专题突破(一) 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系(讲本)-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年九年级上册数学（人教版 重庆专版）

专题突破（一）一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 A专题概述 2.若关于x的一元二次方程x2-2x-m=0 利用根的判别式及根与系数的关系可 有两个不相等的实数根，则m的最小整数 以判断一元二次方程根的情况及求方程中 值是 的参数值，能解决一元二次方程整数根的问 3.若关于x的一元二次方程(a十1)x2一2x十 题、存在性问题及最值问题，是重庆中考近 3=0有实数根，则整数a的最大值是 几年的高频考点. 类型2 利用判别式解决有关整数根 B例题导学 的问题 【例2】已知关于x的一元二次方程x2+2x十 类型①根的判别式的应用 2k一4=0有两个不等的实数根.若k是正整 【例1】关于x的方程(m2-1)x2-2(m+ 数，且该方程的根都是整数，求k的值 2)x+1=0有实数根，求m的取值范围. 【方法点拨】根据方程有两个不等的实数根， 【方法点拨】根据一元二次方程根的情况，利 得出△>0，列出不等式求出k的值，再根据 用根的判别式建立关于参数m的不等式，求 方程的根是整数，确定k的值即可， 出的取值范围.注意区分题目条件“方程” 和“一元二次方程”，若是方程，还需考虑一 元一次方程的情况. 【变式练习】 4.已知关于x的一元二次方程x2+2x十 【变式练习】 m一2=0有两个实数根，m为正整数，且 1.已知一元二次方程x2一kx十4=0有两个 该方程的根都是整数，则符合条件的所有 相等的实数根，则的值为 ( 正整数m的和为 ( A.4 B.-4 C.±4 D.±2 A.6 B.5 C.4 D.3 ·13· 5.已知关于x的一元二次方程x2一3x+ 【方法点拨】(1)根据根与系数的关系求出答 k=0有实数根， 案即可；(2)根据根与系数的关系求出两根 (1)求k的取值范围； 之和与两根之积，将1十】=一2转化为关 (2)如果k是符合条件的最大整数，且一 于m的方程求解即可. 元二次方程(m-1)x2十x+m-3=0 与方程x2一3x十k=0有一个相同的 根，求m的值. 【变式练习】 6.已知关于x的一元二次方程x2一2x一 3m2=0. (1)求证：该方程总有两个不相等的实 数根： (2)若方程的两个实数根分别为α，B,且 a十23=5，求m的值， 类型3根的判别式和根与系数关系 的综合应用 【例3】已知关于x的一元二次方程x2一2(m 1)x+m2=0. (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的 取值范围 (2)若x1,x2是方程的两个不相等的实数 根，且上+上=一2，求m的值。 x 2 ·14·21.2.2公式法 x2=4:(2)因式分解，得(x-4)(x十2)=0.于是得x-4= 知识梳理 0,或x十2=0，x1=4,x2=一2. 1.b一4acb-4ac2.(1)两个不等(2)两个相等 *21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 (3)无3.(1)x=二b±B-4ac 知识梳理 2a 例题导学 1-台 【例1】A【例211B(2)m<号且m≠0(3)a≥-1 例题导学 【例1】解：(1)，x,x2是一元二次方程x2-8x十7=0的两 【例3】解：(1)方程化为x2-5x-1=0.a=1,b=-5,c= -1.△=b-4ac=(-5)2-4×1×(-1)=29>0.方程有 个根，十=8,1=7.①1十1=十型=8 7； 两个不等的实数根x=二b士V一4a匹 =二(-5)±29 ②x+x=(x1十x2)2-2x1x2=82-2X7=50;(2)x=2 2a 2×1 是关于x的一元二次方程x2十3x十m一2=0的一个根， =5±四，即1=5+四，，=5√四：(2方程化为 .4十6十m-2=0,∴m=一8.设方程的另一个根为x2,则 2 2 2 2十x2=一3，∴.x2=一5...m的值是一8，方程的另一个根 2y2-y+3=0.a=2,b=-1,c=3.△=b-4ac=(-1)2 是x=-5.【例2】解：(1)-1或-3(2)3<m≤5 4×2×3=一23<0.方程无实数根. (3)①由题意，得△=(-2)2-4×1×m=4-4m>0,解得 变式练习 m<1;②由根与系数的关系，得x1十x2=2,x1x2=m,则 1.B2.k≤号且k≠1【变式】m>2【变式2】-1 +=2解得巴=2 故m=x1x2=2X0=0. x1-x2=2, x2=0. 3.B4.1+3 2 5.解：(1)方程化为x2十2x=0.a=1,b 变式练习 =2,c=0.△=b2-4ac=22-4×1X0=4>0.方程有两个 1.D【变式】-20232.解：(1)：关于x的一元二次方程 x2一2x十3=0(k≠0)有两个不相等的实数根，∴.△=4-4 不等的实数根x=一士4ac=2±=一1士1，即 2a 2×1 ×kX3>0,解得长<号又：k≠0，k<号且k≠0： x1=0,x2=-2:(2)方程化为x2十4x-2=0.Q=1,b=4,c (2).关于x的一元二次方程kx2一2x十3=0(k≠0)有两 =-2.△=b2-4ac=42-4×1×(-2)=24>0.方程有两 个不相等的实数根和x十=右x1x=方： 2 3 个不等的实数根x=二b士F一4a:=一4±√2网 =-2士 2a 2×1 2 √6，即x1=-2十√6，x2=-2-√6. 1 号即子+的值与无关， =西+==2， 21.2.3因式分解法 xix2 1 2 k 知识梳理 3.A【变式】34.解：(1)：关于x的一元二次方程x2一 1.一次式0一次式0 6x十2a十5=0有两个不相等的实数根x1,x,∴.△= 例题导学 (-6)2-4(2a十5)>0，解得a<2;(2)由根与系数的关系， 【例1】解：移项，得(x十4)2-5(x十4)=0.因式分解，得(x 得x1十x2=6,x1x2=2a十5，：x1,x2满足xf十x号一x1x2 十4)(x十4-5)=0.于是得x十4=0，或x+4-5=0,x1= ≤30，.(x1十x2)2-3x1x2≤30，.62-3(2a十5)≤30，解 一4，x2=1.【例2】解：移项，得x2十6x十9=0.因式分解， 得a≥- 得(x十3)=0..x1=x2=-3.【例3】解：(1)因式分解， 受.a为整数，且a<2,a的值为-1或0或1， 得(x-4)(x十1)=0.于是得x-4=0,或x十1=0，x1=4, 专题突破（一）一元二次方程根的 x2=-1;(2)因式分解，得(x-6)(x-1)=0.于是得x-6 判别式及根与系数的关系 =0,或x-1=0,x1=6,x2=1:(3)因式分解，得(x十6)(x 例题导学 -1)=0.于是得x十6=0，或x-1=0,=-6,x2=1. 【例1】解：分两种情况：①若方程为一元一次方程，则m2一 变式练习 1=0,且一2(m十2)≠0，即m=士1时，方程为一元一次方 1,D2.C3.解：(1)移项，得x(x-2)-x=0.因式分解， 程，有实数根；②若方程为一元二次方程，则m2一1≠0，△ 得x(x-3)=0.于是得x=0,或x-3=0,x1=0,x2=3; (2)因式分解，得(x十3)(4x十3)=0.于是得x十3=0，或 4m十2)-4(m2-1)≥0，解得m≥-号且m≠士1.综上 4x十3=0，x1=-3,x2= 3 ·4.-3或45.解：(1)因 所述，m≥一是.【例2】解：方程有两个不等的实数根， 式分解，得(y十4)(y-4)=0.于是得y十4=0，或y-4= ÷4=2-4(2k-4)=20-86>0,解得k<号.：k为正整 0,y=一4，y2=4:(2)因式分解，得(3十m+1)(31- 1)=0,即(4+1)(2m-1)=0.于是得4m十1=0，或2n 数，∴.k=1或2.易得x=一1士√5-2.又，方程的根为 1=0,m=-子，m=子.6.D7.解：(1)因式分解，得 整数，5-2k为完全平方数.当k=1时，5-2k=3,不合 题意：当k=2时，5-2k=1,符合题意.k=2.【例3】 (x+5)(x-4)=0.于是得x十5=0，或x-4=0,x1=-5, 解：(1)由题意，得△=[-2(m-1)]2-4n2>0,解得m< 参考答案第2页（共55页） 之：(2)由题意，得x十x=2(m-1),=m.:1十 (2)第四个月进馆288×(1十0.2)≈346（人次），第五个月 进馆288×(1+0.2)≈415（人次）.：400<415，故到第五 1=一2，十=一2，即2m二2=-2.化简，得m+m m2 个月时，进馆人数将超过学校图书馆的接纳能力.【例2】 解：(1)(20+2x)(40-x)（2)根据题意，得(20十 -1=0解得m=5“<分m=12 2 2 2x)(40-x)=1200.整理，得x2-30x十200=0.解得x1= 变式练习 20,x2=10.,要扩大销售量，∴x=20.答：每件衬衫降价 1.C2.03.-24.B5.解：(1)由△=(-3)2-4k≥0， 20元时，平均每天盈利1200元；(3)不可能.理由如下：令 得≤号：(2)由(1)可知k的最大整数值为2.由2-3x+ (20十2x)(40-x)=2000.整理，得x2一30x十600=0.△= (一30)2-4×600=-1500<0，此方程无实数根，故不可 2=0,解得x=1,x2=2.一元二次方程(m-1)x2十x十 能做到平均每天盈利2000元. m一3=0与方程x2一3x十k=0有一个相同的根，∴.当x= 变式练习 1是相同的根时，m一1十1十m一3=0，解得m=多：当x 1.B2.解：(1)设利润的年平均增长率为x.根据题意，得 3(x十1)2=4.32，解得x1=一2.2（不符合题意，舍去），x2 2是相同的根时，4(m-1)十2十m一3=0，解得m=1,又 =0.2=20%.答：利润的年平均增长率为20%；(2)4.32× “m一1≠0，m=1舍去.综上所述，m的值为号.6，解： (0.2十1)=5.184<6.答：该企业2024年的利润不能超过 (1)△=(-2)2-4×(-3m2)=4十12mm2.:12m2≥0，.4十 6亿元.3.A4.解：(1)设每次下降的百分率为x.根据 12m>0,∴.该方程总有两个不相等的实数根；(2)方程 题意，得40(1-x)2=32.4.解得x1=0.1=10%,x2=1.9 的两个实数根分别为α，B,·由根与系数的关系可知，α十3 (不合题意，舍去).答：每次下降的百分率为10%：(2)设每 =2,a8=-3m2.a+28=5,…a=5-2g,.5-29+B=2, 件商品应降价y元.根据题意，得(40-30一)(4×0十 解得β=3..a=5-2×3=-1,.-3m2=-1×3=-3, 解得m=土1. 48=510,解得y=1.5,y2=2.5,为尽快减少库存， 21.3实际问题与一元二次方程 y=2.5.答：每件商品应降价2.5元 第1课时传播问题、循环问题与数字问题 第3课时几何图形问题 知识梳理 知识梳理 3.(1)10a+b(2)100x+10y+x(3)n-1,n+1 1.(2)平移割补 例题导学 例题导学 【例1】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑.根 【例1】解：(1)设鸡场垂直于墙的一边长为xm.根据题意， 据题意，得1+x十x(1十x)=81,即(1十x)2=81.解得x1 得x(33-2x十2)=150.整理，得2x2-35x+150=0.解得 =8,x2=一10（不合题意，舍去）.同理可得，经过三轮感染 后，有(1十x)3台电脑被感染，则(1十x)3=93=729>700. x=10,=号当x=10时，3-2x+2=15,当x=号 答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑；经过三轮感 时，33一2x十2=20>18，不合题意，舍去.答：鸡场的长为 染后，被感染的电脑会超过700台，【例2】解：设共有x 15m,宽为10m:(2)鸡场的面积不可能达到200m.理由 人参加这次聚会，根据题意，得宁（红-）=210.解得x= 如下：设鸡场垂直于墙的一边长为ym.则y(33一2y十2) =200.整理，得2y2-35y十200=0.△=(-35)2-4×2 21,x2=一20（不合题意，舍去）.答：共有21人参加这次聚 ×200=-375<0,∴.此方程没有实数根，.鸡场的面积不 会，【例3】解：设这个两位数的个位数字为x,则十位数字 可能达到200m,【例2】解：设道路的宽应为xm.根据 为(x-3).根据题意，得x2=10(x一3)十x.整理，得x2 题意，得(32-2x)(20-x)=570.整理，得x2-36x十35= 11x十30=0，解得x1=6,x2=5.当x=6时，x-3=3:当x 0.解得x1=1,2=35(不合题意，舍去).答：道路的宽应为 =5时，x一3=2.答：这个两位数是36或25. 1m. 【例3】解：(1)2tcm(5-t)cm(2)由题意，得(5 变式练习 t)2+(2t)2=52.解得t1=0,t2=2.故当t=0或2时，PQ的 1.B2.1+x十x2=5773.D4.55.D6.解：设十 长度等于5cm:(3)存在t的值，使得五边形APQCD的面 位数字为x,则个位数字为x十3.根据题意，得10x十x十3 积等于26cm.矩形ABCD的面积是6X5=30(cm2).要 =(x十3)2-2.整理，得x2-5x十4=0.解得x1=1,x=4. 使得五边形APQCD的面积等于26cm,则△PBQ的面积 当x=1时，x十3=4，当x=4时，x十3=7.答：这个两位数 为14或47. 为30-26=4(cm),号×2×(6-t)=4,解得t=4, 第2课时平均变化率与销售问题 =1.当t=4时，2t=8>6,不合题意，舍去；当t=1时，2t= 例题导学 2<6,符合题意..此时t的值为1. 【例1】解：(1)设进馆人次的月平均增长率为x,根据题意， 变式练习 得200(1十x)=288.解得x1=0.2=20%,=-2.2(不 1.解：(1)设AB=xm,则BC=(38一2x)m.根据题意，得 合题意，舍去).答：进馆人数的月平均增长率为20%；： x(38-2x)=180.整理，得x2-19x+90=0.解得x1=10, 参考答案第3页（共55页）