专题01 一元二次方程（六大模块）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

专题01 一元二次方程（六大模块） 目录： 模块1：概念及应用 模块2：一元二次方程的解法 模块3：解法的代数、几何应用 模块4：一元二次方程根的判别式 模块5：一元二次方程根与系数的关系 模块6：一元二次方程的实际应用 模块1：概念及应用 1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．把化成一般形式为 ，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 3．若关于的方程是一元二次方程，则的值是（    ） A．0 B． C．1 D． 4．要使方程是关于x的一元二次方程，则（    ） A．a≠0 B．a≠3 C．a≠1且b≠﹣1 D．a≠3且b≠﹣1且c≠0 5．已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值是 ． 6．若m是方程的一个根，则代数式的值是 ． 7．若是关于的方程的解，则的值为 ． 8．观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． 模块2：一元二次方程的解法 9．一元二次方程的实数根为（    ） A． B． C． D． 10．方程y2＝-a有实数根的条件是（    ） A．a≤0 B．a≥0 C．a>0 D．a为任何实数 11．方程(x+1)2=4(x-2)2的解是(   ) A．x=1 B．x＝5 C．x1=1，x2=5 D．x1=1，x2=-2 12．方程的解为（    ） A． B． C． D． 13．形如的方程，下列说法错误的是（    ） A．时，原方程有两个不相等的实数根 B．时，原方程有两个相等的实数根 C．时，原方程无实数根 D．原方程的根为 14．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（    ） A．化为 B．化为 C．化为 D．化为 15．用配方法解方程ax2+bx+c＝0（a≠0），四个学生在变形时得到四种不同结果，其中配方正确的是（　　） A． B． C． D． 16．方程的根的个数是（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 17．若，则的值是（       ） A． B．3 C．3或 D．或 18．一元二次方程的根是 ． 19．方程(x＋1)(x－3)＝5的解是    (    ) A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝4， x2＝－2 C．x1＝－1， x2 ＝3 D．x1＝－4， x2＝2 20．用求根公式解方程，正确的是（　　） A． B． C． D． 21．当时，下列一元二次方程中两个根是实数的是（   ） A． B． C． D． 22．解下列方程：①2x2－18＝0；②9x2－12x－1＝0；③3x2＋10x＋2＝0；④2(5x－1)2＝2(5x－1)．用较简便的方法依次是(    ) A．①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法 B．①直接开平方法，②公式法，③、④因式分解法 C．①因式分解法，②公式法，③配方法，④因式分解法 D．①直接开平方法，②、③公式法，④因式分解法 23．用适当方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 24．下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题． 解一元二次方程： 解：原方程可以化为：第一步 两边同时除以得：第二步 系数化为1，得：第三步 任务： (1)小明的解法是不正确的，他从第_________步开始出现了错误； (2)请你继续用因式分解法完成这个方程的正确解题过程． 模块3：解法的代数、几何应用 25．代数式的最小值为（    ）． A． B．0 C．3 D．5 26．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　） A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0 27．已知三角形其中两边之和为10，第三边长是是方程的一个根，则该三角形的周长为（    ） A．11 B．21 C．11或21 D．11或1 28．已知m，n是一元二次方程的两根，则的值是（    ） A．2 B． C． D． 29．方程ax2+bx+c=0（a＜0）有两个实根，则这两个实根的大小关系是（  ） A．≥ B．＞ C．≤ D．＜ 30．已知多项式A＝x2﹣x+(3)，若无论x取何实数，A的值都不是负数，则k的取值范围是 ． 31．如果代数式与的值相等，那么x= ． 32．已知：a、b、c是的三边，且，的形状是 ． 33．已知则的值= 34．已知关于x的一元二次方程（a，b，c为常数，且），此方程的解为，．则关于x的一元二次方程的解为 ． 35．已知2，3，a分别是等腰三角形三边的长，且a是关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣x+k2+1＝0的根，则k的值为 ． 36．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若，，则此三角形面积的最大值是 ． 37．如图，在中，，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间t秒．    (1)填空：______，______；（用含t的代数式表示）； (2)当t为几秒时，的长度等于； (3)是否存在某一时刻t，使四边形的面积等于面积的？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由． 模块4：一元二次方程根的判别式 38．下列方程中，无实数根的方程是（　　） A． B． C． D． 39．如果关于x的方程有实数根，那么m的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 40．一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的判别式的值是 ． 41．已知关于的方程有两个不相等的实数根，则可取的最大整数是 ． 42．已知分别是的边长，则一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 43．小刚在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是．他核对时发现所抄的比原方程的值小1，则原方程的根的情况是（    ） A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有另一个根是 D．有两个相等的实数根 44．以下关于一元二次方程的根的说法中，不正确的是（    ） A．若c＝0，则方程一定有一根为0； B．若，则方程一定有两个实数根； C．若，则方程必有一根为－1； D．若，则方程必有两个不相等的实数根． 45．对于关于x的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述： ①当时， 方程一定没有实数根 ②当时，方程一定有实数根 ③当时， 方程一定没有实数根 ④当时，方程一定有两个不相等的实数根；其中表述正确的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 46．若关于x的一元二次方程x2-3x+a-2＝0有实数根． （1）求a的取值范围； （2）当a为符合条件的最大整数，求此时方程的解． 47．已知关于的一元二次方程 （1）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）当时，判断方程两根是否都在－2与0之间 模块5：一元二次方程根与系数的关系 48．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求的值． 49．方程的根是（   ） A． B． C． D． 50．已知和是一元二次方程的两个实数根，则（    ） A． B． C．6 D． 51．设、是一元二次方程的两个根，且，则 ． 52．若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于（    ） A．2024 B．2027 C．2032 D．2035 53．对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程的两个根为，则 ． 模块6：一元二次方程的实际应用 54．随着国内新冠疫情逐步得到控制，人们的口罩储备逐渐充足，市场的口罩需求量在逐渐减少，某口罩厂六月份的口罩产量为万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到万只，则该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为（    ） A． B． C． D． 55．某农机厂一月份生产零件50万个，第一季度共生产零件182万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　） A．50（1+x）²=182 B．50+50（1+x）+50（1+x）²=182 C．50（1+2x）=182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）²=182 56．一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共共握66次手．若设这次会议到会的人数为x人，依题意可列方程（　　） A．x（x﹣1）＝66 B．＝66 C．x（1+x）＝66 D．x（x﹣1）＝66 57．有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘原来的两位数就得1855，则原来的两位数中较大的数为（    ） A．62 B．44 C．53 D．35 58．如图，在宽为米、长为米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为平方米，则设道路的宽为米，根据题意，列方程（    ） A． B． C． D． 59．如图是某月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，设这个最小数为，则下列方程正确的是（　　）    A． B． C． D． 60．“三月三”是广西壮族人民传统的节日，又称“歌圩节”．近年来，在政府的宣传和倡导下，“三月三”逐渐得到大家的重视，购买壮族服饰的人越来越多．某壮族服饰专卖店统计了近三年某款壮族服饰的销售量，2021年销售量为1500套，2023年销售量为2160套，且从2021年到2023年销售量的年平均增长率相同． (1)求该款壮族服饰销售量的年平均增长率； (2)若该款壮族服饰的进价为100元/套，经在市场中测算，当售价为130元/套时，年销售量为2000套，若在此基础上售价每上涨1元/套，则年销售量将减少20套，为使年销售利润达到72000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该款壮族服饰的实际售价应定为多少元? 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一元二次方程（六大模块） 目录： 模块1：概念及应用 模块2：一元二次方程的解法 模块3：解法的代数、几何应用 模块4：一元二次方程根的判别式 模块5：一元二次方程根与系数的关系 模块6：一元二次方程的实际应用 模块1：概念及应用 1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的定义．判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”，根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【解析】解：A．该方程中，当时，它不是一元二次方程，不符合题意； B．该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C．该方程不是整式方程，不符合题意； D．该方程符合一元二次方程的定义，符合题意； 故选：D． 2．把化成一般形式为 ，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 【答案】 3 0 【分析】原式去括号、移项、合并同类项，写出二次项系数，一次项系数，常数项即可． 【解析】解：，， 去括号：， 移项合并同类项：， ∴二次项系数为：；一次项系数为：，常数项为：； 故答案为：；；；． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式，熟知一元二次方程的一般式为：是解题的关键． 3．若关于的方程是一元二次方程，则的值是（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．理解一元二次方程的定义，需要抓住两个条件：①二次项系数不为0；②未知数的最高次数为2； 结合一元二次方程的定义，可以得到关于的方程和不等式，求解即可得到的值． 【解析】解：关于的方程是一元二次方程， ， 解得． 故选：C． 4．要使方程是关于x的一元二次方程，则（    ） A．a≠0 B．a≠3 C．a≠1且b≠﹣1 D．a≠3且b≠﹣1且c≠0 【答案】B 【分析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0． 【解析】解：根据一元二次方程的定义中二次项系数不为0得，a-3≠0，a≠3． 故选B． 【点睛】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．当a=0时，上面的方程就不是一元二次方程了，当b=0或c=0时，上面的方程在a≠0的条件下，仍是一元二次方程，只不过是不完全的一元二次方程． 5．已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的一个根是，将代入原方程得到关于的一元一次方程进而即可解答．本题考查了一元二次方程的根，一元一次方程的解，理解一元二次方程的根是解题的关键． 【解析】解：∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴将代入方程得：， 解得：， 故答案为：． 6．若m是方程的一个根，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 先根据一元二次方程解的定义得到，则，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【解析】解：是方程的一个根， ， ， ． 故答案为：． 7．若是关于的方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解的定义、代数式求值，根据方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入原方程得出，整理为，整体代入计算即可，熟练掌握方程的解的定义、代数式求值是解题的关键． 【解析】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴ ， 故答案为：． 8．观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解．根据图表数据找出一元二次方程等于0时，未知数的值的范围，即可得到答案． 【解析】解：时，，时，， ∴一元二次方程的解的范围是． 故答案为： 模块2：一元二次方程的解法 9．一元二次方程的实数根为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直接开方法解一元二次方程即可得． 【解析】， 两边同除以得：， 利用直接开方法得：， 解得， 故选：A． 【点睛】本题考查了利用直接开方法解一元二次方程，熟练掌握直接开方法是解题关键． 10．方程y2＝-a有实数根的条件是（    ） A．a≤0 B．a≥0 C．a>0 D．a为任何实数 【答案】A 【分析】根据平方的非负性可以得出﹣a≥0，再进行整理即可． 【解析】解：∵方程y2＝﹣a有实数根， ∴﹣a≥0（平方具有非负性）， ∴a≤0； 故选：A． 【点睛】此题考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是根据已知条件得出﹣a≥0． 11．方程(x+1)2=4(x-2)2的解是(   ) A．x=1 B．x＝5 C．x1=1，x2=5 D．x1=1，x2=-2 【答案】C 【分析】根据方程表示x+1与2（x-2）的平方相等，则这两个数相等或互为相反数，据此即可把所求方程转化为两个一元一次方程求解． 【解析】解：原方程可化为：(x+1)2=[2(x-2)]2， x+1=±2(x-2)，即x+1=2x-4或x+1=-2x+4， 解得x1=5，x2=1； 所以选C 【点睛】解一元二次方程的基本思想是降次，就是把二次方程转化为一元一次方程． 12．方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】移项后利用直接开平方法解答即可． 【解析】解：移项，得， 两边直接开平方，得， 即或， 解得：，． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握直接开平方法是解题的关键． 13．形如的方程，下列说法错误的是（    ） A．时，原方程有两个不相等的实数根 B．时，原方程有两个相等的实数根 C．时，原方程无实数根 D．原方程的根为 【答案】D 【分析】根据应用直接开平方法求解的条件逐项判断即得答案． 【解析】解：A、当时，原方程有两个不相等的实数根，故本选项说法正确，不符合题意； B、当时，原方程有两个相等的实数根，故本选项说法正确，不符合题意； C、当时，原方程无实数根，故本选项说法正确，不符合题意； D、当时，原方程的根为，故本选项说法错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题目，熟练掌握应用直接开平方法求解的条件是关键． 14．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（    ） A．化为 B．化为 C．化为 D．化为 【答案】B 【分析】根据配方的步骤计算即可解题． 【解析】 故B错误．且ACD选项均正确， 故选：B 【点睛】考查了用配方法解一元二次方程，配方步骤：第一步平方项系数化1；第二步移项，把常数项移到右边；第三步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第四步左边写成完全平方式；第五步，直接开方即可． 15．用配方法解方程ax2+bx+c＝0（a≠0），四个学生在变形时得到四种不同结果，其中配方正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据配方法的步骤：先把二次项系数化为1，然后把常数项移到右边，两边同时加上一次项系数的一半的平方，即可得到答案． 【解析】解：∵ ， ∴， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了配方法，解题的关键在于能够熟练掌握配方法． 16．方程的根的个数是（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】移项得=24,然后两边同时开四次方得x-=±2，由此即可解决问题． 【解析】解：∵ ∴=24， ∴x=±2， ∴方程的根是x=±2. 故选B. 【点睛】本题考查高次方程的解法，解题的关键是降次，这里通过开四次方把四次降为了一次． 17．若，则的值是（       ） A． B．3 C．3或 D．或 【答案】B 【分析】设，利用换元法将原方程转化为一元二次方程，再利用的非负性得出结果． 【解析】解：由题意得，， 设， ， ， ， 或， ， （不符合题意，舍去）， ， 故选：． 【点睛】本题考查了换元法，一元二次方程的解法，代数式的非负性，对整体思想的把握是解决问题的关键． 18．一元二次方程的根是 ． 【答案】， 【分析】方程变形为x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0，然后利用因式分解法解方程． 【解析】解：x（2x﹣5）＝4x﹣10， x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0， （x﹣2）（2x﹣5）＝0， x﹣2＝0或2x﹣5＝0， 所以，． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想），掌握因式分解解方程的方法是解题的关键． 19．方程(x＋1)(x－3)＝5的解是    (    ) A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝4， x2＝－2 C．x1＝－1， x2 ＝3 D．x1＝－4， x2＝2 【答案】B 【分析】先把一元二次方程展开合并，再根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【解析】∵， ∴， ∴， ∴x-4=0或x+2=0， ∴． 故选B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，掌握十字相乘因式分解，是解题的关键． 20．用求根公式解方程，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先把化成一般式，直接运用公式法解题即可． 【解析】解：， 则一般式是， 则，，， 那么， 把，，都代入中， 得， 故选：D． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，正确掌握公式法是解题的关键． 21．当时，下列一元二次方程中两个根是实数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据公式法，判断选项中的一元二次方程的实数根是否是题目中给出的那个． 【解析】一元二次方程，当，的时候，它有两个实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法——公式法，解题的关键是掌握求根公式． 22．解下列方程：①2x2－18＝0；②9x2－12x－1＝0；③3x2＋10x＋2＝0；④2(5x－1)2＝2(5x－1)．用较简便的方法依次是(    ) A．①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法 B．①直接开平方法，②公式法，③、④因式分解法 C．①因式分解法，②公式法，③配方法，④因式分解法 D．①直接开平方法，②、③公式法，④因式分解法 【答案】D 【解析】①2x2=18，所以利用直接开平方法.②9x2－12x－1＝0，公式法.③3x2＋10x＋2＝0，公式法. ④ 2(5x－1)2-2(5x－1)=0,利用因式分解法. 所以选D. 23．用适当方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， (5) (6)， 【分析】利用直接开平方法，配方法、因式分解法，公式法解出方程的解． 【解析】（1）解： 直接开平方可得：， 或 ∴原方程的解为：，； （2）解： 因式分解得：， ∴原方程的解为：，； （3）解：， 平方差因式分解得：， 整理得：， ∴原方程的解为：，； （4）， 提取公因式可得：， 整理得：， ∴原方程的解为：，； （5）解：∵方程， ， ∴原方程的解为：； （6）， ， 因式分解得：， ∴原方程的解为：， 【点睛】本题主要考查利用恰当的方法求解一元二次方程，解题时注意对方法的合理选择． 24．下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题． 解一元二次方程： 解：原方程可以化为：第一步 两边同时除以得：第二步 系数化为1，得：第三步 任务： (1)小明的解法是不正确的，他从第_________步开始出现了错误； (2)请你继续用因式分解法完成这个方程的正确解题过程． 【答案】(1)二 (2)或，过程见解析 【分析】本题考查了解一元二次方程——因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法． （1）第二步不符合等式的性质； （2）先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程． 【解析】（1）解：他从第二步开始出现了错误， 故答案为：二； （2）解： 或， 解得：或． 模块3：解法的代数、几何应用 25．代数式的最小值为（    ）． A． B．0 C．3 D．5 【答案】A 【分析】利用配方法对代数式做适当变形，通过计算即可得到答案． 【解析】代数式 ∵， ∴即代数式， 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式和不等式的知识；解题的关键是熟练掌握完全平方公式和不等式的性质，从而完成求解． 26．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　） A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0 【答案】B 【分析】分别按照看错的情况构建出一元二次方程，再舍去错误信息，从而可得正确答案. 【解析】解： 小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1， 所以此时方程为： 即： 小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4， 所以此时方程为： 即： 从而正确的方程是： 故选： 【点睛】本题考查的是根据一元二次方程的根构建一元二次方程，掌握利用一元二次方程的根构建方程的方法是解题的关键. 27．已知三角形其中两边之和为10，第三边长是是方程的一个根，则该三角形的周长为（    ） A．11 B．21 C．11或21 D．11或1 【答案】A 【分析】先求出方程的根，然后分x＝1和x＝11两种情况，利用三角形三边关系进行判断即可． 【解析】解：由可得， ∴或， 解得x＝1或x＝11， 当x＝1时，因为10＞1，所以能组成三角形，此时该三角形的周长为11； 当x＝11时，因为10＜11，所以不能组成三角形， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系的应用，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 28．已知m，n是一元二次方程的两根，则的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，二次根式的化简，先解方程可得，，再由，从而可得答案． 【解析】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故选：D． 29．方程ax2+bx+c=0（a＜0）有两个实根，则这两个实根的大小关系是（  ） A．≥ B．＞ C．≤ D．＜ 【答案】A 【解析】因为,且 a＜0,所以≥,故选A. 30．已知多项式A＝x2﹣x+(3)，若无论x取何实数，A的值都不是负数，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据配方法可进行求解． 【解析】解：∵A＝x2﹣x+（3）＝x2﹣x+（3）＝（x）2（3）， 若x取任何实数，A的值都不是负数， ∴（3）≥0， 解得：； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键． 31．如果代数式与的值相等，那么x= ． 【答案】2 【分析】由题可得，整理得到即解出即可． 【解析】解：根据题意得 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解此题的关键． 32．已知：a、b、c是的三边，且，的形状是 ． 【答案】直角三角形 【分析】等式配方成，利用非负数性求得a、b、c的长，再利用勾股定理的逆定理即可求解． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴的形状是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 【点睛】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 33．已知则的值= 【答案】或 【分析】依题意解后，分a=b与进行讨论即可． 【解析】解：依题意得a,b是方程的解， 解得：， 当时，a+b=， 当时，a+b=， 当时，， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的问题，掌握一元二次方程的解以及分类讨论是解题的关键． 34．已知关于x的一元二次方程（a，b，c为常数，且），此方程的解为，．则关于x的一元二次方程的解为 ． 【答案】或/或 【分析】将和分别代入，可求得，，之间的等量关系，代入一元二次方程即可消去参数，从而解一元二次方程即可． 【解析】解：一元二次方程的解为，， ，解得， 一元二次方程可化为， ， ， 解得，． 一元二次方程的解为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，解决本题的关键是利用一元二次方程的解求得，，之间的等量关系，从而代入求解． 35．已知2，3，a分别是等腰三角形三边的长，且a是关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣x+k2+1＝0的根，则k的值为 ． 【答案】-5或或 【分析】根据等腰三角形的定义，分a=2和a=3，分别代入方程，解之可得k值． 【解析】解：∵2，3，a分别是等腰三角形三边的长， 当a=2时，即x=2，代入， 得：， 解得：k=-5，或k=1（舍）， 当a=3时，即x=3，代入， 得：， 解得：k=，或k=， 故答案为：-5或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，解一元二次方程，解题的关键是要注意根据等腰三角形的定义进行分类讨论． 36．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若，，则此三角形面积的最大值是 ． 【答案】 【分析】根据公式算出a+b的值，代入公式，根据完全平方公式的变形即可求出解． 【解析】解：∵，p=3，c=2， ∴， ∴a+b=4， ∴a=4−b， ∴ ∴当b=2时，S有最大值为． 【点睛】本题考查了二次根式与完全平方公式的应用，解答本题的关键是明确题意，表示出相应的三角形的面积． 37．如图，在中，，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间t秒．    (1)填空：______，______；（用含t的代数式表示）； (2)当t为几秒时，的长度等于； (3)是否存在某一时刻t，使四边形的面积等于面积的？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在， 【分析】（1）根据路程=速度×时间，，，结合已知解答即可． （2）根据勾股定理，列式计算即可． （3）根据列式计算即可． 【解析】（1）∵，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动． ∴，， ∴， 故答案为：，． （2）∵，， ， ∴， 整理，得， 解得， 当运动时间为或运动时间为时，的长度等于． （3）∵，， ， ∴， ∴， 整理，得， 解得（舍去）， 故当运动时间为2秒时，四边形的面积等于面积的． 【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形中的动点问题，一元二次方程的应用，熟练掌握勾股定理，解方程是解题的关键． 模块4：一元二次方程根的判别式 38．下列方程中，无实数根的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A． 可变为，∴，∴方程无实数根，故此选项正确；B． 可变形为，∴，∴方程有两个不相等的实数根，故此选项错误；C． 可变形为，∴，∴方程有两个不相等的实数根，故此选项错误；D． 可变形为，∴，∴方程有两个不相等的实数根，故此选项错误． 39．如果关于x的方程有实数根，那么m的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】分类讨论：当m-1=0时，方程为一元一次方程，有解；当m-1≠0时，根据判别式的意义得到△=12-4×（m-1）×1≥0，解得m≤且m≠1，然后综合两种情况就可得到m的取值范围． 【解析】解：当m-1=0时，x+1=0，解得x=-1； 当m-1≠0时，△=12-4×（m-1）×1≥0，解得m≤且m≠1， 所以m的取值范围为m≤. 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根． 40．一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的判别式的值是 ． 【答案】5 【解析】解：x2﹣3x+1＝0 △==（-3）2-4×1×1=9-4=5． 故答案为5． 41．已知关于的方程有两个不相等的实数根，则可取的最大整数是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分，最后解得可取的最大整数． 【解析】解：已知关于的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， ∵，，， ∴， 即， 解得且， ∴其中可取的最大整数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．本题中二次项系数不为零是易错点． 42．已知分别是的边长，则一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 【答案】A 【分析】由于这个方程是一个一元二次方程，所以利用根的判别式可以判断其根的情况．而△=（2c）2-4（a+b）（a+b）=4c2-4（a+b）2，根据三角形的三边关系即可判断． 【解析】解：△=（2c）2-4（a+b）（a+b）=4c2-4（a+b）2=4（c+a+b）（c-a-b）． ∵a，b，c分别是三角形的三边， ∴a+b＞c． ∴c+a+b＞0，c-a-b＜0， ∴△＜0， ∴方程没有实数根． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形三边关系、一元二次方程的根的判别式等知识点．重点是对（2c）2-4（a+b）（a+b）进行因式分解． 43．小刚在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是．他核对时发现所抄的比原方程的值小1，则原方程的根的情况是（    ） A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有另一个根是 D．有两个相等的实数根 【答案】A 【分析】直接把已知数据代入，进而得出的值，再根据根的判别式判别即可． 【解析】解：小刚在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是， 代入得：， 解得：， ∵核对时发现所抄的比原方程的值小1， 故原方程中， 原方程为， ∴ ∴原方程的根的情况是不存在实数根， 故选：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和根的判别式，正确得出的值是解题关键． 44．以下关于一元二次方程的根的说法中，不正确的是（    ） A．若c＝0，则方程一定有一根为0； B．若，则方程一定有两个实数根； C．若，则方程必有一根为－1； D．若，则方程必有两个不相等的实数根． 【答案】B 【分析】根据解一元二次方程的方法，判别式的意义，一元二次方程的解的定义逐项判断即可． 【解析】解：A、若c＝0，则方程为，即， ∴方程一定有一根为0，正确，不符合题意； B、若，则方程为， ∵， ∴只有当ac≤0时，即，方程有两个实数根，故原说法错误，符合题意； C、将x＝－1代入方程可得：， ∴若，则方程必有一根为－1，正确，不符合题意； D、∵ac＜0， ∴Δ＝b2−4ac＞0， ∴方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不相等的实数根，正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根，Δ＜0⇔方程没有实数根． 45．对于关于x的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述： ①当时， 方程一定没有实数根 ②当时，方程一定有实数根 ③当时， 方程一定没有实数根 ④当时，方程一定有两个不相等的实数根；其中表述正确的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此逐一判断即可． 【解析】解：①当时，满足，此时，即此时方程有两个不相等的实数根，原说法错误； ②∵， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴方程一定有实数根，原说法正确； ③时，满足，此时，即此时方程有两个不相等的实数根，原说法错误； ④∵， ∴， ∴， ∴方程有两个相等的实数根，原说法错误； 故选：B． 46．若关于x的一元二次方程x2-3x+a-2＝0有实数根． （1）求a的取值范围； （2）当a为符合条件的最大整数，求此时方程的解． 【答案】（1）a≤；（2）x＝1或x＝2． 【分析】（1）根据韦达定理列出关于a的不等式，解不等式即可得到a的取值范围； （2）由（1）求出a的值，代入原方程即可得到一个新的方程，解新方程可以得到解． 【解析】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2＝0有实数根， ∴△≥0，即（﹣3）2﹣4（a﹣2）≥0， 解得a≤； （2）由（1）可知a≤， ∴a的最大整数值为4， 此时方程为x2﹣3x+2＝0， 解得x＝1或x＝2． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握根的判别式应用及一元二次方程的求解是解题关键 ． 47．已知关于的一元二次方程 （1）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）当时，判断方程两根是否都在－2与0之间 【答案】（1）见解析；（2）见解析； 【分析】（1）计算判别式得到 ，则可根据判别式的意义得到结论； （2）利用因式分解法求出方程的两个根，，根据得出，进而得出． 【解析】（1）∵，，， ∴ ∴无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根 （2）， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ 并， 综上所述： ∴当时，方程的两根都在－2与0之间 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了因式分解法解一元二次方程． 模块5：一元二次方程根与系数的关系 48．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)或． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式证明恒成立即可； （2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解． 【解析】（1）证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 49．方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，解题关键是熟练掌握一元二次方程有两根为，． 先把方程化成一般式，再根据一元二次方程根与系数关系求出与的值，判定即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴，． 故选：D． 50．已知和是一元二次方程的两个实数根，则（    ） A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 利用根与系数的关系，可得出，将其代入中，即可求出结论． 【解析】解：∵和是一元二次方程的两个实数根， ， ， 故选：D． 51．设、是一元二次方程的两个根，且，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解一元二次方程，由一元二次方程根与系数的关系得出，再利用因式分解法解一元二次方程，最后代入计算即可得出答案，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键． 【解析】解：、是一元二次方程的两个根，且， ， 原方程为， 解得：，， ， 故答案为：． 52．若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于（    ） A．2024 B．2027 C．2032 D．2035 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，根据根与系数的关系和一元二次方程的解的定义得到，，进而得到，再把所求式子变形为，进一步变形为，据此可得答案． 【解析】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴原式 ， 故选：C． 53．对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程的两个根为，则 ． 【答案】 【分析】由根与系数的关系得，，所以，则，然后代入即可求解． 【解析】由根与系数的关系得，， 所以， 则， 则 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，难度较大，关键是根据根与系数的关系求出一般形式再进行代入求值． 模块6：一元二次方程的实际应用 54．随着国内新冠疫情逐步得到控制，人们的口罩储备逐渐充足，市场的口罩需求量在逐渐减少，某口罩厂六月份的口罩产量为万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到万只，则该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为，利用等量关系：八月份的产量六月份的产量×（1-产量的月平均减少率，即可得出关于的一元二次方程，解方程取其合适的值即可得出结论． 【解析】解：设该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为， 依题意得：， 解得： ，（不符合题意，舍去）， ∴该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 55．某农机厂一月份生产零件50万个，第一季度共生产零件182万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　） A．50（1+x）²=182 B．50+50（1+x）+50（1+x）²=182 C．50（1+2x）=182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）²=182 【答案】B 【分析】设平均每月的增长率为x，则二月份生产零件万个，三月份生产零件万个，由此可得出方程． 【解析】解：设二、三月份平均每月的增长率为x，则二月份生产零件个，三月份生产零件个， 则得： ． 故答案为：B． 【点睛】本题主要考查了求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为． 56．一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共共握66次手．若设这次会议到会的人数为x人，依题意可列方程（　　） A．x（x﹣1）＝66 B．＝66 C．x（1+x）＝66 D．x（x﹣1）＝66 【答案】A 【分析】利用参会人员共握手次数＝参会人数×（参会人数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解析】解：依题意得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 57．有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘原来的两位数就得1855，则原来的两位数中较大的数为（    ） A．62 B．44 C．53 D．35 【答案】C 【分析】设个位数为x，则十位上的数为8-x,根据题意列出一元二次方程即可求解. 【解析】设个位数为x，则十位上的数为8-x, 由题意得[10×（8-x）+x] [10x+8-x]=1855, 解得x=3或5， 故较大的数为53，故选C. 【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是表示出对调前后的两位数表示. 58．如图，在宽为米、长为米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为平方米，则设道路的宽为米，根据题意，列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设道路的宽为米，根据面积公式即可求解． 【解析】解：设道路的宽为米，依题意得， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 59．如图是某月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，设这个最小数为，则下列方程正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圈出的9个数可知最大数与最小数的差为16，设这个最小数为，则圈出的9个数中最大数为，由“最大数与最小数的积为192”即可列出方程，得到答案． 【解析】解：由圈出的9个数可知：最大数与最小数的差为：， 设这个最小数为，则圈出的9个数中最大数为， 根据题意得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意得出圈出的9个数中最大数与最小数的差为16是解题的关键． 60．“三月三”是广西壮族人民传统的节日，又称“歌圩节”．近年来，在政府的宣传和倡导下，“三月三”逐渐得到大家的重视，购买壮族服饰的人越来越多．某壮族服饰专卖店统计了近三年某款壮族服饰的销售量，2021年销售量为1500套，2023年销售量为2160套，且从2021年到2023年销售量的年平均增长率相同． (1)求该款壮族服饰销售量的年平均增长率； (2)若该款壮族服饰的进价为100元/套，经在市场中测算，当售价为130元/套时，年销售量为2000套，若在此基础上售价每上涨1元/套，则年销售量将减少20套，为使年销售利润达到72000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该款壮族服饰的实际售价应定为多少元? 【答案】(1)该款壮族服饰销售量的年平均增长率为 (2)该款壮族服饰的实际售价应定为140元 【分析】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，解题关键是准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握解一元二次方程的方法． （1）设该款壮族服饰销售量的年平均增长率为x，根据“2021年销售量为1500套，2023年销售量为2160套，且从2021年到2023年销售量的年平均增长率相同”列一元二次方程求解即可； （2）设该款壮族服饰的实际售价为y元/套，根据题意，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可求出答案． 【解析】（1）解：设该款壮族服饰销售量的年平均增长率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该款壮族服饰销售量的年平均增长率为； （2）解：设该款壮族服饰的实际售价为y元/套， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，， ∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴ 答：该款壮族服饰的实际售价应定为140元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 33 页 学科网（北京）股份有限公司 $$