第01讲 数学与我们同行（7大知识点7题型，新教材）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（苏科版2024）

第01讲 数学与我们同行 课程标准 学习目标 1 体会数学与生活的密切联系，感受数学的广泛应用； 2 培养用数学的眼光观察世界、用数学的思维思考世界、用数学的语言表达世界的能力； 3 提高对数学的学习兴趣和应用意识，加强学生间的交流． 1. 理解数学在生活中的各种应用； 2. 培养数学应用和创新思维； 3. 提升对数学的兴趣和热爱． 知识点一、生活中的数学 我们生活在丰富多彩的数学世界中，我们的生活中也与数学息息相关 如图所示的是一座房子的平面图，组成这幅图的几何图形有三角形、长方形、梯形. 小明同学不但会学习，而且也很会安排时间干好家务活，煲饭、炒菜、擦窗等样样都行，是爸爸妈妈的好帮手，某一天放学回家后，她完成各项家务活及所需时间如表：小明同学完成以上各项家务活，至少需要　 　分钟．（注：各项工作转接时间忽略不计） 家务项目 擦窗 洗菜 洗饭煲、洗米 炒菜（用煤气炉） 煲饭（用电饭煲） 完成各项家务所需时间 5分钟 4分钟 3分钟 20分钟 30分钟 因为用煲饭的三十分钟可同时完成擦窗、洗菜、炒菜， 所以小明同学完成以上五项家务活，至少需要3+30＝33（分钟）． 知识点二、图形中的数学 河图洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化、阴阳五行术数之源． 【思考】根据“洛书”，将数字1～9填入方格中，能获得哪些规律呢？ 答：方格中的每一行，每一列及对角线上的三个数之和都分别相等，皆等于15. 知识点三、数字与生活 1.身份证号码：第二代身份证号码共有18位，第1、2位数字表示此人所属省（自治区/直辖市），第3、4位数字表示此人所属市，第5、6位数字表示此人所属县，第7至第14位，依次表示此人的出生年月日，第15、16、17位是顺序码，其中第17位数字表示性别，奇数表示男性，偶数表示女性，第18位数字是校检码，由0—9中的数字，或者是大写的“X”表示. 2.学籍号：与身份证号类似，通过学籍号可以得到学生所属省、市、县、学校、入学年份等信息. 知识点四、图形与生活 在我们的生活中，图形不仅能够美化我们的生活，还包含着丰富的信息. 1.一些logo，如图（1）是北京奥运会logo，从图中我们得到北京奥运会时间、地点等重要信息； 2.一些公共场所会贴一些标识性的图形，如图（2）是禁止吸烟标志； 3.一些象征性的图形，如图（3）的窗花，象征着喜庆、富贵、吉祥等. 知识点五、动手操作 动手操作主要是让学生在实际操作的基础上设计相关的图形及制作相关图案，这类问题主要是培养学生的创新能力和实践能力，动手操作包括折叠、裁剪、拼图. 例：将长方形纸片按图①②所示的方式对折两次后，再按图③中的虚线裁剪图形，最后将图④纸片展开铺平．你有什么办法可以得到展开铺平后的图形？ 小杰说：我可以按照折纸逆回丢的顺序，画出展升铺平后的图形． 请按照小杰画图的顺序，在如图中画出展开铺平后的图形． 如图所示： 知识点六、找规律 找规律主要分为两类：一类是数字的规律，还有一类是图形的规律. 解关于图形的变化规律，可先探究其中存在的数量关系，将图形之间的联系转化为数量之间的规律，数形结合. 知识点七、交流数学 火柴拼图是一种道具简单、开启思维、挖掘智力、陶冶情趣的数字游戏．这种游戏形式万千，可简可繁．七年级的同学们学了“用字母表示数”和“列代数式”的内容后，数学课外活动小组的同学们利用课外活动时间举行用火柴棒拼图的实践活动．他们按照下图所示的方法拼图，探究不同图形中共拼出的三角形个数，正方形的个数及所用火柴棒的根数与所拼图之间的关系，请你参与进去进行数学探究活动． （1）观察：观察下图中正方形的个数及所用火柴棒根数，并填写下表中的空格： 第1个 第2个 第3个 第4个 … 拼成三角形个数 1 2 　　 　　 … 拼成的正方形个数 3 5 　　 　　 … 所用火柴棒总根数 12 20 　　 　　 … （2）探究：按如图所示的方法拼成的第n个图中，三角形和正方形的个数各有多少？所用的火柴棒总根数是多少？（用含n的代数式表示，并与同学们进行交流） 解：（1）第3个图形中，拼成三角形的个数是3个，拼成正方形的个数是7个，所用火柴棒总根数是28根； 第4个图形中，拼成三角形的个数是4个，拼成正方形的个数是9个，所用火柴棒总根数是36根； 故答案为：3，7，28；4，9，36． （2）由（1）可得， 第n个图形中，拼成三角形的个数是n个，拼成正方形的个数是（2n+1）个，所用火柴棒总根数是（8n+4）根． 题型01 生活中的数学问题 1．一个物体长、宽、高的数据如图所示．根据这组数据，联系生活想象一下，它可能是（　　） A．一个笔筒 B．一台微波炉 C．一台冰箱 D．一部手机 2．现实中传递着大量的数学信息，如反映人民生活水平的“恩格尔系数”、预测天气情况的“降雨概率”、表示空气污染程度的“空气指数”、表示儿童智能状况的“智商”等，这表明数学术语日趋（　　） A．人本化 B．生活化 C．科学化 D．社会化 3．在我们日常生活中，报警电话数字是　 　． 4．生活在地球上的人类，急需绿色的环境，若平均每人需2.5m2的绿地，则100万人口的中等城市在规划时需安排绿地面积　 　m2． 题型02 从图像中获取数字信息 1．如图是某居民的身份证，其号码是110102197810272321，则该居民的出生年份是 　 　． 2．以下是两张不同类型火车（“Dxxx次”表示动车，“Gxxx次”表示高铁）的车票： 根据车票中的信息填空：该列动车和高铁是 　　（填“相”或“同”）向而行，该列动车比高铁发车 　　（填“早”或“晚”）． 题型03 与估算有关的问题 1．北京鸟巢体育馆占地面积大约是200×300米2，它的百万分之一大约有（　　） A．一床被单大 B．一本数学《分层练习册》大 C．一个篮球场大 D．无法估计 2．时间一去不复返，孩子们，转眼间，我们已经在小学阶段学习了大约2000（　　） A．时 B．日 C．月 D．年 3．我们的课桌高大约是（　　） A．10cm B．30cm C．80cm D．120cm 4．在括号里填上适当的单位名称．一栋楼房的占地面积大约是400 　　，一个鸡蛋的质量约是60 　　，冰箱的容积大约是216 　　． 题型04 探究生活中的规律问题 1．挑游戏棒是一种好玩的游戏，游戏规则：当一根棒条没有被其它棒条压着时，就可以把它往上拿走．如图中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，…，则第6次应拿走（　　） A．②号棒 B．⑦号棒 C．⑧号棒 D．⑩号棒 2．1米长的小棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半……如此截下去，第6次后剩下的小棒的长为（　　） A．米 B．（）米 C．米 D．（）米 题型05 动手操作问题 1．由8根火柴棒搭成1个正方形（如图），你能移动火柴棒（不减少火柴棒总数），使得新图形的面积为这个正方形面积的一半吗？ 2．如图，12根火柴棒拼成一个“井”字形，请你想一想，能否只平行移动其中的4根火柴棒，使原图形变成三个相同的正方形（同一根火柴棒只能移动一次，且没有火柴棒剩余）；请你再想一想，能否只平行移动其中的4根火柴棒，使原图形变成四个相同的正方形（同一根火柴棒只能移动一次，且没有火柴棒剩余）．对能移动的请作出图形． 3．如图是用12根火柴棒摆成的倒“品”字，你能只移动3根火柴棒，把“品”字改成“田”字吗？请在图中标出移动的火柴棒． 题型06 规律探究 1．如图为手的示意图，在各个手指间标记字母A、B、C、D．请你按图中箭头所指方向（即A→B→C→D→C→B→A→B→C→……的方式）从A开始数连续的正整数1，2，3，4，……，请你寻找规律，指出当字母B第2023次出现时，恰好数到的数为（　　） A．6062 B．6066 C．6068 D．6072 2．观察下面的表（1），寻找规律．其中表（2）、表（3）分别是从表（1）中选取的一部分，则a+b的值为　　． 表（1）： 0 1 2 3 … 1 3 5 7 … 2 5 8 11 … 3 7 11 15 … … … … … … 表（2）： 11 14 a 表（3）： 11 13 17 b 3．如图所示，寻找规律，在“？”处应填上的数是 　 　． 4．阅读下文，寻找规律： 已知：x≠1，观察下列各式： （x﹣1）（x+1）＝x2﹣1； （x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1； （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1； （x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1； … 填空： 1 （x﹣1）（x9+x8+⋅⋅⋅+x2+x+1）＝　 　； 2 （1﹣x）（1+x+x3+⋅⋅⋅+xn﹣1+xn）＝　 　． 题型07 月历中的数学规律问题 1．如图是2023年8月份的月历，现用十字框任意框出5个数，如： （1）十字框框出的5个数与十字框中间的数有什么关系？ （2）如果十字框框出的5个数之和为55，那么十字框中间的数是多少？ （3）十字框框出的5个数之和可以是105吗？ 2．生活与数学． （1）如图①，吉姆同学在某月的日历上框出2×2个数，正方形框内的四个数的和是32，那么第一个数是 　　； （2）如图②，玛丽也在上面的日历上框出2×2个数，斜框内的四个数的和是42，则它们分别是 　　； （3）如图③，莉莉在日历上框出5个数，呈十字框形，它们的和是50，则中间的数是 　　； （4）某月有5个星期日的和是75，则这个月中最后一个星期日是 　　号； （5）若干个偶数按每行8个数排成图④： ①图中长方形框内的9个数的和与中间的数的关系是 　 　； 3 图乙中斜框内9个数的和为360，则斜框的中间一个数是 　 　； 1．圆周率（　　）3.14． A．大于 B．小于 C．等于 D．无法确定 2．28cm接近于（　　） A．珠穆朗玛峰的高度 B．三层住宅楼的高度 C．一层住宅楼的高度 D．一张纸的厚度 3．一个快递包装尺寸是783mm×720mm×1808mm．这个快递可能是（　　） A．微波炉 B．冰箱 C．手机 D．平板电脑 4．如图，“吋”是电视机常用尺寸，1吋约为大拇指第一节的长，则7吋长相当于（　　） A．教室的长度 B．课桌的长度 C．黑板的宽度 D．数学课本的宽度 5．《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十…”（粟指带売的谷子，粝米指糙米，其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”．问题：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为（　　） A．6 升 B．8 升 C．16 升 D．18 升 6．如图所示，下列各角是锐角的是（　　） A．∠AOB B．∠AOC C．∠AOD D．∠BOC 7．教室的占地面积约为60 　 　．（填面积单位） 8．数学谜语，既能激发好奇心，增强想象力，又能拓宽视野，丰富知识．下面的两则数学谜语，你能写出谜底吗？ （1）七六五四三二一（打一数学名词）：　 　； （2）只识0和1，能算万和亿，软硬我都有，猜我很容易（打一计算工具）：　 　． 9．晓明从甲地到乙地用了2.3小时，他早上8：00出发，到达时间是 　 　点 　 　分． 10．如图，观察月历，2023年的国庆节是星期 　 　． 11．某学校为学生编排9位数字的考试号，从左边起第1位数字表示年级，7、8、9分别表示七、八、九三个年级，第2、3位数字表示所在的班级（班级不是两位数字的，前面补0．如3班则编号为03），第4、5位数字表示这个学生在班级序号，第6、7位数字表示该生考试时所到的班级，第8、9位数字表示座位号．如果一个八年级10班序号为45的学生正确坐到6班11号的位置，则他的考试号为 　 　． 12．如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…，则第6个图案中有　 　根小棒． 13．将如图所示的四个正方形分别分割成可以剪下4个、7个、8个和9个正方形的图形． 14．如图，用几根火柴拼成的两把椅子和一张方桌，请移动其中的3根火柴，将方桌挪到椅子中间． 15．12人乘车去某地，可供租的车辆有两种：一种车可乘8人，另一种车可乘4人． （1）请给出3种以上的租车方案； （2）如果第一种车的租金是300元/天，第二种车的租金是200元/天，那么采用哪种方案费用最少？ 16．十九世纪中叶，诞生了一个新的几何学分支“拓扑学（又称‘位置解析’）”．它所研究的是几何图形这样一些最基本的、最深刻的性质：图形经受剧烈的变形，以致所有度量性质和射影性质都失去之后，这些性质仍然存在．数学家们找到若干个令人叹为观止的实例，例如著名的Mobius带、Klein瓶…… 请看如图，你能否将正方形图中上方的小方块与下方的对应的小方块用平面内不相交的实线连起来，且要求连线只能在该正方形内部的空白处． 17．观察图1至图5中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放，记第n个图中小黑点的个数为y． ①填表： n 1 2 3 4 5 … y 1 3 　 　 13 　 　 … ②当n＝8时，y＝　 　． 4 你能发现n与y之间的关系吗？ 18．幻方第一人 幻方，相传最早见于我国的“洛书”，如图①，洛书中3行，3列以及2条对角线上的点数之和都等于15，是一种“3阶幻方”（如图②）．我国南宋数学家杨辉是对幻方从数学角度进行系统研究的第一人，他在《续古摘奇算法》一书中给出从3阶到10阶的幻方，并对一些低阶幻方介绍了构造方法，其中运用了对称思想．例如，用1，2，3，…，16构造4阶幻方的方法是：先将1，2，3，…，16依次排成图③，然后以外四角对换，即1与16对换，4与13对换，再以内四角对换……请你在图④中填写用这种“对换”方法得出的4阶幻方． 19．如图的数字三角形有一定的规律，请按规律填上空缺的数． 20．若干个偶数按每行8个数排成图： （1）图中方框中的9个数的和与中间的数有什么关系？ （2）小亮所画的方框内9个数的和为360，求方框右下角的那个数？写出你的计算步骤． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 数学与我们同行 课程标准 学习目标 1 体会数学与生活的密切联系，感受数学的广泛应用； 2 培养用数学的眼光观察世界、用数学的思维思考世界、用数学的语言表达世界的能力； 3 提高对数学的学习兴趣和应用意识，加强学生间的交流． 1. 理解数学在生活中的各种应用； 2. 培养数学应用和创新思维； 3. 提升对数学的兴趣和热爱． 知识点一、生活中的数学 我们生活在丰富多彩的数学世界中，我们的生活中也与数学息息相关 如图所示的是一座房子的平面图，组成这幅图的几何图形有三角形、长方形、梯形. 小明同学不但会学习，而且也很会安排时间干好家务活，煲饭、炒菜、擦窗等样样都行，是爸爸妈妈的好帮手，某一天放学回家后，她完成各项家务活及所需时间如表：小明同学完成以上各项家务活，至少需要　 　分钟．（注：各项工作转接时间忽略不计） 家务项目 擦窗 洗菜 洗饭煲、洗米 炒菜（用煤气炉） 煲饭（用电饭煲） 完成各项家务所需时间 5分钟 4分钟 3分钟 20分钟 30分钟 因为用煲饭的三十分钟可同时完成擦窗、洗菜、炒菜， 所以小明同学完成以上五项家务活，至少需要3+30＝33（分钟）． 知识点二、图形中的数学 河图洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化、阴阳五行术数之源． 【思考】根据“洛书”，将数字1～9填入方格中，能获得哪些规律呢？ 答：方格中的每一行，每一列及对角线上的三个数之和都分别相等，皆等于15. 知识点三、数字与生活 1.身份证号码：第二代身份证号码共有18位，第1、2位数字表示此人所属省（自治区/直辖市），第3、4位数字表示此人所属市，第5、6位数字表示此人所属县，第7至第14位，依次表示此人的出生年月日，第15、16、17位是顺序码，其中第17位数字表示性别，奇数表示男性，偶数表示女性，第18位数字是校检码，由0—9中的数字，或者是大写的“X”表示. 2.学籍号：与身份证号类似，通过学籍号可以得到学生所属省、市、县、学校、入学年份等信息. 知识点四、图形与生活 在我们的生活中，图形不仅能够美化我们的生活，还包含着丰富的信息. 1.一些logo，如图（1）是北京奥运会logo，从图中我们得到北京奥运会时间、地点等重要信息； 2.一些公共场所会贴一些标识性的图形，如图（2）是禁止吸烟标志； 3.一些象征性的图形，如图（3）的窗花，象征着喜庆、富贵、吉祥等. 知识点五、动手操作 动手操作主要是让学生在实际操作的基础上设计相关的图形及制作相关图案，这类问题主要是培养学生的创新能力和实践能力，动手操作包括折叠、裁剪、拼图. 例：将长方形纸片按图①②所示的方式对折两次后，再按图③中的虚线裁剪图形，最后将图④纸片展开铺平．你有什么办法可以得到展开铺平后的图形？ 小杰说：我可以按照折纸逆回丢的顺序，画出展升铺平后的图形． 请按照小杰画图的顺序，在如图中画出展开铺平后的图形． 如图所示： 知识点六、找规律 找规律主要分为两类：一类是数字的规律，还有一类是图形的规律. 解关于图形的变化规律，可先探究其中存在的数量关系，将图形之间的联系转化为数量之间的规律，数形结合. 知识点七、交流数学 火柴拼图是一种道具简单、开启思维、挖掘智力、陶冶情趣的数字游戏．这种游戏形式万千，可简可繁．七年级的同学们学了“用字母表示数”和“列代数式”的内容后，数学课外活动小组的同学们利用课外活动时间举行用火柴棒拼图的实践活动．他们按照下图所示的方法拼图，探究不同图形中共拼出的三角形个数，正方形的个数及所用火柴棒的根数与所拼图之间的关系，请你参与进去进行数学探究活动． （1）观察：观察下图中正方形的个数及所用火柴棒根数，并填写下表中的空格： 第1个 第2个 第3个 第4个 … 拼成三角形个数 1 2 　　 　　 … 拼成的正方形个数 3 5 　　 　　 … 所用火柴棒总根数 12 20 　　 　　 … （2）探究：按如图所示的方法拼成的第n个图中，三角形和正方形的个数各有多少？所用的火柴棒总根数是多少？（用含n的代数式表示，并与同学们进行交流） 解：（1）第3个图形中，拼成三角形的个数是3个，拼成正方形的个数是7个，所用火柴棒总根数是28根； 第4个图形中，拼成三角形的个数是4个，拼成正方形的个数是9个，所用火柴棒总根数是36根； 故答案为：3，7，28；4，9，36． （2）由（1）可得， 第n个图形中，拼成三角形的个数是n个，拼成正方形的个数是（2n+1）个，所用火柴棒总根数是（8n+4）根． 题型01 生活中的数学问题 1．一个物体长、宽、高的数据如图所示．根据这组数据，联系生活想象一下，它可能是（　　） A．一个笔筒 B．一台微波炉 C．一台冰箱 D．一部手机 【分析】根据820mm，720mm，1800mm的实际长短结合生活实际进行判断即可． 【解答】解：一台冰箱的长可能为820mm，宽可能为720mm，高可能为1800mm，而“一个笔筒”、“一台微波炉”、“一部手机”的长、宽、高不可能那么大， 故选：C． 【点评】本题考查数学常识，感知820mm，720mm，1800mm的长短和实际物体的大小是正确判断的关键． 2．现实中传递着大量的数学信息，如反映人民生活水平的“恩格尔系数”、预测天气情况的“降雨概率”、表示空气污染程度的“空气指数”、表示儿童智能状况的“智商”等，这表明数学术语日趋（　　） A．人本化 B．生活化 C．科学化 D．社会化 【分析】恩格尔系数，空气指数，降雨概率等数学术语，越来越被用在生活中，日趋生活化． 【解答】解：由题意得：恩格尔系数，空气指数，降雨概率等数学术语，越来越被用在生活中，日趋生活化． 故选：B． 【点评】本题考查了数学常识，属于基础题，难度不大，平时注意数学常识的积累． 3．在我们日常生活中，报警电话数字是　 　． 【分析】根据掌握的安全常识进行解答即可． 【解答】解：在我们日常生活中，报警电话数字是110； 故答案为：110． 【点评】此题考查了数学常识，熟记常用的特殊电话号码有利于维护自身安全，方便生活． 4．生活在地球上的人类，急需绿色的环境，若平均每人需2.5m2的绿地，则100万人口的中等城市在规划时需安排绿地面积　 　m2． 【分析】所求绿地面积＝平均每人所需的绿地面积×100万． 【解答】解：根据题意可得100万×2.5m2＝2 500 000m2． 【点评】本题属于基础题，考查了基本的计算能力和估算的能力，解答时可联系生活实际去解．注意单位的换算． 题型02 从图像中获取数字信息 1．如图是某居民的身份证，其号码是110102197810272321，则该居民的出生年份是 　 　． 【分析】由身份证号码第7﹣10位数字表示的是年份，即可得出结论． 【解答】解：由身份证号码第7﹣10位数字表示的是出生年份， 得该居民出生年份是1978． 故答案为：1978． 【点评】本题考查了数学常识，了牢记身份证号码18位数字的意义是解题的关键． 2．以下是两张不同类型火车（“Dxxx次”表示动车，“Gxxx次”表示高铁）的车票： 根据车票中的信息填空：该列动车和高铁是 　　（填“相”或“同”）向而行，该列动车比高铁发车 　　（填“早”或“晚”）． 【分析】根据票面信息作答即可． 【解答】解：（1）由图可知：该列动车和高铁都是从A站开往B站，即是同向而行；该列动车比高铁发车早1个小时； 故答案为：同，早． 题型03 与估算有关的问题 1．北京鸟巢体育馆占地面积大约是200×300米2，它的百万分之一大约有（　　） A．一床被单大 B．一本数学《分层练习册》大 C．一个篮球场大 D．无法估计 【分析】根据有理数的乘法，可得矩形的面积，根据句型面积的大小，可得答案． 【解答】解：200×300×10000600cm2， 600cm2相当于一本书的大小，故B符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查了数学常识，先算出面积，再估算物体，要了解所给物体的大小． 2．时间一去不复返，孩子们，转眼间，我们已经在小学阶段学习了大约2000（　　） A．时 B．日 C．月 D．年 【分析】先根据小学阶段共6年，一年有12个月，1年有365天，1天有24小时，列式计算出6年是多少个月，多少天，多少个小时，根据计算结果进行判断即可． 【解答】解：小学阶段是六年，一年有12个月，1年有365天，1天有24小时， ∴6×12＝72个月，6×365＝2190天，2190×24＝52560小时， ∴小学阶段大概是六年或72个月或2190天或52560时， ∴在小学阶段学习了大约2000日， 故选：B． 【点评】本题主要考查了时间单位的换算，解题关键是熟练掌握时间单位之间的换算进率． 3．我们的课桌高大约是（　　） A．10cm B．30cm C．80cm D．120cm 【分析】根据生活常识可知，课桌高大约是80cm． 【解答】解：根据生活中常识可知，课桌高大约是80cm． 故选：C． 【点评】此题主要考查了数学常识，正确理解题意得出物体高度是解题的关键． 4．在括号里填上适当的单位名称．一栋楼房的占地面积大约是400 　　，一个鸡蛋的质量约是60 　　，冰箱的容积大约是216 　　． 【分析】根据生活经验以及对容积单位、质量单位、面积单位和数据大小的认识，结合实际情况选择合适的单位即可． 【解答】解：一栋楼房的占地面积大约是400平方米，一个鸡蛋的质量约是60克，冰箱的容积大约是216升， 故答案为：平方米，克，升． 【点评】此题考查根据情境选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活地选择． 题型04 探究生活中的规律问题 1．挑游戏棒是一种好玩的游戏，游戏规则：当一根棒条没有被其它棒条压着时，就可以把它往上拿走．如图中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，…，则第6次应拿走（　　） A．②号棒 B．⑦号棒 C．⑧号棒 D．⑩号棒 【分析】仔细观察图形，找到拿走后图形下面的游戏棒，从而确定正确的选项． 【解答】解：仔细观察图形发现： 第1次应拿走⑨号棒， 第2次应拿走⑤号棒， 第3次应拿走⑥号棒， 第4次应拿走②号棒， 第5次应拿走⑧号棒， 第6次应拿走⑩号棒， 故选：D． 【点评】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形，锻炼了同学们的识图能力． 2．1米长的小棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半……如此截下去，第6次后剩下的小棒的长为（　　） A．米 B．（）米 C．米 D．（）米 【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【解答】解：根据题意得：（）6（米）， 故选：A． 【点评】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键． 题型05 动手操作问题 1．由8根火柴棒搭成1个正方形（如图），你能移动火柴棒（不减少火柴棒总数），使得新图形的面积为这个正方形面积的一半吗？ 【分析】移动成两个上下左右错开的两个边长为一根火柴棒的小正方形，这样就形成两个由四根火柴组成的小正方形并且新图形的面积为这个正方形面积的一半． 【解答】解：（答案不唯一）如图所示： 【点评】本题考查了应用与设计作图，此类题目主要把简单作图放入实际问题中，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图． 2．如图，12根火柴棒拼成一个“井”字形，请你想一想，能否只平行移动其中的4根火柴棒，使原图形变成三个相同的正方形（同一根火柴棒只能移动一次，且没有火柴棒剩余）；请你再想一想，能否只平行移动其中的4根火柴棒，使原图形变成四个相同的正方形（同一根火柴棒只能移动一次，且没有火柴棒剩余）．对能移动的请作出图形． 【分析】（1）根据12个火柴棒平移后变成3个正方形，所以每一个小正方形需用4根火柴棒，即没有公用的火柴棒，平移左上角的两根到左下角，右上角的两根到右下角即可得到三个相同的小正方形；或平移左上角的两根到左下角，平移右下角的两根到右上角即可得到三个相同小正方形； （2）根据12个火柴棒平移后变成4个相同的正方形，平均每一个正方形用3根火柴棒，所以每一个正方形必须有两边是公用边，平移上边两根到最右边，左边两根到最下边组成田字形，即可得到四个相同的正方形． 【解答】解：如图1，平移4根变成三个相同的正方形； 如图2，平移4根变成相同的四个正方形． 【点评】本题考查了利用平移变换设计图案，根据火柴棒的根数与组成的正方形的个数确定有没有两个正方形公用的火柴棒，是解题的关键，此类题目需要同学们有设计与灵活变通的能力． 3．如图是用12根火柴棒摆成的倒“品”字，你能只移动3根火柴棒，把“品”字改成“田”字吗？请在图中标出移动的火柴棒． 【分析】田字的中心是“十”字，先确定“十”的位置即可判断出该移动的火柴棒了． 【解答】解：如图： 【点评】解决本题的关键是得到新字的图形的中心的特点． 题型06 规律探究 1．如图为手的示意图，在各个手指间标记字母A、B、C、D．请你按图中箭头所指方向（即A→B→C→D→C→B→A→B→C→……的方式）从A开始数连续的正整数1，2，3，4，……，请你寻找规律，指出当字母B第2023次出现时，恰好数到的数为（　　） A．6062 B．6066 C．6068 D．6072 【分析】能根据数的方式发现字母和所数的数之间的关系，分别求出正整数1，2，3，4…所对应的字母，根据发现的规律即可解决问题． 【解答】解：根据题意，列出相应的表格，如下图， 字母B所对应数是2，6，8，12，14，18，20… 通过观察奇数次出现的规律，可知， 字母B第1次出现，数到的数是2＝2+（1﹣1）×3； 字母B第3次出现，数到的数是8＝2+（3﹣1）×3； 字母B第5次出现，数到的数是14＝2+（5﹣1）×4； …， 所以字母B第2023次出现，数到的数是2+（2023﹣1）×3＝6068， 故选：C． 【点评】本题考查数的排列规律，能找到规律是解题的关键． 2．观察下面的表（1），寻找规律．其中表（2）、表（3）分别是从表（1）中选取的一部分，则a+b的值为　　． 表（1）： 0 1 2 3 … 1 3 5 7 … 2 5 8 11 … 3 7 11 15 … … … … … … 表（2）： 11 14 a 表（3）： 11 13 17 b 【分析】此类题一定要分析清楚原表格中的规律，再计算． 【解答】解：首先要熟悉表（1）中，各行和各列中数字之间的规律：第一行是从0开始连续的整数．第二行是从1开始依次多2．第三行是从2开始依次多3．…．各列的规律和对应各行的规律一致． 表（2）中，根据发现的规律，得a﹣14＝14﹣11，即a＝17． 表（3）中，b﹣13＝17﹣11+1，即b＝20． a+b＝17+20＝37． 【点评】主要培养学生的观察能力． 3．如图所示，寻找规律，在“？”处应填上的数是 　 　． 【分析】此列数相邻两个数的差和商都不相同，而观察到数越来越大，所以考虑相邻三个数的和，正好是下一个数． 【解答】解：2+2+4＝8， 2+4+8＝14， 4+8+14＝26， 8+14+26＝48， 14+26+48＝88， 26+48+88＝162， 故答案为：162． 【点评】本题考查了数的规律，关键是得到“相邻三个数的和正好是下一个数”． 4．阅读下文，寻找规律： 已知：x≠1，观察下列各式： （x﹣1）（x+1）＝x2﹣1； （x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1； （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1； （x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1； … 填空： 1 （x﹣1）（x9+x8+⋅⋅⋅+x2+x+1）＝　 　； 2 （1﹣x）（1+x+x3+⋅⋅⋅+xn﹣1+xn）＝　 　． 【分析】由题意可知每一个式子的结果为两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项的指数大1，减数都为1，根据这个规律即可直接写出答案； 【解答】解：（1）①根据规律可得：（x﹣1）（x9+x8+⋅⋅⋅+x2+x+1）＝x10﹣1； 故答案为：x10﹣1； ②原式＝﹣（x﹣1）（xn+xn﹣1+...+x+1）＝﹣（xn+1﹣1）＝1﹣xn+1； 故答案为：1﹣xn+1． 【点评】本题主要考查了探索规律，体现了由一般到特殊的应用，解题的关键是探索出规律，根据规律答题． 题型07 月历中的数学规律问题 1．如图是2023年8月份的月历，现用十字框任意框出5个数，如： （1）十字框框出的5个数与十字框中间的数有什么关系？ （2）如果十字框框出的5个数之和为55，那么十字框中间的数是多少？ （3）十字框框出的5个数之和可以是105吗？ 【分析】（1）根据题意列式计算； （2）根据“十字框框出的5个数之和为55”列方程求解； （2）根据“十字框框出的5个数之和可以是105”列方程求解． 【解答】解：（1）（14+15+16+8+22）÷15＝5， 答：十字框框出的5个数的和等于十字框中间的数的5倍； （2）设十字框中间的数是x， 则：（x﹣7）+（x+7）+x+（x﹣1）+（x+1）＝55， 解得：x＝11， 答：十字框中间的数是11； （3）设十字框中间的数是a， 则：（a﹣7）+（a+7）+a+（a﹣1）+（a+1）＝105， 解得：a＝21， 所以十字框框出的5个数之和可以是105． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． 2．生活与数学． （1）如图①，吉姆同学在某月的日历上框出2×2个数，正方形框内的四个数的和是32，那么第一个数是 　　； （2）如图②，玛丽也在上面的日历上框出2×2个数，斜框内的四个数的和是42，则它们分别是 　　； （3）如图③，莉莉在日历上框出5个数，呈十字框形，它们的和是50，则中间的数是 　　； （4）某月有5个星期日的和是75，则这个月中最后一个星期日是 　　号； （5）若干个偶数按每行8个数排成图④： ①图中长方形框内的9个数的和与中间的数的关系是 　 　； ②图乙中斜框内9个数的和为360，则斜框的中间一个数是 　 　； 【分析】日历上，同一列数，下一行数比上一行数大7．同一行中，相邻的两个数相差1． 【解答】解：（1）设第一个数是x，其他的数为x+1，x+7，x+8， 则x+x+1+x+7+x+8＝32， 4x＝32﹣8﹣7﹣1， 4x＝16， 解得x＝4， 故答案为：4； （2）设第一个数是x，其他的数为x+1，x+6，x+7， 则x+x+1+x+6+x+7＝42， 解得x＝7． x+1＝8，x+6＝13，x+7＝14， 故答案为：7，8，13，14； （3）设中间的数是x， 则5x＝50， 解得x＝10， 故答案为：10； （4）设最后一个星期日是x，x﹣7，x﹣14，x﹣21，x﹣28， 则x+x﹣7+x﹣14+x﹣21+x﹣28＝75， 解得x＝29， 故答案为：29； （5）①和是中间的数的9倍． ②根据规律可知，和是中间的数的9倍， 设中间的数是x， 则9x＝360， 解得x＝40． 故答案为：①和是中间数的9倍； ②40． 【点评】本题考查一元一次方程和探究规律，根据题意列出方程并找到规律是解题的关键． 1．圆周率（　　）3.14． A．大于 B．小于 C．等于 D．无法确定 【分析】直接利用π≈3.1415926…，进而得出答案． 【解答】解：圆周率大于3.14． 故选：A． 【点评】此题主要考查了数字常识，正确记忆π的近似值是解题关键． 2．28cm接近于（　　） A．珠穆朗玛峰的高度 B．三层住宅楼的高度 C．一层住宅楼的高度 D．一张纸的厚度 【分析】将28cm进行计算后进行判断即可． 【解答】解：28cm＝256cm＝2.56m， 则它接近于一层住宅楼的高度， 故选：C． 【点评】本题考查有理数的乘方的实际应用，对于生活常识的把握是解题的关键． 3．一个快递包装尺寸是783mm×720mm×1808mm．这个快递可能是（　　） A．微波炉 B．冰箱 C．手机 D．平板电脑 【分析】采用排除法，由于手机和平板电脑的厚度不可能是720mm，故可排除C、D，由于微波炉的高度不可能是1808mm，故可排除A，由此可得出答案． 【解答】解：一个快递包装尺寸是783mmx720mmx1808mm，这个快递可能是冰箱． 故选：B． 【点评】本题考查了物体的体积以及生活常识，熟练掌握物体的体积是解决问题的关键． 4．如图，“吋”是电视机常用尺寸，1吋约为大拇指第一节的长，则7吋长相当于（　　） A．教室的长度 B．课桌的长度 C．黑板的宽度 D．数学课本的宽度 【分析】1吋约为大拇指第一节的长大约有3﹣﹣4厘米，7吋长是它的7倍． 【解答】解：根据题意可得1吋约为大拇指第一节的长，大约有3﹣﹣4厘米， 所以7吋长相当于数学课本的宽度． 故选：D． 【点评】本题考查了基本的计算能力和估算的能力，解答时可联系生活实际去解． 5．《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十…”（粟指带売的谷子，粝米指糙米，其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”．问题：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为（　　） A．6 升 B．8 升 C．16 升 D．18 升 【分析】先将单位换成升，根据“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”列方程可得结论． 【解答】解：根据题意得： 3×10÷（50÷30） ＝30 ＝30 ＝18（升）． 答：可以换得的粝米为18升． 故选：D． 【点评】本题考查了数学常识，比例的性质，有理数的乘除法的实际应用，根据题意列出算式是解题的关键． 6．如图所示，下列各角是锐角的是（　　） A．∠AOB B．∠AOC C．∠AOD D．∠BOC 【分析】根据小于90度的角是锐角，大于90度小于180度的角是钝角，等于90度的角是直角来判断． 【解答】解：A选项中，∠AOB＝90°，是直角，故不符合题意； B选项中，∠AOC＝140°，是钝角，故不符合题意； C选项中，∠AOD＝150°，是钝角，故不符合题意； D选项中，∠BOC＝50°，是锐角，故符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了角的分类，解题的关键是根据锐角、钝角和直角的定义来判断． 7．教室的占地面积约为60 　平方米　．（填面积单位） 【分析】根据面积单位进行填写即可求解． 【解答】解：教室的占地面积约为60平方米． 故答案为：平方米． 【点评】本题考查了数学常识，关键是熟悉面积单位的大小． 8．数学谜语，既能激发好奇心，增强想象力，又能拓宽视野，丰富知识．下面的两则数学谜语，你能写出谜底吗？ （1）七六五四三二一（打一数学名词）：　倒数　； （2）只识0和1，能算万和亿，软硬我都有，猜我很容易（打一计算工具）：　电脑　． 【分析】（1）根据数的排列方式进行猜测； （2）电脑运用的是二进制，只认0和1，从而可作出猜测． 【解答】解：（1）谜底是倒数； （2）谜底是电脑． 故答案为：倒数、电脑． 【点评】此题考查的数学常识，属于基础题，比较有趣，解答本题的关键是增加自己的知识面，大胆猜测． 9．晓明从甲地到乙地用了2.3小时，他早上8：00出发，到达时间是 　10　点 　18　分． 【分析】把2.3时换算成时和分钟，再加8． 【解答】解：2.3时＝2时18分， 8时+2时18分＝10时18分． 故答案为：10，18． 【点评】本题考查了数学常识时、分的换算，解题的关键是掌握时、分的换算． 10．如图，观察月历，2023年的国庆节是星期 　日　． 【分析】根据2023年六月的月历知7月1日为星期六，到国庆节还有93天，93÷7＝13……2，得出2023年国庆节是星期日即可． 【解答】解：由题意知，2023年六月的月历知7月1日为星期六， 到国庆节还有93天， ∵93÷7＝13……2， ∴2023年国庆节是星期日， 故答案为：日． 【点评】本题主要考查年月日的知识，熟练掌握年月日的知识是解题的关键． 11．某学校为学生编排9位数字的考试号，从左边起第1位数字表示年级，7、8、9分别表示七、八、九三个年级，第2、3位数字表示所在的班级（班级不是两位数字的，前面补0．如3班则编号为03），第4、5位数字表示这个学生在班级序号，第6、7位数字表示该生考试时所到的班级，第8、9位数字表示座位号．如果一个八年级10班序号为45的学生正确坐到6班11号的位置，则他的考试号为 　810450611　． 【分析】根据题意逐个写出数字即可求解． 【解答】解：如果一个八年级10班序号为45的学生正确坐到6班11号的位置，则他的考试号为810450611， 故答案为：810450611． 【点评】本题考查了数学常识，根据题意列出数字是解题的关键． 12．如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…，则第6个图案中有　31　根小棒． 【分析】观察前3个图形的变化发现规律即可得第6个图案中的小棒数． 【解答】解：观察图形的变化可知： 第1个图案中有6根小棒，即5×1+1＝6； 第2个图案中有11根小棒，即5×2+1＝11； 第3个图案中有16根小棒，即5×3+1＝16； …， 则第6个图案中有：5×6+1＝31（根）小棒． 故答案为：31． 【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律． 13．将如图所示的四个正方形分别分割成可以剪下4个、7个、8个和9个正方形的图形． 【分析】直接利用将图形按要求分割得出答案． 【解答】解：如图所示： ． 【点评】此题主要考查了应用设计与作图，正确利用正方形的性质分析是解题关键． 14．如图，用几根火柴拼成的两把椅子和一张方桌，请移动其中的3根火柴，将方桌挪到椅子中间． 【分析】将AB，BC，DE进行移动即可； 【解答】解：如图： 将AB，BC，DE分别按如图所示移动即可； 【点评】本题考查操作设计；能够结合移动前后图形的特点，找到要移动的小棒是解题的关键． 15．12人乘车去某地，可供租的车辆有两种：一种车可乘8人，另一种车可乘4人． （1）请给出3种以上的租车方案； （2）如果第一种车的租金是300元/天，第二种车的租金是200元/天，那么采用哪种方案费用最少？ 【分析】（1）都乘8人座的；都乘4人座的；也乘8人座，也乘4人座． （2）结合（1）进行解答． 【解答】解：（1）都乘8人座的，12÷8＝1…4，需2辆； 都乘4人座的，12÷4＝3，需3辆； 也乘8人座，也乘4人座，8+4＝12，需一辆8人座，一辆4人座． （2）都乘8人座的，需付费：2×300＝600元； 都乘4人座的，需付费：3×200＝600元； 也乘8人座，也乘4人座，需付费：300+200＝500元． 故一辆8人座，一辆4人座费用最少． 【点评】解决本题需注意分情况讨论能用方案，不足一辆的按一辆计算． 16．十九世纪中叶，诞生了一个新的几何学分支“拓扑学（又称‘位置解析’）”．它所研究的是几何图形这样一些最基本的、最深刻的性质：图形经受剧烈的变形，以致所有度量性质和射影性质都失去之后，这些性质仍然存在．数学家们找到若干个令人叹为观止的实例，例如著名的Mobius带、Klein瓶…… 请看如图，你能否将正方形图中上方的小方块与下方的对应的小方块用平面内不相交的实线连起来，且要求连线只能在该正方形内部的空白处． 【分析】根据题意用平面内不相交的实线连起来，且要求连线只能在该正方形内部的空白处即可求解． 【解答】解：如图所示： 或 【点评】本题考查了数学常识，关键是根据题意要求连线． 17．观察图1至图5中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放，记第n个图中小黑点的个数为y． ①填表： n 1 2 3 4 5 … y 1 3 　7　 13 　21　 … ②当n＝8时，y＝　57　． ③你能发现n与y之间的关系吗？ 【分析】（1）（2）图1黑点的个数是：1； 图2黑点的个数是：3＝1+（2﹣1）×2； 图3黑点的个数是：7＝1+（3﹣1）×3； … 图n黑点的个数是：y＝1+（n﹣1）×n＝n2﹣n+1． 可根据此函数关系式得出第5和第8个图中的黑点的个数； （3）根据图形可以得到第n个图形有n个分支，每个分支上有（n﹣1）个点，不含中心点，则小黑点的个数即可求得． 【解答】解：①填表： n 1 2 3 4 5 … y 1 3 7 13 21 … ②当n＝8时，y＝57； ③根据题意分析可得：第n个图中，从中心点分出n个分支，每个分支上有（n﹣1）个点，不含中心点； 则第n个图中小黑点的个数y＝n×（n﹣1）+1＝n2﹣n+1． 即y与n的函数关系式为 y＝n2﹣n+1． 【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，理解图形与图形的序号之间的关系． 18．幻方第一人 幻方，相传最早见于我国的“洛书”，如图①，洛书中3行，3列以及2条对角线上的点数之和都等于15，是一种“3阶幻方”（如图②）．我国南宋数学家杨辉是对幻方从数学角度进行系统研究的第一人，他在《续古摘奇算法》一书中给出从3阶到10阶的幻方，并对一些低阶幻方介绍了构造方法，其中运用了对称思想．例如，用1，2，3，…，16构造4阶幻方的方法是：先将1，2，3，…，16依次排成图③，然后以外四角对换，即1与16对换，4与13对换，再以内四角对换……请你在图④中填写用这种“对换”方法得出的4阶幻方． 【分析】对换方法为“以外四角对换，即1与16对换，4与13对换，再以内四角对换”，内四角对换即10与7对换，6与11对换，其他数字位置不动，由此即可解答． 【解答】解：得出的4阶幻方如下所示： 4 9 5 16 14 7 11 2 15 6 10 3 1 12 8 13 【点评】本题考查“3阶幻方”，“4阶幻方“等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 19．如图的数字三角形有一定的规律，请按规律填上空缺的数． 【分析】根据图形中数字的变化规律可以得到图中应填写的数据． 【解答】解：由图形中的数字可得， 第六行中的应填写的数字从左到右是：5，10， 第七行中的应填写的数字从左到右是：15，20，15， 故答案为：5，10，15，20，15． 【点评】本题考查数字的变化类，解题的关键是明确题意，找出数字的变化特点． 20．若干个偶数按每行8个数排成图： （1）图中方框中的9个数的和与中间的数有什么关系？ （2）小亮所画的方框内9个数的和为360，求方框右下角的那个数？写出你的计算步骤． 【分析】（1）根据已知9个数直接求出和即可，进而得出与中间的数的关系； （2）根据（1）中规律得出方框右下角的那个数即可． 【解答】解：（1）∵2+4+6+18+20+22+34+36+38＝180， 180÷20＝9， ∴方框中的9个数的和是中间的数的9倍； （2）∵方框内9个数的和为360， ∴360÷9＝40，40+2+16＝58， ∴右下角的数是58． 【点评】此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出表格中数据的变与不变是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$