第16讲 中心对称-2024年暑假九年级数学上册自学课系列（人教版）

第16讲 中心对称 【人教版】 ·模块一 中心对称 ·模块二 中心对称图形 ·模块三 关于原点对称点的坐标 ·模块四 课后作业 模块一 中心对称 1. 中心对称的定义： 中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。 注意以下几点： 中心对称指的就是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转180°两个图形能够完全重合。 2. 作一个图形关于某点对称的图形： 要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键就是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可的出成中心对称图形。 3. 中心对称的性质： （1）关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分； （2）关于中心对称的两个图形能够互相重合，就是全等形； （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。 【考点1 中心对称的概念及性质】 【例1.1】（2023九年级·云南曲靖·阶段练习）下列各组图形中，不成中心对称的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题重点考查了两个图形成中心对称的定义，欲分析两个图形是否成中心对称，主要把题目中一个图形绕一个点旋转，观察是否能和另一个图形重合即可，熟练掌握其定义是解决此题的关键． 【详解】根据中心对称的概A、B、C都是中心对称，不符合题意； D是轴对称，不成中心对称，符合题意． 故选：D． 【例1.2】（2023九年级·江苏·专题练习）如图，与关于O成中心对称，下列不成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，掌握中心对称的性质是解题关键．根据中心对称的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵与关于O成中心对称， ∴，，， 故A，B，D正确，不符合题意． ∵和不是对应边， ∴不一定相等，故C错误，符合题意． 故选C． 【例1.3】（2023九年级·河南洛阳·期末）如图，在平行四边形中，关于点成中心对称的三角形有 对． 【答案】4 【分析】根据中心对称图形的定义和平行四边形的性质，进行判断即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴四边形为中心对称图形，且点O为对称中心， ∴绕点O旋转后，与重合，与重合，与重合，与重合， ∴关于点成中心对称的三角形有4对． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，中心对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【变式1.1】（2023九年级·辽宁沈阳·期末）若两个图形成中心对称，则下列说法：①对应点的连线必经过对称中心；②这两个图形的形状和大小完全相同；③这两个图形的对应线段一定相等；④将一个图形绕对称中心旋转后必与另一个图形重合．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据中心对称的性质对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：∵两个图形成中心对称， ∴①对应点的连线必经过对称中心，正确； ②这两个图形的形状和大小完全相同，正确； ③这两个图形的对应线段一定相等，正确； ④将一个图形绕对称中心旋转后必与另一个图形重合，正确． 综上所述：正确共4个，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称，熟记中心对称的性质和概念是解题的关键．中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【变式1.2】（2023九年级·山东济宁·阶段练习）如图，直线、垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为 ． 【答案】12 【分析】根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：如图， ∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点，于点B，于点D，，， ∴， ∴图形①与图形②面积相等， ∴阴影部分的面积之和=长方形的面积． 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了长方形的面积及中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【变式1.3】（2023九年级·全国·课后作业）如图，与关于点成中心对称． （1）点，，的对应点分别是什么？ （2）点，，的位置关系是怎样？ （3）指出图中相等的线段和相等的角． 【答案】（1）点，，的对应点分别是点，，；（2）点，，在同一条直线上；（3），，，，，． 【分析】（1）根据两个图形成中心对称即可得出答案； （2）根据两个图形成中心对称即可得出答案； （3）分别找到成中心对称的两个图形对应的线段和对应角即可得出答案． 【详解】（1）∵与是成中心对称的两个图形， ∴点，，的对应点分别是点，，． （2）根据中心对称的性质，可知点，，在同一条直线上． （3），，，，，． 【点睛】本题主要考查两个图形成中心对称，掌握中心对称的性质是解题的关键． 【考点2 中心对称作图】 【例2.1】（2023·安徽安庆·一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点)． (1)画出△ABC关于点C成中心对称的△A'B'C（其中A'是点A的对应点，B'是点B的对应点）； (2)用无刻度的直尺作出一个格点O，使得OA=OB． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】（1）根据中心对称定义作图即可； （2）作AB的垂直平分线即可； 【详解】（1）解：如图，△A'B'C 为所作； （2）解：如图，点 O 或 O′为所作． 【点睛】本题考查了复杂-作图，掌握中心对称和垂直平分线的定义和画法是解题关键 【例2.2】（2023九年级·吉林白城·阶段练习）如图是的小正方形网格，的顶点都在格点上，按下列要求作图（所画图形的顶点都在格点上，并标注对应字母）．          (1)在图①中，画出，使与关于直线成轴对称； (2)在图②中，将绕某一格点旋转得到，使与成中心对称，画出，并在图中标出旋转中心． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】（1）根据轴对称图形的定义即可求解； （2）根据中心对称图形的定义即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，与关于直线成轴对称，    ∴即为所求图形． （2）解：如图所示，与关于格点成中心对称图形，    ∴即为所求图形． 【点睛】本题主要考查轴对称图形，中心对称图形的作图，掌握轴对称图形，中心对称图形的定义，作图方法是解题的关键． 【例2.3】（2023九年级·宁夏石嘴山·期末）图1、图2均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点和点D均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图、并保留作图痕迹． (1)在图1中，画出将绕点D顺时针旋转得到的； (2)在图2中，画出，使与关于点D成中心对称． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点即可； （2）利用网格特点和中心对称的性质画出A、B、C的对应点即可． 【详解】（1）解：如图1，为所作； ； （2）解：如图2，为所作； ． 【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 【变式2.1】（2023九年级·河南洛阳·期末）如图，在一个的正方形网格中，现将其中的两个小正方形涂上阴影，请你用两种不同的方法分别在图中再将两个空白的小正方形涂上阴影，使它关于某点成中心对称，并用字母标出对称中心．    【答案】见解析 【分析】利用中心对称图形的性质得出符合题意的图形即可． 【详解】解：如图所示：都是符合题意的图形，    【点睛】此题主要考查了利用旋转设计图案，正确把握中心对称图形的性质是解题关键． 【变式2.2】（2023九年级·上海金山·期末）如图所示，在四边形中， (1)画出四边形，使四边形与四边形关于直线成轴对称； (2)画出四边形，使四边形与四边形关于点成中心对称； (3)四边形与四边形是否对称，若对称请在图中画出对称轴或对称中心． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题是对轴对称，中心对称作图的考查，熟练掌握轴对称，中心对称知识是解决本题的关键， （1）分别作出A，B，C，D关于直线MN的对称点，然后依次连接即可； （2）分别作出A，B，C，D关于点O中心对称的对称点，然后依次连接即可； （3）连接，作的中垂线，即为所求； 【详解】（1）解：如下图所示：四边形即为所求； （2）解：如下图所示：四边形即为所求； （3）解：如图所示，四边形与四边形关于成轴对称，即为所求． 【变式2.3】（2023九年级·上海普陀·期末）如图，在正方形网格中、每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．    (1)画出，使与关于直线MN成轴对称；画出，使与关于点A成中心对称． (2)在第（1）小题的基础上，联结，四边形的面积为_______．（直接写出答案） 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了轴对称作图与中心对称作图，网格中求三角形的面积； （1）根据轴对称与中心对称的性质画出，即可求解； （2）根据长方形的面积减去三个三角形的面积即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，，即为所求    （2）解：如图所示，    四边形的面积为 【规律方法综合练】 【题型1】（2023九年级·山东聊城·期末）如图，△ABC与△A'B'C'关于某一个点成中心对称，点A、B的对称点分别为点A'和B'，请找出对称中心O，同时把图形补充完整． 【答案】见解析 【分析】首先分别连接A A'、B B'找出旋转中心O，再根据中心对称的性质作出图形即可． 【详解】解：如图，△A′B′C′即为所求作． 【点睛】本题考查作图-旋转变换，中心对称，解题的关键是熟练掌握画中心对称图形的基本步骤，属于中考常见题型． 【题型2】（2023·黑龙江哈尔滨·一模）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为，的顶点和线段的端点均在小正方形的顶点上． (1)在方格纸中画出，使与关于点成中心对称（点、点的对称点分别是点、点，点、均在小正方形的顶点上）； (2)在方格纸中画出以线段为一边的正方形（点，点均在小正方形的顶点上），连接，请直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】（1）根据中心对称的性质，画出； （2）根据网格的特点画出正方形，根据勾股定理求得的长． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，正方形即为所求， ． 【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，中心对称的性质，正方形的性质，数形结合是解题的关键． 【题型3】（2023九年级·江西南昌·期中）如图为某公园中心对称的观赏鱼池，阴影部分为观赏喂鱼台，已知米．求阴影部分的面积． 【答案】阴影部分的面积为平方米 【分析】根据中心对称图形的性质可得阴影部分相当于2个以点为圆心，长为半径的圆，即可求解． 【详解】解：因为观赏鱼池是中心对称，且米， 所以阴影部分相当于2个以点为圆心，长为半径的圆， 所以阴影部分的面积为（平方米）， 答：阴影部分的面积为平方米． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023九年级·陕西西安·期中）如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心； (2)若，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)18 【分析】本题考查了中心对称，正确掌握中心对称图形的性质是解此题的关键． （1）连接、，其交点就是对称中心； （2）根据和关于点成中心对称，得出，，，再由三角形周长公式计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求．（作法不唯一） ； （2）解：∵和关于点成中心对称， ∴，，， ∴的周长， 答：的周长为18． 【题型2】（2023九年级·云南昭通·期中）如图，在方格网中已知格点和点O．画，使其与关于点O成中心对称．    【答案】见解析 【分析】根据中心对称的性质，分别作出点A，B，C关于点O成中心对称的对称点，顺次连接即可． 【详解】解：画与关于点O成中心对称的图形如下： . 【点睛】本题考查作图——画已知图形关于某点对称的图形，解题的关键是掌握中心对称的性质，即对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分． 【题型3】（2023九年级·广东广州·期中）如图，与关于点中心对称，若点，分别在、上，且，求证：．    【答案】见详解 【分析】因为与关于点中心对称，所以，，因为， 所以，即，结合，得证，即可作答． 【详解】证明：因为与关于点中心对称， 所以 所以，， 因为， 则 所以， 因为 所以 即， 因为， 所以， 则 【点睛】本题考查了成中心对称的图形特征以及全等三角形的判定与性质，成中心对称的两个图形必定能重合，难度较小． 模块二 中心对称图形 中心对称图形的定义 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就就是它的对称中心。 【考点1 中心对称图形的概念】 【例1.1】（2023九年级·陕西西安·阶段练习）全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量．图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下是我国四个省的图书馆标志，其中图案是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形定义是解题的关键解题． 根据中心对称图形是图形旋转后能与原图形重合的定义即可选出正确选项． 【详解】、此图形旋转后不能与原图形重合，故此图形不是中心对称图形，此选项错误． 、此图形旋转后能与原图形重合，故此图形是中心对称图形，此选项正确． 、此图形旋转后不能与原图形重合，故此图形不是中心对称图形，此选项错误． 、此图形旋转后不能与原图形重合，故此图形不是中心对称图形，此选项错误． 故选． 【例1.2】（2023九年级·江苏南京·阶段练习）写出一个是中心对称而不是轴对称图形的名称： ．（答案不唯一） 【答案】平行四边形（答案不唯一） 【分析】 考查了轴对称图形和中心对称的概念，根据轴对称图形的概念与中心对称图形的概念，在熟悉的图形中寻找即可找到答案，注意：有偶数条对称轴的轴对称图形一定是中心对称图形，有奇数条对称轴的轴对称图形一定不是中心对称图形． 【详解】解：由平行四边形的性质可知，平行四边行是中心对称图形而不是轴对称图形， 故答案为：平行四边形（答案不唯一）． 【例1.3】（2023年黑龙江省龙东地区部分学校中考四模数学试题）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是寻找对称中心，旋转后与自身重合．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：第1个图形既是轴对称又是中心对称图形，第2个图形既不是轴对称又不是中心对称图形，第3个图形是轴对称但不是中心对称图形，第4个图形既是轴对称又是中心对称图形， 综上可知，共有2个图形既是轴对称又是中心对称图形． 故选：B． 【变式1.1】（2023九年级·浙江宁波·期中）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．据此判断即可． 【详解】解：选项A、B、C不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：D． 【变式1.2】（2023·辽宁盘锦·二模）下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的识别．在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形与中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】A既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合要求； B 是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求； C不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合要求； D是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求； 故选：A． 【变式1.3】（2023·江苏无锡·模拟预测）给出下列4种图形：①线段．②等边三角形，③矩形，④正六边形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ．（在横线上填写图形前的标号即可） 【答案】①③④ 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；在平面内一个图形绕着一点旋转180度，旋转后的图形与原来的图形完全重合，这个图形就叫做中心对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：①线段，既是轴对称图形又是中心对称图形； ②等边三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形； ③矩形，既是轴对称图形又是中心对称图形； ④正六边形，既是轴对称图形又是中心对称图形； 故答案为：①③④． 【考点2 中心对称的性质】 【例2.1】（2023九年级·吉林·期中）如图，是等腰三角形的底边的中线，，，与关于点C成中心对称，连接，则的长是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及中心对称，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解答本题的关键．根据等腰三角形的性质得出，，根据中心对称的性质得出，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是等腰三角形的底边的中线，， ∴，， ∵与关于点C中心对称，， ∴，，， ∴， ∴． 故选：D． 【例2.2】（2023·陕西·三模）如图，点O是矩形ABCD的对称中心，点E在AB边上，连接CE．若点B与点O关于CE对称，则CB：AB为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接DB，AC，OE，利用对称得出OE＝EB，进而利用全等三角形的判定和性质得出OC＝BC，进而解答即可． 【详解】解：连接DB，AC，OE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝DB，∠ABC＝90°，OC＝OA＝OB＝OD， ∵点B与点O关于CE对称， ∴OE＝EB，∠OEC＝∠BEC， 在△COE与△CBE中， ， ∴△COE≌△CBE（SAS）， ∴OC＝CB， ∴AC＝2BC， ∵∠ABC＝90°， ∴AB＝CB， 即CB：AB＝， 故选：C． 【点睛】此题考查中心对称，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，和勾股定理，利用对称得出OE=EB是解题的关键． 【例2.3】（2023·陕西咸阳·三模）如图，在平行四边形中，，，线段与线段分别过平行四边形的对称中心O，且将平行四边形分成相等的四份，若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平行四边形的性质，以及同高的三角形面积之比即是底边之比（反之亦然），掌握中心对称的性质是解题的关键．根据题意得到，利用同高的三角形底边之比即是面积之比，得到，，利用中心对称的性质得到，进而得到，即有，即可得到，从而得到． 【详解】解：四边形平行四边形中，，，线段与线段分别过平行四边形的对称中心O，且将平行四边形分成相等的四份， ，，， 连接，， 有， ， ， ， ，， 由中心对称性质可知， ， ， ， ， ； 同理可得， 故答案为：． 【变式2.1】（2023九年级·湖南娄底·期末）如图，是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，AC=1，则BB′的长为 ． 【答案】4 【详解】试题分析：在Rt△ABC中，∵∠B=30°，AC=1，∴AB=2AC=2，又∵点B和点B′关于点A对称， ∴BB′=2AB=4．故答案为4． 考点：中心对称的性质． 【变式2.2】（2023九年级·河南三门峡·期末）如图，正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是3和2，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】1.25 【分析】本题考查了中心对称，连接，，根据中心对称的定义可知，阴影的面积等于正方形面积差的四分之一． 【详解】连接，， 正方形的边长分别为3和2， 面积分别为9和4， 正方形和正方形的对称中心都是点， ． 故答案为：1.25． 【变式2.3】（2023九年级·安徽阜阳·期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，过菱形的对角线交点O分别作边AB、BC的垂线并延长，交各边于点E、F、G、H，则四边形EFGH的周长为（　　） A．2+2 B．2+ C．3+ D．1+2 【答案】C 【分析】过点A作AM垂直CD交CD于M点，可得AM=EG=FH，AB=2，∠A= 120°在菱形ABCD中，可得，推出四边形EFGH是矩形即可求解． 【详解】解：如图，过点A作AM垂直CD交CD于M点， ∵FG、FH垂直菱形ABCD的边AB, BC ∴AM=EG=FH ∵AB=2，∠A= 120°在菱形ABCD中 ∴, ∵FG、FH过菱形ABCD的对称中心O, ∴四边形EFGH是矩形，由∠A= 120°， ∴∠EOH=60°∠GEF =30° ∴, ∴四边形EFGH的周长为 故选：C 【点睛】本题考查中心对称，菱形的性质，矩形判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题，属于中考常考题型． 【考点3 作中心对称图形】 【例3.1】（2023·河北邢台·一模）如图是的网格图，将图中标有①、②、③、④的一个小正方形涂灰，使所有的灰色图形构成中心对称图形，则涂灰的小正方形是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【解析】根据中心对称图形的意义解答． 【详解】解：如图， 如果以O为对称中心，则A与B、C与D、E与F分别对应， 从图中可以看出，G应该与③对应， 故选C． 【点睛】本题考查中心对称的应用，熟练掌握中心对称图形及对称中心的意义是解题关键． 【例3.2】（2023·江西新余·模拟预测）如图，这是的正方形网格，小正方形的顶点为格点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作格点C，连接，使； (2)在图2中作四边形，使点D、E在格点上，且四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了等腰直角三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、勾股定理及其逆定理的应用，充分利用网格的特点是解题的关键． （1）取格点C，根据网格特点，使得是以为底的等腰直角三角形即可； （2）取格点、，由网格的性质可知，，，，则四边形是矩形，既是中心对称图形，又是轴对称图形． 【详解】（1）如图所示，格点C即为所求， ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ （2）解：如图，四边形即为所求做； 连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴ ∴是直角三角形，且， ∴四边形是矩形， 则四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形． 【例3.3】（2023九年级·吉林白山·阶段练习）图①，图②都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，分别按要求画出图形． (1)在图①中画一个四边形，使点E、F在格点上，且四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形； (2)在图②中画一个三角形，使点C在格点上，且三角形是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图——作中心对称图形，等边三角形，熟练掌握相关定义是解题关键． （1）根据中心对称图形的定义作图即可； （2）根据等边三角形的定义作图即可． 【详解】（1）解：如图①，四边形即为所求作； （2）解：如图②，三角形即为所求作． 【变式3.1】（2009·山东淄博·中考真题）如图，点A，B，C的坐标分别为（0，﹣1），（0，2），（3，0）．从下面四个点M（3，3），N（3，﹣3），P（﹣3，0），Q（﹣3，1）中选择一个点，以A，B，C与该点为顶点的四边形不是中心对称图形，则该点是（　　） A．M B．N C．P D．Q 【答案】C 【详解】根据中心对称图形的概念，知：只要组成的四边形不是平行四边形，则一定不是中心对称图形． 解：根据平行四边形的判定，知A、B、D都能够和已知的三个点组成平行四边形，则一定是中心对称图形． 故选C． 【变式3.2】（13-14九年级·全国·课后作业）如图,在4×4的正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形).若再作一个格点正方形,并涂上阴影,使这两个格点正方形无重叠,且组成的图形既是轴对称图形,又是中心对称图形,则这个格点正方形的作法共有 (   ) A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】C 【详解】试题分析：利用轴对称图形的性质以及中心对称图形的性质分析得出符合题意的图形即可． 解：如图所示：组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形， 则这个格点正方形的作法共有4种． 故选C． 点评：此题主要考查了利用轴对称以及旋转设计图案，正确把握相关定义是解题关键． 【变式3.3】（2023九年级·江西赣州·期末）下列网格图都是由相同的小正方形组成的，每个网格图中都有5个小正方形已涂上阴影，请在余下的空白小正方形中，根据下列要求涂上阴影．    (1)在图1中选取1个小正方形涂上阴影，使之成为轴对称图形，且只有1条对称轴（画一种情况即可）； (2)在图2中选取1个小正方形涂上阴影，使之成为中心对称图形，但不是轴对称图形； (3)在图3中选取1个小正方形涂上阴影，使之成为既是中心对称图形又是轴对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据轴对称定义，在第一行第二列涂上阴影或在第三行第二列涂上阴影或在第一行第三列涂上阴影即可； （2）根据中心对称定义，在第三行第五列涂上阴影即可； （3）在第三行第二列涂上阴影即可． 【详解】（1）解：如图1；；    （2）解：如图2，    （3）解：如图3 ；    【点睛】本题主要考查作轴对称图形和中心对称图形，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．掌握轴对称图形和中心对称图形定义是解题的关键． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023·黑龙江哈尔滨·三模）方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点均在小正方形的顶点上． (1)如图1，在方格纸上画出一条裁剪线，沿裁剪线把剪成2个图形，把2个图形进行无缝无重叠拼接(即新图形面积与原图形面积相等)，使拼接后的新图形是中心对称图形(只看新图形的轮廓，不看图形内部拼接线)，新图形的顶点都在方格纸上的顶点上； (2)如图2，在方格纸上画出两条裁剪线，沿裁剪线把剪成3个图形，把3个图形进行无缝无重叠拼接(即新图形面积与原图形面积相等)，使拼接后的新图形既是轴对称图形又是中心对称图形(只看新图形的轮廓，不看图形内部拼接线)，新图形的顶点都在方格纸上的顶点上(画出一个即可)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）沿着剪开，把绕点E旋转到，则平行四边形即为所求； （2）沿着剪开，再沿着剪开，后把绕点E旋转到，把绕点D旋转到，则矩形即为所求； 本题考查了拼图，平行四边形的判定，矩形的判定，轴对称，中心对称，熟练掌握判定和对称的性质是解题的关键． 【详解】（1）沿着剪开，把绕点E旋转到， 则平行四边形即为所求． （2）沿着剪开，再沿着剪开，后把绕点E旋转到，把绕点D旋转到， 则矩形即为所求． 【题型2】（2023·浙江温州·二模）在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的多边形为整点多边形．如图（2，3），B（4，4），请在所给网格区域（含边界）上按要求画整点多边形． (1)在图1中画一个△ABC，使其为轴对称图形，且点C的横坐标是纵坐标的2倍． (2)在图2中画一个四边形ABCD，使其既是轴对称图形又是中心对称图形，且点C的横、纵坐标这两数的平方和不小于20． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的定义以及题干要求作出图形即可． （2）作出边长为的正方形ABCD即可． 【详解】（1）解：如图1中，△ABC即为所求． 此时 符合题意． （2）如图2中，四边形ABCD即为所求． 此时 满足 【点睛】本题考查等腰三角形的作图，轴对称图形与中心对称图形的作图，同时考查等腰三角形的定义，中心对称图形与轴对称图形的性质，勾股定理的应用等知识，解题的关键是掌握旋转变换，轴对称变换的性质，属于中考常考题型． 【题型3】（14-15九年级·全国·课后作业）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形)．若再作一个格点正方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠面积，且组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有 种． 【答案】4 【分析】根据轴对称图形以及中心对称图形的性质与定义，按要求作出图形即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】如图，这个格点正方形的作法共有4种． 故笞案为：4． 【点睛】本题考查了根据轴对称图形以及中心对称图形的性质设计图案，掌握轴对称图形以及中心对称图形的性质是解题的关键． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023九年级·山东潍坊·期末）如图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在 处．（填写区域对应的序号） 【答案】② 【分析】根据中心对称图形的概念解答． 【详解】解：在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形， 这个正方形应该添加区域②处， 故答案为：②． 【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念，掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合是解题的关键． 【题型2】（2023·陕西西安·二模）如图，点O为菱形的对称中心，，，E、F分别是、上的点，连接、．若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，对称中心的性质，解直角三角形，得出是解题关键．连接、，由题意可知，，进而得到，则，由菱形的性质可知，，，再利用锐角三角函数，求出、，即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：如图，连接、， ，， ， 点O为菱形的对称中心， 点O到和的距离相等， ， ， 四边形为菱形，， ，， ，， ， 即图中阴影部分的面积为， 故答案为：． 【题型3】（2023·吉林·一模）图①、图②、图③都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，已有两个小等边三角形涂上了黑色． (1)在图①中，再涂黑两个小等边三角形，使得整个涂色部分图形为轴对称图形，但不是中心对称图形． (2)在图②中，再涂黑两个小等边三角形，使得整个涂色部分图形为中心对称图形，但不是轴对称图形． (3)在图③中，再涂黑两个小等边三角形，使得整个涂色部分图形既是中心对称图形，又是轴对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）结合题意，根据等边三角形、轴对称图形和中心对称图形的性质分析，即可得到答案； （2）结合题意，根据等边三角形、轴对称图形和中心对称图形的性质分析，即可得到答案； （3）结合题意，根据等边三角形、轴对称图形和中心对称图形的性质分析，即可得到答案． 【详解】（1）如图①所示， 阴影部分图形是轴对称图形，不是中心对称图形； （2）如图②所示， 阴影部分图形是中心对称图形，不是轴对称图形； （3）如图③所示， 阴影部分图形既是轴对称图形，也是中心对称图形． 【点睛】本题考查了等边三角形、中心对称图形、轴对称图形的知识；解题的关键是熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的性质，从而完成求解． 模块三 关于原点对称点的坐标 关于原点对称的点的坐标 在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p（x,y）关于原点对称点为（-x,-y）。 【考点1 关于原点对称的点的坐标】 【例1.1】（2023·云南昭通·一模）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查点的坐标的特征．根据题意，关于原点对称的点的坐标与原来的点的横纵坐标都互为相反数． 【详解】解：点与点关于原点对称 点的坐标是． 给答案为：． 【例1.2】（2023九年级·河南安阳·期中）在平面直角坐标系中，已知点，关于原点对称，则a，b的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于原点对称点的坐标特征，解二元一次方程组，根据关于原点对称的点横坐标和纵坐标都互为相反数，列出方程组求解即可． 【详解】解：∵点，关于原点对称， ∴， 解得：， 故选：A． 【例1.3】（2023九年级·福建南平·期中）已知抛物线的顶点M关于坐标原点O的对称点为，若点在这条抛物线上，则点M的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用配方法求得点M的坐标，然后利用关于原点对称点的特点得到点M′的坐标，然后将点M′的坐标代入抛物线的解析式求解即可． 【详解】解：∵， ∴点M为（m，）， ∴点M′的坐标为（，）， ∴， 解得：； ∵， ∴； ∴点M的坐标为：（3，）． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的性质、关于原点对称的点的坐标特点，求得点M′的坐标是解题的关键． 【变式1.1】（2023九年级·陕西·期中）在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则m的值是 ． 【答案】8 【分析】题主要考查了关于原点对称的两个点的坐标特点，解题的关键是熟练掌握关于原点对称的两个点的横、纵坐标互为相反数． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， 故答案为：． 【变式1.2】（2023九年级·山东淄博·期末）已知点和点关于坐标原点对称，则的值为（    ） A． B． C．7 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数求出，据此代值计算即可． 【详解】解：∵点和点关于坐标原点对称， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1.3】（2023九年级·河北邢台·开学考试）已知点A（，）与点B（，）关于原点对称，若，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据关于原点对称的点的坐标特点:两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反可得，的值,进而得到答案. 【详解】解: ∵A（，）与点B（，）关于原点对称， ∴= -， = -， ∵+=2， ∴+= --= -(+)=-2, 故选D. 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点,关键是掌握点的坐标的变化规律. 【考点2 作已知图形关于原点对称的图形】 【例2.1】（2023九年级·四川巴中·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)画出关于原点O的中心对称图形，并直接写出点的坐标． (2)将绕点D顺时针旋转得到，画出，并直接写出点的坐标． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析， 【分析】本题考查坐标与图形，画图形的旋转，画图形的中心对称图形： （1）根据中心对称的性质，画出，进而写出点的坐标即可； （2）根据旋转的性质，画出，进而写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求，由图可知： （2）如图，即为所求，由图可知：； 【例2.2】（2023九年级·山西晋中·期中）如图，在平面坐标系内，三个顶点的坐标分别为．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度） (1)先将向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到，请画出； (2)与关于原点对称，请画出． (3)在（2）的条件下，四边形的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)10 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和中心对称，坐标与图形： （1）先根据“上加下减，左减右加”的平移规律求出A、B、C对应点的坐标，然后描出，最后顺次连接即可； （2）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数求出A、B、C对应点的坐标，然后描出，最后顺次连接即可； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：， 故答案为：10． 【例2.3】（2023九年级·山东聊城·阶段练习）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请你画出向左平移5个单位长度后得到的； (2)请你画出关于原点对称的； (3)在轴上找一点，使的周长最小，请你标出点的位置，此时点的坐标为______． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】本题考查作图-平移变换、中心对称、轴对称-最短路线问题，熟练掌握平移的性质、中心对称的性质、轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可． （2）根据中心对称的性质作图即可． （3）取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时的周长最小，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）如图，即为所求． （3）取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接， 此时，为最小值， ∴最小， 即的周长最小， 则点即为所求． 由图可知，点的坐标为． 故答案为：． 【变式2.1】（2023九年级·陕西商洛·期末）如图，在平面直角坐标系中的顶点坐标分别为，，．    (1)以原点为旋转中心，将旋转得到，点，，的对应点分别为，，，画出旋转后的； (2)点关于原点的对称点的坐标为（ ， ）． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了作图﹣旋转变换，熟记旋转变换的性质是解题的关键． （1）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解； （2）根据中心对称的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；    （2）点关于原点的对称点的坐标为， 故答案为：． 【变式2.2】（2023九年级·广西南宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)将向上平移4个单位长度得到，请画出，并直接写出的坐标； (2)以点为对称中心，画出的中心对称图形； (3)在（2）的图形变换过程中，点与为对应点，求的值． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析， (3) 【分析】本题主要考查了平移、轴对称等知识点； （1）根据平移的定义，的每个顶点、、分别向上平移个单位得到，再顺次连接即可画出图形，最后直接写出的坐标即可； （2）根据中心对称的定义，的每个顶点A、B、C分别作关于对称的点，再顺次连接即可画出图形即可； （3）根据平移的性质以及中心对称的性质得出坐标的关系，求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求，的坐标为． （2）解：如图所示，即为所求， （3）∵向上平移4个单位长度得到，关于原点对称得出，即， ∴， ∴． 【变式2.3】23-24九年级·江苏无锡·阶段练习）如图，正方形网格中，三角形的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题： (1)画出，使它与三角形关于坐标原点O成中心对称，则的坐标为_______． (2)在（1）的条件下，仅用无刻度的直尺，作出线段的垂直平分线． (3)将三角形绕某点旋转后，其对应点分别为，则旋转中心的坐标为_______． 【答案】(1)，图见解析； (2)图见解析； (3)，图见解析 【分析】（）根据旋转的性质可知，，进而即可解答； （）根据题意先找出的中点，再根据题意找出到点和点的距离相等的点即可； （）先画出，再根据旋转的性质即可解答． 本题考查了旋转的性质，垂直平分线的画法，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵三角形的顶点均在格点上， ∴，，， ∵与关于坐标原点O成中心对称， ∴，，， （2）解：如图，线段的垂直平分线为，即为所求， （3）解：如图所示点即为旋转中心， ∴ 【规律方法综合练】 【题型1】（2023九年级·四川绵阳·期中）点与点关于原点对称,则(a+b)2 020= ． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数求出a、b的值，然后相加计算即可得解． 【详解】∵点与点关于原点对称 ∴ ∴ ∴ 故答案为1. 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数． 【题型2】（2023九年级·山西太原·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)①若经过平移后得到，已知，画出平移后的； ②可以看作沿的方向一次平移__________个单位长度得到； (2)将以原点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的． (3)已知点，若点E满足，且，请直接写出E点的坐标__________． 【答案】(1)①见解析；②； (2)见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和中心对称，坐标与图形，勾股定理： （1）①根据点A和点的坐标可得平移方式为向右平移4个单位长度，向上平移1个单位长度，据此求出B、C对应点的坐标，再顺次连接对应点即可得到答案；②利用勾股定理求出得长即可得到答案； （2）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数得到A、B、C对应点的坐标，进而顺流连接对应点即可得到答案； （3）根据B、D坐标得到轴，且，据此可得答案． 【详解】（1）解：①如图所示，即为所求； ②∵，， ∴， ∴可以看作沿的方向一次平移个单位长度得到， 故答案为：； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：∵，， ∴轴， ∵， ∴轴，且， ∵， ∴点D的坐标为或， 故答案为：或． 【题型3】（2023九年级·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，将直线沿坐标轴方向平移后，得到直线与关于坐标原点中心对称，则下列平移作法正确的是（    ） A．将向右平移4个单位长度 B．将向左平移6个单位长度 C．将向上平移6个单位长度 D．将向上平移4个单位长度 【答案】D 【分析】先画出图象，求出直线与坐标轴交点A、B坐标，根据中心对称的性质得到对应点D、C坐标，利用待定系数法求出直线解析式，直线平移的规律即可求解． 【详解】解：如图，把y=0代入得到，把x=0代入得到y=-2， ∴直线与x轴、y轴的交点分别为A、B（0,-2）， ∵直线与关于坐标原点中心对称， ∴点A关于原点对称的点D的坐标为，点B关于原点对称的点C的坐标为（0,2） 设的解析式为， 则， 解得 ∴的解析式为 ∴直线可以看做直线向上平移4个单位得到． 故选：D 【点睛】本题考查了求一次函数与坐标轴的交点、待定系数法、一次函数的平移、中心对称的性质等知识，熟知一次函数的知识和中心对称的性质是解题关键． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023九年级·全国·竞赛）已知与点关于原点对称的点在第三象限内，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点（关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数），掌握各象限内点的坐标特征即可解题． 【详解】解：与点关于原点对称的点在第三象限内， 点在第一象限， ， 解得：， 故答案为：． 【题型2】（2023九年级·全国·专题练习）（1）如图甲，在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，则涂黑的小正方形的序号是 ． （2）如图乙，所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： ①作出关于坐标原点成中心对称的； ②若将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，，，则旋转中心坐标为 ． 【答案】（1）④；（2）①见解析；② 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据中心对称图形的特点进行判断即可； （2）①根据网格结构找出点、、关于原点成中心对称的点、、的位置，然后顺次连接即可； ②根据网格结构找出点、、的位置，再根据旋转的性质找出旋转中心并写出坐标． 【详解】解：（1）如图甲，把标有序号④的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形； （2）①如图乙所示； ②如图， 旋转中心． 故答案为：． 【题型3】（2023·山东泰安·一模）如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转，那么经过2025次旋转后，顶点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据正六边形的性质，确定点的坐标，再根据旋转的性质，及原点对称坐标变换，即可求解， 本题考查了，正六边形的性质，旋转的性质，求原点对称点坐标，含角直角三角形的性质，解题的关键是：找到坐标变化规律． 【详解】解：连接、， 在正六边形ABCDEF中， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ， ∴， ∴， ∴， ∵正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转， ∴6次一个循环， ∵…， ∴经过2025次旋转之后，顶点的坐标与的坐标相同， ∵于关于原点对称， ∴， 故答案为：． 模块四 课后作业 1．（2023九年级·辽宁沈阳·期中）以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中为中心对称图形的是（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 故选：． 2．（2023·四川宜宾·一模）若点与关于原点对称，则点所在的象限是（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点以及各点所在象限的性质，根据“点与关于原点对称”，求出a、b的值，即可确定点M的坐标，进而得到结论．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 【详解】解：∵点与关于原点对称， ∴，， ∴ ∴点在第四象限， 故选：D． 3．（2023·江苏盐城·一模）在三张透明纸上，分别有、直线l及直线l外一点P、两点M与N，下列操作能通过折叠透明纸实现的有（    ） ①图1，的角平分线 ②图2，过点P垂直于直线l的垂线 ③图3，点M与点N的对称中心 A．① B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】由角平分线所在的直线是这个角的对称轴可判断①；根据垂直的性质可判断②；根据成中心对称的对应点连线经过对称中心，并且被对称中心平分可判断③． 【详解】①经过点O进行折叠，使与重合，折痕纪委角平分线，故①能通过折叠透明纸实现； ②经过点P折叠，使折痕两边的直线l重合，折痕即为过点P垂直于直线l的垂线，故②能通过折叠透明纸实现； ③经过点N，M折叠，展开，展开，然后再折叠使点N，M重合，两次折痕的交点即为点N，M的对称中心，故③能通过折叠透明纸实现． 故选：D． 【点睛】此题考查了角平分线的对称性，垂线的性质，中心对称的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 4．（2023·河北石家庄·模拟预测）如图，是的网格图，将图中①、②、③、④中的一个小正方形涂灰，使所有的灰色图形构成中心对称图形，则涂灰的正方形是（    ）． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】根据中心对称图形的概念：将图形绕端点旋转180°所形成的图形叫中心对称图形判断即可． 【详解】根据中心对称图形的概念，将③涂灰，就可以使图中的灰色图形构成中心对称图形， 故选：C． 【点睛】本题考查了中心对称图形，理解中心对称图形的概念是关键． 5．（2023九年级·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，有A（2，-1）、B（-1，-2）、C（2，1）、D（-2，1）四点．其中，关于原点对称的两点为（    ） A．点A和点B B．点B和点C C．点C和点D D．点D和点A 【答案】D 【分析】根据关于原点对称，横纵坐标都互为相反数即可得出答案． 【详解】解：A（2，﹣1）与D（﹣2，1）关于原点对称. 故选D． 【考点】关于原点对称的点的坐标． 6．（2023九年级·全国·课后作业）（1）和点关于 对称； （2）如果点在第三象限则点关于原点的对称点在第 象限． 【答案】 原点 二 【分析】（1）根据A、B两点的横纵坐标互为相反数，即可判断它们关于原点对称； （2）先根据A在第三象限即可确定，从而可以确定B所在的象限，再根据与原点对称的点的特点进行求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴A、B两点的横纵坐标互为相反数， ∴A、B两点关于原点对称； （2）∵点在第三象限， ∴， ∴， ∴在第四象限， ∴点B关于原点对称的点在第二象限， 故答案为：原点，二． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键在于能够熟练掌握关于原点对称的两点的横纵坐标互为相反数． 7．（2023·江苏泰州·二模）如图，在4×4的方格纸中，画格点三角形（顶点均在格点上）与关于方格纸中的一个格点成中心对称，这样的有 个．    【答案】2 【分析】本题考查了中心对称的定义，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此进行作图，即可作答． 【详解】解：如图所示：       则这样的有个 故答案为：2． 8．（2023九年级·上海杨浦·期末）如图，是由五个形状、大小都相同的正方形组成的图形，如果去掉其中一个正方形，使得剩下的图形是一个中心对称图形，那么不同的去法有 种． 【答案】2 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，去掉一个小正方形后能组成中心对称图形的情况如下， ∴去掉其中一个正方形，使得剩下的图形是一个中心对称图形，那么不同的去法有2种， 故答案为：2． 9．（2023九年级·全国·专题练习）在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了坐标与图形变化--旋转问题，解题的关键是推出点的横坐标、纵坐标规律．首先根据是边长为的等边三角形，可得的坐标为，的坐标为；然后根据中心对称的性质，分别求出点、、的坐标各是多少；最后总结出的坐标的规律，即可求出的坐标． 【详解】解： 是边长为的等边三角形， 的坐标为，的坐标为， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， …， ，，，，…， 的横坐标是，当为奇数时，的纵坐标是，当为偶数时，的纵坐标是， 的顶点的坐标是， 故答案为 10．（2023九年级·广东惠州·竞赛）如图所示，已知抛物线，抛物线关于原点中心对称．如果抛物线的解析式为，那么抛物线的解析式为 ．    【答案】 【分析】根据抛物线的解析式确定抛物线的开口方向及顶点坐标，然后结合中心对称的性质确定抛物线的开口方向及顶点坐标，即可求解． 【详解】解：抛物线的解析式为， ∴抛物线的开口向上，顶点坐标为， ∵抛物线，抛物线关于原点中心对称， ∴抛物线的开口向下，顶点坐标为， 抛物线的解析式为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的基本性质及关于原点中心对称的点的特点，熟练掌握运用二次函数的基本性质是解题关键． 11．（2023九年级·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称． (1)求a，b的值． (2)已知点，将点C绕原点按逆时针方向旋转后，其对应点的坐标为________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内关于原点对称的点的特征，点的旋转，全等三角形的性质和判定等， （1）根据两个点关于原点对称横纵坐标都互为相反数，确定a，b的值即可； （2）先确定点C，再根据旋转的性质确定点，然后根据全等三角形的性质得出答案． 【详解】（1）∵点，点关于原点对称， ∴， 解得； （2）由（1），得点，将点C绕原点逆时针旋转得到点，如图所示. 作轴，于点D，作轴，于点E. 根据题意可知，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴点． 故答案为：． 12．（2023九年级·湖南郴州·期中）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，三个顶点的坐标分别为，，． (1)在平面直角坐标系中，画出关于原点O成中心对称的，并写出，，的点坐标． (2)求的面积． 【答案】(1)见解析，，， (2)2 【分析】本题考查作图-旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转和中心对称的性质是解答本题的关键． （1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出点、、的对应点，，，然后描点即可得到． （2）利用割补法进行计算 【详解】（1）如图，为所作． ∴，，； （2） 13．（2023·山西朔州·三模）同学们利用几何画图软件开展了“图案设计”项目式学习，下面是三位同学在的正方形网格中设计的三种不同图案的一部分，请将图1中的图案补成既是轴对称图形，又是中心对称图形，将图2中的图案补成中心对称图形，在图3中设计一个图案，使其是中心对称图形，但不是轴对称图形．    【答案】见详解 【分析】本题主要考查轴对称图形的绘制，中心对称图形的绘制，理解轴对称、中心对称的定义是解题的关键． 轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，称这两个图形是轴对称图形．中心对称图形：是指如果一个图形绕着一个点旋转180度后，所得的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫对称中心，根据定义即可求解． 【详解】解：如图，答案不唯一． 14．（2023九年级·山东青岛·期中）如图，小颖同学在边长为1的小正方形组成的网格中，以为基本图形，绘制平面图形，请根据下列要求解答问题． (1)绕点A逆时针旋转______度得到； (2)在图中画出将关于点A中心对称后得到的． (3)在以点A为原点，以所在直线为y轴建立的平面直角坐标系中，若点，请写出它的对称点的坐标为______． 【答案】(1)90 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了利用旋转设计图案，旋转的性质，三角形的面积的计算，正确地作出图形是解题的关键． （1）根据旋转的性质结合图形即可得到结论； （2）根据旋转的性质作出图形即可； （3）根据中心对称的性质以及点的位置即可得到结论． 【详解】（1）解：绕点逆时针旋转90度得到； 故答案为：90； （2）解：如图所示，即为所求； ； （3）解：如图所示，点， 则点的坐标为． 故答案为：． 15．（2023·四川广安·二模）如图，网格中每个小正方形的边长为1．请你认真观察图1中的三个网格中的黑色部分构成的图案，解答下列问题： (1)这三个图案都具有以下共同特征：都是______对称图形，都不是______对称图形； (2)在图2中选一个白色的小正方形并涂黑，使图2中黑色部分是轴对称图形； (3)请在图3中设计出一个面积为4的图案，且具备（1）中的特征（不与图1中所给图案相同）． 【答案】(1)中心，轴 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】本题考查图形与变换，掌握轴对称图形和中心对称图形的定义，平行四边形的性质，是解题的关键． （1）根据图形的特点，绕一点旋转180度后能与自身重合，进行判断即可； （2）根据轴对称图形的定义，进行作图即可； （3）画出一个面积为的平行四边形即可． 【详解】（1）解：这三个图案都具有以下共同特征：都是中心对称图形，都不是轴对称图形； 故答案为：中心，轴； （2）如图， （3）如图， 由图可知，图形是平行四边形，是中心对称图形，且，符合题意． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16讲 中心对称 【人教版】 ·模块一 中心对称 ·模块二 中心对称图形 ·模块三 关于原点对称点的坐标 ·模块四 课后作业 模块一 中心对称 1. 中心对称的定义： 中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。 注意以下几点： 中心对称指的就是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转180°两个图形能够完全重合。 2. 作一个图形关于某点对称的图形： 要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键就是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可的出成中心对称图形。 3. 中心对称的性质： （1）关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分； （2）关于中心对称的两个图形能够互相重合，就是全等形； （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。 【考点1 中心对称的概念及性质】 【例1.1】（2023九年级·云南曲靖·阶段练习）下列各组图形中，不成中心对称的是（   ） A．   B．   C．   D．   【例1.2】（2023九年级·江苏·专题练习）如图，与关于O成中心对称，下列不成立的是（ ） A． B． C． D． 【例1.3】（2023九年级·河南洛阳·期末）如图，在平行四边形中，关于点成中心对称的三角形有 对． 【变式1.1】（2023九年级·辽宁沈阳·期末）若两个图形成中心对称，则下列说法：①对应点的连线必经过对称中心；②这两个图形的形状和大小完全相同；③这两个图形的对应线段一定相等；④将一个图形绕对称中心旋转后必与另一个图形重合．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1.2】（2023九年级·山东济宁·阶段练习）如图，直线、垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为 ． 【变式1.3】（2023九年级·全国·课后作业）如图，与关于点成中心对称． （1）点，，的对应点分别是什么？ （2）点，，的位置关系是怎样？ （3）指出图中相等的线段和相等的角． 【考点2 中心对称作图】 【例2.1】（2023·安徽安庆·一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点)． (1)画出△ABC关于点C成中心对称的△A'B'C（其中A'是点A的对应点，B'是点B的对应点）； (2)用无刻度的直尺作出一个格点O，使得OA=OB． 【例2.2】（2023九年级·吉林白城·阶段练习）如图是的小正方形网格，的顶点都在格点上，按下列要求作图（所画图形的顶点都在格点上，并标注对应字母）．          (1)在图①中，画出，使与关于直线成轴对称； (2)在图②中，将绕某一格点旋转得到，使与成中心对称，画出，并在图中标出旋转中心． 【例2.3】（2023九年级·宁夏石嘴山·期末）图1、图2均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点和点D均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图、并保留作图痕迹． (1)在图1中，画出将绕点D顺时针旋转得到的； (2)在图2中，画出，使与关于点D成中心对称． 【变式2.1】（2023九年级·河南洛阳·期末）如图，在一个的正方形网格中，现将其中的两个小正方形涂上阴影，请你用两种不同的方法分别在图中再将两个空白的小正方形涂上阴影，使它关于某点成中心对称，并用字母标出对称中心．    【变式2.2】（2023九年级·上海金山·期末）如图所示，在四边形中， (1)画出四边形，使四边形与四边形关于直线成轴对称； (2)画出四边形，使四边形与四边形关于点成中心对称； (3)四边形与四边形是否对称，若对称请在图中画出对称轴或对称中心． 【变式2.3】（2023九年级·上海普陀·期末）如图，在正方形网格中、每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．    (1)画出，使与关于直线MN成轴对称；画出，使与关于点A成中心对称． (2)在第（1）小题的基础上，联结，四边形的面积为_______．（直接写出答案） 【规律方法综合练】 【题型1】（2023九年级·山东聊城·期末）如图，△ABC与△A'B'C'关于某一个点成中心对称，点A、B的对称点分别为点A'和B'，请找出对称中心O，同时把图形补充完整． 【题型2】（2023·黑龙江哈尔滨·一模）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为，的顶点和线段的端点均在小正方形的顶点上． (1)在方格纸中画出，使与关于点成中心对称（点、点的对称点分别是点、点，点、均在小正方形的顶点上）； (2)在方格纸中画出以线段为一边的正方形（点，点均在小正方形的顶点上），连接，请直接写出线段的长． 【题型3】（2023九年级·江西南昌·期中）如图为某公园中心对称的观赏鱼池，阴影部分为观赏喂鱼台，已知米．求阴影部分的面积． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023九年级·陕西西安·期中）如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心； (2)若，，，求的周长． 【题型2】（2023九年级·云南昭通·期中）如图，在方格网中已知格点和点O．画，使其与关于点O成中心对称．    【题型3】（2023九年级·广东广州·期中）如图，与关于点中心对称，若点，分别在、上，且，求证：．    模块二 中心对称图形 中心对称图形的定义 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就就是它的对称中心。 【考点1 中心对称图形的概念】 【例1.1】（2023九年级·陕西西安·阶段练习）全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量．图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下是我国四个省的图书馆标志，其中图案是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【例1.2】（2023九年级·江苏南京·阶段练习）写出一个是中心对称而不是轴对称图形的名称： ．（答案不唯一） 【例1.3】（2023年黑龙江省龙东地区部分学校中考四模数学试题）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1.1】（2023九年级·浙江宁波·期中）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式1.2】（2023·辽宁盘锦·二模）下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.3】（2023·江苏无锡·模拟预测）给出下列4种图形：①线段．②等边三角形，③矩形，④正六边形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ．（在横线上填写图形前的标号即可） 【考点2 中心对称的性质】 【例2.1】（2023九年级·吉林·期中）如图，是等腰三角形的底边的中线，，，与关于点C成中心对称，连接，则的长是（    ） A．4 B． C． D． 【例2.2】（2023·陕西·三模）如图，点O是矩形ABCD的对称中心，点E在AB边上，连接CE．若点B与点O关于CE对称，则CB：AB为（　　） A． B． C． D． 【例2.3】（2023·陕西咸阳·三模）如图，在平行四边形中，，，线段与线段分别过平行四边形的对称中心O，且将平行四边形分成相等的四份，若，则 ． 【变式2.1】（2023九年级·湖南娄底·期末）如图，是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，AC=1，则BB′的长为 ． 【变式2.2】（2023九年级·河南三门峡·期末）如图，正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是3和2，则图中阴影部分的面积是 ． 【变式2.3】（2023九年级·安徽阜阳·期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，过菱形的对角线交点O分别作边AB、BC的垂线并延长，交各边于点E、F、G、H，则四边形EFGH的周长为（　　） A．2+2 B．2+ C．3+ D．1+2 【考点3 作中心对称图形】 【例3.1】（2023·河北邢台·一模）如图是的网格图，将图中标有①、②、③、④的一个小正方形涂灰，使所有的灰色图形构成中心对称图形，则涂灰的小正方形是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【例3.2】（2023·江西新余·模拟预测）如图，这是的正方形网格，小正方形的顶点为格点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作格点C，连接，使； (2)在图2中作四边形，使点D、E在格点上，且四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形． 【例3.3】（2023九年级·吉林白山·阶段练习）图①，图②都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，分别按要求画出图形． (1)在图①中画一个四边形，使点E、F在格点上，且四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形； (2)在图②中画一个三角形，使点C在格点上，且三角形是等边三角形． 【变式3.1】（2009·山东淄博·中考真题）如图，点A，B，C的坐标分别为（0，﹣1），（0，2），（3，0）．从下面四个点M（3，3），N（3，﹣3），P（﹣3，0），Q（﹣3，1）中选择一个点，以A，B，C与该点为顶点的四边形不是中心对称图形，则该点是（　　） A．M B．N C．P D．Q 【变式3.2】（13-14九年级·全国·课后作业）如图,在4×4的正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形).若再作一个格点正方形,并涂上阴影,使这两个格点正方形无重叠,且组成的图形既是轴对称图形,又是中心对称图形,则这个格点正方形的作法共有 (   ) A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【变式3.3】（2023九年级·江西赣州·期末）下列网格图都是由相同的小正方形组成的，每个网格图中都有5个小正方形已涂上阴影，请在余下的空白小正方形中，根据下列要求涂上阴影．    (1)在图1中选取1个小正方形涂上阴影，使之成为轴对称图形，且只有1条对称轴（画一种情况即可）； (2)在图2中选取1个小正方形涂上阴影，使之成为中心对称图形，但不是轴对称图形； (3)在图3中选取1个小正方形涂上阴影，使之成为既是中心对称图形又是轴对称图形． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023·黑龙江哈尔滨·三模）方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点均在小正方形的顶点上． (1)如图1，在方格纸上画出一条裁剪线，沿裁剪线把剪成2个图形，把2个图形进行无缝无重叠拼接(即新图形面积与原图形面积相等)，使拼接后的新图形是中心对称图形(只看新图形的轮廓，不看图形内部拼接线)，新图形的顶点都在方格纸上的顶点上； (2)如图2，在方格纸上画出两条裁剪线，沿裁剪线把剪成3个图形，把3个图形进行无缝无重叠拼接(即新图形面积与原图形面积相等)，使拼接后的新图形既是轴对称图形又是中心对称图形(只看新图形的轮廓，不看图形内部拼接线)，新图形的顶点都在方格纸上的顶点上(画出一个即可)． 【题型2】（2023·浙江温州·二模）在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的多边形为整点多边形．如图（2，3），B（4，4），请在所给网格区域（含边界）上按要求画整点多边形． (1)在图1中画一个△ABC，使其为轴对称图形，且点C的横坐标是纵坐标的2倍． (2)在图2中画一个四边形ABCD，使其既是轴对称图形又是中心对称图形，且点C的横、纵坐标这两数的平方和不小于20． 【题型3】（14-15九年级·全国·课后作业）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形)．若再作一个格点正方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠面积，且组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有 种． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023九年级·山东潍坊·期末）如图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在 处．（填写区域对应的序号） 【题型2】（2023·陕西西安·二模）如图，点O为菱形的对称中心，，，E、F分别是、上的点，连接、．若，则图中阴影部分的面积为 ． 【题型3】（2023·吉林·一模）图①、图②、图③都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，已有两个小等边三角形涂上了黑色． (1)在图①中，再涂黑两个小等边三角形，使得整个涂色部分图形为轴对称图形，但不是中心对称图形． (2)在图②中，再涂黑两个小等边三角形，使得整个涂色部分图形为中心对称图形，但不是轴对称图形． (3)在图③中，再涂黑两个小等边三角形，使得整个涂色部分图形既是中心对称图形，又是轴对称图形． 模块三 关于原点对称点的坐标 关于原点对称的点的坐标 在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p（x,y）关于原点对称点为（-x,-y）。 【考点1 关于原点对称的点的坐标】 【例1.1】（2023·云南昭通·一模）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则点的坐标是 ． 【例1.2】（2023九年级·河南安阳·期中）在平面直角坐标系中，已知点，关于原点对称，则a，b的值是（   ） A． B． C． D． 【例1.3】（2023九年级·福建南平·期中）已知抛物线的顶点M关于坐标原点O的对称点为，若点在这条抛物线上，则点M的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2023九年级·陕西·期中）在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则m的值是 ． 【变式1.2】（2023九年级·山东淄博·期末）已知点和点关于坐标原点对称，则的值为（    ） A． B． C．7 D． 【变式1.3】（2023九年级·河北邢台·开学考试）已知点A（，）与点B（，）关于原点对称，若，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【考点2 作已知图形关于原点对称的图形】 【例2.1】（2023九年级·四川巴中·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)画出关于原点O的中心对称图形，并直接写出点的坐标． (2)将绕点D顺时针旋转得到，画出，并直接写出点的坐标． 【例2.2】（2023九年级·山西晋中·期中）如图，在平面坐标系内，三个顶点的坐标分别为．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度） (1)先将向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到，请画出； (2)与关于原点对称，请画出． (3)在（2）的条件下，四边形的面积为______． 【例2.3】（2023九年级·山东聊城·阶段练习）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请你画出向左平移5个单位长度后得到的； (2)请你画出关于原点对称的； (3)在轴上找一点，使的周长最小，请你标出点的位置，此时点的坐标为______． 【变式2.1】（2023九年级·陕西商洛·期末）如图，在平面直角坐标系中的顶点坐标分别为，，．    (1)以原点为旋转中心，将旋转得到，点，，的对应点分别为，，，画出旋转后的； (2)点关于原点的对称点的坐标为（ ， ）． 【变式2.2】（2023九年级·广西南宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)将向上平移4个单位长度得到，请画出，并直接写出的坐标； (2)以点为对称中心，画出的中心对称图形； (3)在（2）的图形变换过程中，点与为对应点，求的值． 【变式2.3】23-24九年级·江苏无锡·阶段练习）如图，正方形网格中，三角形的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题： (1)画出，使它与三角形关于坐标原点O成中心对称，则的坐标为_______． (2)在（1）的条件下，仅用无刻度的直尺，作出线段的垂直平分线． (3)将三角形绕某点旋转后，其对应点分别为，则旋转中心的坐标为_______． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023九年级·四川绵阳·期中）点与点关于原点对称,则(a+b)2 020= ． 【题型2】（2023九年级·山西太原·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)①若经过平移后得到，已知，画出平移后的； ②可以看作沿的方向一次平移__________个单位长度得到； (2)将以原点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的． (3)已知点，若点E满足，且，请直接写出E点的坐标__________． 【题型3】（2023九年级·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，将直线沿坐标轴方向平移后，得到直线与关于坐标原点中心对称，则下列平移作法正确的是（    ） A．将向右平移4个单位长度 B．将向左平移6个单位长度 C．将向上平移6个单位长度 D．将向上平移4个单位长度 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023九年级·全国·竞赛）已知与点关于原点对称的点在第三象限内，则的取值范围是 ． 【题型2】（2023九年级·全国·专题练习）（1）如图甲，在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，则涂黑的小正方形的序号是 ． （2）如图乙，所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： ①作出关于坐标原点成中心对称的； ②若将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，，，则旋转中心坐标为 ． 【题型3】（2023·山东泰安·一模）如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转，那么经过2025次旋转后，顶点D的坐标为 ． 模块四 课后作业 1．（2023九年级·辽宁沈阳·期中）以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中为中心对称图形的是（　　　） A． B． C． D． 2．（2023·四川宜宾·一模）若点与关于原点对称，则点所在的象限是（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2023·江苏盐城·一模）在三张透明纸上，分别有、直线l及直线l外一点P、两点M与N，下列操作能通过折叠透明纸实现的有（    ） ①图1，的角平分线 ②图2，过点P垂直于直线l的垂线 ③图3，点M与点N的对称中心 A．① B．①② C．②③ D．①②③ 4．（2023·河北石家庄·模拟预测）如图，是的网格图，将图中①、②、③、④中的一个小正方形涂灰，使所有的灰色图形构成中心对称图形，则涂灰的正方形是（    ）． A．① B．② C．③ D．④ 5．（2023九年级·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，有A（2，-1）、B（-1，-2）、C（2，1）、D（-2，1）四点．其中，关于原点对称的两点为（    ） A．点A和点B B．点B和点C C．点C和点D D．点D和点A 6．（2023九年级·全国·课后作业）（1）和点关于 对称； （2）如果点在第三象限则点关于原点的对称点在第 象限． 7．（2023·江苏泰州·二模）如图，在4×4的方格纸中，画格点三角形（顶点均在格点上）与关于方格纸中的一个格点成中心对称，这样的有 个．    8．（2023九年级·上海杨浦·期末）如图，是由五个形状、大小都相同的正方形组成的图形，如果去掉其中一个正方形，使得剩下的图形是一个中心对称图形，那么不同的去法有 种． 9．（2023九年级·全国·专题练习）在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是 ． 10．（2023九年级·广东惠州·竞赛）如图所示，已知抛物线，抛物线关于原点中心对称．如果抛物线的解析式为，那么抛物线的解析式为 ．    11．（2023九年级·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称． (1)求a，b的值． (2)已知点，将点C绕原点按逆时针方向旋转后，其对应点的坐标为________． 12．（2023九年级·湖南郴州·期中）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，三个顶点的坐标分别为，，． (1)在平面直角坐标系中，画出关于原点O成中心对称的，并写出，，的点坐标． (2)求的面积． 13．（2023·山西朔州·三模）同学们利用几何画图软件开展了“图案设计”项目式学习，下面是三位同学在的正方形网格中设计的三种不同图案的一部分，请将图1中的图案补成既是轴对称图形，又是中心对称图形，将图2中的图案补成中心对称图形，在图3中设计一个图案，使其是中心对称图形，但不是轴对称图形．    14．（2023九年级·山东青岛·期中）如图，小颖同学在边长为1的小正方形组成的网格中，以为基本图形，绘制平面图形，请根据下列要求解答问题． (1)绕点A逆时针旋转______度得到； (2)在图中画出将关于点A中心对称后得到的． (3)在以点A为原点，以所在直线为y轴建立的平面直角坐标系中，若点，请写出它的对称点的坐标为______． 15．（2023·四川广安·二模）如图，网格中每个小正方形的边长为1．请你认真观察图1中的三个网格中的黑色部分构成的图案，解答下列问题： (1)这三个图案都具有以下共同特征：都是______对称图形，都不是______对称图形； (2)在图2中选一个白色的小正方形并涂黑，使图2中黑色部分是轴对称图形； (3)请在图3中设计出一个面积为4的图案，且具备（1）中的特征（不与图1中所给图案相同）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$