21.2 解一元二次方程（十大题型）2025-2026学年人教版数学九年级上册

21.2 解一元二次方程 题型一 解一元二次方程——直接开平方法 1．方程 的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程， 方程是完全平方形式，根据平方的性质直接求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：A． 2．若一元二次方程的两个根分别是与，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了代数式求值，解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成的形式，那么可得；先把方程化成的形式，那么，利用直接开平方法得到，得到方程的两个根互为相反数，所以，解得，则方程的两个根分别是与，则有． 【详解】解：∵， ∴ ， 解得， ∴两根互为相反数， ∵一元二次方程的两个根分别是与， ∴， 解得， ∴一元二次方程的两个根分别是和， ∴， 故答案为：． 3．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了根据立方根和平方根解方程，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ， 或 ， 或． （2）解：， ， ， ． 题型二 解一元二次方程——配方法 4．一元二次方程可配方成的形式．则的值为（  ） A． B． C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．通过配方法将一元二次方程化为完全平方形式，比较得出m和n的值，再求它们的和，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵一元二次方程可配方成的形式， ∴， ∴ ， 故选：C． 5．解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为 ． 【答案】2026 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，从而确定参数a和b的值，再计算它们的和可得答案． 【详解】解： ， ∴， ∴， 故答案为：． 6．阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：移项得，① 两边同除以2得，② 配方得，③ 即， 或④ ，⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤______（填序号），错误的原因是______； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)③    等式两边没有同时加4 (2)见解析 【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程： （1）步骤③中，等式两边没有同时加4； （2）按照配方法解一元二次方程的步骤求解即可． 【详解】（1）解：上述解题过程有误，错在步骤 ③ （填序号），错误的原因是等式两边没有同时加4； （2）移项，得， 两边同除以2，得， 配方，得，即， 或， ，． 题型三 配方法的应用 7．用配方法将方程转化为的形式，则的值为（） A．2028 B． C．2024 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是关键． 先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此求出、的值即可得到答案． 【详解】解：∵方程， ∴移项得， 配方得，即， 与比较，得，， ∴， 故选：B． 8．材料阅读：∵，由，得；∴代数式的最小值是4．仿照上述方法求代数式的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查配方法的应用．理解题意，并掌握配方法是解题关键． 仿照上述方法将所求式子变形为，从而即得出，即代数式的最小值为． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为． 故答案为：． 9．利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式．例如：． 根据上述过程，解答下列问题： (1)将多项式变形为的形式，并判断与0的大小关系． (2)图①中矩形的长和宽分别是，，面积为；图②中矩形的长和宽分别是，，面积为．请比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)．理由见解析 【分析】本题考查了配方法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题干的解题过程进行模仿，得，再分析，得出，即可作答． （2）先整理得，，故，再分析，则，即可作答． 【详解】（1）解： ， ， ∴， 则； （2）解：，理由如下： 由题意，得， 则， ， ∵， ， 即， 则． 题型四 根据判别式判断一元二次方程根的情况 10．一元二次方程的根的情况是（） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：D． 11．方程无实数根，则点位于第 象限． 【答案】四 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，点的坐标所在的象限．分类讨论，由方程无实数根的条件，通过判别式求得m的取值范围，再根据点P的坐标符号判断其所在象限，即可． 【详解】解：当时，即时， 方程为， 有实数根，不符合题意， 故； 当时，方程化为一般形式：， ∵方程无实数根， ∴， 解得， ∴，， ∴点位于第四象限． 故答案为：四 12．已知关于x的一元二次方程，求证：不论m取何值，该方程都有实数根． 【答案】证明见详解 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，通过计算判别式并证明其始终非负是解题的关键． 首先通过计算判别式，再证明其始终非负从而得出方程总有实数根． 【详解】证明：∵， 又∵恒成立， ∴， ∴不论m取何值，方程都有实数根． 题型五 根据一元二次方程根的情况求参数 13．若关于x的一元二次方程有实数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根的条件，列出关于的一元一次不等式是解题的关键．根据能用直接开平方法解一元二次方程的特征即可解决问题． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴． 故选：C． 14．关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】方程有两个实数根，则判别式且被开方数，列不等式组并求解即可． 本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的情况，二次根式的定义，熟练掌握一元二次方程有两个实数根时判别式是解题的关键． 【详解】解：由条件得， 解得． 故答案为：． 15．已知关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围； (2)若k 为符合条件的最小正整数，求该方程的根． 【答案】(1)且 (2)， 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）根据一元二次方程根与判别式的关系，根据判别式大于零列出不等式求解即可； （2）根据k 的取值范围和k 为正整数确定的值，代入方程后求解方程的根． 【详解】（1）解：判别式且， 解得且； （2）解：根据题意得，k为最小正整数， 则， 方程为 解得，． 题型六 公式法解一元二次方程 16．用公式法解一元二次方程时，的值为（） A．8 B．12 C．16 D．24 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程判别式的计算，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 直接用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵方程为标准形式， ∴， ∴． 故选A． 17．已知代数式：与的值互为相反数，则整数x的值为 【答案】 【分析】本题考查相反数的意义，解一元二次方程，根据相反数的定义，两个代数式的和为零，列出方程并化简为一元二次方程，利用求根公式求解，并筛选整数解． 【详解】解：∵与的值互为相反数， ∴， 化简得 ， 解得，， 所以，整数的值为． 故答案为：． 题型七 因式分解法解一元二次方程 18．一元二次方程的一个根为，则另一个根为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 通过因式分解方程即可求解另一个根． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴ ， ∴ 另一个根为． 故选：C 19．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】题目主要考查利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握是解题关键． （1）根据因式分解法求解即可； （2）根据因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， 解得． （2）解： ， ， ， 解得． 题型八 换元法解一元二次方程 20．已知一元二次方程的两根分别为、1，则方程的两根分别为（    ）． A．、1 B．、3 C．、 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，设在方程中，，根据题意可得关于t的一元二次方程的两根分别为、1，则或，据此求解即可． 【详解】解：设在方程中，， ∴方程可整理为，即变形为关于的方程， ∵关于x的一元二次方程的两根分别为、1， ∴关于t的一元二次方程的两根分别为、1， ∴或， 解得或， ∴方程的两根分别为、3， 故选：B． 21．若实数满足，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查解一元二次方程，代数式求值，掌握换元思想，因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 通过换元法，设 ，将原方程转化为关于 的二次方程，求解后根据实数 的条件排除无效解即可． 【详解】设 ， ∵原方程为， ∴原方程可化为 ， 即 ， 因式分解得 ， ∴ 或 ， ∵ ，且 ，此时方程无实数解， ∴舍去， 综上， ． 故答案为：． 22．阅读下面的材料： 换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化． 如：解方程，可将方程变形为，设，则，原方程化为，解得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得，∴原方程的解为，． 利用以上学习到的方法解决下列问题： (1)解方程：； (2)已知实数x、y满足；求的值． 【答案】(1)，． (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，换元法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，模仿题干解题方法，进行计算，即可作答． （2）先整理得，则，再得，解得，，再逐个分析检验，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 设，则， 原方程化为， ∴， 解得，．当时，无意义，舍去； 当时，，解得， ∴原方程的解为，． （2）解：依题意，， 设， 原方程化为， ∴， ∴， 解得，． 当时，， ∴， 当时，， ∴无意义，舍去； 综上：． 题型九 解分式方程（化为一元二次） 23．用换元法解方程时，若设，则可得到整式方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程（化为一元二次），解题关键是掌握解分式方程解法． 通过换元法，设，将原分式方程转化为关于y的整式方程． 【详解】解：∵设， ∴， 原方程化为，即， 两边乘以y得， 移项得． ∴整式方程为， 故选：A． 24．解分式方程时，可以将它化为一元二次方程，那么这个一元二次方程的一般式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解分式方程，首先将分式方程中的分母因式分解，然后找到公分母合并分式，接着利用等式的性质去分母，得到整式方程，最后整理成一元二次方程的一般形式． 【详解】解：， ， 去分母得： 移项、合并得：， 故答案为：． 25．阅读材料：为了解方程，我们可将看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过计算，该方程的解为，，然后分别解方程，，得原方程的解为，，，．我们通常把以上这种解决问题的方法叫做换元法，即把问题中的某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），它能将复杂的问题转化成简单的问题． 根据以上材料，解决下列问题： (1)方程的解为：________； (2)解方程：； (3)若实数满足，求的值． 【答案】(1)，，，； (2)，； (3)，． 【分析】本题考查了利用换元法解一元二次方程，分式方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）设，则原方程可化为，然后解得，，从而求出原方程的解； （）令，则原方程化为，解得，，再把的值代入解方程并检验即可； （）原式变形为，令，则原方程化为，解得，，再把的值代入解方程并检验即可． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， ∴，， ∴，， ∴，，，， 故答案为：，，，； （2）解：令， 则原方程化为， ∴，， 当时，， ∴，； 当时，无解， ∴原方程的解为，； （3）解：原式变形为， 令， 则原方程化为， ∴，， 当时，，无解， 当时，， ∴，， 经检验：，是原方程的解， ∴原方程的解为，． 题型十 一元二次方程的根与系数的关系 26．设，是一元二次方程的两个根，则的值是（　　） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程的两根之和为；利用一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之和即可． 【详解】解：∵方程中，，， ∴． 故选：D． 27．已知，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程中根与系数的关系，掌握两根与系数的关系公式是解题的关键． 根据根与系数的关系，求出和，然后将所求表达式转化为含和的形式，代入计算即可． 【详解】解：在方程中， ，，， 由根与系数的关系，得，， 则， 代入得， 故答案为：． 28．已知关于x的一元二次方程（为常数） (1)求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个实数根为，且满足，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式与根与系数的关系，熟练掌握根的判别式判断根的情况、利用根与系数的关系转化根的关系是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式公式，计算并分析其取值，从而证明方程根的情况； （2）结合根与系数的关系表示出根的和与积，将已知条件展开后代入，通过解方程求出m的值． 【详解】（1）证明：，，， ， ， ， 无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：由，得，， ， ， ， 解得：，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.2 解一元二次方程 题型一 解一元二次方程——直接开平方法 1．方程 的根是（   ） A． B． C． D． 2．若一元二次方程的两个根分别是与，则 ． 3．解方程： (1)； (2)． 题型二 解一元二次方程——配方法 4．一元二次方程可配方成的形式．则的值为（  ） A． B． C．5 D． 5．解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为 ． 6．阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：移项得，① 两边同除以2得，② 配方得，③ 即， 或④ ，⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤______（填序号），错误的原因是______； (2)请你写出正确的解答过程． 题型三 配方法的应用 7．用配方法将方程转化为的形式，则的值为（） A．2028 B． C．2024 D． 8．材料阅读：∵，由，得；∴代数式的最小值是4．仿照上述方法求代数式的最小值为 ． 9．利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式．例如：． 根据上述过程，解答下列问题： (1)将多项式变形为的形式，并判断与0的大小关系． (2)图①中矩形的长和宽分别是，，面积为；图②中矩形的长和宽分别是，，面积为．请比较与的大小，并说明理由． 题型四 根据判别式判断一元二次方程根的情况 10．一元二次方程的根的情况是（） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 11．方程无实数根，则点位于第 象限． 12．已知关于x的一元二次方程，求证：不论m取何值，该方程都有实数根． 题型五 根据一元二次方程根的情况求参数 13．若关于x的一元二次方程有实数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 14．关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是 ． 15．已知关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围； (2)若k 为符合条件的最小正整数，求该方程的根． 题型六 公式法解一元二次方程 16．用公式法解一元二次方程时，的值为（） A．8 B．12 C．16 D．24 17．已知代数式：与的值互为相反数，则整数x的值为 题型七 因式分解法解一元二次方程 18．一元二次方程的一个根为，则另一个根为（   ） A． B． C． D． 19．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 题型八 换元法解一元二次方程 20．已知一元二次方程的两根分别为、1，则方程的两根分别为（    ）． A．、1 B．、3 C．、 D．无法确定 21．若实数满足，则的值为 ． 22．阅读下面的材料： 换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化． 如：解方程，可将方程变形为，设，则，原方程化为，解得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得，∴原方程的解为，． 利用以上学习到的方法解决下列问题： (1)解方程：； (2)已知实数x、y满足；求的值． 题型九 解分式方程（化为一元二次） 23．用换元法解方程时，若设，则可得到整式方程是（   ） A． B． C． D． 24．解分式方程时，可以将它化为一元二次方程，那么这个一元二次方程的一般式是 ． 25．阅读材料：为了解方程，我们可将看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过计算，该方程的解为，，然后分别解方程，，得原方程的解为，，，．我们通常把以上这种解决问题的方法叫做换元法，即把问题中的某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），它能将复杂的问题转化成简单的问题． 根据以上材料，解决下列问题： (1)方程的解为：________； (2)解方程：； (3)若实数满足，求的值． 题型十 一元二次方程的根与系数的关系 26．设，是一元二次方程的两个根，则的值是（　　） A．3 B． C．4 D． 27．已知，是方程的两个实数根，则的值为 ． 28．已知关于x的一元二次方程（为常数） (1)求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个实数根为，且满足，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $