专题01 比例线段、三角形一边的平行线 综合测试-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）

专题01 比例线段、三角形一边的平行线 综合测试 一、单选题 1．下列线段中，能成比例的是（    ） A．3cm、6cm、8cm、9cm B．3cm、5cm、6cm、9cm C．3cm、6cm、7cm、9cm D．3cm、6cm、9cm、18cm 2．如图，在中，点分别在边的反向延长线上，且．若，，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D． 3．已知，那么下列等式中不一定正确的是（      ） A． B． C． D． 4．已知在中，点、分别在边、上，那么下列条件中不能够判断的是（  ） A． B． C． D． 5．如果点是线段的黄金分割点且，那么下列结论错误的为（   ） A． B．是和的比例中项 C． D． 6．如图，梯形ABCD中，，如果，那么的值是（        ） A． B． C． D． 二、填空题 7．已知，那么 ． 8．已知，在一张比例尺为的地图上，测得、两地的距离为4厘米，则、两地的实际距离为 ． 9．如图，已知中，点在上，点在上，，，，则 ． 10．已知线段厘米，厘米，如果线段是线段和的比例中项，那么 厘米． 11．已知点P是线段上黄金分割点，且，如果，那么 ． 12．已知：，则 ． 13．如图，已知，若，，则 .    14．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，则重心的坐标是 ． 15．如图，在中，，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 16．如图，在△ABC中，点G为ABC的重心，过点G作DE∥AC分别交边AB、BC于点D、E，过点D作DF∥BC交AC于点F，如果DF＝4，那么BE的长为 ．    17．黄金分割在数学中有非常广泛的应用，已知顶角为的等腰三角形成为黄金三角形，它的底与腰之比为，如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分），已知，则的长为 ． 18．如图，将正方形沿着，将，翻折，使，两点恰好落在点，过点作，交于点．若，则 ．    三、解答题 19．已知：线段，且． (1)求的值； (2)如果线段，满足，求的值． 20．如图，已知直线，直线和被、、所截．若，，． (1)求、的长； (2)如果，，求的长． 21．如图，已知△ABC中，点E、F分别在△ABC的边AB、AC上，EF∥BC，AE＝2BE，S△ABC＝1，求S△CEF的值． 22．已知点C在线段AB上，且满足． (1)若AB=1，求AC的长； (2)若AC比BC大2，求AB的长． 23．如图，已知点A、C、E和点B、F、D分别是∠O两边上的点，且，，、交于点M，、交于点N． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点．    (1)求直线的函数表达式及点B的坐标； (2)过点A的直线分别与x轴、反比例函数的图象交于点M，N．且，连接，求的面积． 25．梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC和BD相交于点O，G1和G2分别为三角形AOB和三角形COD的重心． （1）求证：G1G2//AD； （2）延长AG1交BC于点P，当P为BC的黄金分割点时，求的值． 26．如图1，梯形ABCD中，，，，，，点P是AD延长线上一点，F为DC的中点，连接BP，交线段DF于点G． (1)当时，求DP的长． (2)如图2，点E为BP中点，连接EF． ①若设，，求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围． ②连接DE和PF，若，求DP长. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 比例线段、三角形一边的平行线 综合测试 一、单选题 1．下列线段中，能成比例的是（    ） A．3cm、6cm、8cm、9cm B．3cm、5cm、6cm、9cm C．3cm、6cm、7cm、9cm D．3cm、6cm、9cm、18cm 【答案】D 【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案． 【解析】A.，故此选项不符合题意； B.，故此选项不符合题意； C.，故此选项不符合题意； D.，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一． 2．如图，在中，点分别在边的反向延长线上，且．若，，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求解． 【解析】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握相关定理是解本题的关键． 3．已知，那么下列等式中不一定正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据比例的性质分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【解析】、∵，∴，等式成立，此选项不符合题意； 、∵，∴， ∴，原等式不成立，此选项符合题意； 、∵，∴，等式成立，此选项不符合题意； 、∵，∴，等式成立，此选项不符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了比例的性质，解题的关键是掌握内项之积等于外项之积、合比性质和等比性质． 4．已知在中，点、分别在边、上，那么下列条件中不能够判断的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，对各选项进行判断即可． 【解析】解：A、∴，， ∴， ∴， 故选项不符合题意， B、∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选项不符合题意， C、∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选项不符合题意， D、，但不是对应边的夹角，不能判定，故选项符合题意， 故选：． 5．如果点是线段的黄金分割点且，那么下列结论错误的为（   ） A． B．是和的比例中项 C． D． 【答案】C 【分析】根据黄金分割的概念进行判断即可． 【解析】解：点是线段的黄金分割点且， 是和的比例中项，， ， 故选项A、、不符合题意，选项C符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查的是黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 6．如图，梯形ABCD中，，如果，那么的值是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据与等高，得出，，根据平行线分线段成比例定理得出． 【解析】解：∵与等高， ∴， ∵， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据求出，是解题的关键． 二、填空题 7．已知，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，表示出y是解题的关键．先用x表示出y，再代入比例式进行计算即可得解． 【解析】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8．已知，在一张比例尺为的地图上，测得、两地的距离为4厘米，则、两地的实际距离为 ． 【答案】/20千米 【分析】本题考查了比例线段，能够根据比例尺的定义正确地列出比例式是解题的关键，注意单位之间的转换．根据比例尺图上距离：实际距离，列比例式即可求得实际距离． 【解析】解：设、两地间的实际距离为，由题意，得： ， 解得． ， 即、两地的实际距离为． 故答案为：． 9．如图，已知中，点在上，点在上，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理得到，于是得到答案． 【解析】解：， ， ， ， 故答案为：． 10．已知线段厘米，厘米，如果线段是线段和的比例中项，那么 厘米． 【答案】 【分析】本题考查了比例线段，根据比例中项的定义得到，然后利用比例性质计算即可，解题的关键是理解四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段，当时，线段是线段和的比例中项． 【解析】∵线段是线段和的比例中项， ∴， 即， ∴， 故答案为： ． 11．已知点P是线段上黄金分割点，且，如果，那么 ． 【答案】/ 【分析】根据黄金分割点的定义：把一条线段分割为两部分，使其中较大部分与全长之比等于另一部分与这部分之比．可以得到，设 ，则有，解出即可得到答案． 【解析】解： ，设，则 解得： 或（舍去） 故答案为： ． 【点睛】本题考查黄金分割的概念，熟练掌握其定义是解题的关键． 12．已知：，则 ． 【答案】 【分析】根据题意得，，，即可得． 【解析】解：∵， ∴，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质． 13．如图，已知，若，，则 .    【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理求解． 【解析】解：， ， ， ， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理是关键． 14．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，则重心的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的重心的概念和性质、坐标与图形性质等知识点，根据三角形的重心的概念作出重心，根据重心的性质得到，然后根据平行线分线段成比例定理计算即可．掌握重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键． 【解析】解：∵， ∴点O是的中点， 如图：连接，作中线交于G，则点G是的重心， ∴， 如图：作于E，于F，则， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴△ABC重心的坐标是， 故答案为． 15．如图，在中，，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例的性质，即可解答． 【解析】 ， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，解题关键是熟练运用这个性质得到线段的比例关系． 16．如图，在△ABC中，点G为ABC的重心，过点G作DE∥AC分别交边AB、BC于点D、E，过点D作DF∥BC交AC于点F，如果DF＝4，那么BE的长为 ．    【答案】8 【分析】连接BG并延长交AC于H，根据重心的性质可得2，根据平行四边形的定义,可证四边形DECF是平行四边形，然后根据平行四边形的性质可得CE＝DF＝4，利用平行线分线段成比例定理列出比例式,即可求出BE. 【解析】解：连接BG并延长交AC于H，    ∵G为ABC的重心， ∴2， ∵DE∥AC，DF∥BC， ∴四边形DECF是平行四边形， ∴CE＝DF＝4， ∵GE∥CH， ∴2， ∴BE＝8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了三角形重心的性质，平行四边形的判定及性质,平行线分线段成比例定理，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键． 17．黄金分割在数学中有非常广泛的应用，已知顶角为的等腰三角形成为黄金三角形，它的底与腰之比为，如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分），已知，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】先根据多边形内角和定理与正多边形的性质得出为黄金三角形，再根据黄金三角形的底与腰之比求出，即可得出结果．本题考查了黄金三角形、正五边形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识；熟练掌握正五边形的性质得出为黄金三角形是解题的关键． 【解析】解：∵如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分）， ∴设 ∵黄金三角形的底与腰之比为， ∴在中， 即， 解得， 即， 五边形是正五边形， ，正五边形内角和， ， ∴， ， 则， ， 则， ∴为黄金三角形， 黄金三角形的底与腰之比为， 即， ∴， 故答案为：． 18．如图，将正方形沿着，将，翻折，使，两点恰好落在点，过点作，交于点．若，则 ．    【答案】 【分析】设正方形的边长为2，则，，由折叠的性质可得，，，结合证明为等腰三角形，进而可得；设，则，，，在中，由勾股定理可得，代入数值解得，则有，，；由平行线分线段成比例定理可得，代入数值可解得，进而确定，的值，结合，由即可获得答案． 【解析】解：设正方形的边长为2，则， ∴， 由折叠的性质可得，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，，， 在中，由勾股定理可得， ， 解得， ∴，，， ∵， ∴，即， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理、正方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，利用相似三角形的性质解得的值是解题关键． 三、解答题 19．已知：线段，且． (1)求的值； (2)如果线段，满足，求的值． 【答案】(1) (2)15 【分析】（1）根据比例的性质得出，即可得出的值； （2）首先设，则，，，利用求出的值即可得出答案． 【解析】（1）解：， ， ； （2）设， 则，，， ， ， ， ，，． 【点睛】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出，，进而得出的值是解题关键． 20．如图，已知直线，直线和被、、所截．若，，． (1)求、的长； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据平行线间线段成比例即可求出答案； （2）如图，先将平移经过A点，把线段分成和两部分求解即可． 【解析】（1）∵直线， ∴， ∵，，， ∴， ∴． ∴长为，长为． （2）如图，将直线向左平移到直线交于H点，交于G点， ∵，，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴, ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查平行线间线段成比例定理，熟练掌握线段中的比例关系是解题关键． 21．如图，已知△ABC中，点E、F分别在△ABC的边AB、AC上，EF∥BC，AE＝2BE，S△ABC＝1，求S△CEF的值． 【答案】 【分析】根据AE＝2BE，S△ABC＝1，便可计算S△AEC的面积，根据平行线分线段成比例定理，可得的比值，最后便可求解． 【解析】解：∵AE＝2BE，S△ABC＝1， ∴S△AEC＝， ∵EFBC， ∴， ∴， 即S△CEF的值为． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例，以及三角形面积的求法（当高相同时，三角形的面积等于底之比），属于基础题． 22．已知点C在线段AB上，且满足． (1)若AB=1，求AC的长； (2)若AC比BC大2，求AB的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据已知可得点C是线段AB的黄金分割点，从而可得AC=AB，然后进行计算即可解答； （2）根据已知可设AC=x,则BC=x-2，从而可得AB=2x-2，然后根据，可得，从而进行计算即可解答． 【解析】（1）∵点C在线段AB上，且满足， ∴点C是线段AB的黄金分割点， ∴AC=AB=， ∴AC的长为； （2）∵AC比BC大2， ∴设AC=x,则BC=x-2， ∴AB=AC+BC=2x-2， ∵， ∴， 解得：（舍去）， ∴AB=2x-2=， ∴AB的长为． 【点睛】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 23．如图，已知点A、C、E和点B、F、D分别是∠O两边上的点，且，，、交于点M，、交于点N． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理，由得到，由得到，所以，即＝，于是可判断； （2）先利用得到＝，则可设，再由得到，，所以，接着由得到，于是可设，则，然后证明四边形为平行四边形得到，最后利用得到，求出a从而得到的长． 【解析】（1）证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴， 即， ∴， 即， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， 即， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线分线段成比例定理．平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点．    (1)求直线的函数表达式及点B的坐标； (2)过点A的直线分别与x轴、反比例函数的图象交于点M，N．且，连接，求的面积． 【答案】(1)直线的函数表达式为， (2) 【分析】本题主要考查了函数图象上点的坐标的特征，反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，平行线分线段成比例等知识． （1）将代入直线与反比例函数，可得答案； （2）过点A作轴于P，过点N作于Q，根据平行线分线段成比例得，可得，从而得出直线的解析式为，，再计算即可； 【解析】（1）解：将代入反比例函数得，， ， 将点代入得，， 直线的函数表达式为， 联立直线与反比例函数得， ， 解得，（舍）， 点的坐标为； （2）解：过点作轴于，过点作于Q，    设与轴交于， ， ， ， ， ， ， 设线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 令，则， ，. 直线的函数表达式为， 令，则， ， 25．梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC和BD相交于点O，G1和G2分别为三角形AOB和三角形COD的重心． （1）求证：G1G2//AD； （2）延长AG1交BC于点P，当P为BC的黄金分割点时，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）连接、并延长交AO、OD于点E、F，连接EF．易得EF为的中位线，故EF//AD，根据重心的性质可得，即//，即可得证； （2）根据点P为黄金分割点，可得，再根据中位线的性质即可求解． 【解析】（1）连接、并延长交AO、OD于点E、F，连接EF． 因为、为三角形AOB和三角形COD的重心， 所以点E、F为AO、DO的中点， 所以EF为的中位线， 所以EF//AD， 又因为， 所以//， 所以//． （2） 因为点P为黄金分割点， 所以， 又因为RQ是中位线， 所以RQ//BC，， 因为AD//PQ， 所以， 所以． 【点睛】本题考查重心的定义和性质、三角形中位线的性质、黄金分割，掌握重心的性质是解题的关键． 26．如图1，梯形ABCD中，，，，，，点P是AD延长线上一点，F为DC的中点，连接BP，交线段DF于点G． (1)当时，求DP的长． (2)如图2，点E为BP中点，连接EF． ①若设，，求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围． ②连接DE和PF，若，求DP长. 【答案】(1)2 (2)①；②或4． 【分析】（1）设，勾股定理求得，根据已知等式建立方程，解方程求解即可； （2）①连接DE并延长交BC于点M，过D作于点H，证明，勾股定理求得，，，，代入化简整理即可求得函数解析式； ②当时，四边形DEFP为平行四边形，当时，四边形DEFP为等腰梯形，过E作于点Q，，由，，根据平行线分线段成比例可得,则，解方程求解即可． 【解析】（1）设， ∵在直角三角形ABP中，，，， ∴. ∵. ∴， 解得：， ∴DP=2； （2）①连接DE并延长交BC于点M， ∵F为DC的中点，， ∴， ∴， ∵， 在和中， ∴， ∴， 过D作于点H，则， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴. ②∵，， 当时，四边形DEFP为平行四边形． ∴， ∴. 当时，四边形DEFP为等腰梯形， 过E作于点Q，. ∵，， ∴， ∴. ∴， 解得：. ∴PD的长为或4. 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，平行线分线段成比例，掌握以上知识是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 24 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 $$