第1章 【模型构建专题】 正方形中常见的图形结构-【木牍中考•课时A计划】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（北师大版）

该初中数学单元复习课件系统梳理了正方形中的十字架结构和半角结构两大核心模型，通过结构展示图呈现图形特征，提炼核心结论，再以感知探究应用三级例题串联知识点，帮助学生构建完整的几何模型知识体系。 其亮点在于采用模型构建专题形式，如十字架结构从基础证明到面积计算，半角结构结合旋转全等解决线段关系问题，培养学生的几何直观和推理意识。分层设计的例题与中考真题融入，让不同水平学生提升模型应用能力，教师可直接用于分层教学，提高复习针对性。

BS 数 学 9年级 上册 题目好 分册好 服务好 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的图形结构 1 2 3 4 5 【模型构建专题】　 正方形中常见的图形结构 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的图形结构 1 2 3 4 5 类型1　正方形中的十字架结构 (1)　　　 (2)　 　(3) 结论：若EF⊥HG，则EF＝HG； 若EF＝HG，则EF⊥HG． 1 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的图形结构 1 2 3 4 5 1．已知正方形花园ABCD． (1)如图1，E，F是花园的两个门(门的宽度忽略不计)，且DE＝CF，要修建两条路BE和AF，请问这两条路的长度相等吗?说明理由． 图 1　 　图2　 解：(1)这两条路的长度相等．理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠D＝90°． ∵DE＝CF，∴AE＝DF， ∴易证△BAE≌△ADF，∴AF＝BE． 故这两条路的长度相等． 1 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的图形结构 1 2 3 4 5 (2)如图2，在花园四边各开一个门E，F，G，H(门的宽度忽略不计)，并修建两条路EG和FH，使得EG⊥FH，问这 两条路的长度相等吗?说明理由． (2)这两条路的长度相等．理由如下： 如图，作EM⊥BC于点M，交HF于点P， 作HN⊥CD于点N，交EM于点Q，EG，HN交于点O． 由题意得四边形AHND、四边形EMCD、四边形EQND都是矩形，∴HN＝AD，EM＝CD，∠EQO＝90°．∴HN＝EM． 由EG⊥FH，易得∠PHO＝∠QEO．∵∠EMG＝∠HNF＝90°，∴△EMG≌△HNF(ASA)，∴EG＝FH．故这两条路的长度相等． 图 1　 　图2　 1 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的图形结构 1 2 3 4 5 2．在正方形ABCD中，E是边CD上一点(不与点C，D重合)，连接BE． 【感知】如图1，过点A作AF⊥BE交BC于点F．易证△ABF≌△BCE．(不需要证明) 图1　　 　图2 　 　图3 2 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的图形结构 1 2 3 4 5 【探究】如图2，取BE的中点M，过点M作GF⊥BE交AD于点G，交BC于点F． (1)求证：BE＝GF； 图1　　 　图2 　 　 图3 解：【探究】(1)作AH⊥BE交BC于点H． 易证△ABH≌△BCE，∴AH＝BE． ∵四边形ABCD是正方形，∴AG∥HF． 又∵AH⊥BE，GF⊥BE，∴AH∥GF， ∴四边形AGFH是平行四边形，∴AH＝GF，∴BE＝GF． 2 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的图形结构 1 2 3 4 5 图1　　 　图2 　 　图3 (2)连接CM，若CM＝1，则FG的长为　 　． 　2　 2 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的图形结构 1 2 3 4 5 图1　　 　图2 　 　图3 【应用】如图3，取BE的中点M，连接CM．过点C作CG⊥BE交AD于点G，连接EG，MG．若CM＝3，求四边形GMCE的面积． 【应用】易证△BCE≌△CDG，∴CG＝BE＝2CM＝6． 又∵ME＝BE＝3，且BE⊥CG， ∴S四边形GMCE＝ME·CG＝×3×6＝9． 2 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的图形结构 1 2 3 4 5 类型2　正方形中的半角结构 (将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG) 结论：①△AEF≌△AEG；②EF＝BE＋DF；③△CEF的周长为2AB． 3 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的图形结构 1 2 3 4 5 3．[2023·重庆中考A卷]如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°．若∠BAE＝α，则∠FEC一定等于( ) A．2α B．90°－2α C．45°－α D．90°－α A 3 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的图形结构 1 2 3 4 5 证明：(1)将△DAF绕点A顺时针旋转90°，得到△BAG． 由旋转的性质得∠ABG＝∠D＝90°，∠G＝∠AFD，∠GAF＝∠BAD＝90°，AG＝AF． ∵∠ABC＋∠ABG＝180°，∴点C，B，G共线． ∵∠EAF＝45°，∴∠EAG＝∠GAF－∠EAF＝45°，∴△AEF≌△AEG，∴∠AFE＝∠G， ∴∠AFE＝∠AFD，即FA是∠DFE的平分线． 4．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边BC，CD上两点，∠EAF＝45°． (1)求证：FA是∠DFE的平分线； 4 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的图形结构 1 2 3 4 5 (2)求证：EF＝DF＋BE． (2)由(1)知DF＝BG，△AEF≌△AEG， ∴EF＝EG． ∵EG＝BG＋BE，∴EF＝DF＋BE． 4 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的图形结构 1 2 3 4 5 5．如图，在正方形ABCD中，点E，F在对角线AC上，AC＝12．若∠FBE＝45°，CF＝4，求EF的长． 解：将△BCF绕着点B逆时针旋转90°得到△BAG，连接EG，如图． 由旋转的性质知∠GBF＝∠ABC＝90°，∠GAB＝∠FCB＝45°，BG＝BF，AG＝CF＝4， ∴∠GAE＝∠GAB＋∠BAC＝45°＋45°＝90°． ∵∠GBF＝90°，∠FBE＝45°，∴∠GBE＝∠GBF－∠FBE＝45°， 易证△GBE≌△FBE，∴GE＝EF． 设EF＝GE＝x，则AE＝8－x， 在Rt△AGE中，42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，∴EF＝5． 5 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的图形结构 1 2 3 4 5 $$