相反数，则；反之，若，则a与b互为相反数． （2）几何性质：一对相反数在数轴上对应的点分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等，即这两点是关于原点对称的． 3．倒数：乘积为的两个有理数互为倒数． 【例】2与，与，与． 4．负倒数：乘积为的两个有理数互为负倒数． 【例】2与，与，与． 【注】①0没有倒数，也没有负倒数； ②倒数是它的本身的数1或． 【典例精讲】（2023•锡山区模拟）﹣2的相反数是（　　） A．﹣2 B．2 C． D．±2 【思路点拨】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案． 【规范解答】解：﹣2的相反数是2． 故选：B． 【考点评析】本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义． 【变式演练01】（2022秋•苏州期中）是　　的相反数． 【思路点拨】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此可得出答案． 【规范解答】解：是的相反数． 故答案为：3． 【考点评析】本题考查了相反数的知识，掌握相反数的定义是解答本题的关键． 【变式演练02】（2022秋•高淳县期末）绝对值为2的数是（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D． 【思路点拨】本题是绝对值的逆运算，要根据绝对值的定义求解． 【规范解答】解：绝对值为2的数是±2． 故选：C． 【考点评析】绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 【典例精讲】（2023秋•广陵区校级期末）2024的相反数是（　　） A．2024 B．﹣2024 C．|2024| D． 【思路点拨】根据符号相反的两个数是相反数，据此解答即可． 【规范解答】解：2024的相反数是﹣2024， 故选：B． 【考点评析】本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解答本题的关键． 【变式演练01】（2013秋•滨湖区校级期末）当|x|＝﹣x时，则x一定是（　　） A．负数 B．正数 C．负数或0 D．0 【思路点拨】根据绝对值的意义得到x≤0． 【规范解答】解：∵|x|＝﹣x， ∴x≤0． 故选：C． 【考点评析】本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|＝a；若a＝0，则|a|＝0；若a＜0，则|a|＝﹣a． 【变式演练02】（2023秋•天宁区校级期中）有理数a，b，c在数轴上表示的点如图所示，化简|a+b|﹣|a﹣c|﹣2|b+c|＝　﹣3b﹣3c　． 【思路点拨】根据图形判断a、b、c的符号，以及绝对值中三个式子的符号，再去绝对值化简． 【规范解答】解：根据数轴可知，a＜b＜0＜c，且b+c＞0， 故a+b＜0，a﹣c＜0，b+c＞0， |a+b|＝﹣a﹣b，|a﹣c|＝c﹣a，|b+c|＝b+c， ∴原式＝﹣（a+b）﹣（c﹣a）﹣2（b+c） ＝﹣a﹣b﹣c+a﹣2b﹣2c ＝﹣3b﹣3c． 故答案为：﹣3b﹣3c． 【考点评析】本题考查了绝对值和数轴．注意数轴上a、b、c的位置，以及他们与原点的距离远近，关键在于判断题干绝对值符号里面各个式子的符号，进而化简得出结果． 【典例精讲】（2023秋•吴中区月考）比较大小：﹣（﹣1 ） 　＞　﹣|﹣1.35|．（填“＜”、“＞”或“＝”） 【思路点拨】分别化简后，再根据有理数大小的比较方法进行解答即可． 【规范解答】解：﹣（）＝1.6，而﹣|﹣1.35|＝﹣1.35， 由于1.6＞﹣1.35， 所以﹣（﹣1 ）＞﹣|﹣1.35|． 故答案为：＞． 【考点评析】本题考查绝对值，相反数，理解绝对值、相反数的定义是正确解答的关键． 【变式演练】（2023秋•东台市月考）已知|a|，|b|，求a，b的值，并比较它们的大小． 【思路点拨】先依据绝对值的性质求得a、b的值，然后再比较大小即可． 【规范解答】解：∵|a|，|b|， ∴a＝±，b＝±． 当a时，a＞b； 当a时，a＜b． 【考点评析】本题主要考查的是绝对值的性质、比较有理数的大小，掌握比较有理数的大小的方法是解题的关键． 【典例精讲】（2022秋•江阴市期中）对于任意有理数a，下列结论正确的是（　　） A．|a|是正数 B．﹣a是负数 C．﹣|a|是负数 D．﹣|a|不是正数 【思路点拨】根据绝对值非负数对各选项举反例分析判断后利用排除法求解． 【规范解答】解：A、a＝0时|a|＝0，既不是正数也不是负数，故本选项错误； B、a是负数时，﹣a是正数，故本选项错误； C、a＝0时，﹣|a|＝0，既不是正数也不是负数，故本选项错误； D、﹣|a|不是正数，故本选项正确． 故选：D． 【考点评析】本题考查了绝对值非负数的性质，举反例排除更简便． 【变式演练01】（2022秋•淮安区期中）已知|x+2|+|y﹣4|＝0．则x+y的值为 　2　． 【思路点拨】利用非负数的性质求出x与y的值，代入原式计算即可得到结果． 【规范解答】解：∵|x+2|+|y﹣4|＝0， ∴x+2＝0，y﹣4＝0， ∴x＝﹣2，y＝4， 则x+y＝﹣2+4＝2， 故答案为：2． 【考点评析】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式演练02】（2023秋•滨海县月考）（1）若|x+2|+|y﹣3|＝0，求x﹣y+1的值． （2）已知|a﹣2|与|b+2|互为相反数．求3a+2b的值． 【思路点拨】（1）根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解； （2）根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列式求出a、b，然后代入代数式进行计算即可得解． 【规范解答】解：（1）由题意得，x+2＝0，y﹣3＝0， 解得x＝﹣2，y＝3， 所以x﹣y+1＝﹣2﹣3+1＝﹣4； （2）∵|a﹣2|与|b+2|互为相反数， ∴|a﹣2|+|b+2|＝0， ∴a﹣2＝0，b+2＝0， 解得a＝2，b＝﹣2， 所以3a+2b＝3×2+2×（﹣2）＝6﹣4＝2． 【考点评析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 【典例精讲】（2021秋•新沂市校级月考）下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．﹣1与（﹣1）2 B．1与（﹣1）2 C．2与 D．2与|﹣2| 【思路点拨】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数． 【规范解答】解：A﹣1与（﹣1）2只有符号不同，故A正确； B 1与（﹣1）2是同一个数，故B错误； C 2与互为倒数，故C错误； D 2，故D错误； 故选：A． 【考点评析】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数． 【变式演练01】（2023秋•启东市校级月考）已知a是﹣[﹣（﹣5）]的相反数，b比最小的正整数大4，c是相反数等于它本身的数，则3a+2b+c的值是　25　． 【思路点拨】根据正整数、相反数的概念求出a，b，c的值，代入3a+2b+c即可得到结果． 【规范解答】解：因为a是﹣[﹣（﹣5）]的相反数，所以a＝5； 因为最小的正整数是1，且 b 比最小的正整数大 4，所以 b＝5； 因为相反数等于它本身的数是0，所以 c＝0， 所以 3a+2b+c＝3×5+2×5+0＝25． 故答案为：25． 【考点评析】本题考查了相反数的定义，熟记相反数的概念是解题的关键． 【变式演练02】（2022秋•铜山区校级月考）﹣a的相反数是﹣3，则a＝　﹣3　． 【思路点拨】直接利用相反数的定义分析得出答案． 【规范解答】解：因为﹣a的相反数是﹣3， 所以﹣a＝3， 所以a＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【考点评析】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． 【典例精讲】（2022秋•相城区校级月考）在数轴上表示下列各数：0，﹣2.5，﹣3，+5，，4.5及它们的相反数． 【思路点拨】根据相反数的定义，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，0的相反数是0，可写出已知六个数的相反数；再根据一对相反数在数轴上的位置特点，分别在原点的左右两边，并且与原点的距离相等，可把各数与其相反数在数轴上依次表示出来． 【规范解答】解：0的相反数是0， ﹣2.5的相反数是2.5， ﹣3的相反数是3， +5的相反数是﹣5， 1的相反数是﹣1， 4.5的相反数是﹣4.5． 在数轴上可表示为： 【考点评析】本题主要考查了相反数的定义及在数轴上表示数的方法，比较简单，体现了数形结合的思想． 【变式演练】（2023秋•吴中区月考）有理数a，b在数轴上的位置如图所示． （1）在数轴上分别用A、B两点表示﹣a，﹣b． （2）若数b与﹣b表示的点相距20个单位长度，则b与﹣b表示的数分别是什么？ （3）在（2）的条件下，若数a表示的点与数b的相反数表示的点相距5个单位长度，则a与﹣a表示的数是多少？ 【思路点拨】（1）根据互为相反数的点到原点的距离相等在数轴上表示出﹣a，﹣b； （2）先得到b表示的点到原点的距离为10，然后根据数轴表示数的方法得到b与﹣b表示的数； （3）先得到﹣b表示的点到原点的距离为10，再利用数a表示的点与数b的相反数表示的点相距5个单位长度，则a表示的点到原点的距离为5，然后根据数轴表示数的方法得到a与﹣a表示的数． 【规范解答】解：（1）如图： （2）数b与其相反数相距20个单位长度，则b表示的点到原点的距离为20÷2＝10， 所以b表示的数是﹣10，﹣b表示的数是10； （3）因为﹣b表示的点到原点的距离为10， 而数a表示的点与数b的相反数表示的点相距5个单位长度， 所以a表示的点到原点的距离为10﹣5＝5， 所以a表示的数是5，﹣a表示的数是﹣5． 【考点评析】本题考查了数轴，相反数，两点间的距离的应用，关键是能根据题意列出算式和方程． 【典例精讲】（2023秋•锡山区期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图，则|a+b|﹣|b﹣c|+|c﹣a|的化简结果为 　﹣2c　． 【思路点拨】b在原点的左侧，并且比a离原点的距离远，因此a+b＜0．b的绝对值大于c的绝对值，b的相反数是正的，因此b﹣c＜0，c＜0，a＞0，所以c﹣a＜0根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数得|a+b|＝﹣（a+b），|b﹣c|＝c﹣b，|c﹣a|＝﹣（c﹣a），去括号合并同类项得出结果． 【规范解答】解：由数轴可得， b＜c＜0＜a，|b|＞|c|＞|a|， ∴a+b＜0，b﹣c＜0，c﹣a＜0， ∴|a+b|﹣|b﹣c|+|c﹣a| ＝﹣（a+b）﹣（c﹣b）+[﹣（c﹣a）] ＝﹣a﹣b﹣c+b﹣c+a ＝﹣2c． 故答案为：﹣2c． 【考点评析】本题考查了数轴，绝对值，去括号和合并同类项有关知识，是一道综合性强的题目． 【变式演练】（2023秋•海安市月考）同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： （1）求|5﹣（﹣2）|＝　7　． （2）找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7．这样的整数是 　﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2　． （3）对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由． （4）对于任何有理数x，|x+4|+|x+2|+|x﹣3|是否有最小值？如果有写出最小值及此时x的值，如果 没有说明理由． 【思路点拨】（1）根据绝对值的意义求解； （2）结合数轴可知，﹣5与2及其之间的整数都满足|x+5|+|x﹣2|＝7； （3）根据绝对值的几何意义求解； （4）根据绝对值的几何意义求解． 【规范解答】解：（1）|5﹣（﹣2）|＝|5+2|＝|7|＝7， 故答案为：7； （2）∵|x+5|+|x﹣2|＝|x﹣（﹣5）|+|x﹣2|， ∴|x+5|+|x﹣2|可以理解为数轴上表示x的点到点﹣5的距离，与到点2的距离之和， 2﹣（﹣5）＝2+5＝7， 因此这样的整数是﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2， 故答案为：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2； （3）有最小值，最小值为3． |x﹣3|+|x﹣6|可以理解为数轴上表示x的点到点3的距离，与到点6的距离之和， 因此当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，最小值为6﹣3＝3； （4）有，最小值为7， ∵|x+4|+|x﹣3|＝|x﹣（﹣4）|+|x﹣3|， ∴|x+4|+|x﹣3|可以理解为数轴上表示x的点到点﹣4的距离，与到点3的距离之和， ∴当﹣4≤x≤3时，|x+4|+|x﹣3|有最小值，最小值为3﹣（﹣4）＝7， ∵|x+2|≥0， ∴当x＝﹣2时，|x+2|最小值0， ∴当x＝﹣2时，|x+4|+|x+2|+|x﹣3|有最小值，最小值为7． 【考点评析】本题考查绝对值的最值问题，解题的关键是掌握绝对值的几何意义． 1、 选择题 1．（2024•昆山市一模）的相反数是（　　） A．2024 B．﹣2024 C． D． 【思路点拨】根据相反数的概念解题． 【规范解答】解；的相反数是， 故选：D． 【考点评析】本题主要考查了求一个数的相反数，熟知只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0是解题的关键． 2．（2023•广陵区校级二模）﹣2的相反数是（　　） A．2 B．﹣2 C． D． 【思路点拨】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可． 【规范解答】解：﹣2的相反数是：﹣（﹣2）＝2， 故选：A． 【考点评析】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆． 3．（2023秋•昆山市校级月考）下面说法：①π的相反数是﹣π；②符号相反的数互为相反数；③﹣（﹣3.8）的相反数是﹣3.8；④一个数和它的相反数可能相等；⑤正数与负数互为相反数．正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【思路点拨】根据相反数的定义可对5个选项进行一一分析进而得出答案即可． 【规范解答】解：①根据π的相反数是﹣π；故此选项正确； ②只有符号不同的两个数是互为相反数，故此选项错误； ③﹣（﹣3.8）＝3.8，3.8的相反数是﹣3.8；故此选项正确； ④一个数和它的相反数可能相等，如0的相反数等于0，故此选项正确； ⑤正数与负数不一定是互为相反数，如+3和﹣1，故此选项错误； 故正确的有3个． 故选：D． 【考点评析】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数是关键． 4．（2022秋•射阳县校级月考）下列计算结果为3的是（　　） A．﹣（+3） B．+（﹣3） C．﹣（﹣3） D．﹣|﹣3| 【思路点拨】根据相反数和绝对值的定义即可求解． 【规范解答】解：A．﹣（+3）＝﹣3，选项A不符合题意； B．+（﹣3）＝﹣3，选项B不符合题意； C．﹣（﹣3）＝3，选项C符合题意； D．﹣|﹣3|＝﹣3，选项D不符合题意； 故选：C． 【考点评析】本题主要考查了相反数和绝对值，掌握相反数和绝对值的定义是解题的关键． 5．（2023秋•射阳县期末）若|x﹣2|+|y+1|＝0，则x﹣y的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．2 【思路点拨】根据非负数的性质得出x﹣2＝0，y+1＝0，即可求出x、y的值，从而求出x﹣y的值． 【规范解答】解：∵|x﹣2|+|y+1|＝0， 又∵|x﹣2|≥0，|y+1|≥0， ∴x﹣2＝0，y+1＝0， ∴x＝2，y＝﹣1， ∴x﹣y＝2﹣（﹣1）＝2+1＝3， 故选：B． 【考点评析】本题考查了非负数的性质，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键． 6．（2022秋•海安市校级月考）已知|a+2|+|b﹣1|＝0，则ab的值是（　　） A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1 【思路点拨】根据绝对值的非负数性质求出a、b的值，再代入计算即可． 【规范解答】解：∵|a+2|+|b﹣1|＝0， ∴a+2＝0，b﹣1＝0， 解得a＝﹣2，b＝1， 则ab＝（﹣2）×1＝﹣2． 故选：C． 【考点评析】此题考查了代数式求值以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 7．（2023秋•玄武区校级期末）下列说法中，正确的是（　　） A．﹣（﹣3）与|﹣3|互为相反数 B．相反数等于它本身的数有无数个 C．有理数a一定比﹣a大 D．﹣a的相反数就是a 【思路点拨】利用相反数等于它本身的数只有0，﹣a的相反数就是a的性质解题． 【规范解答】解：A．﹣（﹣3）＝3，|﹣3|＝3，故A错误， B．相反数等于它本身的数只有0，故B错误， C．若a小于0，﹣a则大于a，故C错误， D．﹣a的相反数就是a，D正确， 故选：D． 【考点评析】本题考查了相反数的定义及性质，较简单． 8．（2023秋•宝应县期末）2024年央视春晚主题、主标识近日正式发布，本次龙年春晚主题为“龙行龖龖（dá），欣欣家国”，请问2024的相反数是（　　） A． B．﹣2024 C．2024 D． 【思路点拨】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【规范解答】解：2024的相反数是﹣2024， 故选：B． 【考点评析】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键． 2、 填空题 9．（2022秋•射阳县校级月考）a的相反数是﹣5，则a＝　5　． 【思路点拨】根据相反数定义解答即可． 【规范解答】解：∵a的相反数是﹣5， ∴a＝5． 故答案为：5． 【考点评析】此题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数，称为互为相反数，其中的一个数是另一个的相反数． 10．（2022秋•高港区校级月考）数轴上，若点A和点B分别表示互为相反数的两个数，A在B的左侧，并且这两点的距离是6.4，则这两点所表示的数分别是　﹣3.2　和　3.2　． 【思路点拨】根据相反数的概念得A和B是一个正数和一个负数，且距离为6.4；由相反数到原点的距离相等，所以可以得出两点所表示的数． 【规范解答】解：6.4÷2＝3.2， ∵A在B的左侧， ∴A表示的数为﹣3.2，B表示的数为3.2； 故答案为：﹣3.2，3.2． 【考点评析】本题考查了相反数与数轴的关系，只有符号不同的两个数叫做互为相反数；相反数分为两类：①0的相反数为0，②可以是一个正数与一个负数，但它们的绝对值相等，即这两点到原点的距离相等，本题属于第②种． 11．（2023秋•海安市期末）当1＜x＜5时，化简：|5﹣x|+|x﹣1|＝　4　． 【思路点拨】根据x的取值范围判断出5﹣x＞0，x﹣1＞0，再根据绝对值的性质化简即可． 【规范解答】解：∵1＜x＜5， ∴|5﹣x|+|x﹣1| ＝5﹣x+x﹣1 ＝4， 故答案为：4． 【考点评析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． 12．（2022秋•灌南县期中）在数轴上表示a、b两个实数的点的位置如图所示，则化简|a﹣b|﹣|a+b|的结果是　2b　． 【思路点拨】先根据a、b在数轴上的位置确定出其符号及|a|、|b|的大小，再由绝对值的性质去掉绝对值符号即可． 【规范解答】解：∵由a、b在数轴上的位置可知，a＜0，b＞0，|a|＞|b|， ∴原式＝b﹣a+a+b＝2b． 故答案为：2b． 【考点评析】本题考查的是数轴的特点及绝对值的性质，能根据a、b在数轴上的位置确定出其符号及|a|、|b|的大小是解答此题的关键． 13．（2023秋•宝应县期末）若一个负数的绝对值等于8，则这个负数是 　﹣8　． 【思路点拨】根据绝对值的性质找出绝对值等于8的负数即可． 【规范解答】解：∵|﹣8|＝8， ∴这个负数是﹣8， 故答案为：﹣8． 【考点评析】本题主要考查了绝对值，解题关键是熟练掌握如何求实数的绝对值． 14．（2022秋•海陵区校级月考）若|x﹣1|+（y+2）2＝0，则x﹣y＝　3　． 【思路点拨】根据非负数的性质列出算式，求出x、y的值，计算即可． 【规范解答】解：由题意得，x﹣1＝0，y+2＝0， 解得x＝1，y＝﹣2， 则x﹣y＝3， 故答案为：3． 【考点评析】本题考查的是非负数的性质，掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键． 15．（2023秋•海陵区校级月考）已知b、c满足|b﹣1|+|c|＝0，则b+c的值是 　　． 【思路点拨】根据绝对值的非负性，求出b、c的值，再代入计算即可． 【规范解答】解：∵|b﹣1|+|c|＝0， ∴b﹣1＝0，c0， 解得b＝1，c， ∴b+c＝1， 故答案为：． 【考点评析】本题考查绝对值的非负性，掌握“几个非负数的和为0，则这些非负数均为0”是解决问题的关键． 三、解答题 16．（2023秋•宜兴市月考）请根据下面的对话解答下列问题． 小锦：我不小心把老师留的作业题弄丢了，只记得式子是6﹣a﹣b﹣c． 小军：我告诉你“a的相反数是4，b的绝对值是2，c与b的和是﹣8．” 这时数学老师笑着补充说：a和b的符号相反哦! （1）填空：a＝　﹣4　，b＝　﹣2　，c＝　﹣6　； （2）求6﹣a﹣b﹣c的值． 【思路点拨】（1）结合已知条件，根据相反数及绝对值的定义即可求得答案； （2）将a，b，c的值代入6﹣a﹣b+c中计算即可． 【规范解答】解：（1）∵a的相反数是4，b的绝对值是2， ∴a＝﹣4，b＝±2， ∵a和b的符号相同， ∴b＝﹣2， ∵c与b的和是﹣8， ∴c＝﹣6， 故答案为：﹣4；﹣2；﹣6； （2）6﹣a﹣b+c ＝6﹣（﹣4）﹣（﹣2）+（﹣6） ＝6+4+2﹣6 ＝6． 【考点评析】本题考查相反数，绝对值及有理数的运算，结合已知条件求得a，b，c的值是解题的关键． 17．（2023秋•昆山市校级月考）已知|m|＝1，|n|＝4． （1）当m、n异号时，求m+n的值； （2）求m﹣n的最大值． 【思路点拨】（1）根据绝对值的性质得m＝±1，n＝±4，再根据m、n异号，分两种情况求出m+n的值； （2）在（1）的基础上分四种情况求m﹣n的值，比较后确定最大值． 【规范解答】解：（1）∵|m|＝1，|n|＝4， ∴m＝±1，n＝±4， ∵m、n异号， ①m＝1，n＝﹣4，m+n＝﹣3， ②m＝﹣1，n＝4，m+n＝3， ∴m+n的值﹣3或3； （2）①m＝1，n＝﹣4，m﹣n＝5， ②m＝﹣1，n＝4，m﹣n＝﹣5， ③m＝1，n＝4，m﹣n＝﹣3， ④m＝﹣1，n＝﹣4，m﹣n＝3， ∵5＞3＞﹣3＞﹣5， ∴m﹣n的最大值为5． 【考点评析】本题主要考查了绝对值，掌握绝对值的性质应用是解题关键． 18．（2023秋•姑苏区校级月考）请根据图示的对话解答下列问题． （1）a＝　﹣2　，b＝　﹣3　． （2）已知|m﹣a|+|b+n|＝0，求mn的值． 【思路点拨】（1）根据相反数、倒数的定义进行计算即可； （2）根据绝对值的非负性以及a、b的值进行计算即可． 【规范解答】解：（1）∵a与2互为相反数，而2的相反数是﹣2， ∴a＝﹣2， ∵（﹣3）＝1， ∴的倒数是﹣3， 即b＝﹣3， 故答案为：﹣2，﹣3； （2）∵|m﹣a|+|b+n|＝0，而|m﹣a|≥0，|b+n|≥0， ∴|m﹣a|＝0，|b+n|＝0， ∴m﹣a＝0，b+n＝0， 又∵a＝﹣2，b＝﹣3， ∴m＝﹣2，n＝3， ∴mn＝﹣2×3＝﹣6， 答：mn的值为﹣6． 【考点评析】本题考查绝对值的非负性，相反数以及互为倒数，掌握相反数、倒数的定义，以及绝对值的非负性是正确解答的前提 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$