第15讲 图形的旋转-2024年暑假九年级数学上册自学课系列（人教版）

第15讲 图形的旋转 【人教版】 ·模块一 旋转的定义及其性质 ·模块二 旋转作图 ·模块三 课后作业 模块一 旋转的定义及其性质 1. 旋转的定义 在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。 2. 旋转的性质 （1）对应点到旋转中心的距离相等； （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （3）旋转前后的图形全等。 （1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。 （2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。 （3）图形的大小与形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。 【考点1 旋转的概念】 【例1.1】（2023九年级·全国·假期作业）下列现象属于旋转的是（    ） A．摩托车在急刹车时向前滑动 B．电梯上下运动的过程 C．幸运大转盘转动的过程 D．笔直的铁轨上飞驰而过的火车 【例1.2】（2023九年级·陕西西安·期中）如图所示的图案，可以看作是一个四边形（阴影部分）按顺时针方向通过5次旋转得到的，每次旋转的角度是 ． 【例1.3】（2023九年级·北京海淀·期末）时钟上的分针匀速旋转一周需要分钟，则经过分钟，分针旋转了 ． 【变式1.1】（2023九年级·全国·课后作业）2022年北京冬奥会会徽是以汉字“冬”为灵感来源设计的．下面四个选项中，能由如图所示的图形经过旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 【变式1.2】（2023九年级·贵州贵阳·期中）如图所示，图形①经过轴对称变换得到图形②；则图形①经过 变换得到图形③；图形①经过 变换得到图形④．（填平移或旋转）    【变式1.3】（2023·北京·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，可以看作是经过若干次图形的变换（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△ABC得到△EFG的过程： ． 【考点2 旋转的性质】 【例2.1】（2023九年级·山西晋中·期中）如图，是由绕点O顺时针旋转得到的，以下说法不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2.2】（2023九年级·福建福州·期中）已知A(0，﹣1)，B(1，0)，C(0，1)，D(3，0)，若线段BD可由线段AC绕旋转中心P旋转而得（点A与点B重合），则点P的坐标是 ． 【例2.3】（2023九年级·陕西商洛·期中）如图，在中，，将绕点A旋转到的位置，连接，当时，求的度数． 【变式2.1】（2023九年级·河南漯河·期中）如图，在中，，，点D为垂足，将绕点A顺时针旋转，使与重合，点D落在点E处，延长交的延长线于点F，延长交的延长线于点G，求证：． 【变式2.2】（2023九年级·广西防城港·期中）如图，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，已知，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式2.3】（2023九年级·河北沧州·期中）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则的长为（　　）    A．4 B． C．3 D． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023九年级·全国·专题练习）观察图，依次几何变换顺序正确的是（　　）    A．轴对称、旋转、平移 B．旋转、轴对称、平移 C．轴对称、平移、旋转 D．平移、轴对称、旋转 【题型2】（2023九年级·山东青岛·期中）如图，中，，，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕逆时针旋转一定角度，点恰好与点C重合，则平移的距离为 ． 【题型3】（2023九年级·湖北武汉·期末）如图，将绕点A逆时针旋转得到，B，C，D三点恰好在同一直线上． (1)判断的形状； (2)连接，若，求的度数． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023九年级·贵州贵阳·期中）如图，与都是等腰直角三角形，，点E在上，如果绕点A逆时针旋转后能与重合，则旋转角度是(   ) A． B． C． D． 【题型2】（2023·天津南开·三模）如图，将矩形绕点顺时针旋转至矩形的位置，连接，，取，的中点，，连接，若，． （1）的长度为 ； （2）的长度为 ． 【题型3】（2023九年级·辽宁沈阳·阶段练习）如图，四边形中，是对角线，是等边三角形．线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)若，，，直接写出的长为________． 模块二 旋转作图 利用旋转性质作图： （1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （2）对应点到旋转中心的距离相等，它就是利用旋转的性质作图的关键。步骤可分为： ①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心； ②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角） ③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，的到各点的对应点； ④接：即连接到所连接的各点。 【考点1 旋转作图】 【例1.1】（2023·海南省直辖县级单位·二模）将绕点旋转得到，则下列作图正确的是（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（2023六年级上·北京·期末）如图，将长方形向 平移 格，再绕 ， 时针旋转 ，就可以将其移至方框所示的位置． 【例1.3】（2023九年级·北京朝阳·期末）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点关于直线的对称点为，连接交直线于点，连接． (1)根据题意补全图形； (2)判断的形状并证明； (3)连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【变式1.1】（2023九年级·上海·专题练习）将图形  绕中心旋转后的图形是 （画出图形）． 【变式1.2】（2023六年级下·黑龙江大庆·期中）请先将绕点逆时针旋转90度画出图形，再将旋转后的图形向右平移12格画出来． 【变式1.3】（2023九年级·北京密云·期末）如图，在中，，.点D为边上的一点，将线段绕点C逆时针旋转90°得到线段，连接、. (1)依据题意，补全图形； (2)直接写出的度数； (3)若点F为中点，连接交于点P，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明. 【考点2 平面直角坐标系中的旋转】 【例2.1】（2023·安徽合肥·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知网格的每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)将先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到，画出， 并写出点的对应点的坐标； (2)画出绕点按逆时针方向旋转的， 并写出点的坐标． 【例2.2】（2023九年级·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，、，点D在上，，过点D的直线l平分的面积，现将l绕原点逆时针旋转得直线，则直线的函数解析式为 ． 【例2.3】（2023九年级·贵州黔东南·期中）如图，直线与轴、轴分别交于A、B两点，把绕点A旋转后得到，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2.1】（2023九年级·广东·期中）如图，，，将线段绕原点顺时针旋转得到线段，线段的中点恰好落在抛物线上，则 ．    【变式2.2】（2023九年级·四川绵阳·阶段练习）在如图所示的平面直角坐标系中，有．点，，． (1)将向x轴负方向平移4个单位得到，画出图形并写出点的坐标； (2)以原点O为旋转中心，将顺时针旋转后得到，画出图形并写出点的坐标； (3)可以看作是由先向右平移4个单位，然后以原点O为旋转中心，顺时针旋转得到的．除此之外，还可以由经过旋转变换得到，请在图中找出旋转中心．并写出其旋转中心的坐标． 【变式2.3】（2023·黑龙江佳木斯·三模）如图，菱形的顶点A在x轴正半轴上，点，将菱形绕原点O逆时针旋转，则旋转后点B的对应点的坐标是（   ）    A． B． C． D． 【考点3 利用旋转设计图案】 【例3.1】（2023九年级·山西吕梁·期中）利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案．图2中的图案是由图1中的基本图形以点O为旋转中心，顺时针旋转4次而生成的，每一次旋转的角度均为，则旋转角的值不可能为（    ） A． B． C． D． 【例3.2】（2023·黑龙江齐齐哈尔·二模）利用图形旋转可以设计一些美丽的图案，下列图案，可以由一个“基本图形”连续旋转45°得到的是（　　） A． B． C． D． 【例3.3】（2023九年级·全国·专题练习）如图所示，是设计师在方格纸中设计图案的一部分，请你帮他完成余下的工作． (1)作出关于直线的轴对称图形； (2)将你画出的部分连同原图形绕点O逆时针旋转； (3)发挥你的想象，给得到的图案适当涂上阴影，让它变得更加美丽． 【变式3.1】（2023九年级·北京·期中）小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度，设计出一个外轮廓为正五边形的图案（如图），则可以为（    ）    A． B． C． D． 【变式3.2】（2013·广西桂林·一模）下面四个图案是某种衣物的说明标识，其中没有用到图形的平移、旋转或轴对称设计的是（） A． B． C． D． 【变式3.3】（2023九年级·全国·课后作业）在日常生产生活中，我们常会见到一些由旋转形成的美丽的图案．观察下列的两幅图（图（1）和图（2）），你能说出他们是由什么基本图形绕中心旋转180°设计出来的吗？    【规律方法综合练】 【题型1】（2023九年级·山东烟台·期末）课堂上，老师给出了如下一道探究题：如图，在边长为1的正方形组成的的方格中，和的顶点都在格点上，且．    (1)请以点C为旋转中心，将按逆时针方向旋转90°，得到，在方格中画出； (2)请利用平移或旋转变换，设计一种方案，使得通过两次变换后与完全重合； (3)请仔细观察，能否只通过一次旋转就能得到？如能，请在图中直接标出旋转中心P；若不能，请简要说明理由． 【题型2】（2023·河南郑州·三模）小星利用平面直角坐标系绘制了如下风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，接着他将绕原点O逆时针转动至，称为第一次转动，然后将绕原点O逆时针转动至，称为第二次转动，……那么按照这种转动方式，转动2023次后，点A的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【题型3】（2023九年级·湖北武汉·阶段练习）如图，，为轴上一动点，将线段绕点顺时针旋转得，连接，则的最小值为 ．    【拓广探究创新练】 【题型1】（2023九年级·黑龙江双鸭山·期中）如图，正方形的两边、分别在x轴、y轴上，点在边上，以C为中心，把旋转，则旋转后点D的对应点的坐标是 ．      【题型2】（2023九年级·吉林长春·期末）阅读材料： 课堂上，老师设计了一个活动：将一个4×4的正方形网格沿着网格线划分成两部分(分别用阴影和空白表示)，使得这两部分图形是全等的，请同学们尝试给出划分的方法． 约定：如果两位同学的划分结果经过旋转、翻折后能够重合，那么就认为他们的划分方法相同． 小方、小易和小红分别对网格进行了划分，结果如图①、图②、图③所示． 小方说：“我们三个人的划分方法都是正确的．但是将小红的整个图形(图③)逆时针旋转90°后得到的划分方法与我的划分方法(图①)是一样的，应该认为是同一种方法，而小易的划分方法与我的不同．” 老师说：“小方说得对．” 完成下列问题： (1)图④的划分方法是否正确？ (2)判断图⑤的划分方法与图②小易的划分方法是否相同，并说明你的理由． (3)请你再想出一种与已有方法不同的划分方法，使之满足上述条件，并在图⑥中画出来． 【题型3】（2023九年级·北京丰台·期中）如图，在正方形中，点P是线段延长线上一动点，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，，作直线交于点E．      (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 模块三 课后作业 1．（2023九年级·宁夏吴忠·期中）下列现象中属于旋转的有（      ）个． ①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千． A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2023九年级·河南平顶山·期中）通过翻折、旋转和平移都能得到的图形是（    ） A． B． C． D． 3．（2023九年级·福建泉州·期末）如图，四边形是正方形，是延长线上一点，是上一点，若绕点A按逆时针方向旋转度后与重合，则的最小值为（    ）    A．90 B．60 C．45 D．30 4．（2023九年级·河南郑州·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到．若点A，D，E在同一条直线上，，，则的长为（    ） A．5 B． C． D． 5．（2023·辽宁葫芦岛·二模）如图，平面直角坐标系中，已知点，将绕点O逆时针旋转得到，则点A的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 6．（2023·江苏连云港·二模）正十二边形绕着它的中心至少旋转 度，能与它本身重合． 7．（2023九年级·四川成都·期中）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，点D恰好落在上，交于点F，则 °． 8．（2023九年级·湖南怀化·期末）如图，三角形乙是三角形甲经过旋转变换得到的，则其旋转中心是点 ，逆时针方向旋转了 度. 9．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形网格中，线段绕某点顺时针旋转角得到线段，点与点是对应点，点与点是对应点，则等于 ． 10．（2023九年级·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，……，依次进行下去，若点，，则点的坐标为 ．    11．（2023九年级·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转至的位置，点B的对应点为点，点C的对应点恰好落在边上．设旋转角为． (1)的度数为 °； (2)求的周长． 12．（2023九年级·北京海淀·期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，使点在的延长线上．求证：． 13．（2023九年级·广东广州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为． (1)将绕点B顺时针旋转后得到，请在图中画出； (2)直接写出的坐标． 14．（2023九年级·福建福州·阶段练习）如图，等腰直角三角形中，为中点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得线段，连接．求证：四边形是正方形． 15．（2023·福建福州·二模）如图，在中，D是上一点． (1)在上确定一点O，使得（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，当时，将绕点O旋转得到，其中，D，E分别是点A，B的对应点，若D是的中点，交于点G，求证：G是的中点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 图形的旋转 【人教版】 ·模块一 旋转的定义及其性质 ·模块二 旋转作图 ·模块三 课后作业 模块一 旋转的定义及其性质 1. 旋转的定义 在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。 2. 旋转的性质 （1）对应点到旋转中心的距离相等； （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （3）旋转前后的图形全等。 重点： （1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。 （2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。 （3）图形的大小与形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。 【考点1 旋转的概念】 【例1.1】（2023九年级·全国·假期作业）下列现象属于旋转的是（    ） A．摩托车在急刹车时向前滑动 B．电梯上下运动的过程 C．幸运大转盘转动的过程 D．笔直的铁轨上飞驰而过的火车 【答案】C 【分析】本题主要考查旋转，平移的识别，掌握旋转的性质，即旋转前后图形的大小不变，平移的概念等知识是解题的关键． 根据旋转的性质，平移的概念结合实际情况即可求解． 【详解】解：A、摩托车在急刹车时向前滑动是平移，故此选项错误； B、电梯上下运动的过程是平移，故此选项错误； C、幸运大转盘转动的过程是旋转，故此选项正确； D、笔直的铁轨上飞驰而过的火车是平移，故此选项错误； 故选：C． 【例1.2】（2023九年级·陕西西安·期中）如图所示的图案，可以看作是一个四边形（阴影部分）按顺时针方向通过5次旋转得到的，每次旋转的角度是 ． 【答案】/60度 【分析】图中的图案有6个菱形组成，则每次旋转60度；一共旋转了5次． 【详解】解：每次旋转了． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图-旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质． 【例1.3】（2023九年级·北京海淀·期末）时钟上的分针匀速旋转一周需要分钟，则经过分钟，分针旋转了 ． 【答案】 【分析】先求出时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为6度，再求10分钟分针旋转的度数即可． 【详解】解：∵时钟上的分针匀速旋转一周的度数为360度，时钟上的分针匀速旋转一周需要60分钟， 则时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为：， 那么40分钟，分针旋转了， 故答案为：240． 【点睛】本题主要考查了生活中的旋转现象，解决本题的关键是求出时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数． 【变式1.1】（2023九年级·全国·课后作业）2022年北京冬奥会会徽是以汉字“冬”为灵感来源设计的．下面四个选项中，能由如图所示的图形经过旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用旋转设计图案，根据旋转只改变图形的方向不改变图形的形状和大小解答． 【详解】解：能通过旋转得到的是C选项图案． 故选：C． 【变式1.2】（2023九年级·贵州贵阳·期中）如图所示，图形①经过轴对称变换得到图形②；则图形①经过 变换得到图形③；图形①经过 变换得到图形④．（填平移或旋转）    【答案】 旋转 平移 【分析】观察各个图形的特点，根据平移、旋转和轴对称的性质解答即可． 【详解】解：仔细观察各个图的位置关系可知：①和②是轴对称关系，①和③图形的大小一样，但方向发生了变化，是旋转，①和④的形状大小一样，是平移关系． ∴图形①经过旋转变换得到图形③； 图形①经过平移变换得到图形④． 故答案为轴对称；旋转；平移． 【点睛】本题考查了生活中的旋转、平移及轴对称现象，图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化；旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心；轴对称是两个图形沿某条直线对折后能够完全重合． 【变式1.3】（2023·北京·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，可以看作是经过若干次图形的变换（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△ABC得到△EFG的过程： ． 【答案】将绕点A顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到 【分析】根据旋转的性质，平移的性质即可得到由△OCD得到△AOB的过程． 【详解】根据图形可得：将绕点A顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到. 故答案为：将绕点A顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到. 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，平移，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角的大小． 错因分析：中等题．失分原因：①没有掌握平移、旋转的相关性质；②在平移或旋转过程中计算出错． 【考点2 旋转的性质】 【例2.1】（2023九年级·山西晋中·期中）如图，是由绕点O顺时针旋转得到的，以下说法不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质，旋转不改变图形的大小与形状，只改变图形的位置．也就是旋转前后图形全等．根据旋转的性质对各选项进行判断，即可解题． 【详解】解：由旋转的性质可知，，，，， ∴A、B、D正确，不符合题意； C不一定成立，符合题意； 故选：C． 【例2.2】（2023九年级·福建福州·期中）已知A(0，﹣1)，B(1，0)，C(0，1)，D(3，0)，若线段BD可由线段AC绕旋转中心P旋转而得（点A与点B重合），则点P的坐标是 ． 【答案】(1,-1) 【分析】对应点的连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心. 【详解】解：∵点A与点B重合， ∴A与B，C与D是对应点， 作线段AB，线段CD的垂直平分线交于点P，点P即为所求，此时P（1，-1）． 故答案为（1，-1）． 【点睛】本题考查坐标与图形的变化-旋转等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 【例2.3】（2023九年级·陕西商洛·期中）如图，在中，，将绕点A旋转到的位置，连接，当时，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查的是旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，由平行线的性质可求得的度数，然后由旋转的性质得到，然后依据等腰三角形的性质可知，依据三角形的内角和定理可求得的度数，从而得到的度数．证出以及是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴， ∵由旋转的性质可知，， ∴， ∴， ∴． 【变式2.1】（2023九年级·河南漯河·期中）如图，在中，，，点D为垂足，将绕点A顺时针旋转，使与重合，点D落在点E处，延长交的延长线于点F，延长交的延长线于点G，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、旋转的性质，根据旋转的性质得，，，再利用等腰三角形的性质及证得，进而可求证结论，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键． 【详解】证明：由旋转而得，且， ，，， ，且， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ． 【变式2.2】（2023九年级·广西防城港·期中）如图，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，已知，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据旋转角的定义可以直接求出的度数． 【详解】由题可知，是旋转角，也是旋转角， ∴， ∴， 故选． 【点睛】本题主要考查旋转变换时角度的变化关系，掌握旋转角的定义是解决本题的关键． 【变式2.3】（2023九年级·河北沧州·期中）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则的长为（　　）    A．4 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】由旋转的性质可得，，可求，由勾股定理可求解． 【详解】将绕点逆时针旋转，得到， ，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是本题的关键． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023九年级·全国·专题练习）观察图，依次几何变换顺序正确的是（　　）    A．轴对称、旋转、平移 B．旋转、轴对称、平移 C．轴对称、平移、旋转 D．平移、轴对称、旋转 【答案】C 【分析】根据平移、旋转、轴对称的特点即可解答． 【详解】解：依次几何变换顺序是轴对称、平移、旋转． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平移、旋转、轴对称的特点，平移是沿直线移动一定距离得到新图形，旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形，轴对称是沿某条直线翻折得到新图形．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断． 【题型2】（2023九年级·山东青岛·期中）如图，中，，，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕逆时针旋转一定角度，点恰好与点C重合，则平移的距离为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查图形的平移和旋转，等边三角形的判定和性质，线段的和差运算，掌握图形的平移，旋转的性质，等边三角形的性质是解题的关键．根据图形的平移可得，根据图形的旋转可得是等边三角形，，由此即可求解． 【详解】解：∵将沿射线的方向平移， ∴， ∵将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点重合， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：2． 【题型3】（2023九年级·湖北武汉·期末）如图，将绕点A逆时针旋转得到，B，C，D三点恰好在同一直线上． (1)判断的形状； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)顶角为的等腰三角形 (2) 【分析】本题考查了旋转的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质和判定： （1）根据旋转过后的对应边相等可得到结果； （2）根据旋转过后的对应边相等，以及旋转的角度，可以得到、为等腰三角形，再根据三角形内角和定理可以求得各个角度，再根据，得到，再利用三角形内角和定理可以求得结果； 解题的关键是找到角度之间的关系以及角度值． 【详解】（1）解：∵绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴是以顶角为的等腰三角形； （2）解：∵绕点A逆时针旋转得到， ∴，，， ∴在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴的度数为． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023九年级·贵州贵阳·期中）如图，与都是等腰直角三角形，，点E在上，如果绕点A逆时针旋转后能与重合，则旋转角度是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据等腰直角三角形的定义可得，再根据旋转角的定义即可得． 【详解】解：与都是等腰直角三角形，， ， 绕点逆时针旋转后能与重合， 和都是旋转角，旋转角度是， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形、旋转角，找准旋转角是解题关键． 【题型2】（2023·天津南开·三模）如图，将矩形绕点顺时针旋转至矩形的位置，连接，，取，的中点，，连接，若，． （1）的长度为 ； （2）的长度为 ． 【答案】 5 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、旋转的性质，连接、，在中，利用勾股定理可得，利用矩形性质可知，根据旋转的性质得到是等腰直角三角形，利用勾股定理求出． 【详解】解：连接、， 在中，利用勾股定理可得， 为中点， ． 矩形绕点顺时针旋转至的位置， ，且， ． 故答案为：5，． 【题型3】（2023九年级·辽宁沈阳·阶段练习）如图，四边形中，是对角线，是等边三角形．线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)若，，，直接写出的长为________． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（）由旋转的性质得到，，由等边三角形的性质得到，，进而可得，即可由“ ”可证，可得 ； （）先证是等边三角形，可得，，进而得到，由勾股定理即可求解； 本题考查了旋转的性质，全等三角形判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：由旋转可知，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵， ∴， 由旋转可知：， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 模块二 旋转作图 利用旋转性质作图： （1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （2）对应点到旋转中心的距离相等，它就是利用旋转的性质作图的关键。步骤可分为： ①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心； ②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角） ③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，的到各点的对应点； ④接：即连接到所连接的各点。 【考点1 旋转作图】 【例1.1】（2023·海南省直辖县级单位·二模）将绕点旋转得到，则下列作图正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查了旋转的定义.把一个图形绕某一点O旋转的图形变换叫做中心对称，据此进行判断即可 【详解】 解：观查选项中的图形，只有C选项是绕点旋转得到， 故选：C． 【例1.2】（2023六年级上·北京·期末）如图，将长方形向 平移 格，再绕 ， 时针旋转 ，就可以将其移至方框所示的位置． 【答案】 右 5 顺 90 【分析】根据所给图示可知，长方形向右平移5格得到长方形，再将长方形绕顺时针旋转即可． 【详解】解：根据图示可知，将长方形向右平移5格，再绕，顺时针旋转，就可以将其移至方框所示的位置． 故答案为：右，5，，顺，90． 【点睛】本题考查图形的平移和旋转，解题的关键是看懂所给图示，掌握平移和旋转的特点． 【例1.3】（2023九年级·北京朝阳·期末）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点关于直线的对称点为，连接交直线于点，连接． (1)根据题意补全图形； (2)判断的形状并证明； (3)连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)等腰直角三角形，证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）根据要求画出图形即可． （2）根据等腰直角三角形的定义判断即可． （3）延长至点，使，连接．证明，推出，可得结论． 【详解】（1）图形如图所示： （2）结论：是等腰直角三角形． 证明：，关于对称， ，，， ， 是等腰直角三角形． （3）结论：． 证明：延长至点，使，连接． ， ， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． 【点睛】本题考查作图−复杂作图，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质旋转的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【变式1.1】（2023九年级·上海·专题练习）将图形  绕中心旋转后的图形是 （画出图形）． 【答案】   【分析】本题考查了旋转的性质，旋转前后的图形不发生任何变化，绕中心旋转，即是对应点绕旋转中心旋转，即可得出所要图形，注意矩形图形的旋转变换是解题的关键． 【详解】 解：将图形  ，各对应点绕中心旋转， 可得出相应图形：  ，即是所求答案， 故答案为：． 【变式1.2】（2023六年级下·黑龙江大庆·期中）请先将绕点逆时针旋转90度画出图形，再将旋转后的图形向右平移12格画出来． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图平移变换、旋转变换．根据旋转的性质以及平移的性质作图即可． 【详解】解：如图，和即为所求． ． 【变式1.3】（2023九年级·北京密云·期末）如图，在中，，.点D为边上的一点，将线段绕点C逆时针旋转90°得到线段，连接、. (1)依据题意，补全图形； (2)直接写出的度数； (3)若点F为中点，连接交于点P，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明. 【答案】(1)图见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形判定与性质、旋转的性质，熟练掌握全等三角形判定与性质是解题关键， （1）依题意，补全图形即可； （2）根据角的和差计算即可； （3）作，交延长线于点M，证明，得出，即可证出结论． 【详解】（1）解：依题意，补全图形，如下： （2）解：由题意得：， ； （3）解：，理由如下： 如下图：作，交延长线于点M， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【考点2 平面直角坐标系中的旋转】 【例2.1】（2023·安徽合肥·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知网格的每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)将先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到，画出， 并写出点的对应点的坐标； (2)画出绕点按逆时针方向旋转的， 并写出点的坐标． 【答案】(1)画图见解析， (2)画图见解析， 【分析】本题考查图形的平移和旋转， （1）根据点平移的性质，画出图形，即可求解； （2）由旋转的性质，画出图形，即可求解． 熟练掌握图形平移和旋转的性质，准确画图是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，向右平移2个单位长度得到， 再向下平移3个单位长度得到； （2）如图，点的坐标为 【例2.2】（2023九年级·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，、，点D在上，，过点D的直线l平分的面积，现将l绕原点逆时针旋转得直线，则直线的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】如图，直线l与x轴交于点E，根据平行四边形的性质得出，，根据旋转的性质可得点E绕原点逆时针旋转的对应点，连接，作轴于，证明，求出点D绕原点逆时针旋转的对应点的坐标，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：如图，直线l与x轴交于点E， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵过点D的直线l平分的面积， ∴， ∴， ∴点E绕原点逆时针旋转的对应点， 如图，点D绕原点逆时针旋转的对应点为，则，， 连接，作轴于， ∵，， ∴轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设直线的函数解析式为， 代入，得：， 解得：， ∴直线的函数解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，平行四边形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法的应用，求出点D绕原点逆时针旋转的对应点的坐标是解题的关键． 【例2.3】（2023九年级·贵州黔东南·期中）如图，直线与轴、轴分别交于A、B两点，把绕点A旋转后得到，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】三角形旋转后，边长大小不变，根据旋转方向分为顺时针和逆时针旋转，进行两种情况的讨论画图求解即可． 【详解】解： 因为，所以时，，当时，，解得 即点，所以， 三角形旋转后形状不变，，所以 ①当绕点A顺时针旋转90°后得到，如图①，此时在第一象限，则点 横坐标是，纵坐标是，则点坐标为； ②当绕点A逆时针旋转90°后得到，如图②，此时在第三象限，则点 横坐标是，纵坐标是，则点坐标为， 所以点坐标为或， 故选： 【点睛】本题主要考查了旋转与坐标结合，如何应用旋转的性质并分类讨论是解题的关键． 【变式2.1】（2023九年级·广东·期中）如图，，，将线段绕原点顺时针旋转得到线段，线段的中点恰好落在抛物线上，则 ．    【答案】 【分析】先根据旋转的性质，得到，，进而得到中点，再利用抛物线上的点的坐标特征，即可求出的值． 【详解】解：，，将线段绕原点顺时针旋转得到线段， ，， 是线段的中点， ， 恰好落在抛物线上， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形和坐标变换——旋转，坐标中点，抛物线上点的坐标特征，正确得出C、D两点的坐标是解题关键． 【变式2.2】（2023九年级·四川绵阳·阶段练习）在如图所示的平面直角坐标系中，有．点，，． (1)将向x轴负方向平移4个单位得到，画出图形并写出点的坐标； (2)以原点O为旋转中心，将顺时针旋转后得到，画出图形并写出点的坐标； (3)可以看作是由先向右平移4个单位，然后以原点O为旋转中心，顺时针旋转得到的．除此之外，还可以由经过旋转变换得到，请在图中找出旋转中心．并写出其旋转中心的坐标． 【答案】(1)见解析，点的坐标为； (2)见解析，点的坐标为； (3)见解析，点． 【分析】本题考查了旋转变换与平移变换作图． （1）找出点A、B、C向左平移4个单位的对应的点的位置，然后顺次连接即可得到； （2）利用网格特点，找出点A、B、C以原点O为旋转中心，顺时针旋转后的对应的点的位置，然后顺次连接即可得到； （3）任意连接两个对应点，再作出对应点连线的垂直平分线，交点就是旋转中心． 【详解】（1）解：如图所示，点的坐标为； ； （2）解：如图所示，点的坐标为； （3）解：连接，并分别作的垂直平分线，相交于点P， 所以，点就是所求的旋转中心． 【变式2.3】（2023·黑龙江佳木斯·三模）如图，菱形的顶点A在x轴正半轴上，点，将菱形绕原点O逆时针旋转，则旋转后点B的对应点的坐标是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点B作轴于点D，过作轴于点，过点C作轴于点E，利用勾股定理，菱形的性质，旋转的性质和全等三角形的判定个性质，进行求解即可． 【详解】如图所示，将菱形绕原点O逆时针旋转，过点B作轴于点D，过作轴于点，过点C作轴于点E，    ∵点， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由旋转可得，， ∴， ，， ∴，   ∵在第二象限， ∴； 故选C． 【点睛】本题考查了旋转的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质，平面直角坐标系中点的坐标特点，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【考点3 利用旋转设计图案】 【例3.1】（2023九年级·山西吕梁·期中）利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案．图2中的图案是由图1中的基本图形以点O为旋转中心，顺时针旋转4次而生成的，每一次旋转的角度均为，则旋转角的值不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形可得这个图形可以由一个基本图形绕中心依次旋转四次旋转而得到，即可求解． 【详解】解：根据题意，顺时针（或逆时针）旋转角度α，依次旋转四次而组成， 每次旋转的度数为 即旋转角是的倍数， ，，， 不可能是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了利用旋转设计图案，解题的关键是观察图形，得出旋转度数． 【例3.2】（2023·黑龙江齐齐哈尔·二模）利用图形旋转可以设计一些美丽的图案，下列图案，可以由一个“基本图形”连续旋转45°得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】每个图形都是旋转对称图形，计算出最小的旋转角，即可作出判断． 【详解】A. 至少旋转，故该选项不正确； B. 至少旋转，故该选项不正确； C. 至少旋转，故该选项正确； D. 至少旋转，故该选项不正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了旋转对称的定义，正确理解定义是关键．旋转对称 图形：把一个平面图形绕着平面上一个定点旋转 α（ 0°< α <360°）后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转 对称中心 ，旋转的角度叫做 旋转角． 【例3.3】（2023九年级·全国·专题练习）如图所示，是设计师在方格纸中设计图案的一部分，请你帮他完成余下的工作． (1)作出关于直线的轴对称图形； (2)将你画出的部分连同原图形绕点O逆时针旋转； (3)发挥你的想象，给得到的图案适当涂上阴影，让它变得更加美丽． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】 本题考查了画轴对称图形，画旋转图形； （1）根据轴对称的性质找出对应点位置，顺次连接即可； （2）根据旋转的性质找出对应点位置，顺次连接即可； （3）根据图形适当涂色即可． 【详解】（1）解：如图1所示： （2）如图2所示： （3）如图3所示： 【变式3.1】（2023九年级·北京·期中）小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度，设计出一个外轮廓为正五边形的图案（如图），则可以为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意依据每次旋转相同角度，旋转了五次，且旋转了五次刚好旋转了一周为进行分析即可得出答案． 【详解】解：因为每次旋转相同角度，旋转了五次， 且旋转了五次刚好旋转了一周为， 所以每次旋转相同角度 故选：C． 【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是能够找到旋转中心，从而确定旋转角的度数． 【变式3.2】（2013·广西桂林·一模）下面四个图案是某种衣物的说明标识，其中没有用到图形的平移、旋转或轴对称设计的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：根据平移、旋转和轴对称的性质，结合图形，对选项进行一一分析，排除错误答案． A、图案用到了图形的旋转设计，B、图案用到了图形的旋转设计，D、图案既有旋转又有平移设计，故错误； C、图案没有用到图形的平移，旋转或轴对称设计，本选项正确． 考点：平移、旋转和轴对称的性质． 点评：①图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化；②旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心；③轴对称图形的对应线段、对应角相等． 【变式3.3】（2023九年级·全国·课后作业）在日常生产生活中，我们常会见到一些由旋转形成的美丽的图案．观察下列的两幅图（图（1）和图（2）），你能说出他们是由什么基本图形绕中心旋转180°设计出来的吗？    【答案】见解析 【分析】根据题意要求，找出基本图形即可． 【详解】解：图（1）和图（2）可分别看成是由基本图形（3）和基本图形（4）绕中心旋旋转180°得到的．    【点睛】本题考查了运用几何变换设计图案的知识，属于开放型题目，掌握旋转变换的性质是关键． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023九年级·山东烟台·期末）课堂上，老师给出了如下一道探究题：如图，在边长为1的正方形组成的的方格中，和的顶点都在格点上，且．    (1)请以点C为旋转中心，将按逆时针方向旋转90°，得到，在方格中画出； (2)请利用平移或旋转变换，设计一种方案，使得通过两次变换后与完全重合； (3)请仔细观察，能否只通过一次旋转就能得到？如能，请在图中直接标出旋转中心P；若不能，请简要说明理由． 【答案】(1)图见解析； (2)答案不唯一：方案可以是：将绕点B顺时针旋转，再向右平移2个单位，与完全重合． (3)能，点见解析. 【分析】此题考查了运用平移和旋转的性质进行作图以及旋转中心的求法，正确理解“对应点到旋转中心的距离相等”这一性质是解题的关键． （1）将线段、绕点C逆时针旋转，分别得到线段、，连接，，所得图形即为所解； （2）将绕点B顺时针旋转，再向右平移2个单位，或将向右平移2个单位，再绕点B顺时针旋转，两种方法选一种即可； （3）观察图形可知，线段、、有公共的垂直平分线，在这条垂直平分线上找出到点C、点，距离相等的点即为旋转中心P，点也在线段的垂直平分线上，点P恰好为格点． 【详解】（1）如图1，将线段、绕点C逆时针旋转，分别得到线段、，连接，则，就是所求的图形．    （2）如图2，将绕点B顺时针旋转，再向右平移2个单位，与完全重合． （3）能只通过一次旋转就得到如图2，点P就是所求的旋转中心，    作法∶连接、、； 直线为、的垂直平分线； 直线与的垂直平分线的交点P，点P就是所求的旋转中心． 【题型2】（2023·河南郑州·三模）小星利用平面直角坐标系绘制了如下风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，接着他将绕原点O逆时针转动至，称为第一次转动，然后将绕原点O逆时针转动至，称为第二次转动，……那么按照这种转动方式，转动2023次后，点A的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据每次转动可知，4次一个循环，分别求出第一次到第四次的点的坐标，利用规律解决问题即可． 【详解】解：第一次转动后，点A的坐标为； 第二次转动后，点A的坐标为； 第三次转动后，点A的坐标为； 第四次转动后，点A的坐标为； 每次转动可知，4次一个循环， ∵， ∴转动2023次后，点A的坐标为， 故选：A 【点睛】 本题考查坐标与图形变化旋转，规律型：点的坐标，解题的关键是掌握探究规律的方法，属于中考常考题型． 【题型3】（2023九年级·湖北武汉·阶段练习）如图，，为轴上一动点，将线段绕点顺时针旋转得，连接，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】如图，在轴的正半轴上取一点H，使得，在上取一点D，使得．首先证明点C在直线上运动，根据垂线段最短即可解决问题． 【详解】解：如图，在轴的正半轴上取一点H，使得，在上取一点D，使得．    ， ， ， ∵， ， ∵OD=OA，∠AOD=90°， ， ，， 设直线的解析式为， ， ，即， ∴直线的解析式为， ∴点C在直线上运动，作于P， 是等腰直角三角形， 的最小值， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形的变化-旋转，垂线段最短，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023九年级·黑龙江双鸭山·期中）如图，正方形的两边、分别在x轴、y轴上，点在边上，以C为中心，把旋转，则旋转后点D的对应点的坐标是 ．      【答案】或 【分析】本题考查了正方形性质，坐标与图形变换——旋转，求直角坐标系中点的坐标，做题时分两种情况，顺时针和逆时针旋转，作出相应图形进行计算即可．作出图形分类讨论是解答本题的关键． 【详解】解：顺时针旋转时，如下图：    ， 正方形的边长为， ，， 由旋转性质可得：， ； 逆时针旋转时，如下图：    由旋转性质可得：，， ， ， 故答案为：或． 【题型2】（2023九年级·吉林长春·期末）阅读材料： 课堂上，老师设计了一个活动：将一个4×4的正方形网格沿着网格线划分成两部分(分别用阴影和空白表示)，使得这两部分图形是全等的，请同学们尝试给出划分的方法． 约定：如果两位同学的划分结果经过旋转、翻折后能够重合，那么就认为他们的划分方法相同． 小方、小易和小红分别对网格进行了划分，结果如图①、图②、图③所示． 小方说：“我们三个人的划分方法都是正确的．但是将小红的整个图形(图③)逆时针旋转90°后得到的划分方法与我的划分方法(图①)是一样的，应该认为是同一种方法，而小易的划分方法与我的不同．” 老师说：“小方说得对．” 完成下列问题： (1)图④的划分方法是否正确？ (2)判断图⑤的划分方法与图②小易的划分方法是否相同，并说明你的理由． (3)请你再想出一种与已有方法不同的划分方法，使之满足上述条件，并在图⑥中画出来． 【答案】(1) 不正确;(2)相同，理由见解析；（3）见解析 【分析】（1）根据约定“如果划分结果经过旋转、翻折后能够重合，那么划分方法相同”直接判断即可； （2）将图⑤沿直线翻折、旋转后得到的划分方法与图②的划分方法相同即可判断； （3）利用正方形的对称轴和中心结合正方形的面积即可解决问题．. 【详解】解：（1）根据题意可得：图④的划分方法不正确； （2）相同，因为将图⑤沿直线翻折、旋转后得到的划分方法与图②的划分方法相同； （3）如图： 【点睛】此题考查了作图—应用与设计作图，应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合几何图形的性质和基本作图的方法作图. 【题型3】（2023九年级·北京丰台·期中）如图，在正方形中，点P是线段延长线上一动点，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，，作直线交于点E．      (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据题意补全图形即可； （2）证明，得出，证明是等边三角形，得出，证明，即可得出； （3）在上截取，连接，证明，得出，，证明是等边三角形，得出，即可得出． 【详解】（1）解：如图所示，即为补全的图形；    （2）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴线段绕点D逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下：    如图，在上截取，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明． 模块三 课后作业 1．（2023九年级·宁夏吴忠·期中）下列现象中属于旋转的有（      ）个． ①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了生活中的平移．根据平移和旋转的定义对各小题分析判断即可． 【详解】解：属于旋转的有③④⑤⑥，共4个． 故选：C． 2．（2023九年级·河南平顶山·期中）通过翻折、旋转和平移都能得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了翻折、旋转和平移，根据翻折及旋转的定义即可求解． 【详解】解： A、图形只能通过旋转变换得到，故不符合题意； B、图形通过翻折、旋转和平移都能得到，故符合题意； C、图形只可以通过旋转得到，不符合题意； D、图形可以通过平移得到，故不符合题意； 故选B． 3．（2023九年级·福建泉州·期末）如图，四边形是正方形，是延长线上一点，是上一点，若绕点A按逆时针方向旋转度后与重合，则的最小值为（    ）    A．90 B．60 C．45 D．30 【答案】A 【分析】本题考查旋转角，正方形的性质．根据正方形的性质得到，则将绕点A按逆时针方向旋转即可与重合，从而解答． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴旋转角为，即． 故选：A． 4．（2023九年级·河南郑州·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到．若点A，D，E在同一条直线上，，，则的长为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵将绕点C顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 5．（2023·辽宁葫芦岛·二模）如图，平面直角坐标系中，已知点，将绕点O逆时针旋转得到，则点A的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题涉及图形旋转，体现了新课标的精神，应抓住旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角度，通过画图求解． 根据旋转的性质和坐标系内点的坐标特征解答． 【详解】解：由图知点的坐标为，根据旋转中心，旋转方向逆时针，旋转角度，画图，从而得的坐标为． 故选：C． 6．（2023·江苏连云港·二模）正十二边形绕着它的中心至少旋转 度，能与它本身重合． 【答案】 【分析】本题考查旋转对称图形的概念，正多边形和圆，根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答．解题的掌握：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形． 【详解】解：∵， ∴该图形绕中心至少旋转度后能与它本身重合． 故答案为：． 7．（2023九年级·四川成都·期中）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，点D恰好落在上，交于点F，则 °． 【答案】90 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转的性质可得是等腰三角形，再根据其性质求出，再由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：将绕点A逆时针旋转， ，，， ， ， ， ， 故答案为：90． 8．（2023九年级·湖南怀化·期末）如图，三角形乙是三角形甲经过旋转变换得到的，则其旋转中心是点 ，逆时针方向旋转了 度. 【答案】 N 90 【分析】根据对应点到旋转中心的距离相等可确定旋转中心，对应点与旋转中心的连线所形成的角为旋转角进行解答即可． 【详解】解：如图，连接N与两个三角形的对应点，发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，且对应点与N的连线所成的角是直角，故旋转中心是点N，逆时针方向旋转了90°， 故答案为：N，90． 【点睛】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答的关键． 9．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形网格中，线段绕某点顺时针旋转角得到线段，点与点是对应点，点与点是对应点，则等于 ． 【答案】90° 【分析】连接BB1、AA1，再分别作两线段的中垂线，两中垂线的交点得出旋转中心，连接AO、A1O，结合网格特点可得旋转角； 【详解】解：如图所示，点O为旋转中心，∠AOA1=α=90°． 故答案为：90° 【点睛】本题主要考查作图-旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质． 10．（2023九年级·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，……，依次进行下去，若点，，则点的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题考查坐标与图形的变化旋转、勾股定理等知识，解题的关键是从特殊到一般探究规律，发现规律，利用规律解决问题，通过旋转发现、、每两个偶数之间的相差12个单位长度，根据这个规律可以求得的横坐标，进而可得点的坐标． 【详解】解：点，， ，， ， 由旋转的性质可知，， ， ， 由旋转的性质同理可得，，，，，依此类推， 可知每两个偶数之间的横坐标相差12个单位长度，纵坐标为4， ， ． 故答案为：． 11．（2023九年级·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转至的位置，点B的对应点为点，点C的对应点恰好落在边上．设旋转角为． (1)的度数为 °； (2)求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质． （1）根据，，求出，即可求出结果； （2）根据直角三角形的性质得出，根据旋转得出，，证明是等边三角形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， 根据旋转可知：； （2）解：∵，，， ∴， ∵将绕点A逆时针旋转角度至的位置， ∴，， ∴是等边三角形， ∴的周长是． 12．（2023九年级·北京海淀·期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，使点在的延长线上．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角，根据旋转得到，即可得到，，根据等边对等角得到是解题的关键． 【详解】证明：∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 13．（2023九年级·广东广州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为． (1)将绕点B顺时针旋转后得到，请在图中画出； (2)直接写出的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 本题考查了旋转的相关知识点，掌握相关结论即可． （1）确定各顶点绕点B顺时针旋转的对应点，即可作图； （2）根据图示，即可求解； 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：由图可知： 14．（2023九年级·福建福州·阶段练习）如图，等腰直角三角形中，为中点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得线段，连接．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质及正方形的判定等知识，得出解题的关键．通过证明，得，再证四边形是菱形，进而即可解答． 【详解】证明：等腰直角三角形中，D为中点， ， 线段绕点A顺时针旋转得线段，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， 四边形是正方形． 15．（2023·福建福州·二模）如图，在中，D是上一点． (1)在上确定一点O，使得（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，当时，将绕点O旋转得到，其中，D，E分别是点A，B的对应点，若D是的中点，交于点G，求证：G是的中点． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题主要考查作线段垂直平分线，旋转的性质以及全等三角形的判定与性质： （1）连接，作的垂直平分线交于点，此时则点即为所求； （2）由旋转得，得，，．再证明得，从而得到，故可得结论 【详解】（1）解：如图，O为所求作的点． （2）证明：∵D是的中点， ∴． ∵绕点O旋转得到，D，E分别是点A，B的对应点， ∴，，， ∴，，． 在与中 ∴， ∴， ∴， 即， ∴G是中点. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$