专题10 分式运算的八种常见类型（八种技巧精讲精练+过关检测）-2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

专题10分式运算的八种常见类型（八种技巧精讲精练+过关检测） 题型01分式的定义在识别分式中的应用 【典例分析】 【例1-1】（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）下列代数式是分式的是（   ） A． B． C． D． 【例1-2】（24-25八年级上·山东淄博·期中）下列式子是分式的是（   ） A． B． C． D． 【例1-3】（24-25八年级上·山东泰安·期中）下列各式中：，，，，0，，，其中分式共有 个． 【变式演练】 【变式1-1】（24-25八年级上·广西来宾·期中）在代数式，，，中，是分式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）下列式子是分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24八年级上·全国·单元测试）有下列各式∶①；②；③；④．其中是分式有 ．（填序号） 题型02分式有意义的条件在求值中的应用 【典例分析】 【例2-1】（23-24八年级上·北京房山·期中）当x取什么值时，式子有意义（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（24-25八年级上·北京通州·期中）若分式有意义，则的取值范围是 ． 【例2-3】（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）下列各分式中，当x取何值时有意义？ (1) (2) (3) 【变式演练】 【变式2-1】（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）若分式有意义，则x的取值范围为（   ） A．且 B．且 C． D． 【变式2-2】（24-25八年级上·湖南永州·期中）要使分式有意义，则x的取值范围是 ． 【变式2-3】（23-24八年级上·全国·单元测试）当取什么值时，下列分式有意义？ (1)； (2)； (3)． 题型03分式的值为零的条件在求值中的应用 【典例分析】 【例3-1】（24-25八年级上·广西来宾·期中）若分式的值为0，则（   ） A． B． C． D． 【例3-2】（24-25八年级上·山东菏泽·期中）若分式的值为0，则m的值为 ． 【例3-3】（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）若分式的值等于，则的值为 ． 【变式演练】 【变式3-1】（24-25八年级上·河北邢台·期中）若分式 的值为0， 则x的值为（     ） A．0 B．2 C．1 D． 【变式3-2】（24-25八年级上·北京·期中）若分式的值为0，则 ． 【变式3-3】（20-21八年级上·贵州遵义·期末）若分式的值为，则 ． 题型04分式的值为正数的条件在求值中的应用 【典例分析】 【例4-1】（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）若分式的值为正，则的取值范围是(    ) A． B． C． D．且 【例4-2】（23-24八年级上·山东威海·阶段练习）若分式的值为正，则的取值范围为 ． 【例4-3】（八年级上·山东·课后作业）当满足什么条件时，分式的值为正？ 【变式演练】 【变式4-1】（22-23八年级·湖南衡阳·期中）若分式的值为正，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】（20-21八年级上·北京昌平·阶段练习）若分式的值为正，则的取值范围是 ． 【变式4-3】（23-24八年级上·河北邢台·期中）已知分式． (1)当为何值时，该分式无意义； (2)当为何整数值时，该分式的值为正整数． 题型05分式的基本性质在化整系数中的应用 【典例分析】 【例5-1】（23-24八年级上·山东菏泽·期末）不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（    ） A． B． C． D． 【例5-2】（24-25八年级上·北京昌平·期中）不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数， 【例5-3】（24-25八年级上·江西宜春·阶段练习）不改变分式的值，把下列各分式的分子和分母中各项系数化为整数． (1)； (2)． 【变式演练】 【变式5-1】（22-23八年级上·北京·单元测试）将分式的分子与分母中的各项系数化为整数，正确的是 （    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，使得分式的分子和分母的各项系数都是整数． （1） ；（2） ；（3） ． 【变式5-3】（23-24八年级上·全国·课堂例题）不改变分式的值，把下列各分式的分子与分母中各项系数都化为整数： (1)； (2)． 题型06分式的基本性质在求值中的应用 【典例分析】 【例6-1】．（23-24八年级上·全国·单元测试）先化简，再求值：，其中，． 【例6-2】（2024八年级上·全国·专题练习）已知，求分式的值． 【例6-3】（23-24八年级上·广东珠海·阶段练习）已知数x，y满足，求的值． 【变式演练】 【变式6-1】（23-24八年级上·全国·单元测试）当取何值时，等式成立？ 【变式6-2】（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）若，求的值． 【变式6-3】先化简，再求值：，其中． 题型07分式的运算在化简中的应用 【典例分析】 【例7-1】（23-24八年级上·广东云浮·阶段练习）化简：． 【例7-2】（22-23八年级上·四川绵阳·期末）（1）因式分解：； （2）化简：． 【例7-3】（24-25八年级上·福建福州·期中）化简： (1)； (2)． 【变式演练】 【变式7-1】（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）化简：． 【变式7-2】（24-25八年级上·全国·单元测试）化简： 【变式7-3】（24-25八年级上·重庆荣昌·阶段练习）分式化简： (1)； (2)． 题型08分式的运算在求值中的应用 【典例分析】 【例8-1】（24-25八年级上·湖南永州·期中）先化简，再求值：，其中． 【例8-2】（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【例8-3】（2024八年级上·全国·专题练习）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【变式演练】 【变式8-1】（24-25八年级上·全国·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式8-2】（24-25八年级上·北京延庆·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式8-3】（24-25八年级上·广西南宁·期中）先化简，再求值：，其中，． 一、单选题 1．（24-25八年级上·湖南永州·期中）下列各式中，是分式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖南岳阳·阶段练习）分式的值存在的条件是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·湖南永州·期中）分式的值为0，x的值是（   ） A．2 B． C． D．1 4．（2024八年级·全国·竞赛）若分式的值为正数，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 二、填空题 5．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）下列式子：，，，，，分式有 个． 6．（24-25八年级上·山东烟台·期中）要使分式有意义，则x应满足的条件是 ． 7．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）已知分式的值为正数，则的取值范围是 ． 三、解答题 8．（23-24八年级上·全国·单元测试）化简：． 9．（22-23八年级上·全国·单元测试）不改变分式的值，将下列分式中分子与分母的各项系数都化为整数： (1)； (2)． 10．（23-24八年级上·全国·单元测试）要使分式有意义，求x的取值范围． (1) (2) (3) 11．（24-25八年级上·福建福州·期中）先化简，再求值：，其中． 12． （24-25八年级上·吉林长春·期中）先化简，再求值：，其中． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10分式运算的八种常见类型（八种技巧精讲精练+过关检测） 题型01分式的定义在识别分式中的应用 【典例分析】 【例1-1】（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）下列代数式是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了分式的辨别能力，形如（其中A、B是两个整式，并且A中含有字母）的式子，叫作分式．据此判断即可． 【详解】解：A、是分式，符合题意； B、是整式，不符合题意； C、是整式，不符合题意； D、是整式，不符合题意． 故选：A． 【例1-2】（24-25八年级上·山东淄博·期中）下列式子是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的定义，根据分母含有未知数且不为0，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、 是单项式，是整式，不是分式，故该选项不正确，不符合题意；     B、是单项式，是整式，不是分式，故该选项不正确，不符合题意；     C、 是分式，故该选项正确，符合题意；     D、 是多项式，是整式，不是分式，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【例1-3】（24-25八年级上·山东泰安·期中）下列各式中：，，，，0，，，其中分式共有 个． 【答案】3 【分析】本题考查分式的判断，根据分式的定义，形如，中含有字母，这样的式子叫做分式，进行判断即可． 【详解】解：，，，，0，，中，分式有，，共3个； 故答案为：3． 【变式演练】 【变式1-1】（24-25八年级上·广西来宾·期中）在代数式，，，中，是分式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查分式的识别，熟记分式的定义是解题关键．根据分式的定义，依次判断即可． 【详解】解：根据分式的定义，为分式，有2个， 故选：B． 【变式1-2】（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）下列式子是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是分式的定义，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，根据分式的定义对各选项进行分析即可． 【详解】解：A、是整式，不符合题意； B、是整式，不符合题意； C、是分式，符合题意； D、是整式，不符合题意． 故选：C． 【变式1-3】（23-24八年级上·全国·单元测试）有下列各式∶①；②；③；④．其中是分式有 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查分式的识别，根据形如，均为整式，且中含有字母，这样的式子叫做分式，进行判断即可．注意不是字母． 【详解】解：①，是分式； ②，是分式； ③，不是分式； ④，是分式； 故答案为：①②④ 题型02分式有意义的条件在求值中的应用 【典例分析】 【例2-1】（23-24八年级上·北京房山·期中）当x取什么值时，式子有意义（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式有意义的条件．根据分式有意义的条件“分母不为零”，即可求得答案． 【详解】解：由题意可得， 则， 故选：D． 【例2-2】（24-25八年级上·北京通州·期中）若分式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义可知，即可得出答案． 【详解】因为分式有意义， 所以， 可得． 故答案为：． 【例2-3】（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）下列各分式中，当x取何值时有意义？ (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查分式有意义的条件，判断一个分式是否有意义，应考虑分母上字母的取值，字母的取值不能使分母为零． 要使分式有意义，分母不能为0，根据此条件求得x的取值范围． 【详解】（1）解：要使分式有意义， ∴ ∴； （2）要使分式有意义， ∴ ∴； （3）要使分式有意义， ∴ ∴． 【变式演练】 【变式2-1】（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）若分式有意义，则x的取值范围为（   ） A．且 B．且 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分母不等于0． 由分式有意义的条件进行计算，即可得到答案． 【详解】解：根据题意， ∵分式有意义， ∴， ∴且． 故选：B． 【变式2-2】（24-25八年级上·湖南永州·期中）要使分式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：要使分式有意义，则， 解得：， 故答案为：． 【变式2-3】（23-24八年级上·全国·单元测试）当取什么值时，下列分式有意义？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)且 (3)可取一切实数 【分析】本题考查分式有意义的条件： （1）根据分式的分母不为0，分式有意义，进行求解即可； （2）根据分式的分母不为0，分式有意义，进行求解即可； （3）根据分式的分母不为0，分式有意义，进行求解即可． 【详解】（1）解：当，即：时，分式有意义； （2）当，即：且时，分式有意义； （3）∵， ∴当取一切实数时，分式都有意义； 题型03分式的值为零的条件在求值中的应用 【典例分析】 【例3-1】（24-25八年级上·广西来宾·期中）若分式的值为0，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的值是0的条件，分式的值为0时，分子为0，但分母不为0，两个条件缺一不可． 【详解】解：由题意可知，，且， ， 故选：D． 【例3-2】（24-25八年级上·山东菏泽·期中）若分式的值为0，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零，掌握以上知识是解题的关键．根据分式的值为零的条件得：且，即可求解． 【详解】解：根据分式的值为零的条件得：且， 解得：． 故答案为：． 【例3-3】（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）若分式的值等于，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式的值为的条件，根据分式有意义和分式的值为的条件可得，据此解答即可求解，掌握分式有意义和分式的值为的条件是解题的关键． 【详解】解：根据题意得， 解得， 故答案为：． 【变式演练】 【变式3-1】（24-25八年级上·河北邢台·期中）若分式 的值为0， 则x的值为（     ） A．0 B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】考查了分式的值为0，正确把握相关定义是解题关键． 利用分式的值为0，则其分子为零，进而求出答案． 【详解】解：若分式 的值为0， 则且， 解得：， 故选：D． 【变式3-2】（24-25八年级上·北京·期中）若分式的值为0，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为0，即分子为0，分母不为0，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式3-3】（20-21八年级上·贵州遵义·期末）若分式的值为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的值为零的条件以及分式有意义的条件，正确把握相关知识是解题关键．直接利用分式有意义的条件以及分式的值为零的条件分别分析得出答案即可． 【详解】解：若分式的值为， 则有且， 解得． 故答案为：． 题型04分式的值为正数的条件在求值中的应用 【典例分析】 【例4-1】（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）若分式的值为正，则的取值范围是(    ) A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查不等式的解法和分式值的正负条件．解不等式时当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向，当未知数的系数是正数时，两边同除以未知数的系数不需改变不等号的方向． 根据题意，因为任何实数的平方都是非负数，分母不能为0，所以分母是正数，主要分子的值是正数则可，从而列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，，且， ∵分式的值为正， ∴， ∴， ∴且． 故选：D． 【例4-2】（23-24八年级上·山东威海·阶段练习）若分式的值为正，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查的是分式性质，根据分式为正数的条件列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：分式的值为正， ，， 解得，且 故答案为：且 【例4-3】（八年级上·山东·课后作业）当满足什么条件时，分式的值为正？ 【答案】当或时，原分式的值为正. 【分析】分式的值为正,则化简为或，根据不等式组的解法求解即可得到x的取值范围. 【详解】错解：当时，分式的值为正. 解这个不等式组， 得 所以此不等式组的解集为.  故当时，分式的值为正. 分析：根据同号相除得正的法则易知，当分式的分子、分母的值同时为正或同时为负时，分式的值都为正，而错解只考虑了一种情况. 正解：当或时，分式的值为正. 解这两个不等式组，得或. 所以当或时，原分式的值为正. 【点睛】本题主要考查根据题意列不等式.列不等式的关键是分清题目中的数量关系,找出其中的不等关系,从而列出不等式,求解不等式即可使问题得解. 【变式演练】 【变式4-1】（22-23八年级·湖南衡阳·期中）若分式的值为正，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据可得即可使分式的值为正． 【详解】解：∵， ∴时，分式的值为正， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查分式的值，当分子分母同为正或同为负时，分式的值为正 【变式4-2】（20-21八年级上·北京昌平·阶段练习）若分式的值为正，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据分式的性质即可求出答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为：. 【点睛】本题考查分式的性质，解题的关键是熟练运用分式的性质，本题属于基础题型 【变式4-3】（23-24八年级上·河北邢台·期中）已知分式． (1)当为何值时，该分式无意义； (2)当为何整数值时，该分式的值为正整数． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据分母等于零，分式无意义可得，求出m的值即可，熟练掌握分式有无意义的条件是解题的关键； （2）根据题意分别令或，求解即可，利用分母是分子的正约数求解是解题的关键． 【详解】（1）解：该分式无意义， ， 解得， 即当时，该分式无意义． （2）解：该分式的值为正整数，且也为整数， 或， 解得或， 即当或时，该分式的值为正整数 题型05分式的基本性质在化整系数中的应用 【典例分析】 【例5-1】（23-24八年级上·山东菏泽·期末）不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的性质，分子分母同乘或同除一个不为0的数，分式的值不变，因此令分子分母同乘5即可． 【详解】解：， 故选A． 【例5-2】（24-25八年级上·北京昌平·期中）不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数， 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子和分母只能同时乘或除以一个不等于0 的数或整式，分式的值不变，据此把分式的分子分母同时乘以10即可得到答案． 【详解】解：把分式的分子分母同时乘以10得， ∴， 故答案为：（答案不唯一） 【例5-3】（24-25八年级上·江西宜春·阶段练习）不改变分式的值，把下列各分式的分子和分母中各项系数化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式基本性质的应用，掌握分式基本性质是关键． （1）根据分式分子分母中小数最多是两位小数，由分式基本性质，分式分子分母都乘100即可； （2）分子、分母的最小公倍数都为6，分式的分子分母都乘6即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式演练】 【变式5-1】（22-23八年级上·北京·单元测试）将分式的分子与分母中的各项系数化为整数，正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要使分子与分母中的各项系数化为整数，只需要求出2、3、4的最小公倍数即可． 【详解】解：分子，分母同得： ； 故选：D． 【点睛】本题考查了分式化简，正确运算是解题关键 【变式5-2】（23-24八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，使得分式的分子和分母的各项系数都是整数． （1） ；（2） ；（3） ． 【答案】 【分析】（1）利用分式的基本性质解答，即可求解； （2）利用分式的基本性质解答，即可求解； （3）利用分式的基本性质解答，即可求解． 【详解】解：（1）； 故答案为： （2）； 故答案为： （3） 故答案为： 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键 【变式5-3】（23-24八年级上·全国·课堂例题）不改变分式的值，把下列各分式的分子与分母中各项系数都化为整数： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，关键是掌握分式的分子与分母同乘 (或除以) 一个不等于0的整式，分式的值不变； （1）分子分母都乘以60即可； （2）分子分母同时乘以12即可； 【详解】（1）根据分式的基本性质，将的分子与分母同乘60， 得． （2）解：根据分式的基本性质，将的分子与分母同乘12， 得． 题型06分式的基本性质在求值中的应用 【典例分析】 【例6-1】．（23-24八年级上·全国·单元测试）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查分式的约分化简求值，根据分式的性质，进行约分，再代值计算即可． 【详解】解：原式， 当，时，原式． 【例6-2】（2024八年级上·全国·专题练习）已知，求分式的值． 【答案】 【分析】本题考查了求分式的值．设，则代入原式进行计算即可． 【详解】解：设，则． 原式． 【例6-3】（23-24八年级上·广东珠海·阶段练习）已知数x，y满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法，求分式的值，得到是解题的关键． 由去分母得到，代入即可求得答案． 【详解】解： x，y满足， ， ． 【变式演练】 【变式6-1】（23-24八年级上·全国·单元测试）当取何值时，等式成立？ 【答案】1 【分析】此题考查了分式的性质，根据分式的性质得到，且，进而求解即可． 【详解】解：因为， 所以，且， 所以， 所以当时，等式成立． 【变式6-2】（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）若，求的值． 【答案】33 【分析】本题考查分式化简求值，将分子、分母分别因式分解，约分化简，再将代入求值即可． 【详解】解：原式， 当时， 原式 【变式6-3】先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】先根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解： ， 当时， ∴原式=． 【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解 题型07分式的运算在化简中的应用 【典例分析】 【例7-1】（23-24八年级上·广东云浮·阶段练习）化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，先利用异分母分式的加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答． 【详解】 ． 【例7-2】（22-23八年级上·四川绵阳·期末）（1）因式分解：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查的是因式分解，分式的混合运算； （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先计算分式的除法运算，再计算分式的加法运算即可． 【详解】解：（1） （2） 【例7-3】（24-25八年级上·福建福州·期中）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据分式的运算法则计算即可； （）先对分式进行化简，再合并同类项即可； 本题考查了分式的运算，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式演练】 【变式7-1】（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法，关键是掌握分式的乘法、因式分解相关运算方法． 先因式分解，再约分即可． 【详解】解：原式 【变式7-2】（24-25八年级上·全国·单元测试）化简： 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算．先把分子分母因式分解，然后约分即可． 【详解】解： 【变式7-3】（24-25八年级上·重庆荣昌·阶段练习）分式化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了分式的除法和加减乘除混合运算． （1）把除法变为乘法同时进行因式分解，约分即可得到答案； （2）先计算括号内的加减法再计算除法即可． 【详解】（1）解： （2） 题型08分式的运算在求值中的应用 【典例分析】 【例8-1】（24-25八年级上·湖南永州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，2025 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握运算法则与运算顺序是关键．先化除法为乘法，再进行因式分解，然后再约分，最后计算加减；然后把字母的值代入化简后的式子中计算出值即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 当时， 【例8-2】（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值． 本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键． 【详解】解： 当时，原式 【例8-3】（2024八年级上·全国·专题练习）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查分式的化简求值． （1）先将分母利用平方差公式因式分解后约分即可化简，再代入求值即可； （2）先将分子分母利用平方差公式和完全平方公式因式分解后约分即可化简，再代入求值即可． 【详解】（1）解：原式 ； 当时，原式； （2）解：原式 ； 当时， 原式 【变式演练】 【变式8-1】（24-25八年级上·全国·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值，根据分式的混合运算法则把原式化简，将x的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式 【变式8-2】（24-25八年级上·北京延庆·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．先对括号内进行通分，然后将除法转化为乘法进行约分，即可得到化简后的结果，最后代入求值． 【详解】解： ． 当时，原式． 【变式8-3】（24-25八年级上·广西南宁·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题分式的化简求值，先根据同分母分式加减运算法则计算小括号内的加法，再计算除法，结果化为最简分式，然后将，代入计算即可．掌握相应的运算法则，运算顺序和公式是解题的关键． 【详解】解： ， 当，时，原式 一、单选题 1．（24-25八年级上·湖南永州·期中）下列各式中，是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母，根据分式的定义逐一判断即可求解． 【详解】解：A、是整式，不是分式，故不符合题意； B、符合分式的定义，是分式，故符合题意； C、是整式，不是分式，故不符合题意； D、是整式，不是分式，故不符合题意． 故选：B． 2．（24-25八年级上·湖南岳阳·阶段练习）分式的值存在的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式有意义的条件：分式有意义的条件是分母不等于零是解题关键． 根据分式有意义的条件：分母不为0，判断即可． 【详解】解：∵要使分式有意义， ，即， 故选：C． 3．（24-25八年级上·湖南永州·期中）分式的值为0，x的值是（   ） A．2 B． C． D．1 【答案】A 【分析】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少． 分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题． 【详解】解：由题意可得：且， 解得． 故选：A． 4．（2024八年级·全国·竞赛）若分式的值为正数，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】根据题意列出不等式组，解不等式组则可．此题考查分式的值，解不等式组，解题关键在于根据题意列出不等式组． 【详解】解：∵分式的值为正数， ∴或， 解得：或. 故选：C． 二、填空题 5．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）下列式子：，，，，，分式有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了分式的定义，熟悉相关性质，注意是常数，是解题的关键． 根据分母中含有字母的式子是分式，可得答案． 【详解】解：，，的分母中含有字母，属于分式，共有3个． 故答案为：3． 6．（24-25八年级上·山东烟台·期中）要使分式有意义，则x应满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，利用分式有意义，分式的分母不为零即可求出． 【详解】根据题意 得 解得 故答案为：． 7．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）已知分式的值为正数，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可确定出的范围． 【详解】解：∵的值为正数， ∴或， 解得：或， 故答案为：或． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式组的应用和分式的值，解题的关键是根据题意列出不等式组． 三、解答题 8．（23-24八年级上·全国·单元测试）化简：． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简，先算括号，再算除法即可． 【详解】解：原式 ． 9．（22-23八年级上·全国·单元测试）不改变分式的值，将下列分式中分子与分母的各项系数都化为整数： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式的基本性质将分子分母同时乘以2即可； （2）根据分式的基本性质将分子分母同时乘以10即可． 【详解】（1）解：； （2）． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟知分子分母同时扩大（或缩小）相同的倍数，分式的值不变，是解本题的关键． 10．（23-24八年级上·全国·单元测试）要使分式有意义，求x的取值范围． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3)x为任意实数 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键的掌握分式有意义的条件是分母不为0． （1）根据分式有意义的条件，得出，即可解答； （2）根据分式有意义的条件，得出，即可解答； （3）根据分式有意义的条件，得出，即可解答． 【详解】（1）解：∵有意义， ∴， ∴； （2）解：∵有意义， ∴， ∴； （3）解：∵有意义， ∴， ∵， ， ∴x为任意实数． 11．（24-25八年级上·福建福州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的性质和运算法则进行化简，再把的值代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴原式． 12．（24-25八年级上·吉林长春·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，先计算小括号内的减法，再计算除法，结果化为最简分式，再将代入计算即可．掌握相应的运算法则，运算顺序及公式是解题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$