专题21.2 根的判别式与含参问题（压轴题专项讲练）-2024-2025学年九年级数学上册压轴题专项讲练系列（人教版）

专题21.2 根的判别式与含参问题 · 思想方法 分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则： 1. 不重（互斥性）不漏（完备性）； 2. 按同一标准划分（同一性）； 3. 逐级分类（逐级性）。 · 知识点总结 一、一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根； ②当时，原方程有两个相等的实数根； ③当时，原方程没有实数根. · 典例分析 【典例1】若关于的方程恰有三个根，则的值为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【思路点拨】 先化简绝对值方程为两个一元二次方程①和②，再分三种情况讨论：（1）方程①有两个不相等的实根，方程②有等根；（2）方程②有两个不相等的实根，方程①有等根；（3）两个方程均有两个不相等的实根，且两个方程恰有一个相同的根．针对每种情况分别利用根的判别式列出方程或不等式求解并验证，即可得到答案． 【解题过程】 解：， 或， 整理得①或②， 设方程①的判别式为，方程②的判别式为， 若原方程恰有三个根，则有三种可能： （1）， ， ， 此时，， 或， 解得，或， 满足题意的t的值是； （2）， ， ， 当时，， 或， 解得，或， ， ， 但，不满足题意，舍去； （3），且两方程恰有一个相同的根， ， ， 设相同的根为， 则， 解得，， 当时，， 解得或或，符合题意； 当时，， 解得或或， 但此时，三个解均不合题意，舍去； 综上所述，的值为或． 故选B． · 学霸必刷 1．（2024九年级·全国·竞赛）已知关于的方程有且只有一个根（相同的两个根视为一个根），则的值为（    ） A． B． C． D．或 2．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）对于一元二次方程，下列说法正确的（　　） ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③ 3．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（　　） ①方程是倍根方程；②是倍根方程，则；③若p，q满足，则关于x的方程是倍根方程；④若方程是倍根方程，则必有． A．①②③ B．②③④ C．③④ D．②③ 4．（2024九年级·全国·竞赛）若关于的一元二次方程至少有一个整数根，且为正整数，则满足条件的共有 个． 5．（23-24九年级上·重庆北碚·期末）已知关于的方程的根都是整数，且满足等式，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 6．（23-24九年级上·重庆南川·期末）若关于x的一元二次方程有实数根，且关于y的分式方程的解是正数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 7．（23-24九年级上·重庆巴南·阶段练习）若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且关于x的方程有解，则满足条件的所有整数a的和为 ． 8．（23-24九年级上·山西大同·阶段练习）若关于的方程有三个解，则实数的值是 ． 9．（23-24九年级上·重庆潼南·阶段练习）如果一个三位数，十位数字等于百位数字与个位数字的平均数，我们称这个三位数为“勤劳数”．例如：630，123．最大的“勤劳数”是 若三位数是“勤劳数”，且各位数字之和大于7小于10，且百位数字a使得关于x的一元二次方程有实数根，则满足条件的所有“勤劳数”的和是 ． 10．（22-23九年级上·山东聊城·期末）当是什么整数时，关于的一元二次方程与的解都是整数？ 11．（22-23八年级上·浙江温州·阶段练习）已知关于的方程有四个不同的实数根，求的取值范围． 12．（2023九年级上·江苏·专题练习）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且为整数，求整数m所有可能的值． 13．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）定义：若是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． （1）判断：方程______“差积方程”（填“是”或“不是”）； （2）已知关于的方程， ①证明：不论取何值，方程总有实数根； ②若该方程是“差积方程”，求的值． 14．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）已知关于的一元二次方程：． （1）求证：这个方程总有两个实数根； （2）若等腰的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两个实数根，求的周长． 15．（22-23八年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与y轴交于点D． （1）若关于x的一元二次方程有两个相等实数根，求点B的坐标； （2）已知点，若直线与x轴交于点，，原点O到直线CD的距离为，求的面积． 16．（23-24九年级上·福建厦门·期中）定义：如果一元二次方程满足．那么我们称这个方程为“凤凰”方程． （1）已知是“凤凰”方程．且有两个相等的实数根．试求a与c的关系； （2）已知关于x的方程是“凤凰”方程，且两个实数根都是整数．求整数m的值． 17．（22-23八年级下·湖南·阶段练习）在平面直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“整根点”，若一元二次方程的两个实数根都是整数，我们就称这个一元二次方程为“整根方程”． （1）求函数的图象上所有“整根点”的坐标； （2）若一元二次方程为“整根方程”，求整数k的值； （3）若一元二次方程有两个不相等的实数根且为“整根方程”，求k的值． 18．（23-24八年级上·上海静安·期中）阅读材料：若关于x的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任意一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． （1）“快乐方程”的“快乐数”为 ； （2）若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”； （3）若关于x的一元二次方程与（m、n均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求n的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21.2 根的判别式与含参问题 · 思想方法 分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则： 1. 不重（互斥性）不漏（完备性）； 2. 按同一标准划分（同一性）； 3. 逐级分类（逐级性）。 · 知识点总结 一、一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根； ②当时，原方程有两个相等的实数根； ③当时，原方程没有实数根. · 典例分析 【典例1】若关于的方程恰有三个根，则的值为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【思路点拨】 先化简绝对值方程为两个一元二次方程①和②，再分三种情况讨论：（1）方程①有两个不相等的实根，方程②有等根；（2）方程②有两个不相等的实根，方程①有等根；（3）两个方程均有两个不相等的实根，且两个方程恰有一个相同的根．针对每种情况分别利用根的判别式列出方程或不等式求解并验证，即可得到答案． 【解题过程】 解：， 或， 整理得①或②， 设方程①的判别式为，方程②的判别式为， 若原方程恰有三个根，则有三种可能： （1）， ， ， 此时，， 或， 解得，或， 满足题意的t的值是； （2）， ， ， 当时，， 或， 解得，或， ， ， 但，不满足题意，舍去； （3），且两方程恰有一个相同的根， ， ， 设相同的根为， 则， 解得，， 当时，， 解得或或，符合题意； 当时，， 解得或或， 但此时，三个解均不合题意，舍去； 综上所述，的值为或． 故选B． · 学霸必刷 1．（2024九年级·全国·竞赛）已知关于的方程有且只有一个根（相同的两个根视为一个根），则的值为（    ） A． B． C． D．或 【思路点拨】 本题考查了一元二次方程根的判别式及一元一次方程的解，根据一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根，解一元一次一次方程即可得出结果． 【解题过程】 解：当时，原方程为：， 解得：，此时有且只有一个根； 当时，原方程为：，即为一元二次方程， 一元二次方程有且只有一个根， ， ，即， ， 综上，或时，关于的方程有且只有一个根， 故选：D． 2．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）对于一元二次方程，下列说法正确的（　　） ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③ 【思路点拨】 本题主要考查一元二次方程的实数根与判别式的关系，以及根的定义和等式性质，牢固掌握相应关系并灵活应用是解题关键． 根据一元二次方程实数根与判别式的关系，其中有两个实数根、有两个不相等的实数根、无解，以及求根公式和等式的性质逐个排除即可． 【解题过程】 解：①若，则是原方程的解，即方程至少有一个根，由一元二次方程的实数根与判别式的关系与判别式的关系可知：，故①正确； ②∵方程有两个不相等的实根， ∴， ∴， 又∵方程的判别式为， ∴方程有两个不相等的实数根， 故②正确； ③∵c是方程的一个根， ∴， ∴， ∴或， 即有两种可能性，故③错误； ④若是一元二次方程的根， 则根据求根公式的： 或， ∴或， ∴， 故④正确， 正确的为：①②④． 故选：B． 3．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（　　） ①方程是倍根方程；②是倍根方程，则；③若p，q满足，则关于x的方程是倍根方程；④若方程是倍根方程，则必有． A．①②③ B．②③④ C．③④ D．②③ 【思路点拨】 ①求出方程的解，再判断是否为倍根方程；②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，而m、n之间的关系正好适合；③当p，q满足，则，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程；④用求根公式求出两个根，当，或时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可． 【解题过程】 解：①解方程 ， ∴或， 解得，，，得，， 方程不是倍根方程； 故①不正确； ②若是倍根方程，， 因此或， 当时，， 当时，， ， 故②正确； ③∵，则：， ，， ， 因此是倍根方程， 故③正确； ④方程的根为：，， 若，则， 即， ， ， ， ， ． 若时，则，， 则， ， ， ， ， ． 故④正确， 正确的有：②③④． 故选：B． 4．（2024九年级·全国·竞赛）若关于的一元二次方程至少有一个整数根，且为正整数，则满足条件的共有 个． 【思路点拨】 若一元二次方程至少有一个整数根，则根的判别式，建立关于a的不等式，求出根的判别式和a的取值范围．还要注意二次项系数不为0．再根据根的判别式是完全平方数进行求解即可．本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系是解本题的关键． 【解题过程】 解：∵关于x的一元二次方程有整数根， ∴且， 解得且， ∴方程的根为， 根据根与系数的关系可得，，且为正整数， ∴， ∵为完全平方数且为正整数， ∴或或， 解得或6或13， 即满足条件的共有3个， 故答案为：3． 5．（23-24九年级上·重庆北碚·期末）已知关于的方程的根都是整数，且满足等式，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【思路点拨】 本题考查了分类思想，二次根式有意义的条件，整数解的意义，分类计算求解，结合有意义的条件，计算确定m的值，后求和即可． 【解题过程】 解：∵， ∴， 解得； ∵ m是整数， 故， 当时，即，方程变形为， 解得，是整数解，符合题意， 故； 当时，∵， ∴， 解得，， ∵ 方程的根都是整数，， ∴， 综上所述，符合题意的m值为， ∴， 故答案为：． 6．（23-24九年级上·重庆南川·期末）若关于x的一元二次方程有实数根，且关于y的分式方程的解是正数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 【思路点拨】 本题主要考查了解分式方程、一元二次方程根的判别式，先用a表示方程的解，根据解是正数，且，确定a的值，再根据一元二次方程有实数根，确定a的范围，求得整数解计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【解题过程】 解：∵， 去分母，得 ， 去括号，移项、合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ， ∵分式方程的解是正数，且， ∴且 解得且， ∵方程有实数根， ∴， 解得， ∴且， ∵a是整数， ∴或或或或， ∴符合条件的所有整数a的和为， 故答案为：． 7．（23-24九年级上·重庆巴南·阶段练习）若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且关于x的方程有解，则满足条件的所有整数a的和为 ． 【思路点拨】 本题主要考查解一元一次不等式组和一元二次方程根的判别式，解不等式组得出每个不等式的解集，根据不等式组整数解的个数得出，由方程有实数根分和两种情况讨论，然后利用根的判别式求出，继而可得在符合条件的整数和． 【解题过程】 解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解为 ∵关于x的不等式组有且仅有4个整数解， ∴ 解得； ∵关于x的方程有解， ∴当时，即， 方程为，方程有解，符合题意； 当时，即，方程为一元二次方程 ∴ 整理得 解得 综上所述，a的取值范围为 ∴满足条件的所有整数a有2，3，4 ∴． ∴满足条件的所有整数a的和为9． 故答案为：9． 8．（23-24九年级上·山西大同·阶段练习）若关于的方程有三个解，则实数的值是 ． 【思路点拨】 当时，方程，此时方程只有两个不相等的实数根，不符合题意；当时，原方程可化为：或，分别表示出两个方程的，再分两种情况：当有两个解，有一个解时；当有一个解，有两个解时，分别进行计算即可得到答案． 【解题过程】 解：当时，方程为， 此时，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； 当时，原方程可化为：或， 当时，整理得：， 此时， 当时，整理得：， 此时， 关于的方程有三个解， 当有两个解，有一个解时， 得， 解得：， 当有一个解，有两个解时， 得， 解得：， ， 不符合题意， ， 若关于的方程有三个解，则实数的值是9， 故答案为：9． 9．（23-24九年级上·重庆潼南·阶段练习）如果一个三位数，十位数字等于百位数字与个位数字的平均数，我们称这个三位数为“勤劳数”．例如：630，123．最大的“勤劳数”是 若三位数是“勤劳数”，且各位数字之和大于7小于10，且百位数字a使得关于x的一元二次方程有实数根，则满足条件的所有“勤劳数”的和是 ． 【思路点拨】 根据一元二次判别式得，再由各位数字之和大于7小于10，，可得（舍）或，分情况讨论a的取值，从而求得满足条件的所有“勤劳数”即可求解． 【解题过程】 解：十位数字的最大数为9，则， ∴最大的“勤劳数”是999， ∵百位数字a使得关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得， ∵各位数字之和大于7小于10， ∴或， 又∵， ∴（舍）或,   若，则，，该数为432， 若，则，，该数为531， 若，则，，该数为630， ∴， 故答案为：1593． 10．（22-23九年级上·山东聊城·期末）当是什么整数时，关于的一元二次方程与的解都是整数？ 【思路点拨】 本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系、解一元二次方程、解一元一次不等式，根据根的判别式确定的范围是解答本题的关键． 根据题意，得到，且两个方程判别式，由此得到，根据是整数，得到，，分别计算两种情况下，两个方程解的情况，得到当时，关于的一元二次方程与的解都是整数，由此得到答案． 【解题过程】 解：根据题意得： 方程与是关于的一元二次方程，且都有解， ，， ， ， 解得：； ， ， 即，解得：， ， 是整数， ，（舍去），， 当时， 两个方程分别为：，， 其中的解为，不是整数， ， 当时， 两个方程分别为： ， 此方程的解为：， 。 此方程的解为：，， 两个方程的解都是整数， 当时，关于的一元二次方程与的解都是整数． 11．（22-23八年级上·浙江温州·阶段练习）已知关于的方程有四个不同的实数根，求的取值范围． 【思路点拨】 先分析当时和时，方程的根的情况，排除不符合条件的情况；再用换元法，令，将原方程转化为关于y的方程，根据题意原方程有4个不同的实数根则关于y的方程必须有两个不同的实数根，根据根的判别式，求出k的取值范围，再将y的值代入关于x的方程，根据根的判别式即可进行解答． 【解题过程】 解：①当时，原方程为： ， 解得：， 只有两个实数根，不符合题意； ②当时，， 令，则原方程为：， 两边同时乘以y得：， 整理得：，即 ∵原方程有4个不同是实数根， ∴关于y的方程有两个不同的实数根， ∴ ∴， 解关于y的方程得： ， ，， ∵， ∴， 当时，， 整理得：， ∵方程有两个不同的实数根， ∴， 解得：； 当时，， 整理得：， ∵方程有两个不同的实数根， ∴， 解得：； 综上：k的取值范围为或或． 12．（2023九年级上·江苏·专题练习）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且为整数，求整数m所有可能的值． 【思路点拨】 本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程等知识． （1）计算一元二次方程根的判别式，即可得到无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）利用公式法求出方程的解为或，根据得到，把变形为，根据为整数， m为整数即可得到或，即可求出m的值． 【解题过程】 （1）证明：∵， ∴， ∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）解：， ∵， ∴方程都有两个不相等的实数根， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∴， ∵为整数， ∴也为整数， ∵m为整数， ∴或， ∴整数m所有可能的值为，，，． 13．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）定义：若是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． （1）判断：方程______“差积方程”（填“是”或“不是”）； （2）已知关于的方程， ①证明：不论取何值，方程总有实数根； ②若该方程是“差积方程”，求的值． 【思路点拨】 本题考查了新定义运算，解一元二次方程，根的判别式，理解新定义是解题的关键． （1）分别根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可求解； （2）①利用一元二次方程根的判别式列式计算即可求解； ②先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴， 解得：， ∵， ∴方程不是差积方程； 故答案为：不是； （2）解：①∵， ∴， ∴关于的方程不论取何值，方程总有实数根； ②∵， ∴， 解得：， ∵是差积方程， ∴， 即或． 解得： 或． 14．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）已知关于的一元二次方程：． （1）求证：这个方程总有两个实数根； （2）若等腰的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两个实数根，求的周长． 【思路点拨】 本题主要考查了解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、等腰三角形的定义等， （1）运用根的判别式、平方数的非负性进行判断求证即可； （2）根据等腰三角形的定义，分类讨论，①当时，即方程两根相等；②当或者时，即是原方程的一个根；分析计算求出的三边长，计算得出的周长即可； 熟练掌握解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键． 【解题过程】 （1）解：在关于的一元二次方程中，，，， ∴ ， ∵ ∴无论取何值，这个方程总有两个实数根； （2）解：∵等腰的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两个实数根， ①当时，即方程两根相等， ∴， 解得：， ∴方程可化为：， 解得：， ∴， ∴三边为长分别为，，， ∵， ∴不符合三角形三边关系，不能构成三角形，故舍去； ②当或者时，即是原方程的一个根， 把代入得：， 解得：， ∴原方程可化为：， 解得：或， 即的两腰长为，底边长为， ∴的周长． 15．（22-23八年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与y轴交于点D． （1）若关于x的一元二次方程有两个相等实数根，求点B的坐标； （2）已知点，若直线与x轴交于点，，原点O到直线CD的距离为，求的面积． 【思路点拨】 （1）根据方程有两个相等实数根得出，求出k，m，进而求出一次函数解析式，即可求出点B的坐标； （2）将，分别代入后，可求，结合，求出，，然后根据等面积法可求出，然后根据面积公式即可求解． 【解题过程】 （1）解：关于x的一元二次方程， 整理得， ∵方程有两个相等实数根， ∴， ∴，， ∴，， ∴一次函数为， ∵点B的纵坐标为， ∴点B的横坐标为2， ∴点B的坐标为 （2）解：将，分别代入，得 ， 化简得， 又， ∴，， ∴，， 又， ∴，，，， 又原点O到直线CD的距离为， ∴， ∴， ∴． 16．（23-24九年级上·福建厦门·期中）定义：如果一元二次方程满足．那么我们称这个方程为“凤凰”方程． （1）已知是“凤凰”方程．且有两个相等的实数根．试求a与c的关系； （2）已知关于x的方程是“凤凰”方程，且两个实数根都是整数．求整数m的值． 【思路点拨】 本题考查了根的判别式，公式法解一元二次方程，正确理解“凤凰”方程的定义是解题的关键． （1）根据有两个相等的实数根得到，根据是“凤凰”方程得到，则，代入整理得，即可得到结论； （2）根据“凤凰”方程的定义列式求出，然后求出，可得，，再根据两个实数根都是整数可得整数m的值． 【解题过程】 （1）解：∵有两个相等的实数根， ∴， ∵是“凤凰”方程． ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 即； （2）解：方程整理得：， ∵此方程是“凤凰”方程， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵两个实数根都是整数， ∴或， ∴或或或， ∴整数m的值为0或2或4或6． 17．（22-23八年级下·湖南·阶段练习）在平面直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“整根点”，若一元二次方程的两个实数根都是整数，我们就称这个一元二次方程为“整根方程”． （1）求函数的图象上所有“整根点”的坐标； （2）若一元二次方程为“整根方程”，求整数k的值； （3）若一元二次方程有两个不相等的实数根且为“整根方程”，求k的值． 【思路点拨】 （1）由x是整数，当时，是一个无理数，可得，从而可得答案； （2）先利用根的判别式得到，结合题意可得，或1，2，3，4，再利用求根公式进行分析判断即可； （3）把原方程化为，可得，，则，整理，可得，即，结合、都是整数，或，再分情况求解即可． 【解题过程】 （1）解：∵x是整数，当时，是一个无理数， ∴时，不是整数， ∴，， 即函数的图象上的“整根点”的只有1个，坐标为． （2）∵有实数根， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∵为整数， ∴或1，2，3，4， ∵原方程有两个整数根， ∴为整数， 而也为整数， ∴当时，，符合题意， 当，或2，或3时不是整数，不符合题意； 当时，，，符合题意； 综上：或． （3）∵， 则， ∴或 ∴，， ∴， 整理，可得， ∴， ∵、都是整数， ∴或， ∴或， ①当时， ∴， ∴； ②当时， ∴， ∴此时方程无解； 综上，可得． 18．（23-24八年级上·上海静安·期中）阅读材料：若关于x的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任意一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． （1）“快乐方程”的“快乐数”为 ； （2）若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”； （3）若关于x的一元二次方程与（m、n均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求n的值． 【思路点拨】 本题考查一元二次方程根的判别式以及“快乐方程”的定义，读懂题目中“快乐方程”， “快乐数”的定义是解题的关键． （1）根据“快乐数”的定义即可求出“快乐方程”的“快乐数”； （2）先计算，根据“快乐方程”的定义，得到为完全平方数，根据，得到，即可求出或36，根据m为整数，即可求出m的值，即可求其“快乐数”； （3）关于x的一元二次方程是“快乐方程”，即可求出m的值， 求出方程的“快乐数”，根据“开心数”的定义即可求出n的值． 【解题过程】 （1）解：方程：的“快乐数， 故答案为：； （2）解：方程， ∴， ∵， ∴， 又方程是“快乐方程”， ∴或36， ∴，（舍去）， ∴方程为：， 则， 故其“快乐数”数是； （3）解：， ∴， 设， 则， 又与同奇偶， ∴或或或 解得或， ∴方程为：或； ， ∴， ， 当时， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴， 解得：或， 当时，， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴， 解得， 综上，n的值为0或3或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$