精品解析：河北省承德市2023-2024学年高二年级下学期5月联考数学试题

2024年河北承德高二下学期5月联考 数学试题 考试时间为120分钟，满分150分 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题p：，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定形式，即可求解. 【详解】命题“p：，”的否定是“，”. 故选：B． 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导，直接代入求解即可. 【详解】由题意可得：，所以. 故选：D． 3. 古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出形状相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有个阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律，由八卦模型图可抽象得到正八边形，从该正八边形的8个顶点中任意取出4个构成四边形，其中梯形的个数为（ ） A. 16 B. 20 C. 24 D. 28 【答案】C 【解析】 【分析】利用分类加法原理即可求解. 【详解】梯形的上、下底平行且不相等，如图， 若以为底边，则可构成2个梯形，根据对称性可知此类梯形有个， 若以为底边，则可构成1个梯形，此类梯形共有个， 所以梯形的个数是个. 故选：C. 4. 曲线在点处的切线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 120° D. 135° 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求斜率，再求倾斜角. 【详解】因为，则，所以， 所以曲线在点处的切线的倾斜角为. 故选：D． 5. 已知集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合，再依据集合新定义的运算规则运算即可得解. 【详解】解得， 故集合， 又知， 所以， 故选：C． 6. 根据国务院统一部署，2024年五一假期从5月1日至5月5日放假，某单位根据工作安排，需要每天都要有且仅有一人值班，若对甲，乙，丙，丁，戊五人进行排班，其中甲只能值1～3号，丙丁两人需要连着，则有（ ）种不同的值班方式． A. 28 B. 30 C. 36 D. 48 【答案】A 【解析】 【分析】分类讨论甲值几号，结合排列数、组合数分析求解. 【详解】若甲值1号，则排种； 若甲值2号，则排种； 若甲值3号，则排种， 所以满足条件的有种. 故选：A． 7. 已知离散型随机变量X的分布列如下表，其中满足，则的最大值为（ ） X 0 1 2 P a b c A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分布列的性质得，再利用期望、方差的性质列式求解即得. 【详解】依题意，，解得，则， ， 而，则当时，. 故选：C 8. 已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得在上恒成立，即在上恒成立．利用二次函数的性质求出在上的最大值即可得答案. 【详解】解：的定义域为，且在定义域内单调递增， 在上恒成立， 即在上恒成立． 令， ， ， 即实数的取值范围为． 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知某产品的销售额（单位：万元）与广告费用（单位：万元）之间的关系如下表 0 1 2 3 4 10 20 30 35 若根据表中的数据用最小二乘法求得对的线性回归方程为，则下列说法中正确的是（ ） A. 产品的销售额与广告费用负相关 B. 该回归直线过点 C. 当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元 D. 的值是15 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A项，由回归方程即可之家额判断；对于B项，计算出样本中心点即可判断；对于C项，因回归方程求出的是预报值，与实际值不一定完全吻合，故可判断，对于D项，只需根据样本中心点坐标即,运用平均数公式即可求得. 【详解】对于A项，因对的线性回归方程为，其中，故产品的销售额与广告费用正相关，即A项错误； 对于B项,由表格知，代入,解得，即样本中心点坐标为，回归直线必过样本中心点，故B项正确； 对于C项，由对的线性回归方程为知，当时，代入可得，即销售额的预报值为74万元，但实际不一定是，故C项错误； 对于D项，由B项知，即，解得.故D项正确. 故选：BD. 10. 关于多项式的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 常数项为-88 B. 项的系数为80 C. 展开式的系数和为32 D. 展开式含有 【答案】AC 【解析】 【分析】根据展开式中每一项的生成规则，即可判断ABD；利用赋值法，判断C. 【详解】中取2个，1个，2个2，乘在一起为常数项，或是5个2相乘也是常数项， 所以展开式中常数项为，A正确； 中取4个，1个，相乘在一起得到项，或是2个，3个2相乘在一起得到项， 所以展开式中项为，B错误； 令，展开式的系数和为，C正确； 展开式中含有，很显然不可能凑成，D错误． 故选：AC． 11. 已知，，则（ ） A. 函数在上的最大值为3 B. ， C. 函数在上没有零点 D. 函数的极值点有2个 【答案】AC 【解析】 【分析】求函数的导数，得，.因为在上递增，根据函数零点的存在性判断零点在之间，设为，再代入计算可以求出函数在上的最值，判断AB的真假；求的导数，得，，利用其单调性得至多一解，可判断D；再根据函数零点的存在性，可判断C的真假. 【详解】对A,B，因为，. 所以，. 设，，则，因为，所以在上恒成立. 所以在上单调递增， 且，， 所以，使得. 所以在上单调递减，在上单调递增. 又，， ，因为， 所以， 因为，所以.故A正确，B错误； 对D，又，. 所以，. 设，则，，所以在恒成立. 所以在上单调递增， 所以至多一个解，故D错误； 对C，又因为，， 所以只有一解，在区间内. 所以在上单调递增，且， 所以在上无零点.故C正确. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设随机变量X服从正态分布，即，若，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意结合正态分布的对称性分析求解. 【详解】随机变量X服从正态分布且， 则由对称性得，所以． 故答案为：1． 13. 已知定义在上的函数，为的导函数，定义域也是，满足，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】求导得到，赋值累加即可. 【详解】对， 两边同时求导得， 即， 则，，， 则. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是对复合函数求导，并采用赋值法结合已知条件求解. 14. 甲和乙两个箱子中各装有大小质地完全相同的个球，其中甲箱中有个红球、个白球和个黑球，乙箱中有个红球、个白球和个黑球．若从甲箱中不放回地依次随机取出个球，则两次都取到红球的概率为__________；若先从甲箱中随机取出一球放入乙箱；再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的球是红球的概率为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据条件，先求出基本事件的个数和事件包含的基本事件的个数，再由古典概率公式即可求出第一空的结果；用，，表示从甲箱中随机取出一球是红球、白球、黑球，事件：从乙箱中取出的球是红球，从而有，再利用互斥事件的概率公式及全概率公式即可求出结果. 【详解】因为从甲箱中不放回地依次随机取出个球，共有种取法， 又两次都取到红球，共有种取法，由古典概率公式知，两次都取到红球的概率为， 记事件：表从甲箱中随机取出一球是红球，记事件：表从甲箱中随机取出一球是白球， 记事件：表从甲箱中随机取出一球是黑球，记事件：从乙箱中取出的球是红球， 则，， 所以 . 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知：实数满足：实数满足. （1）若，且和至少有一个为真命题，求实数的取值范围； （2）若，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意解一元二次不等式得命题，结合命题真假确定取值范围； （2）利用充分条件、必要条件的定义解不等式即可. 【小问1详解】 ：实数满足，解得. 当时，，解得， 和至少有一个为真命题，， 实数的取值范围为. 【小问2详解】 由，解得， 即 是的充分不必要条件， （等号不同时取）， ， 又， 故实数的取值范围为 16. 某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答其中的4道，乙能正确解答每个题目的概率均为，假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答 （1）求甲、乙共答对2道题目的概率； （2）设甲答对题数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差； （3）从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？ 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）应选拔甲学生代表学校参加竞赛 【解析】 【分析】（1）甲、乙两名学生共答对2个问题分为：甲2个乙0个，甲1个乙1个，分别计算概率相加得答案. （2）设学生甲答对的题数为，则的所有可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，从而求出，； （3）设学生乙答对题数为，则所有可能的取值为0，1，2，3，由题意知～B（3，），从而求出，，由=，＜，得到甲代表学校参加竞赛的可能性更大． 【小问1详解】 由题意得甲、乙两名学生共答对2个问题的概率： ． 【小问2详解】 设学生甲答对的题数为，则的所有可能取值为1,2,3． ， ， ． X 1 2 3 P 的分布列为： 所以，． 【小问3详解】 设学生乙答对的题数为，则的所有可能取值为0，1，2，3．则． 所以，． 因为，，即甲、乙答对的题目数一样，但甲较稳定， 所以应选拔甲学生代表学校参加竞赛． 17. 已知． （1）求函数的单调区间； （2）若，有三个不同的零点，求m的取值范围． 【答案】（1）答案见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论和的解集即得. （2）求出函数的极大值与极小值，再结合函数零点的意义求解即得. 【小问1详解】 函数的定义域为， 求导得， 当时，，由，得，由，得， 因此函数的递增区间为，递减区间为； 当时，由，得，由，得， 由，得或，因此函数的递减区间为，递增区间为； 当时，，因此函数的递减区间为，无递增区间； 当时，由，得，由，得， 由，得或，因此函数的递减区间为，递增区间为， 所以，当时，函数的递增区间为，递减区间为； 当时，函数的递减区间为，递增区间为； 当时，函数的递减区间为，无递增区间； 当时，函数的递减区间为，递增区间为． 【小问2详解】 当时，由（1）知函数的递减区间为，递增区间为， 因此函数的极大值为，的极小值为， 由，得，若有三个不同零点，则有三个不同的解， 所以m的取值范围为. 18. 近年来，养宠物的人越来越多，在供需端及资本的共同推动下中国宠物经济产业迅速增长，数据显示，目前中国养宠户数在全国户数中占比为． （1）把频率作为概率，从中国家庭中随机取4户，求这4户中至少有3户养宠物的概率； （2）随机抽取200名成年人，并调查这200名成年人养宠物的情况，统计后得到如下列联表： 成年男性 成年女性 合计 养宠物 38 60 98 不养宠物 62 40 102 合计 100 100 200 依据小概率值的独立性检验，判断能否认为养宠物与性别有关？ （3）记2018-2023年的年份代码x依次为1，2，3，4，5，6，中国宠物经济产业年规模为y（单位：亿元），由这6年中国宠物经济产业年规模数据求得y，关于x的回归方程为，且．求相关系数r，并判断该回归方程是否有价值． 参考公式及数据：，其中 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 回归方程，其中，，相关系 ，若，则认为y与x有较强的相关性．其中． 【答案】（1） （2）能 （3），该同归方程有价值 【解析】 【分析】（1）根据独立重复概率公式，即可求解； （2）首先计算，再和比较大小，即可判断结论； （3）根据回归直线方程，结合和相关系数的公式，即可求解相关系数. 【小问1详解】 由题意得4户中至少有3户养宠物的概率． 【小问2详解】 因为， 依据小概率值的独立性检验，可以认为是否养宠物与性别有关联． 【小问3详解】 由x的取值依次为1，2，3，4，5，6，得，， 因为回归方程为， 所以， 所以， 所以． 因为，所以y与x有较强的相关性，该同归方程有价值． 19. “曼哈顿距离”是人脸识别中一种重要的测距方式．其定义为:如果在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，那么称为两点间的曼哈顿距离． （1）已知点分别在直线上，点与点的曼哈顿距离分别为，求和的最小值; （2）已知点是曲线上的动点，其中，点与点的曼哈顿距离记为，求的最大值．参考数据 【答案】（1）的最小值为2，的最小值为1 （2） 【解析】 【分析】（1）根据曼哈顿距离概念和公式代入数据去绝对值符号后即可求解. （2）根据曼哈顿距离概念和公式先求出，再用导数分段研究的单调性和最大值，最后比较各段最大值大小即可得出的最大值. 【小问1详解】 由题可设，又， 所以， 所以在上单调递减，在上单调递增， 且当时，， 故，即的最小值为2； 因为在直线上，故可设， 所以， 所以在上单调递减，在上单调递增， 且当时，， 则，即的最小值为1． 【小问2详解】 因为是曲线上的动点，故设， 所以 当时，，， 所以在上单调递减，故； 当时， ，， 所以在上单调递增，故； 当时，， 所以在上单调递增，故； 又，所以，， 综上，的最大值为. 【点睛】思路点睛：本题考查了新概念问题，解决新概念问题首先要读懂新概念的定义或公式，将其当做一种规则和要求严格按照新概念的定义要求研究，再结合所学知识处理即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年河北承德高二下学期5月联考 数学试题 考试时间为120分钟，满分150分 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题p：，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出形状相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有个阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律，由八卦模型图可抽象得到正八边形，从该正八边形的8个顶点中任意取出4个构成四边形，其中梯形的个数为（ ） A. 16 B. 20 C. 24 D. 28 4. 曲线在点处的切线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 120° D. 135° 5. 已知集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 根据国务院统一部署，2024年五一假期从5月1日至5月5日放假，某单位根据工作安排，需要每天都要有且仅有一人值班，若对甲，乙，丙，丁，戊五人进行排班，其中甲只能值1～3号，丙丁两人需要连着，则有（ ）种不同的值班方式． A. 28 B. 30 C. 36 D. 48 7. 已知离散型随机变量X的分布列如下表，其中满足，则的最大值为（ ） X 0 1 2 P a b c A. B. C. 1 D. 8. 已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知某产品的销售额（单位：万元）与广告费用（单位：万元）之间的关系如下表 0 1 2 3 4 10 20 30 35 若根据表中的数据用最小二乘法求得对的线性回归方程为，则下列说法中正确的是（ ） A. 产品的销售额与广告费用负相关 B. 该回归直线过点 C. 当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元 D. 的值是15 10. 关于多项式的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 常数项为-88 B. 项的系数为80 C. 展开式的系数和为32 D. 展开式含有 11. 已知，，则（ ） A. 函数在上的最大值为3 B. ， C. 函数在上没有零点 D. 函数的极值点有2个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设随机变量X服从正态分布，即，若，则______． 13. 已知定义在上的函数，为的导函数，定义域也是，满足，则_________. 14. 甲和乙两个箱子中各装有大小质地完全相同的个球，其中甲箱中有个红球、个白球和个黑球，乙箱中有个红球、个白球和个黑球．若从甲箱中不放回地依次随机取出个球，则两次都取到红球的概率为__________；若先从甲箱中随机取出一球放入乙箱；再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的球是红球的概率为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知：实数满足：实数满足. （1）若，且和至少有一个为真命题，求实数的取值范围； （2）若，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. 某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答其中的4道，乙能正确解答每个题目的概率均为，假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答 （1）求甲、乙共答对2道题目的概率； （2）设甲答对题数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差； （3）从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？ 17. 已知． （1）求函数的单调区间； （2）若，有三个不同的零点，求m的取值范围． 18. 近年来，养宠物的人越来越多，在供需端及资本的共同推动下中国宠物经济产业迅速增长，数据显示，目前中国养宠户数在全国户数中占比为． （1）把频率作为概率，从中国家庭中随机取4户，求这4户中至少有3户养宠物的概率； （2）随机抽取200名成年人，并调查这200名成年人养宠物的情况，统计后得到如下列联表： 成年男性 成年女性 合计 养宠物 38 60 98 不养宠物 62 40 102 合计 100 100 200 依据小概率值的独立性检验，判断能否认为养宠物与性别有关？ （3）记2018-2023年的年份代码x依次为1，2，3，4，5，6，中国宠物经济产业年规模为y（单位：亿元），由这6年中国宠物经济产业年规模数据求得y，关于x的回归方程为，且．求相关系数r，并判断该回归方程是否有价值． 参考公式及数据：，其中 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 回归方程，其中，，相关系 ，若，则认为y与x有较强的相关性．其中． 19. “曼哈顿距离”是人脸识别中一种重要的测距方式．其定义为:如果在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，那么称为两点间的曼哈顿距离． （1）已知点分别在直线上，点与点的曼哈顿距离分别为，求和的最小值; （2）已知点是曲线上的动点，其中，点与点的曼哈顿距离记为，求的最大值．参考数据 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $