专题01 三角形的高、中线、角平分线的八种常见应用-2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

专题01三角形的高、中线、角平分线的八种常见应用 【解题策略】 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三种重要的线段,它们提供了重要的线段或角的关系,对我们以后深入研究三角形的一些特征有很大帮助,因此,我们需要从不同的角度认识这三种线段. 在三角形的两条边和这两条边上的高这四个量中，已知其中的三个量，可用等面积法求第四个量. 题型01三角形的高在求线段长中的应用 【典例分析】 【例1-1】（23-24八年级上·云南文山·期末）如图，是斜边的高，则（    ）    A．3 B． C． D．5 【例1-2】（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在中，，，，，则点到边距离为 ． 【例1-3】（22-23八年级上·河南·阶段练习）如图，在中，，，高． (1)作出边上的高； (2)求的长． 【变式演练】 【变式1-1】（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，，是斜边的高，则的长为（    ） A． B． C．5 D．10 【变式1-2】（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）如图，中，于D，于E，，则的长为 ． 【变式1-3】（21-22七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，为边上的高，连接． (1)当为边上的中线时，若，的面积为24，求的长； (2)当为的平分线时，若，，求的度数． 题型02三角形的高在求角的度数中的应用 【典例分析】 【例2-1】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，是边上的高，平分交边于E，，，则的大小是（　　） A． B． C． D． 【例2-2】（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知中，，，边上的高所在的直线交于H，则 度． 【例2-3】（22-23七年级下·江苏常州·期中）如图，在中，，为边上的高，与交于点．若，求的度数． 【变式演练】 【变式2-1】（22-23八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，是边的高，平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（22-23）八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，、分别是的高和角平分线，且，，则 ． 【变式2-3】（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图所示，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点O，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 题型03三角形的高在求相关线段的比值中的应用 【典例分析】 【例3-1】（23-24八年级上·四川绵阳·期末）如图，是的高，，则（    ）    A． B． C． D． 【例3-2】（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）如图，在中，，，垂足分别为，，与相交于点连接并延长交于点.若，，，则：：的值为 . ‍ 【例3-3】（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在中，与是的高． (1)若，求； (2)若的高与的比是多少？ 【变式演练】 【变式3-1】（23-24八年级上·河北承德·期末）在中，高．则边是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，，的高与的比是 ．    【变式3-3】（22-23八年级上·全国·课后作业）如图，是的中线，，E，F分别是垂足．已知，求与的长度之比． 题型04三角形的高在求相关线段和的问题中的应用 【典例分析】 【例4-1】（2022八年级上·浙江·专题练习）如图，中，，P是上任意一点，于点E，于点F，若，则值为（　　） A．1 B．1.2 C．1.5 D．2 【例4-2】（23-24八年级上·重庆北碚·期中）在等腰中，，，是上任意一点，，， ．    【例4-3】（23-24八年级上·四川自贡·阶段练习）如图，在中，，P是边上的任意一点，于点E，于点F．若，求的长．    【变式演练】 【变式4-1】（23-24八年级上·广东广州·期中）中，，D是上一点，连接，过B、C两点分别作直线的垂线，垂足为E、F，若，，，则的值是（    ）    A．6 B． C．8 D． 【变式4-2】（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在中，，F是边上任意一点，过F作于D，于E，若，则 ． 题型05三角形的中线在求线段长中的应用 【典例分析】 【例5-1】（23-24八年级上·重庆·阶段练习）如图，中，，是边上的中线，若的周长为35，则的周长是（　　） A．20 B．29 C．26 D．28 【例5-2】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，，分别是的高和中线，已知，，则的面积为 ． 【例5-3】（23-24八年级上·陕西渭南·期中）已知，是边上的中线，且，若的周长比的周长大5，求的长． 【变式演练】 【变式5-1】（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，在中，是高，是中线，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-2】（23-24八年级上·重庆垫江·阶段练习）在中，为边的中线．若与的周长差为，则 ． 【变式5-3】（21-22八年级上·湖北十堰·阶段练习）如图，在中，，边上的中线把的周长分成50和35两部分，求和的长． 题型06三角形的中线与高在证明线段相等中的应用 【典例分析】 【例6】如图，中，为中线，，分别为，的中点，且，于． （1）　　； （2）若，求的长； （3）若交的延长线于，求证：． 题型07三角形的角平分线在解与平行线相关问题中的应用 【典例分析】 【例7-1】（22-23八年级上·湖北随州·期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，则的值为（    ） A．6 B．7 C．9 D． 【例7-2】（23-24八年级上·重庆渝北·期中）如图，在中，，和的角平分线分别交于点，，若，，．则的长为 ． 【例7-3】（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，是的角平分线，在上取点，使． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式演练】 【变式7-1】（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，则的值为（    ） A．9 B． C． D． 【变式7-2】（23-24八年级上·河北沧州·期中）如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于N，若，则线段的长为 ． 【变式7-3】（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在中，，，平分交于点，点是边上一点，若，求证：．    题型08三角形的角平分线与高再求角的度数中的应用 【典例分析】 【例8-1】（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，中，，平分，，，则（       ）   A． B． C． D． 【例8-2】（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图,在中,是高,是角平分线,若,则 ．    【例8-3】（23-24八年级上·云南怒江·阶段练习）如图，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点O，，，求的度数． 【变式演练】 【变式8-1】（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，在中，是高，是角平分线．若，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（23-24八年级上·四川自贡·期末）如图，在中，是高，角平分线，相交于点O，，，则 的度数是 ． 【变式8-3】（23-24八年级上·北京·期中）如图，是的高，是的角平分线，若，．求和的度数．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01三角形的高、中线、角平分线的八种常见应用 【解题策略】 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三种重要的线段,它们提供了重要的线段或角的关系,对我们以后深入研究三角形的一些特征有很大帮助,因此,我们需要从不同的角度认识这三种线段. 在三角形的两条边和这两条边上的高这四个量中，已知其中的三个量，可用等面积法求第四个量. 题型01三角形的高在求线段长中的应用 【典例分析】 【例1-1】（23-24八年级上·云南文山·期末）如图，是斜边的高，则（    ）    A．3 B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查等积法求线段的长与勾股定理．先由勾股定理计算出，再根据等面积法求解即可，掌握等积法，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵是斜边的高， ∴， ∴， ∴； 故选C 【例1-2】（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在中，，，，，则点到边距离为 ． 【答案】// 【分析】本题考查与三角形有关的线段，三角形的高，根据题意可得是直角三角形，设点到边距离为h，由三角形面积公式计算即可求解． 【详解】解：在中，， 是直角三角形， 设点到边距离为h， ，即， ， 故答案为：． 【例1-3】（22-23八年级上·河南·阶段练习）如图，在中，，，高． (1)作出边上的高； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过点A作边的垂线，交延长线于E即可； （2）利用等积法求得的长度即可． 【详解】（1）解：如图， 过点A作边的垂线，交延长线于E， ∴线段即为边上的高， （2）解：∵，，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了作三角形的高及求高，熟记三角形的面积公式即可解题，属于基础题 【变式演练】 【变式1-1】（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，，是斜边的高，则的长为（    ） A． B． C．5 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．先根据勾股定理求出，然后根据三角形面积进行计算即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵， ∴． 故选：A 【变式1-2】（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）如图，中，于D，于E，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形的面积计算，根据，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 【变式1-3】（21-22七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，为边上的高，连接． (1)当为边上的中线时，若，的面积为24，求的长； (2)当为的平分线时，若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形的面积，三角形的中线与高等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的基本知识． （1）先根据三角形面积公式计算出，然后根据为边上的中线得到的长； （2）先根据三角形内角和定理计算出，再利用角平分线的定义得到，接着计算出，然后计算即可． 【详解】（1）为边上的高，的面积为24， ， ， 为边上的中线， ； （2），， ， 为的平分线， ， ，， ， 题型02三角形的高在求角的度数中的应用 【典例分析】 【例2-1】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，是边上的高，平分交边于E，，，则的大小是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据计算即可得解． 【详解】解：平分， ， 是边上的高， ， ． 故选：C 【例2-2】（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知中，，，边上的高所在的直线交于H，则 度． 【答案】或 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的高线，解题的关键是分是锐角三角形与钝角三角形两种情况进行讨论．分两种情况考虑：①是锐角三角形时，先根据高线的定义求出，，然后根据直角三角形两锐角互余求出的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解；②是钝角三角形时，根据直角三角形两锐角互余求出即可． 【详解】解：①如图1，是锐角三角形时， 、是的高线， ，， 在中，， ， ； ②是钝角三角形时，、是的高线， ，， ， ， 综上所述，的度数是或， 故答案为：或 【例2-3】（22-23七年级下·江苏常州·期中）如图，在中，，为边上的高，与交于点．若，求的度数． 【答案】 【分析】由高的定义可得，由三角形内角和可得的度数，再根据三角形内角和可得出的度数，由平角的定义可得出的度数．本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键 【详解】解：是边上的高， ， 在中，， ， ， ， 【变式演练】 【变式2-1】（22-23八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，是边的高，平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键．先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据平分求出的度数，根据求出的度数，由即可得出结论． 【详解】在中，，， ． 平分， ． 是边上的高， ， ， ． 故选：B 【变式2-2】（22-23）八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，、分别是的高和角平分线，且，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质定理，利用三角形内角和定理求出，利用角平分线的性质得出，再利用三角形内角和定理求出，进一步即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【变式2-3】（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图所示，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点O，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1)10° (2)125° 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和性质，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由角平分线的定义得，结合直角三角形的两个锐角互余，得，即可作答． （2）先由角平分线的定义得，再运用三角形的内角和性质进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵是的平分线， ∴ ∵是高， ∴在中， ∴ （2）解：∵是角平分线 ∴ ∴ 题型03三角形的高在求相关线段的比值中的应用 【典例分析】 【例3-1】（23-24八年级上·四川绵阳·期末）如图，是的高，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查与三角形的高有关的计算，利用等积法列出比例式，进行求解即可． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴； 故选：A 【例3-2】（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）如图，在中，，，垂足分别为，，与相交于点连接并延长交于点.若，，，则：：的值为 . ‍ 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的高，由题意得：，再根据三角形的面积公式，可得，进而即可得到答案． 【详解】解：在中，，，垂足分别为点和点，与交于点， ， ，，， ， ， ：：， 故答案是： 【例3-3】（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在中，与是的高． (1)若，求； (2)若的高与的比是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形面积公式，即可求解； （2）利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查三角形的面积，利用同一个三角形的面积的两种表示列方程是解题的关键 【变式演练】 【变式3-1】（23-24八年级上·河北承德·期末）在中，高．则边是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的高、三角形的面积公式，熟记三角形的面积公式是解题的关键．利用三角形的面积公式可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式3-2】（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，，的高与的比是 ．    【答案】 【分析】本题考查了三角形高的定义．根据三角形的面积公式可得，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， 故答案为： 【变式3-3】（22-23八年级上·全国·课后作业）如图，是的中线，，E，F分别是垂足．已知，求与的长度之比． 【答案】 【分析】根据三角形面积法进行求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形中线的性质，三角形面积，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键 题型04三角形的高在求相关线段和的问题中的应用 【典例分析】 【例4-1】（2022八年级上·浙江·专题练习）如图，中，，P是上任意一点，于点E，于点F，若，则值为（　　） A．1 B．1.2 C．1.5 D．2 【答案】A 【分析】连接，则，依据，，代入计算即可得到． 【详解】解：如图所示，连接，则， ∵于点E，于点F， ∴，， 又∵，， ∴， 即， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积，解决问题的关键是作辅助线将等腰三角形分割成两个三角形，利用面积法进行计算 【例4-2】（23-24八年级上·重庆北碚·期中）在等腰中，，，是上任意一点，，， ．    【答案】2 【分析】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形30度的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型． 作于，利用含30度的直角三角形的性质得到，根据，，，列出等式，由此即可解决问题． 【详解】解：过作于，    ， ， ∵，，， ， 则， 则， 故答案为：2 【例4-3】（23-24八年级上·四川自贡·阶段练习）如图，在中，，P是边上的任意一点，于点E，于点F．若，求的长．    【答案】 【分析】根据，结合已知条件，即可求得的值． 【详解】解：如图，连接，    于点E，于点F， ， ，， 【变式演练】 【变式4-1】（23-24八年级上·广东广州·期中）中，，D是上一点，连接，过B、C两点分别作直线的垂线，垂足为E、F，若，，，则的值是（    ）    A．6 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的面积，根据两种不同三角形的面积：，，建立等式是解决问题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵，，， ∴ 即： ∴， 故选：B． 【变式4-2】（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在中，，F是边上任意一点，过F作于D，于E，若，则 ． 【答案】4 【分析】连接，根据，即可求解．熟练掌握等腰三角形的性质，正确理解题意，根据等面积法列出等式是解题的关键． 【详解】解：连接，如图： 则， ，， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为： 题型05三角形的中线在求线段长中的应用 【典例分析】 【例5-1】（23-24八年级上·重庆·阶段练习）如图，中，，是边上的中线，若的周长为35，则的周长是（　　） A．20 B．29 C．26 D．28 【答案】B 【分析】本题考查了中线的意义，根据是边上的中线，得到，根据的周长为；的周长为，计算周长的差，得到，结合的周长为35，计算即可． 【详解】∵是边上的中线， ∴， ∵的周长为；的周长为， ∴， ∵的周长为35， ∴的周长为, 故选B 【例5-2】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，，分别是的高和中线，已知，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求三角形面积，熟知三角形高和中线的定义是解题的关键． 先根据中线的定义求出，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：是的中线，， ， 是的高， ， 故答案为： 【例5-3】（23-24八年级上·陕西渭南·期中）已知，是边上的中线，且，若的周长比的周长大5，求的长． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的中线，掌握三角形的中线的概念是解题的关键．根据中线的性质得到，根据三角形的周长公式计算得到答案． 【详解】解：如图， ∵是边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长大5， ∴， ∴， ∵， ∴ 【变式演练】 【变式5-1】（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，在中，是高，是中线，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据高线求出，根据是中线即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∵是中线， ∴ 故选：B 【变式5-2】（23-24八年级上·重庆垫江·阶段练习）在中，为边的中线．若与的周长差为，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查三角形中线的性质，由为边上的中线，得，根据题意，分类讨论进而即可求解，掌握中线的性质是解题的关键． 【详解】解：①当时，    ∵与的周长差为3， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴, ②当时，同理可得，则 故答案为：或 【变式5-3】（21-22八年级上·湖北十堰·阶段练习）如图，在中，，边上的中线把的周长分成50和35两部分，求和的长． 【答案】， 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质和三边的关系，先根据和三角形的中线列出方程求解，分类讨论①，②，注意答案是否满足条件，即是否满足题目给出的条件、是否满足三角形三边的关系．解题的关键是找到等量关系，列出方程． 【详解】解：设，则， 边上的中线把的周长分成50和35两部分，， ①当，时， ， 解得：， ， ， ， ，满足条件； ，满足三边关系， ，； ②当，时， ， 解得：， ， ， ， ， 不满足三角形的三边关系， 不合题意，舍去， 综上：， 题型06三角形的中线与高在证明线段相等中的应用 【典例分析】 【例6】如图，中，为中线，，分别为，的中点，且，于． （1）　　； （2）若，求的长； （3）若交的延长线于，求证：． 【分析】（1）根据三角形中线的性质得出面积即可； （2）根据三角形面积公式得出即可； （3）根据三角形面积公式进行证明解答． 【解答】（1）解：为中线，且， ， 故答案为：20； （2）解：为中线，，分别为，的中点，， ， ， ， ； （3）证明：为中线，，分别为，的中点， ， ，， ， ． 【点评】此题是三角形综合题，考查三角形中线的性质和三角形面积公式，关键是根据三角形中线的性质解答． 题型07三角形的角平分线在解与平行线相关问题中的应用 【典例分析】 【例7-1】（22-23八年级上·湖北随州·期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，则的值为（    ） A．6 B．7 C．9 D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线，平行线的性质，等角对等边等知识．熟练掌握角平分线，平行线的性质，等角对等边是解题的关键． 由角平分线，平行线的性质可得，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵是和的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C 【例7-2】（23-24八年级上·重庆渝北·期中）如图，在中，，和的角平分线分别交于点，，若，，．则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ， ， 故答案为： 【例7-3】（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，是的角平分线，在上取点，使． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定与性质、等边对等角、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义可得，由等边对等角可得，从而得出，即可得证； （2）由平行线的性质可得，由三角形内角和定理得出，最后由角平分线的定义计算即可得出答案． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， 平分， ． 【变式演练】 【变式7-1】（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，则的值为（    ） A．9 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线，平行线的性质，等角对等边等知识．熟练掌握角平分线，平行线的性质，等角对等边是解题的关键． 由角平分线、平行线的性质可得，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B 【变式7-2】（23-24八年级上·河北沧州·期中）如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于N，若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，由角平分线的定义结合平行线的性质可得，由等角对等边得出，再由，即可得解，熟练掌握角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，是解此题的关键． 【详解】解：的平分线相交于点， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， 故答案为： 【变式7-3】（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在中，，，平分交于点，点是边上一点，若，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、平行线的判定，由三角形内角和定理得出，由角平分线的定义得出，从而得出，即可得证． 【详解】证明：∵在中，，， ∴． ∵平分， ∴． ∵． ∴ 题型08三角形的角平分线与高再求角的度数中的应用 【典例分析】 【例8-1】（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，中，，平分，，，则（       ）   A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和问题．利用垂直求得是正确解答本题的关键． 在中，根据三角形内角和定理得到的度数，进而求出的度数，在直角中根据三角形内角和定理得到的度数，则的度数就可以求出． 【详解】解：在中，，， ∴， 又∵平分， ∴， 在直角中，， ∴． 故选：A 【例8-2】（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图,在中,是高,是角平分线,若,则 ．    【答案】/28度 【分析】本题考查了三角形的高、角平分线、三角形内角和等知识，解题的关键从已知条件入手，逐步推得待求的结论． 先由是高与求得，再求得，再由角平分线推得，最后由三角形的内角和求得的度数． 【详解】∵是高， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵是角平分线， ∴， ∴， 在中，． 故答案为： 【例8-3】（23-24八年级上·云南怒江·阶段练习）如图，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点O，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、直角三角形的两个锐角互余、三角形的角平分线等知识，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．先根据三角形的内角和定理求出，再根据直角三角形的性质可得，然后根据角平分线的定义可得，最后根据求解即可得． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵在中，是高，即， ∴， ∵在中，是角平分线，即是的角平分线， ∴， ∴ 【变式演练】 【变式8-1】（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，在中，是高，是角平分线．若，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的数量关系．由是高，，可得，再由是的角平分线，，从而得，进而可求的度数． 【详解】解：是的高，， ， ， 是的角平分线，， ， ． 故选：B 【变式8-2】（23-24八年级上·四川自贡·期末）如图，在中，是高，角平分线，相交于点O，，，则 的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的高的含义，角平分线的含义，先计算，，，，再利用三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：是的高， ， ，， ， ∵平分，， ∴， ， ， 分别平分， ∴， ， ． 故答案为： 【变式8-3】（23-24八年级上·北京·期中）如图，是的高，是的角平分线，若，．求和的度数．    【答案】， 【分析】本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质，高线的性质，由三角形内角和定理可求得的度数，根据角平分线定义求出的度数，在中，可求得的度数，最后根据角的和差关系求解即可． 【详解】∵，， ∴， ∵是角平分线， ∴． ∵是高，， ∴， ∴， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$