专题21.3 根与系数的关系（压轴题专项讲练）-2024-2025学年九年级数学上册压轴题专项讲练系列（人教版）

专题21.3 根与系数的关系 · 思想方法 分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则： 1. 不重（互斥性）不漏（完备性）； 2. 按同一标准划分（同一性）； 3. 逐级分类（逐级性）。 · 知识点总结 一、一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是，那么，. 注意：它的使用条件为≠0， Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. · 典例分析 【典例1】已知：关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）若，求的值； （2）当取哪些整数时，，均为整数； （3）当取哪些有理数时，，均为整数． 【思路点拨】 （1）分两种情况：①若两根同号，②若两根异号；根据根与系数的关系结合根的判别式解答即可； （2）根据根与系数的关系可得若为整数，可得整数，然后结合两根之积、解方程分别验证即可； （3）显然，当时，符合题意；由两根之积可得k应该是整数的倒数，不妨设，则方程可变形为，即为，再结合整数的意义即可解答． 【解题过程】 解：（1）∵， ∴不论k为何值，关于的一元二次方程都有两个实数根，， ∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴， 分两种情况：①若两根同号，由可得：，或， 当时，则，解得； 当时，则，解得； ②若两根异号，由可得：， 即， ∴， 解得：， 综上，k的值为1或 ； （2）∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴， 若，均为整数， 则为整数， ∴整数， 当时，不是整数，故应该舍去； 当时，此时方程为，方程的两个根不是整数，故舍去； 当时，此时方程为，方程的两个根为，都是整数，符合题意； 综上，当取时，，均为整数； （3）显然，当时，符合题意； 当k为有理数时，由于为整数， ∴k应该是整数的倒数，不妨设 ，m为整数， 则方程即为， 配方得：， 即， 当即时，方程的两根为，都是整数，符合题意； 当时，不是完全平方数，故不存在其它整数m的值使上式成立； 综上，或． · 学霸必刷 1．（22-23九年级上·湖北襄阳·自主招生）设方程有两个根和，且，那么方程的较小根的范围为　　 A． B． C． D． 2．（22-23九年级下·安徽安庆·阶段练习）若方程的两个不相等的实数根满足，则实数p的所有值之和为（    ） A．0 B． C． D． 3．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）若关于的一元二次方程的两个根为，，且．下列说法正确的个数为（　　） ①；②，；③；④关于的一元二次方程的两个根为，． A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·浙江·自主招生）设a、b、c、d是4个两两不同的实数，若a、b是方程的解，c、d是方程的解，则的值为 ． 5．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）已知实数满足：．求的最小值 6．（22-23九年级上·四川成都·期末）将两个关于x的一元二次方程整理成（，a、h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x的一元二次方程（）与方程是“同源二次方程”，且方程（）有两个根为、，则b－2c＝ ，的最大值是 ． 7．（23-24九年级上·山东济南·期末）已知，，求． 8．（2024九年级·全国·竞赛）记一元二次方程的两根分别为． （1）求的值； （2）求的值． 9．（23-24九年级下·北京·开学考试）已知关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的倍，求的值． 10．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）若关于的一元二次方程． （1）若和分别是该方程的两个根，且，求的值； （2）当，，，，时，相应的一元二次方程的两个根分别记为、，、，，、，求的值． 11．（22-23九年级上·湖北武汉·期中）已知、是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根 （1）直接写出m的取值范围 （2）若满足，求m的值． （3）若，求证：； 12．（22-23九年级·浙江·自主招生）已知方程的两根是、． （1）求的值； （2）求的值； （3）求作一个新的一元二次方程，使其两根分别等于、的倒数的立方．（参考公式：． 13．（22-23九年级上·福建泉州·期末）已知关于的方程有实数根． （1）若方程的两根之和为整数，求的值； （2）若方程的根为有理根，求整数的值． 14．（22-23九年级下·浙江·自主招生）设为整数，关于的方程有两个整数实根． （1）求的值． （2）设的三边长满足．求的面积． 15．（22-23九年级上·湖南常德·期中）阅读材料： 材料1：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n， ∴，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则___________，___________． （2）类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． （3）思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值． 16．（23-24八年级上·北京海淀·期中）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． （1）已知多项式，则此多项式的零点为__________； （2）已知多项式有一个零点为1，求多项式B的另一个零点； （3）小聪继续研究，及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“2系多项式”．若多项式是“2系多项式”，求a与c的值． 17．（22-23九年级上·湖北黄石·期末）（1）是关于的一元二次方程的两实根，且，求的值． （2）已知：，是一元二次方程的两个实数根，设，，…，．根据根的定义，有，，将两式相加，得，于是，得． 根据以上信息，解答下列问题： ①直接写出，的值． ②经计算可得：，，，当时，请猜想，，之间满足的数量关系，并给出证明． 18．（23-24九年级上·福建宁德·期中）已知关于x的方程有两个实数根，其中． （1）若，求的值； （2）一次函数的图像上有两点，若，求m的值； （3）边长为整数的直角三角形，其中两直角边的长度恰好为和，求该直角三角形的面积． 19．（22-23九年级上·全国·单元测试）如果方程有两个实数根，，那么，，请根据以上结论，解决下列问题： （1）已知，是方程的二根，则 （2）已知、、满足，，求正数的最小值． （3）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知和是关于，的方程组的两个不相等的实数解．问：是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 20．（22-23九年级上·四川资阳·期末）定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： （1）判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由； （2）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且两根满足，求k的值； （3）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21.3 根与系数的关系 · 思想方法 分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则： 1. 不重（互斥性）不漏（完备性）； 2. 按同一标准划分（同一性）； 3. 逐级分类（逐级性）。 · 知识点总结 一、一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是，那么，. 注意：它的使用条件为≠0， Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. · 典例分析 【典例1】已知：关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）若，求的值； （2）当取哪些整数时，，均为整数； （3）当取哪些有理数时，，均为整数． 【思路点拨】 （1）分两种情况：①若两根同号，②若两根异号；根据根与系数的关系结合根的判别式解答即可； （2）根据根与系数的关系可得若为整数，可得整数，然后结合两根之积、解方程分别验证即可； （3）显然，当时，符合题意；由两根之积可得k应该是整数的倒数，不妨设，则方程可变形为，即为，再结合整数的意义即可解答． 【解题过程】 解：（1）∵， ∴不论k为何值，关于的一元二次方程都有两个实数根，， ∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴， 分两种情况：①若两根同号，由可得：，或， 当时，则，解得； 当时，则，解得； ②若两根异号，由可得：， 即， ∴， 解得：， 综上，k的值为1或 ； （2）∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴， 若，均为整数， 则为整数， ∴整数， 当时，不是整数，故应该舍去； 当时，此时方程为，方程的两个根不是整数，故舍去； 当时，此时方程为，方程的两个根为，都是整数，符合题意； 综上，当取时，，均为整数； （3）显然，当时，符合题意； 当k为有理数时，由于为整数， ∴k应该是整数的倒数，不妨设 ，m为整数， 则方程即为， 配方得：， 即， 当即时，方程的两根为，都是整数，符合题意； 当时，不是完全平方数，故不存在其它整数m的值使上式成立； 综上，或． · 学霸必刷 1．（22-23九年级上·湖北襄阳·自主招生）设方程有两个根和，且，那么方程的较小根的范围为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】 由根与系数的关系得出，，再设方程的为，，根据根与系数的关系得出，，从而得出方程的两根为，，然后由，求出，的取值范围，从而得出结论． 【解题过程】 解：方程有两个根和， ，， 设方程的两根为，， 则，， ，， ， 方程的两根为，， ，， ，， ，， ， 方程的较小根的范围为． 故选：D． 2．（22-23九年级下·安徽安庆·阶段练习）若方程的两个不相等的实数根满足，则实数p的所有值之和为（    ） A．0 B． C． D． 【思路点拨】 先根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到，，进而推出，则，，即可推出，然后代入，得到，再根据判别式求出符号题意的值即可得到答案． 【解题过程】 解：∵是方程的两个相等的实数根， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴不符合题意， ∴ ∴符合题意， 故选B． 3．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）若关于的一元二次方程的两个根为，，且．下列说法正确的个数为（　　） ①；②，；③；④关于的一元二次方程的两个根为，． A． B． C． D． 【思路点拨】 根据根与系数的关系得，利用消去得到，从而即可对①进行判断；由于，，利用有理数的性质可对②进行判断；根据根的判别式的意义得到，即，则可对③进行判断；利用把方程化为，由于方程可变形为，所以或，于是可对④进行判断． 【解题过程】 解：根据根与系数的关系得， ∵， ∴， ∴，所以①正确； ∵，， ∴，，所以②正确； ∵， ∴， 即， ∴，所以③错误； ∵， ∴方程化为， 即， ∵方程可变形为， ∴或， 解得，，所以④正确． 故选：． 4．（22-23九年级上·浙江·自主招生）设a、b、c、d是4个两两不同的实数，若a、b是方程的解，c、d是方程的解，则的值为 ． 【思路点拨】 由根与系数的关系得，的值，两式相加得的值，根据一元二次方程根的定义可得，代入可得，同理可得，两式相减即可得的值，进而可得的值． 【解题过程】 解：由根与系数的关系得，，两式相加得．     因为是方程的根，所以，又， 所以①             同理可得②             ①-②得． 因为，所以，所以． 故答案为． 5．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）已知实数满足：．求的最小值 【思路点拨】 用分类讨论的思想，解决问题即可． 【解题过程】 解：不妨设a是a，b，c中的最大者，即，，由题设知， 且，， 于是b，c是一元二次方程的两实根， ∴，即， 所以． 又当，时，满足题意． 故a，b，c中最大者的最小值为4． 因为，所以a，b，c为全大于0或一正二负． ①若a，b，c均大于0，a，b，c中的最大者不小于4，这与矛盾． ②若a，b，c为或一正二负， 不妨设，，，则， ∵， 故， 当，时，满足题设条件且使得不等式等号成立． 故的最小值为6． 故答案为：6． 6．（22-23九年级上·四川成都·期末）将两个关于x的一元二次方程整理成（，a、h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x的一元二次方程（）与方程是“同源二次方程”，且方程（）有两个根为、，则b－2c＝ ，的最大值是 ． 【思路点拨】 利用（）与方程是“同源二次方程”得出，，即可求出；利用一元二次方程根与系数的关系可得，，进而得出，设（），得，根据方程有正数解可知，求出t的取值范围即可求出的最大值． 【解题过程】 解：根据新的定义可知，方程（）可变形为， ∴， 展开，， 可得，， ∴； ∵，， ∴， ∵方程（）有两个根为、， ∴，且， ∴， 设（），得， ∵方程有正数解， ∴， 解得，即， ∴． 故答案为：4，-3． 7．（23-24九年级上·山东济南·期末）已知，，求． 【思路点拨】 本题主要考查了代数式求值、一元二次方程的根与系数的关系、因式分解的应用等知识点，综合应用所学知识成为解题的关键． 设，，等量代换后可得、， 则为的根，可解得，然后再对变形后将代入计算即可． 【解题过程】 解：设，， ，， 为的根， ， ∴       ． 8．（2024九年级·全国·竞赛）记一元二次方程的两根分别为． （1）求的值； （2）求的值． 【思路点拨】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解．在利用根与系数的关系，时，需要弄清楚、、的意义． （1）利用根与系数的关系求得求的值的值； （2）由一元二次方程的解可得再利用根与系数的关系求解即可． 【解题过程】 （1）， ； （2） 是一元二次方程的根， ， 又， ． 9．（23-24九年级下·北京·开学考试）已知关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的倍，求的值． 【思路点拨】 本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，对于一元二次方程，当判别式时方程有两个不相等的实数根，时方程有两个相等的实数根，时方程没有实数根，若方程的两个实数根为、，则，． （1）根据方程有两个不相等的实数根得出判别式，列出不等式即可得答案； （2）根据（1）中结果得出值，利用一元二次方程根与系数的关系列方程求出的值即可． 【解题过程】 （1）解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． （2）设方程的两个实数根为、，且， ∴，， 由（1）可知：， ∵为符合条件的最小整数， ∴， ∵该方程的较大根是较小根的倍， ∴， ∴，， ∴， 解得：，． 当时，，则，符合题意， 当时，，则，与不符，舍去， ∴． 10．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）若关于的一元二次方程． （1）若和分别是该方程的两个根，且，求的值； （2）当，，，，时，相应的一元二次方程的两个根分别记为、，、，，、，求的值． 【思路点拨】 （1）根据一元二次方程的根与系数的关系进行求解即可； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系可得：，进一步可寻找的规律，即可求解． 【解题过程】 （1）解：∵关于的一元二次方程，和分别是该方程的两个根， ∴ ∵， ∴ ∴或； （2）解：设方程的两个根为： 则， ∴ ∴，， …．． ∴ 11．（22-23九年级上·湖北武汉·期中）已知、是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根 （1）直接写出m的取值范围 （2）若满足，求m的值． （3）若，求证：； 【思路点拨】 （1）根据一元二次方程的两个不相等的实数根，得，即可列式作答； （2）结合一元二次方程根与系数的关系，得和，因为，所以，解得，，结合，即可作答； （3）因为，结合和，得，则，又因为，即可证明． 【解题过程】 （1）解：∵一元二次方程的两个不相等的实数根 ∴， 即； （2）解：∵，且， ∴ 整理得， 解得：， ∵由（1）知， ∴ 检验：当时，，即； （3）证明：因为， 把和代入上式， 得， ∵， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， 即． 12．（22-23九年级·浙江·自主招生）已知方程的两根是、． （1）求的值； （2）求的值； （3）求作一个新的一元二次方程，使其两根分别等于、的倒数的立方．（参考公式：． 【思路点拨】 （1）利用一元二次方程根与系数的关系可得，再求得的值，进而求得的值． （2）先根据二次根式的性质将化为，然后通分化简可得，最后将代入计算即可； （3）由题意可得新一元二次方程的两个根为和，然后求得和的值，然后根据一元二次方程根与系数的关系即可解答． 【解题过程】 （1）解：∵方程的两根是、 ∴ ∴ ∴； （2）解：由（1）可知：， ， ∴（负值舍去）； （3）解：由题意可得新一元二次方程的两个根为和 则 所以新的一元二次方程． 13．（22-23九年级上·福建泉州·期末）已知关于的方程有实数根． （1）若方程的两根之和为整数，求的值； （2）若方程的根为有理根，求整数的值． 【思路点拨】 （1）根据关于的方程有两个根，且为实数根，先利用一元二次方程的根的判别式确定的取值范围，再根据一元二次方程的根与系数的关系，可知，若方程的两根之和为整数，即为整数，即可确定的值； （2）分两种情况讨论：当时，此时关于的方程为，求解可得，符合题意；当时，对于关于的方程可有，若方程的根为有理根，且为整数，则为某一有理数的平方，据此分析即可获得答案． 【解题过程】 （1）解：∵关于的方程有两个根，且为实数根， ∴，且， 根据一元二次方程的根与系数的关系，可知， 若方程的两根之和为整数，即为整数， ∵， ∴是整数， ∴， 当时，，不符合题意； 当时，，，为整数，符合题意； ∴的值为； （2）当时，此时关于的方程为，解得； 当时，对于关于的方程的根为：， 若方程的根为有理根，且为整数， 则为完全平方数， 设（为正整数）， 则：， ∵为整数， 设（为正整数）， ∴， ∴或或或， 解得：或或（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去） ∴或； 当时，解得或（舍去）； 当时，解得或， 综上所述，若方程的根为有理根，则整数的值为0或10或或12． 14．（22-23九年级下·浙江·自主招生）设为整数，关于的方程有两个整数实根． （1）求的值． （2）设的三边长满足．求的面积． 【思路点拨】 （1）设原方程的两个解分别为，根据两个整数实根，则都是整数，进而分类讨论，即可求解； （2）由（1）得出的的值，然后代入将，进行化简，得出，的值．然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的，的值，用三角形的面积公式得出三角形的面积． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴或， ∵方程有两个实数根， ∴ 设原方程的两个解分别为 ∴都是整数， ∴ ，解得：（舍去） ，解得：（舍去） ，解得：（舍去） ，解得：或 ，解得：（舍去） ，解得：（舍去） 当时，不是整数，舍去 当时，符合题意， 综上所述，； （2）把代入两等式，化简得，， 当时，， 当时，、是方程的两根，而， 根据根与系数的关系可得，，，则、， ①，时，由于， 故为直角三角形，且，； ②，时，因， 故不能构成三角形，不合题意，舍去；； ③，时，因，故能构成三角形， ； 综上，的面积为或． 15．（22-23九年级上·湖南常德·期中）阅读材料： 材料1：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n， ∴，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则___________，___________． （2）类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． （3）思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值． 【思路点拨】 （1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出，，再根据，最后代入求值即可； （3）由题意可将s、t可以看作方程的两个根，即得出，，从而可求出，即或，最后分类讨论分别代入求值即可． 【解题过程】 （1）解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，． 故答案为：，； （2）∵一元二次方程的两根分别为m、n， ∴，， ∴ ； （3）∵实数s、t满足，， ∴s、t可以看作方程的两个根， ∴，， ∵ ∴或， 当时， ， 当时， ， 综上分析可知，的值为或． 16．（23-24八年级上·北京海淀·期中）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． （1）已知多项式，则此多项式的零点为__________； （2）已知多项式有一个零点为1，求多项式B的另一个零点； （3）小聪继续研究，及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“2系多项式”．若多项式是“2系多项式”，求a与c的值． 【思路点拨】 （1）根据多项式的零点的定义即可求解； （2）根据多项式的零点的定义将代入，求得，再解一元二次方程即可求解； （3）令，求得的一个零点为5，根据“2系多项式”的定义求得方程的两个根为，，再利用根与系数的关系即可求解． 【解题过程】 （1）解：令， ∴或， ∴或， 则此多项式的零点为或2； 故答案为：或2； （2）解：∵多项式有一个零点为1， ∴将代入，得， 解得， ∴， 令，解得， ∴多项式B的另一个零点为； （3）解：∵是“2系多项式”， 令，解得，即的一个零点为5， ∴设的另一个零点为y，则，解得， 即时，，则①， 令， 根据题意，方程的两个根为，， ∴，， ∴②，③， 解①②③得，， ∴，． 17．（22-23九年级上·湖北黄石·期末）（1）是关于的一元二次方程的两实根，且，求的值． （2）已知：，是一元二次方程的两个实数根，设，，…，．根据根的定义，有，，将两式相加，得，于是，得． 根据以上信息，解答下列问题： ①直接写出，的值． ②经计算可得：，，，当时，请猜想，，之间满足的数量关系，并给出证明． 【思路点拨】 （1）根据一元二次方程根与系数的关系可得出，．由，可得，即得出关于k的一元二次方程，解出k的值，再根据一元二次方程根的判别式验证，舍去不合题意的值即可； （2）①根据一元二次方程根与系数的关系可得出，，进而可求出，；②由一元二次方程的解的定义可得出，两边都乘以，得：①，同理可得：②，再由①+②，得：．最后结合题意即可得出，即． 【解题过程】 解：（1）∵是关于的一元二次方程的两实根， ∴，， ∴， 整理，得：， 解得：，． 当时，， ∴此时原方程没有实数根， ∴不符合题意； 当时，， ∴此时原方程有两个不相等的实数根， ∴符合题意， ∴的值为1； （2）①∵， ∴． ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴，； ②猜想：． 证明：根据一元二次方程根的定义可得出，两边都乘以，得：①， 同理可得：②， 由①+②，得：， ∵，，， ∴，即． 18．（23-24九年级上·福建宁德·期中）已知关于x的方程有两个实数根，其中． （1）若，求的值； （2）一次函数的图像上有两点，若，求m的值； （3）边长为整数的直角三角形，其中两直角边的长度恰好为和，求该直角三角形的面积． 【思路点拨】 该题主要考查了一元二次方程的根判别式“”，根与系数关系“”，一次函数的性质，直角三角形的性质，勾股定理“直角三角形两直角边的平方之和等于斜边的平方”等知识点，解题的关键是分类谈论思想的运用； （1）将代入方程得出方程，再根据根与系数关系得到，将转化即可求解； （2）根据点在函数图像上，得出，再根据根与系数关系得到，根据即可求解； （3）根据直角三角形两直角边为整数，得出，令(为正整数)，得出，又，然后分三种情况取值即可解答； 【解题过程】 （1）当时，方程为， ， ， 即； （2）将代入可得， 又， 故， ， 即，， ， ， ， ； （3）∵直角三角形两直角边为整数， 为平方数， 不妨令(为正整数)， ， ， ， 当①∴， 解得（不合题意舍去）； 当②， 解得， ∴方程， ，则斜边为13， 即； 当③， 解得， ∴方程， ，则斜边为10， 即， 综上所述：该直角三角形的面积为30或24． 19．（22-23九年级上·全国·单元测试）如果方程有两个实数根，，那么，，请根据以上结论，解决下列问题： （1）已知，是方程的二根，则 （2）已知、、满足，，求正数的最小值． （3）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知和是关于，的方程组的两个不相等的实数解．问：是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）根据，是方程的二根，求出，的值，即可求出的值； （2）根据，，得出，，、是方程的解，再根据，即可求出的最小值； （3）运用根与系数的关系求出，，再解，即可求出的值． 【解题过程】 （1）解：∵，是方程的二根， ∴，， ∴， ∴； （2）∵，， ∴，， ∴、是方程的解， ∴， ∴， ∵是正数， ∴， ∴， ∴， ∴正数的最小值是； （3）存在，当时，．理由如下： ∵， 由①得：， 由②得：， ∴，即， 由题意思可知，，是方程的两个不相等的实数根， ∴， 则， ∵和是关于，的方程组的两个不相等的实数解， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴的值为． 20．（22-23九年级上·四川资阳·期末）定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： （1）判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由； （2）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且两根满足，求k的值； （3）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围． 【思路点拨】 （1）解该一元二次方程，得出，再根据“限根方程”的定义判断即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得出，，代入，即可求出，．再结合“限根方程”的定义分类讨论舍去不合题意的值即可； （3）解该一元二次方程，得出或．再根据此方程为“限根方程”，即得出此方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式即可得出，且，可求出m的取值范围．最后分类讨论即可求解． 【解题过程】 （1）解：， ， ∴或， ∴． ∵，， ∴此方程为“限根方程”； （2）∵方程的两个根分比为， ∴， ． ∵， ∴， 解得：，． 分类讨论：①当时，原方程为， ∴，， ∴，， ∴此时方程是“限根方程”， ∴符合题意； ②当时，原方程为， ∴，， ∴，， ∴此时方程不是“限根方程”， ∴不符合题意． 综上可知k的值为2； （3）， ， ∴或， ∴或． ∵此方程为“限根方程”， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴，且， ∴，即， ∴且． 分类讨论：①当时， ∴， ∵， ∴， 解得：； ②当时， ∴， ∵， ∴， 解得：． 综上所述，m的取值范围为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$