专题21.1 解一元二次方程（压轴题专项讲练）-2024-2025学年九年级数学上册压轴题专项讲练系列（人教版）

专题21.1 解一元二次方程 · 思想方法 换元法：是数学中的重要方法之一，它往往和消元的思想联系在一起。换元的实质就是“转化”的数学思想，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换。换元的基本方法有：整体换元、局部换元、均值换元、三角换元等。换元法的一般步骤为：设元（或构造元）、换元、求解、回代和检验等。 · 知识点总结 一、直接开平方法解一元二次方程 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法. 直接降次解一元二次方程的步骤：①将方程化为或的形式； ②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解. 二、配方法解一元二次方程 将一元二次方程配成的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 三、公式法解一元二次方程 当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，把各项系数的值直接代入这个公式，这种解 一元二次方程的方法叫做公式法. 四、因式分解法概念 当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. · 典例分析 【典例1】阅读材料，并解答问题：数学运算中有一种非常重要的思想—“换元法”．它的本质是将一个冗长的、前后具有相同形式的式子用一个字母来代替，将其化为我们所熟悉的形式．例如：为解方程，我们将看成一个整体，然后设，则原方程化为，∴，解得，．当时，，∴；当时，，∴．综上所述：，，，． 请利用以上方法解下面方程： （1）； （2）； （3）． 【思路点拨】 （1）设，则，解得，根据，得出，求解即可； （2）设，则，解得：，分别求解当时，和当时，方程的解即可； （3）设，则，求解，分别求解当时和当时方程 的解即可． 【解题过程】 （1）解：， 设， ， ， 或， 解得：， ∵， ∴， ∴， 解得：． （2）解：， 设， ， ， 或， 解得：， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 综上：． （3）解：， 设， ， ， ， 或， ， 经检验，，是方程的解， 当时，， 解得：， 经检验，是方程的解； 当时，， 解得：， 经检验，是方程的解； 综上：． · 学霸必刷 1．（2023上·山东菏泽·九年级校考阶段练习）解方程： （1）（用配方法） （2）（用因式分解法） （3）（公式法） 2．（2023上·四川成都·九年级华西中学校联考期中）用适当的方法解方程： （1） （2） （3） （4） 3．（2023上·辽宁鞍山·九年级校联考阶段练习）按要求解方程． （1）（因式分解法） （2）（公式法） 4．（2023上·湖南衡阳·九年级阶段练习）解方程 （1）； （3）． 5．（2023上·黑龙江绥化·九年级校考期中）解方程 （1） （2） （3） （4） 6．（2023上·甘肃天水·九年级校考阶段练习）运用适当的方法解方程 （1）； （2）； （3）； （4） 7．（2023上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）用适当方法解下列方程 （1） （2） （3） （4） （5） （6）． 8．（2023下·八年级课时练习）解方程． 9．（2023下·湖南长沙·八年级校联考竞赛）解方程组：． 10．（2023上·全国·九年级专题练习）解下列方程： （1）； （2）． 11．（2024·全国·九年级竞赛）解方程． 12．（2023上·湖北宜昌·八年级校考期末）解方程． 13．（2023下·江苏扬州·八年级校考阶段练习）解方程： （1）． （2）． 14．（2023上·上海青浦·八年级校考期末）解方程： （1）； （2）； （3） 15．（2023下·安徽六安·八年级校考阶段练习）根据要求解答下列问题 （1）①方程的解为 ； ②方程的解为 ； ③方程的解为 ； （2）根据以上方程特征及解的特征猜想：方程的解为 ，并用配方法解方程进行验证； （3）根据以上探究得出一般结论：关于的方程的解为 ． 16．（2023上·山西运城·九年级统考期中）读材料：各类方程的解法 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式．求解二元一次方程组，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解．各类方程的解法不尽相同，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解． （1）问题：方程的解是， ， ； （2）拓展：用“转化”思想求方程的解． 17．（2023上·江苏扬州·九年级校考期末）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得；∴原方程的解为，； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． 利用以上学习到的方法解下列方程： （1）； （2）． 18．（2023上·江苏·九年级统考期中）阅读理解以下内容，解决问题： 解方程：． 解：， 方程即为：， 设，原方程转化为： 解得，，， 当时，即，，； 当时，即，不成立． 综上所述，原方程的解是，． 以上解方程的过程中，将其中作为一个整体设成一个新未知数，从而将原方程化为关于的一元二次方程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）． （1）已知方程：，若设，则利用“换元法”可将原方程化为关于的方程是______； （2）仿照上述方法，解方程：． 19．（2024·全国·八年级竞赛）阅读下列材料：在解一元二次方程时，可通过因式分解，将一元二次方程转换为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程得到原方程的两个解．例如：，将方程左边因式分解得：，则或，解得．根据以上材料，解答下列问题： （1）解方程：； （2）解方程：． 20．（2023上·甘肃天水·九年级校联考阶段练习）阅读下列材料：方程：是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为， 解这个方程得：，． 当时，，∴；当时，，∴ 所以原方程有四个根：，，，． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． （1）利用换元法解方程得到方程的解为______． （2）若，求的值． （3）利用换元法解方程：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21.1 解一元二次方程 · 思想方法 换元法：是数学中的重要方法之一，它往往和消元的思想联系在一起。换元的实质就是“转化”的数学思想，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换。换元的基本方法有：整体换元、局部换元、均值换元、三角换元等。换元法的一般步骤为：设元（或构造元）、换元、求解、回代和检验等。 · 知识点总结 一、直接开平方法解一元二次方程 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法. 直接降次解一元二次方程的步骤：①将方程化为或的形式； ②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解. 二、配方法解一元二次方程 将一元二次方程配成的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 三、公式法解一元二次方程 当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，把各项系数的值直接代入这个公式，这种解 一元二次方程的方法叫做公式法. 四、因式分解法概念 当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. · 典例分析 【典例1】阅读材料，并解答问题：数学运算中有一种非常重要的思想—“换元法”．它的本质是将一个冗长的、前后具有相同形式的式子用一个字母来代替，将其化为我们所熟悉的形式．例如：为解方程，我们将看成一个整体，然后设，则原方程化为，∴，解得，．当时，，∴；当时，，∴．综上所述：，，，． 请利用以上方法解下面方程： （1）； （2）； （3）． 【思路点拨】 （1）设，则，解得，根据，得出，求解即可； （2）设，则，解得：，分别求解当时，和当时，方程的解即可； （3）设，则，求解，分别求解当时和当时方程 的解即可． 【解题过程】 （1）解：， 设， ， ， 或， 解得：， ∵， ∴， ∴， 解得：． （2）解：， 设， ， ， 或， 解得：， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 综上：． （3）解：， 设， ， ， ， 或， ， 经检验，，是方程的解， 当时，， 解得：， 经检验，是方程的解； 当时，， 解得：， 经检验，是方程的解； 综上：． · 学霸必刷 1．（2023上·山东菏泽·九年级校考阶段练习）解方程： （1）（用配方法） （2）（用因式分解法） （3）（公式法） 【思路点拨】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可得； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可得； （3）利用公式法解一元二次方程即可得． 【解题过程】 （1）解：， ， ， ，即， ， ， ． （2）解：， ， ，即， 或， ． （3）解：方程中的， 所以方程根的判别式为， 所以方程的解为， 即． 2．（2023上·四川成都·九年级华西中学校联考期中）用适当的方法解方程： （1） （2） （3） （4） 【思路点拨】 本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤． （1）用直接开平方法求解即可； （2）用公式法求解即可； （3）用因式分解法求解即可； （4）用因式分解法求解即可． 【解题过程】 （1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ∴， ∴， 解得：； （3）解：， ， ， ， ； （4）解：， ， ， ， ， ． 3．（2023上·辽宁鞍山·九年级校联考阶段练习）按要求解方程． （1）（因式分解法） （2）（公式法） 【思路点拨】 本题主要考查解一元二次方程的方法，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用平方差公式先因式分解，移项，之后提取公因式，利用因式分解法求解即可求得答案； （2）利用公式法求解即可求得答案． 【解题过程】 （1）解： 或 解得或； （2）解： ，，， ，． 4．（2023上·湖南衡阳·九年级阶段练习）解方程 （1）； （3）． 【思路点拨】 本题考查解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解决问题的关键． （1）方程整理为，运用因式分解法解一元二次方程即可； （2）方程整理为，利用配方法解一元二次方程即可． 【解题过程】 （1）解：∵，即， ∴，即， ∴或， ∴，； （2）解：∵，即， ∴， ∴，即， ∴，． 5．（2023上·黑龙江绥化·九年级校考期中）解方程 （1） （2） （3） （4） 【思路点拨】 （1）利用公式法解一元二次方程即可得； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可得； （3）利用换元法和因式分解法解一元二次方程即可得； （4）利用因式分解法解一元二次方程即可得． 【解题过程】 （1）解：方程中的， 则方程根的判别式为， 所以方程的解为，． （2）解：， ， ， ， 或， 或， 所以方程的解为，． （3）解：， 设，则， ， ， 或， 或， 或， 或， 所以方程的解为，． （4）解：， ， ， ， ， 或， 所以方程的解为，． 6．（2023上·甘肃天水·九年级校考阶段练习）运用适当的方法解方程 （1）； （2）； （3）； （4） 【思路点拨】 （1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可； （3）利用配方法解方程即可； （4）利用换元法解方程即可； 【解题过程】 （1）解： 或， 解得：，； （2）解： ， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：，； （3） 或， 解得：，； （4） 解：设，则原方程为：， , 解得，， 当时，，解得： 当时，，解得： ∴，． 7．（2023上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）用适当方法解下列方程 （1） （2） （3） （4） （5） （6）． 【思路点拨】 （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可； （3）先移项，然后提取公因式，再利用因式分解法求解即可； （4）利用公式法求解即可； （5）先移项，然后利用平方差公式进行因式分解求解即可； （6）令，则原方程可化为，求出的值，进而可得出的值． 【解题过程】 （1） 或 ，； （2） 或 ，； （3） 或 ， ； （4） ∵，，， ∴， ∴， ∴，； （5） 或 ，； （6） 令，则原方程可化为 或 ， 则， 解得，． 8．（2023下·八年级课时练习）解方程． 【思路点拨】 把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得，然后设，解得y的值，最后解得x的值． 【解题过程】 解：把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得 （x2+5x-14）（x2+5x+4）=19． 设，① 则（y-9）（y+9）=19， 即y2-81=19． 解得，将y1、y2的值代入①式得， 或， 解得． 9．（2023下·湖南长沙·八年级校联考竞赛）解方程组：． 【思路点拨】 利用代入消元法先求出一个未知数的值，再依次求其他未知数的值即可． 【解题过程】 解：把代入得： 把代入得： 去分母得： 整理得： 解得 当时，， 当时，，， ∴方程组的解为：或． 10．（2023上·全国·九年级专题练习）解下列方程： （1）； （2）． 【思路点拨】 （1）利用换元法，先设，然后根据解一元二次方程的方法，可以得到a的值，然后即可得到该方程的解； （2）利用换元法，先设，然后根据解一元二次方程的方法，可以得到a的值，然后即可得到该方程的解 【解题过程】 （1）解： 设 则 或 解得， ∴或 ∴或 解得，x1＝，x2＝，x3＝，x4＝； （2）解： 设， 则 ， 或， 解得，， 或， 或， 解得，． 11．（2024·全国·九年级竞赛）解方程． 【思路点拨】 本题考查了解含有二次根式的方程即无理方程；运用换元法解方程是本题的最大特点；根据方程的特点，令，转化为解分式方程，求得y的值，最后即可求解． 【解题过程】 解：令，则，， 原方程化为：， 整理得：， 解得：； 经检验得，是方程的解； 当时，即， 平方并整理得：， 解得：； 显然两个解均满足方程； 当时，即， 平方并整理得：， 由于， ∴一元二次方程无解， 因而也无解； 综上，原方程的解为：. 12．（2023上·湖北宜昌·八年级校考期末）解方程． 【思路点拨】 将化为，设，则原方程可化为，解得，，即：或，分别求解即可得到结果． 【解题过程】 解：∵， ∴ ∴ 设，则原方程可化为， 化简得： ∴ ∴，， 即：或 解之得：，，或，， 经检验，，，，都是原方程得解， 则原方程得解为：，，，． 13．（2023下·江苏扬州·八年级校考阶段练习）解方程： （1）． （2）． 【思路点拨】 本题主要考查了解分式方程，解一元二次方程： （1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【解题过程】 （1）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解； （2）解： 或 解得． 14．（2023上·上海青浦·八年级校考期末）解方程： （1）； （2）； （3） 【思路点拨】 （1）移项后两边平方得出，求出，再方程两边平方得出，求出，再进行检验即可； （2）观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解； （3）令，则，代入原方程，得，所以，，然后分两种情况分别解方程即可． 【解题过程】 （1） 解：移项得，， 两边平方得，， 合并同类项得，， ∴， 两边平方得，， 整理得，， ∴， 解得：，， 经检验，，不是原方程的解， ∴原方程的解为：． （2） 解：方程两边同时乘以得， 整理得，， 解得，， ∴，， 经检验，，时，， ∴原方程的根为：，． （3） 解： 令，代入原方程得，， ∴， 解得：，， 当时，，即： ， ∴，解得：，， 当时，，即： ， ∴，解得：，， 经检验都为原方程的解 ∴原方程的解为：，，，． 15．（2023下·安徽六安·八年级校考阶段练习）根据要求解答下列问题 （1）①方程的解为 ； ②方程的解为 ； ③方程的解为 ； （2）根据以上方程特征及解的特征猜想：方程的解为 ，并用配方法解方程进行验证； （3）根据以上探究得出一般结论：关于的方程的解为 ． 【思路点拨】 （1）利用因式分解法解各方程即可； （2）利用配方法解方程可判断猜想结论的正确； （3）根据前面发现的规律即可完成此问． 【解题过程】 （1）解：①， ， 解得， 即方程的解为； ②， ， 解得， 即方程的解为； ③， ， 解得， 即方程的解为， 故答案为：①； ②； ③； （2）解：， ， ， ； 故答案为：； （3）解：， ， ． 故答案为：． 16．（2023上·山西运城·九年级统考期中）读材料：各类方程的解法 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式．求解二元一次方程组，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解．各类方程的解法不尽相同，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解． （1）问题：方程的解是， ， ； （2）拓展：用“转化”思想求方程的解． 【思路点拨】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）利用因式分解法解方程即可得； （2）方程两边平方可得，利用因式分解法可得方程的解，再代入检验即可得． 【解题过程】 （1）解：由题意可知，解方程和，可得方程的解， ， ， 或， 或， 即， 故答案为：，1． （2）解：， 方程两边平方，得，即， ， 或， 或， 经检验，当时，左边右边，则是原方程的解， 当时，左边右边，则不是原方程的解， 所以方程的解为． 17．（2023上·江苏扬州·九年级校考期末）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得；∴原方程的解为，； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． 利用以上学习到的方法解下列方程： （1）； （2）． 【思路点拨】 （1）根据阅读材料利用换元法降次，令，即原方程=，求解即可． （2）同理，令，即原方程=，求解即可． 【解题过程】 （1）设， 得：， 解得：，． 当时，，解得：， 当时，，解得：，． ∴原方程的解为，，，． （2）设，则方程可变成， ∴， ，． 当时，，所以无解． 当时，， ∴， ∴，． 经检验，是原方程的解． 18．（2023上·江苏·九年级统考期中）阅读理解以下内容，解决问题： 解方程：． 解：， 方程即为：， 设，原方程转化为： 解得，，， 当时，即，，； 当时，即，不成立． 综上所述，原方程的解是，． 以上解方程的过程中，将其中作为一个整体设成一个新未知数，从而将原方程化为关于的一元二次方程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）． （1）已知方程：，若设，则利用“换元法”可将原方程化为关于的方程是______； （2）仿照上述方法，解方程：． 【思路点拨】 （1）根据完全平方公式由，得，再变形原方程便可； （2）设，则，得，再解一元二次方程，最后代入所设代数式解方程便可． 【解题过程】 （1）设， 则， 可化为：， 即， 故答案为：； （2）设，则， 原方程可化为：， 整理得， ， 或， 或， 当时，， 解得， 当时，无解， 检验，当时，左边右边， 是原方程的解， 故原方程的解为：． 19．（2024·全国·八年级竞赛）阅读下列材料：在解一元二次方程时，可通过因式分解，将一元二次方程转换为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程得到原方程的两个解．例如：，将方程左边因式分解得：，则或，解得．根据以上材料，解答下列问题： （1）解方程：； （2）解方程：． 【思路点拨】 （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）令，原方程化为：，利用因式分解法解方程得到，再解两个分式方程并检验即可得到答案． 此题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法和分式方程的解法是解题的关键． 【解题过程】 （1）解： 原方程化为：， 则或， 解得． （2） 令，原方程化为：， 即， 则， 解得， ①，整理得， 即， 则， 解得． ②，整理得， 即， 则， 解得． 综上，． 20．（2023上·甘肃天水·九年级校联考阶段练习）阅读下列材料：方程：是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为， 解这个方程得：，． 当时，，∴；当时，，∴ 所以原方程有四个根：，，，． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． （1）利用换元法解方程得到方程的解为______． （2）若，求的值． （3）利用换元法解方程：． 【思路点拨】 （1）设，代入得到，解得，，当时，，得到，此方程无解；当时，，得到，； （2）设，代入得到． 解得，，根据，得到； （3）设，则，代入得到，得到，解得，检验后得到，得到，得到，，检验后即得． 【解题过程】 （1）设，则， 于是原方程可变为， 解这个方程得：，， 当时，， 移项得：， ∵， ∴此方程无解， 当时，， 解得，； 故答案为：，； （2）设，则该方程变为． 解得：，． ∵ ∴，即 （3）设，则， 原方程变形为：， 去分母，得， 即 解得，．    经检验，是分式方程的根． ∴ 即 解得：，． 经检验，是分式方程的根．   ∴原分式方程的解为：，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$