专题1.5 平行四边形中的最值问题（压轴题专项讲练）-2024-2025学年九年级数学上册压轴题专项讲练系列（北师大版）

专题1.5 平行四边形中的最值问题 · 思维方法 正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。 逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。 分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则： 1. 不重（互斥性）不漏（完备性）； 2. 按同一标准划分（同一性）； 3. 逐级分类（逐级性）。 · 典例分析 【典例1】如图，菱形中，，，点P为边上任意一点（不包括端点），连结，过点P作边点Q，点R线段上的一点．    （1）若点R为菱形对角线的交点，为的中位线，求的值； （2）当的值最小时，请确定点R的位置，并求出 的最小值； （3）当的值最小时，在备用图中作出此时点P，Q的位置，写作法并写出的最小值． 【思路点拨】 （1）由菱形的性质可得，均为等边三角形，点为的中点，连接，，利用三角形中位线定理即可求解； （2）由题可知，，为等边三角形，由菱形性质可知，与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，，连接，交于点，过点作垂直于的直线交于，交于，可得，可得，则点为中点，利用含的直角三角形可得，，由三角形三边关系及垂线段最短可知，当，，三点在同一直线上，且与重合时取等号， 即当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值； （3）同（2），与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，连接，交于点，由（2）可得点为中点，作关于对称的线段，取点的对应点，连接，则，由对称可知：，则，当，，，在同一条直线上时取等号，此时点为中点，可知，为等边三角形，进而即可求解． 【解题过程】 （1）解：∵四边形是菱形，，， ∴，，则，均为等边三角形， ∴， ∵点为菱形对角线的交点， ∴点为的中点， 连接，， ∵为的中位线， ∴，也为的中位线， 则，， ∴； （2）由（1）可知，均为等边三角形， 则， ∵， ∴，则为等边三角形， ∴，则， 由菱形性质可知，与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，，连接，交于点，过点作垂直于的直线交于，交于，    ∵，则， 又∵， ∴， ∴，则点为中点， ∵，， ∴， ∴，，由勾股定理可得：，， ∴， ∵， ∴，当，，三点在同一直线上，且与重合时取等号，即：与点重合（点为中点），与重合时取等号， 综上，当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值； （3）同（2），与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，连接，交于点，由（2）可得点为中点， 作关于对称的线段，取点的对应点，连接，则， ∵为等边三角形， ∴，由对称可知：，   则，当，，，在同一条直线上时取等号， 此时点为中点，    ∵，则 ∴过点（点），且， 可知，为等边三角形，，，，即，，，分别为，，的中点， ∴此时， 作图，如下：    作法：取的中点为，作交于； 综上，的最小值为6． · 学霸必刷 1．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）如图，在矩形中，，，点E为中点，P、Q为边上两个动点，且，则四边形周长的最小值为（     ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了矩形的性质，轴对称-最短路线问题的应用，正确做出辅助线确定出P和Q点的位置是解答本题的关键．要使四边形的周长最小，由于与都是定值，只需的值最小即可.为此，先在边上确定点的位置，可在上截取线段，作点关于的对称点，连接与交于一点即为点，过点作的平行线交于一点，即为点，则此时最小，即四边形的周长最小． 【解题过程】 解：在上截取线段，作点关于的对称点，连接与交于一点即为点，过点作的平行线交于一点，即为点，过点作的平行线交的延长线于点. 则四边形是平行四边形， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴四边形的周长的最小值 ， 故选C． 2．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，在矩形中，，．点E在边上，且，M，N分别是边、上的动点，P是线段上的动点，连接，，使．当的值最小时，线段的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【思路点拨】 本题主要考查了矩形的性质与判定，轴对称的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，先证明是等腰直角三角形，作点关于的对称点，则在直线上，连接，则，则当三点共线，且时，有最小值，即有最小值，可证明四边形是矩形，得到，则，再证明是等腰直角三角形，即可得到． 【解题过程】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 是等腰直角三角形， ∴， 作点关于的对称点，则在直线上，连接，如图： ∴， ∴当三点共线，且时，有最小值，即有最小值， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故选：D． 3．（23-24九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在矩形中，，，E是边上一点，连接，沿翻折，得到，连接．当长度最小时，的面积是（   ）    A． B． C． D．2 【思路点拨】 连接，如图，根据折叠的性质得到，，当点、、三点共线时，最小，此时的最小值，根据勾股定理得到，得到长度的最小值，设，则，根据勾股定理得到根据三角形的面积公式得到的面积是． 【解题过程】 解：连接，如图，    沿翻折至， ， ，， ， 当点、、三点共线时，最小，此时的最小值， 四边形是矩形， ， ，， ， 长度的最小值， 设，则， ， ， ， ， 解得，， 的面积是， 故选：． 4．（23-24九年级下·安徽合肥·期中）如图，在长方形中，，，点P在线段（包括端点）上运动，以线段为边，向右侧作正，连接．下列结论正确的是（    ） A．当点P与点A重合时，最小 B．当点P与点D重合时，最小 C．当最小时，A、E、C三点共线 D．当最小时， 【思路点拨】 以为边向右作等边，连接．利用全等三角形的性质证明，推出点在射线上运动，且，设交于点，再证明，利用等腰三角形的性质，可得结论． 【解题过程】 解：如图，以为边向右作等边，连接．    是等边三角形， ，，， ， ， ，， 点在射线上运动，且，设交于点， 则， 当时，的长最小，此时，则， ，， ， ，即：点为中点 ， ， ． 综上，当点为中点时，的长最小，此时； 故选：D． 5．（2023·辽宁盘锦·模拟预测）如图，在矩形中，对角线相交于点O，，点E是上一动点，点P是的中点，连接，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 【思路点拨】 取的中点F，作直线，易得，作点B关于直线的对称点H，连接交直线于点G，连接，得到，根据矩形的性质，轴对称的性质结合勾股定理求出的长即可． 【解题过程】 解：取的中点F，作直线， ∵点P是的中点， ∴， 作点B关于直线的对称点H，连接交直线于点G，连接， ∵垂直平分， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故选：C． 6．（23-24八年级下·河南周口·期中）如图，在菱形中，E，F分别是边上的动点，P是对角线上的动点，且．若，，则的最小值是（    ）    A．2 B．3 C．4 D． 【思路点拨】 本题考查菱形的性质，勾股定理，根据菱形的性质和平行线的性质可得，过作于，则，，当、、三点共线且与垂直时最小，最小值为菱形的高，求解即可． 【解题过程】 过作于，过作于，    ∵菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴当、、三点共线且与垂直时最小，最小值为菱形的高， ∵，， ∴, ∵，， ∴ ∴， 即的最小值是， 故选：D． 7．（22-23八年级下·山东泰安·期末）如图，菱形的边长为4，且，是的中点，为上一点且的周长最小，则的周长的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【思路点拨】 由菱形的性质可得点与点关于对称，连接交于点，连接，则的周长，此时的周长最小，过点作交的延长线于，由菱形的性质和可得，从而可得，最后由勾股定理计算得出，即可得出答案． 【解题过程】 解：四边形是菱形， 点与点关于对称， 如图，连接交于点，连接， 则， 的周长，此时的周长最小， 是的中点，菱形的边长为4， ， 过点作交的延长线于， 四边形为菱形，边长为4， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 的周长的最小值， 故选：A． 8．（23-24九年级上·安徽合肥·开学考试）如图，在菱形中，，是边上一点，且，有下列结论：① 是等边三角形；；③ 周长的最小值为；④ 面积的最大值为．其中正确结论有（    ）    A．个 B．个 C．个 D．个 【思路点拨】 根据等边三角形与菱形的性质解答即可． 【详解】解：连接，    ∵菱形中，， ∴与是等边三角形， ∴，， ∵，∴， 在和中 ， ∴， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形，故正确； ∴，∴， ∵， ∴， 即，故正确； ∵的周长， ∴等边三角形的边长最小时，的周长最小， 当时，最小， 周长的最小值为，故正确； ∵菱形边长为4，； ∴与为正三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 过作，交延长线于点，设，则，         ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴的面积， 当时， 的面积最大值为：， 故正确； 综上正确的有共个， 故选：． 9．（2024·安徽合肥·一模）如图，正方形的边长为，点分别在边，上，且平分，，连接，分别交，于点，点．是线段上的一个动点，过点作，垂足为，连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、角平行线的定义，线段垂直平分线的判定与性质、勾股定理，连接与交于点，交于点，连接，，证明，得到，，进而可证明，得到，推导出是线段的垂直平分线，得到，由两点之间线段最短可得，当点与点重合时，的值最小，进而由，求出即可求解，确定出点与点重合时，的值最小是解题的关键． 【解题过程】 解：如图，连接与交于点，交于点，连接，，    ∵四边形为正方形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 当点与点重合时，的值最小， 此时， 即的最小值是的长， ∵正方形的边长为， ∴， ∴ ∴的最小值为， 故选：． 10．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）如图，E为正方形中边上的一点，且，，M、N分别为边、上的动点，且始终保持，则的最小值为（  ）    A．8 B．8 C．8 D．12 【思路点拨】 由勾股定理可求的长，由“”可证，可得，通过证明四边形是平行四边形，可得，由，可得当点A，点M，点G三点共线时，的最小值为，由勾股定理即可求解． 【解题过程】 解：过点D作，交于点H，过点E作，过点M作，直线交于点G，连接，如图，      ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当点A，点M，点G三点共线时，的最小值为， ∴． 故选：C． 11．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）正方形，如图放置，，，相交于点P，Q为边上一点，且，则的最大值为（  ）    A． B． C．7 D． 【思路点拨】 如图，连接，取的中点O，连接，延长至E，使，连接，，利用等腰直角三角形性质可得 ，由，可得，，利用勾股定理可得，再由三角形中位线定理可得，再证得，进而得出是的中线，即，由，即可求得答案． 【解题过程】 解：如图，连接，取的中点O，连接，延长至E，使，连接，，    ∵四边形、是正方形，， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即Q是的中点， 又∵点O是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点O是的中点， ∴， 在中，， ∴的最大值为， 故选：B． 12．（2023·江苏宿迁·一模）如图，已知四边形中，，，点分别是边上的两个动点，且，过点B作于G，连接，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【思路点拨】 过点C作，交延长线于M，连接，交于O，则构造的四边形为正方形，由可证，得出，则O是正方形的中心，由正方形的性质得出，取中点N，连接，过点N作于H，由勾股定理求出，由直角三角形的中线性质得出，由三角形三边关系得，则当C、G、N三点共线时，最小，即可得出结果． 【解题过程】 解：过点C作，交延长线于M，连接，交于O，如图所示： ∴， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴四边形为矩形． ∵， ∴四边形为正方形， ∴． ∵， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴O是正方形的中心． ∵， ∴， 取中点N，连接，过点N作于H， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，N是的中点， ∴． ∵， 当C、G、N三点共线时，最小为：． 故答案为：． 13．（22-23九年级下·江苏宿迁·期中）如图，在正方形中，为边上一动点（点不重合），是等腰直角三角形，，连接．若时，则周长的最小值为（    ）    A．3 B． C． D． 【思路点拨】 如图所示，在上取一点G使得，连接，由正方形的性质得到，证明得到，进而推出点P在直线上运动；如图所示，作点D关于直线的对称点F，连接，则，，即，即可证明三点共线，进一步推出当三点共线时，的周长有最小值，最小值为，由勾股定理得，则的周长最小值为． 【解题过程】 解：如图所示，在上取一点G使得，连接，     ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点P在直线上运动， 如图所示，作点D关于直线的对称点F，连接， ∴，，即， ∴，即三点共线， ∵的周长， ∴当三点共线时，的周长有最小值，最小值为， 在中，由勾股定理得， ∴的周长最小值为， 故选C． 14．（2024·四川成都·一模）如图，在矩形中，，点，为直线上的两个动点，且，将线段关于翻折得线段，连接．当线段的长度最小时，的度数为 度． 【思路点拨】 将线段绕点B顺时针旋转后点A落在点E，连接，得到，再由当时，有最小值，可得与均为30°、60°、90°直角三角形，再证明为等腰直角三角形，是等边三角形，进而得到，最后当于H时，有最小值，由此可以求出． 【解题过程】 解：将线段绕点B顺时针旋转后点A落在点E，连接，设交于G点，如下图所示： 在矩形中，，， 根据折叠可知，，， ∴， ， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在上， ∵垂线段最短， ∴当时，有最小值， ∴与均为、、直角三角形， 设，， 则，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（22-23九年级上·山西运城·期中）如图，在矩形中，E是上一动点，沿折叠后得到，点F在矩形内部，延长交于点G，，．当点E是的中点时，线段的长为 ；点E在运动过程中，当的周长最小时，的长为 ． 【思路点拨】 第一填空，连接，根据中点性质以及翻折性质可以求出，然后利用“”证明和全等，得到，设，表示出、，然后在中，利用勾股定理列式进行计算即可得解；第二填空，连接，根据勾股定理求出，根据，得到，得到值最小时， 的周长最小，推出点F在上时，取得最小值，为， 设，得到，根据，运用勾股定理求得． 【解题过程】 如图1，连接， ∵在矩形中，，，，E是的中点， ∴， 由折叠知，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 设， 则，， ∵在中， ∴， 解得， 即． 故答案为：； 如图2，连接，则， ∵，， ∴， ∴当值最小时， 的周长最小， 当点F在上时，值最小，此时，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 即． 故答案为：5． 16．（22-23八年级下·陕西西安·期末）如图，矩形中，，，E、F分别为、上两个动点，且，连接，，当最小时，的长为 ．    【思路点拨】 作，可以求得的长度，再过作，且，连接，则四边形为平行四边形，，则最小，就是最小，求解即可． 【解题过程】 解：作，如下图： 四边形和四边形为矩形， 则， 在中，，， ∴ 设，则，由勾股定理可得： 解得，即， ∴最小，就是最小， 过作，且，连接，，如下图：    则四边形为平行四边形，， 则最小，就是最小， 由三角形三边关系可得，， 即当三点共线时，最小，如下图：    ∵四边形为平行四边形 ∴ 又∵ ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴ ∴，即 解得： 故答案为：3 17．（23-24八年级下·北京东城·期中）如图，已知菱形的两条对角线分别为6和8，点是边的中点，点是边上一点，点是对角线上一点，则的最小值为 ． 【思路点拨】 本题考查了轴对称-最短路线问题，菱形的性质，勾股定理的应用，菱形的面积，解此题的关键是能确定出当时有最小值．作M关于的对称点Q，连接，交于P，连接，则，要使的值最小，则当时，有最小值，则连接，求出，根据勾股定理求出长，再根据等面积法即可得出答案． 【解题过程】 解：作M关于的对称点Q，连接，交于P，连接， ， 要使的值最小，即要最小， 四边形是菱形， ， 又 ，是边的中点， 即Q在上，且为中点， 当时，有最小值， 四边形是菱形， 的值最小为， 故答案为：． 18．（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，四边形为平行四边形，延长到点E，使，且，若是边长为3的等边三角形，点P、M、N分别在线段BE、BC、CE上运动，则的最小值为 ． 【思路点拨】 根据四边形为平行四边形，得到，结合，得到，根据是边长为3的等边三角形，得到，得到四边形是菱形，结合得到,得到四边形是菱形，作点M关于直线得对称点Q，则Q一定在上，根据垂线段最短，过点Q作于点G，交于点R，当P与R重合，点N与点G重合时，取得最小值，即菱形的高，过点C作于点F，计算即可，本题考查了菱形的判定和性质，线段和最小，垂线段最短，正确构造最短线段是解题的关键． 【解题过程】 ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是边长为3的等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形， ∴ ∴是边长为3的等边三角形， ∵ ∴, ∴四边形是菱形， 作点M关于直线得对称点Q，则Q一定在上，根据垂线段最短，过点Q作于点G，交于点R，当P与R重合，点N与点G重合时，取得最小值，即菱形的高， 过点C作于点F， ∴， ∴， 故的最小值为， 故答案为：． 19．（2024·四川成都·二模）如图，在菱形中，，，M，N分别是边的动点，满足，连接，E是边上的动点，F是上靠近C的四等分点，连接，当面积最小时，的最小值为 ．    【思路点拨】 连接，取的中点，连接，得到是等边三角形，进而判断当面积最小时，，根据为上的动点，当重合时，最小，进而可得的最小值． 【解题过程】 解：如图，连接，取的中点，连接，    四边形是菱形，， ， 是等边三角形 ， 为等边三角形， 点是上靠近点的四等分点， 的面积最小时，的面积也最小 当最小时，的面积最小   当时，最小 是等边三角形， 点是上的动点， 当点与点重合时，最小 的最小值为 故答案为：． 20．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）如图，已知菱形中，，，点E，F分别为边上的两个动点，始终保持，连接，取中点G并连接，则的最小值是 ． 【思路点拨】 如图，过点D作交延长线于点H，延长交于点M，连接，先根据菱形的性质的，再求出，证明是等边三角形，得到，利用三角形外角的性质得到，则，从而证明是的中位线，则，故当最小时最小，根据点到直线的距离垂线段最短可知：的最小值等于，利用含30度角的直角三角形的性质求出，则，由此即可得到答案． 【解题过程】 解：如图，过点D作交延长线于点H，延长交于点M，连接， 在菱形中，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴当最小时最小， 根据点到直线的距离垂线段最短可知：的最小值等于， 在中，， ∴， ∴， ∴的最小值为12， ∴的最小值为6． 故答案为：6． 21．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，菱形边长为5，点为对角线上两点，且，，连接，则的最小值是 ． 【思路点拨】 取的中点P，Q，连接，连接交于点H，过点P作，交于点G，证明，得到，推出当点P，Q，C三点共线时，有最小值，最小值为长的2倍，利用菱形的性质及勾股定理求出的长即可． 【解题过程】 解：取的中点P，Q，连接，连接交于点H，过点P作，交于点G， 则，， 是菱形， ，， ， ，即， ， ， ， ， 当点P，Q，C三点共线时，有最小值，最小值为长的2倍， 是菱形，且边长为5， ，，， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 22．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，、是正方形的边、上的动点，且，点在上，当，时，的最小值是 ． 【思路点拨】 连接交于点，证明在上截取，则则四边形是平行四边形，得出作点关于的对称点，连接交于点，根据轴对称的性质求得最值为的长，进而勾股定理，即可求解． 【解题过程】 解：如图所示，连接交于点， ∵正方形，， ∴，则 ∵ ∴， 又 ∴ ∴, ∵， ∴， ∴， 在上截取，则 ∴四边形是平行四边形 ∴， ∴ 作点关于的对称点，连接交于点， ∴重合时此时取得最小值， ∴， 又， ∴中， 故答案为：． 23．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，正方形的边长为，点、分别在、上，且，与相交于点，连接，则的最小值为 ． 【思路点拨】 本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，关键是取中点，推导出当、、在同一条直线上时，取最小值． 先证明，得，再取中点，，由于、不变，因此当、、在同一条直线上时，取最小值，依据与的长，即可得出的最小值． 【解题过程】 解：如图，取中点，连接，， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 、的长不变， 当、、在同一条直线上时，取最小值， 中，， 的最小值， 故答案为：． 24．（2023·江苏南通·二模）如图，在边长为的正方形中，点为边的中点，点为边上的动点，以为一边在的右上方作等边三角形，当最小时，的周长为 ． 【思路点拨】 以为一边在正方形内作等边，连接，过点作于点，过点作于点，先证四边形为矩形，再证和全等得，再由得，由此可得出当点与点重合时，为最小，即为最小，最小值为，然后再求出，即可得出当最小时，的周长． 【解题过程】 解：以C为一边在正方形内作等边，连接， 过点作于点，过点作于点， 四边形为正方形，且边长为， ，， 点为的中点， ， 和均为等边三角形，， ，，，， ，，， 四边形为矩形， ，， ， ， 即：， 在和中， ， ， ， ， ， 当点与点重合时，为最小， 即为最小，最小值为， 在中，，， ， 由勾股定理得：， 在中，，， 由勾股定理的， ， 的周长为：． 即当最小时，的周长为． 故答案为：． 25．（2024·陕西商洛·一模）如图，正方形的边长为，点在线段上，以为边构造正方形，使点在的延长线上，连接，取的中点，连接．当点在边上运动不含，时，的最小值为 ． 【思路点拨】 本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，勾股定理；连接，，，，与交于点，延长到点，使，连接，，根据正方形的性质先证点、、、在一条直线上，再证是的中位线，并推出当时，最小，根据正方形的性质得出，故点与点重合，求出对角线的长，即可得出的长，于是得出的长，再根据正方形的性质证，即可得出的最小值． 【解题过程】 解：如图，连接，，，，与交于点，延长到点，使，连接，， 四边形是正方形， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， 四边形是正方形， ，， 点、、、在一条直线上， 点是的中点，点是的中点， 是的中位线， ， 当最小时，最小， 即当时，最小， ， 点与点重合时，最小， 正方形的边长为， ，，， 由勾股定理得 ， ， 四边形是正方形， ， 点是的中点， ， 点在的垂直平分线上， 四边形是正方形， 点也在的垂直平分线上， ， ， 即的最小值为； 故答案为：． 26．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在边长为1的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且，连接，交于点G． （1）连接，则线段的最小值是 ； （2）取的中点H，连接，则线段的最小值是 ． 【思路点拨】 （1）如图1，取的中点K，连接，则，，证明，可求，即，则，由勾股定理得，，由三角形三边关系可得，进而可求的最小值； （2）如图2，取的中点K，过点K作于N，延长至M，使，连接，则四边形是矩形，， ，由勾股定理得，，由三角形三边关系可得，即的最小值，由D、H分别是的中点，可得，进而可得线段DH的最小值． 【解题过程】 （1）解：如图1，取的中点K，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点K是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵点K是的中点， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴的最小值为， 故答案为：； （2）解：如图2，取的中点K，过点K作于N，延长至M，使，连接，则四边形是矩形， ∴， ∴ ， 由勾股定理得，， ∵， ∴的最小值， ∵D、H分别是的中点， ∴， 即线段DH的最小值是， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.5 平行四边形中的最值问题 · 思维方法 正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。 逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。 分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则： 1. 不重（互斥性）不漏（完备性）； 2. 按同一标准划分（同一性）； 3. 逐级分类（逐级性）。 · 典例分析 【典例1】如图，菱形中，，，点P为边上任意一点（不包括端点），连结，过点P作边点Q，点R线段上的一点．    （1）若点R为菱形对角线的交点，为的中位线，求的值； （2）当的值最小时，请确定点R的位置，并求出 的最小值； （3）当的值最小时，在备用图中作出此时点P，Q的位置，写作法并写出的最小值． 【思路点拨】 （1）由菱形的性质可得，均为等边三角形，点为的中点，连接，，利用三角形中位线定理即可求解； （2）由题可知，，为等边三角形，由菱形性质可知，与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，，连接，交于点，过点作垂直于的直线交于，交于，可得，可得，则点为中点，利用含的直角三角形可得，，由三角形三边关系及垂线段最短可知，当，，三点在同一直线上，且与重合时取等号， 即当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值； （3）同（2），与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，连接，交于点，由（2）可得点为中点，作关于对称的线段，取点的对应点，连接，则，由对称可知：，则，当，，，在同一条直线上时取等号，此时点为中点，可知，为等边三角形，进而即可求解． 【解题过程】 （1）解：∵四边形是菱形，，， ∴，，则，均为等边三角形， ∴， ∵点为菱形对角线的交点， ∴点为的中点， 连接，， ∵为的中位线， ∴，也为的中位线， 则，， ∴； （2）由（1）可知，均为等边三角形， 则， ∵， ∴，则为等边三角形， ∴，则， 由菱形性质可知，与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，，连接，交于点，过点作垂直于的直线交于，交于，    ∵，则， 又∵， ∴， ∴，则点为中点， ∵，， ∴， ∴，，由勾股定理可得：，， ∴， ∵， ∴，当，，三点在同一直线上，且与重合时取等号，即：与点重合（点为中点），与重合时取等号， 综上，当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值； （3）同（2），与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，连接，交于点，由（2）可得点为中点， 作关于对称的线段，取点的对应点，连接，则， ∵为等边三角形， ∴，由对称可知：，   则，当，，，在同一条直线上时取等号， 此时点为中点，    ∵，则 ∴过点（点），且， 可知，为等边三角形，，，，即，，，分别为，，的中点， ∴此时， 作图，如下：    作法：取的中点为，作交于； 综上，的最小值为6． · 学霸必刷 1．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）如图，在矩形中，，，点E为中点，P、Q为边上两个动点，且，则四边形周长的最小值为（     ） A． B． C． D． 2．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，在矩形中，，．点E在边上，且，M，N分别是边、上的动点，P是线段上的动点，连接，，使．当的值最小时，线段的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 3．（23-24九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在矩形中，，，E是边上一点，连接，沿翻折，得到，连接．当长度最小时，的面积是（   ）    A． B． C． D．2 4．（23-24九年级下·安徽合肥·期中）如图，在长方形中，，，点P在线段（包括端点）上运动，以线段为边，向右侧作正，连接．下列结论正确的是（    ） A．当点P与点A重合时，最小 B．当点P与点D重合时，最小 C．当最小时，A、E、C三点共线 D．当最小时， 5．（2023·辽宁盘锦·模拟预测）如图，在矩形中，对角线相交于点O，，点E是上一动点，点P是的中点，连接，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 6．（23-24八年级下·河南周口·期中）如图，在菱形中，E，F分别是边上的动点，P是对角线上的动点，且．若，，则的最小值是（    ）    A．2 B．3 C．4 D． 7．（22-23八年级下·山东泰安·期末）如图，菱形的边长为4，且，是的中点，为上一点且的周长最小，则的周长的最小值为（    ）    A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·安徽合肥·开学考试）如图，在菱形中，，是边上一点，且，有下列结论：① 是等边三角形；；③ 周长的最小值为；④ 面积的最大值为．其中正确结论有（    ）    A．个 B．个 C．个 D．个 9．（2024·安徽合肥·一模）如图，正方形的边长为，点分别在边，上，且平分，，连接，分别交，于点，点．是线段上的一个动点，过点作，垂足为，连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 10．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）如图，E为正方形中边上的一点，且，，M、N分别为边、上的动点，且始终保持，则的最小值为（  ）    A．8 B．8 C．8 D．12 11．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）正方形，如图放置，，，相交于点P，Q为边上一点，且，则的最大值为（  ）    A． B． C．7 D． 12．（2023·江苏宿迁·一模）如图，已知四边形中，，，点分别是边上的两个动点，且，过点B作于G，连接，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 13．（22-23九年级下·江苏宿迁·期中）如图，在正方形中，为边上一动点（点不重合），是等腰直角三角形，，连接．若时，则周长的最小值为（    ）    A．3 B． C． D． 14．（2024·四川成都·一模）如图，在矩形中，，点，为直线上的两个动点，且，将线段关于翻折得线段，连接．当线段的长度最小时，的度数为 度． 15．（22-23九年级上·山西运城·期中）如图，在矩形中，E是上一动点，沿折叠后得到，点F在矩形内部，延长交于点G，，．当点E是的中点时，线段的长为 ；点E在运动过程中，当的周长最小时，的长为 ． 16．（22-23八年级下·陕西西安·期末）如图，矩形中，，，E、F分别为、上两个动点，且，连接，，当最小时，的长为 ．    17．（23-24八年级下·北京东城·期中）如图，已知菱形的两条对角线分别为6和8，点是边的中点，点是边上一点，点是对角线上一点，则的最小值为 ． 18．（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，四边形为平行四边形，延长到点E，使，且，若是边长为3的等边三角形，点P、M、N分别在线段BE、BC、CE上运动，则的最小值为 ． 19．（2024·四川成都·二模）如图，在菱形中，，，M，N分别是边的动点，满足，连接，E是边上的动点，F是上靠近C的四等分点，连接，当面积最小时，的最小值为 ．    20．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）如图，已知菱形中，，，点E，F分别为边上的两个动点，始终保持，连接，取中点G并连接，则的最小值是 ． 21．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，菱形边长为5，点为对角线上两点，且，，连接，则的最小值是 ． 22．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，、是正方形的边、上的动点，且，点在上，当，时，的最小值是 ． 23．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，正方形的边长为，点、分别在、上，且，与相交于点，连接，则的最小值为 ． 24．（2023·江苏南通·二模）如图，在边长为的正方形中，点为边的中点，点为边上的动点，以为一边在的右上方作等边三角形，当最小时，的周长为 ． 25．（2024·陕西商洛·一模）如图，正方形的边长为，点在线段上，以为边构造正方形，使点在的延长线上，连接，取的中点，连接．当点在边上运动不含，时，的最小值为 ． 26．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在边长为1的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且，连接，交于点G． （1）连接，则线段的最小值是 ； （2）取的中点H，连接，则线段的最小值是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$