精品解析：2024年安徽省六安市金安区六安皋城中学中考三模数学试题

中 考 适 应 性 检 测 ( 三 ) 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一 、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分) 1. 实数2021的相反数是（ ） A. 2021 B. C. D. 2. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的三棱柱，其俯视图的内角和为（ ） A. B. C. D. 4. 今年的政府工作报告中指出：去年脱贫攻坚取得决定性成就，农村贫困人口减少1109万．数字1109万用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知，平分 ，且 ，则（ ） A. 30° B. 40° C. 45° D. 60° 6. 如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接，则的面积为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 14 7. 如图，在△ABC中，D、E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，点H为AF与DG的交点．若AC＝9，则DH为（　　） A. 1 B. 2 C. D. 3 8. 如图，在矩形中， ，，点E为射线 上一动点， 沿折叠，得到，若，则的长为（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，中，，，于点E，D是线段上的一个动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 10 10. 如图，在等边中，以A为直角顶点作等腰直角， 分别交、 于点E、F，N为线段上一动点，M为线段上一动点，且，以下4个结论：①；②；③；④当的值最小时，．正确的个数为（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 11. 已知，∠A＝46°28'，则∠A的余角＝_____． 12. 函数 自变量的取值范围为_____________； 13. 如图，是 的直径， 于点E，连接，若，，则 的半径为______． 14. 在数学探究活动中，某同学进行了如下操作：如图，在直角三角形纸片 内剪取一个直角，点 ，， 分别在， ， 边上．请完成如下探究： （1）当 为的中点时，若， __________________ （2）当， 、时 ， 的长为 ___________ 三、(本大题共2小题，每小题8分，共16分) 15. 解不等式： ． 16. 《九章算术》中有一问题，“今有善行者一百步，不善行者六十步，今不善行者先行一百 步，善行者追之．问：几何步几之？”其意思是：有一个善于走路的人和一个不善于走路的人．善于走路的人走100步的同时，不善于走路的人只能走60步，现在不善于走路的人先走100步，善于走路的人追他，需要走多少步才能追上他？ 四、(本大题共2小题，每小题8分，共16分) 17. 如图，的顶点坐标分别为：，，． （1）的外接圆圆心M的坐标为 ． （2）以点M为位似中心，画出，使它与位似，且位似比为． 18. 如图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第3行起，每行两端的数都是“1”， 其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．图中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……， 我们把第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，……，第n个数记为． （1）根据这列数的规律， ， （2）这列数中有66这个数吗？如果有，求n；如果没有，请说明理由． 五、(本大题共2小题，每小题10分，共20分) 19. 如图，四边形是边长为4的正方形，以边为直径作 ，点E在边上，连接交 于点F，连接并延长交 于点G． （1）求证： ； （2）若 ，求劣弧的长．(结果保留) 20. 如图，在一个坡度（或坡比）的山坡上发现有一棵古树 ．测得古树底端C到山脚点A的距离米，在距山脚点A水平距离4米的点E处，测得古树顶端D的仰角（古树 与山坡的剖面、点E在同一平面上，古树 与直线垂直），求古树 的高度．（结果保留两位小数）（参考数据：） 六、(本大题共2小题，每小题12分，共24分) 21. 如图，有两个可以自由转动的均匀转盘A、B．每个转盘被平均分成3个区域并标有数字，转动转盘指针都会等可能地指向每个区域．分别转动转盘A和转盘B各一次．将转盘A上的数字记为x，转盘B上的数字记为y． （1）当转动转盘A时，指针指向数字1所在区域的概率为__________； （2）求点恰好为一次函数图象上的点的概率． （请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 22. 如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B、C两点，抛物线与x轴负半轴交于点A． （1）求抛物线的函数表达式； （2）直接写出当时，x的取值范围； （3）点P是位于直线BC下方抛物线上的一个动点，过点P作于点E，连接 ．求面积的最大值及此时点P的坐标． 七、 (本大题共14分) 23. 如图1，正方形ABCD边长为10，P为边AD上一点，点B与点E关于直线CP对称，直线CP与ED交于点F，连接CE，BF． （1）求证：△CDE是等腰三角形； （2）求∠BFC的度数； （3）如图2，若点P为AD中点，求EF的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中 考 适 应 性 检 测 ( 三 ) 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一 、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分) 1. 实数2021的相反数是（ ） A. 2021 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，即可得出答案． 【详解】解：2021的相反数是：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查相反数的定义，正确掌握其概念是解题关键． 2. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项，解题的关键是掌握以上运算法则． 根据幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项进行判断． 【详解】A．，选项正确，不符合题意； B．，选项正确，不符合题意； C．，选项错误，符合题意； D．，选项正确，不符合题意． 故选：C． 3. 如图所示的三棱柱，其俯视图的内角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得该三棱柱的俯视图为三角形，进而问题可求解． 【详解】解：由图可得三棱柱的俯视图为三角形，则其俯视图的内角和为180°； 故选A． 【点睛】本题主要考查几何体的三视图及三角形内角和，熟练掌握几何体的三视图及三角形内角和是解题的关键． 4. 今年的政府工作报告中指出：去年脱贫攻坚取得决定性成就，农村贫困人口减少1109万．数字1109万用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，故先将1109万换成11090000，再按照科学记数法的表示方法表示即可得出答案． 【详解】∵1109万=11090000， ∴11090000=1.109×107． 故选：A． 【点睛】本题考查了科学记数法的简单应用，属于基础知识的考查，比较简单． 5. 如图，已知， 平分 ，且 ，则（ ） A. 30° B. 40° C. 45° D. 60° 【答案】A 【解析】 【分析】因为，可得同旁内角互补，即，从而可得；又因为 平分 ，可得；再根据三角形内角和定理，即可求得的度数． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴； ∵ 平分 ， ∴； ∵在△ACE中，根据三角形内角和定理可得： ， ∴． 故选A． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质和三角形的内角和定理．熟练掌握这些定理是正确解答本题的关键． 6. 如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接，则 的面积为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】根据两平行直线之间共底三角形的面积相等可知，当C点位于O点是，△ABC的面积与△ABO的面积相等，由此即可求解． 【详解】解：∵AB∥x轴，且△ABC与△ABO共底边AB， ∴△ABC的面积等于△ABO的面积， 连接OA、OB，如下图所示： 则 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的图形和性质，熟练掌握反比例函数上一点向坐标轴作垂线，与原点构成的矩形的面积为这个结论． 7. 如图，在△ABC中，D、E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，点H为AF与DG的交点．若AC＝9，则DH为（　　） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】依据DH是△AEF的中位线，即可得出DH=EF，再根据△BEF∽△BAC，即可得到EF的长，进而得出DH的长． 【详解】解：∵D、E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC， ∴BE=DE=AD，BF=GF=CG，AH=HF， ∴AB=3BE，DH是△AEF的中位线， ∴DH=EF， ∵EF∥AC， ∴△BEF∽△BAC， ∴，即 ， 解得：EF=3， ∴DH=EF=×3=， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 8. 如图，在矩形 中， ，，点E为射线 上一动点， 沿折叠，得到，若，则 的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，勾股定理，综合应用这些知识点是解题关键． 设，根据矩形的性质和轴对称的性质求出， ，，的长度，根据勾股定理和线段的和差关系求出 和 的长度，再根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：∵ ∴点F在上，如图所示， 四边形 是矩形， ，， ，，， 设，则， 将 沿 折叠，点C恰好落在 边上的点F处， ，， ∴， ∴， ∵， ∴． 解得． 故选：A． 9. 如图， 中，，，于点E，D是线段上的一个动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】如图，作于 ， 于 ．由，设，，利用勾股定理构建方程求出，再证明，推出，由垂线段最短即可解决问题． 【详解】解：如图，作于 ， 于 ． ， ， ， 设，， 则有：， ， 解得（舍去）， ∴， ，， ，则 ∴， ，， ， ， ， 当C、D、H三点共线时，， 的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 10. 如图，在等边 中，以A为直角顶点作等腰直角， 分别交 、 于点E、F，N为线段上一动点，M为线段上一动点，且，以下4个结论：①；②；③；④当的值最小时，．正确的个数为（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】①根据 是等边三角形，是等腰直角三角形，得出，进而求出，，即可判断；②求出，即可判断；③在 上截取，连接，通过证明，为等边三角形，即可判断；④过点B作，使，连接，证明，则，作点Q关于 的对称点，连接，交 于点N，此时最小，求出，则，即可判断． 【详解】解：①∵ 是等边三角形，是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴，故②正确； ③在 上截取，连接， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形，则， ∵， ∴，故③正确； ④过点B作，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 作点Q关于 的对称点，连接，交 于点N， 此时最小， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上：正确的有①②③④，共4个， 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段最值问题，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确画出辅助线． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 11. 已知，∠A＝46°28'，则∠A的余角＝_____． 【答案】43°32′ 【解析】 【分析】根据余角的定义求解即可． 【详解】解：∵∠A＝46°28′， ∴∠A的余角＝90°﹣46°28′＝43°32′． 故答案为：43°32′． 【点睛】本题考查了余角的定义，熟知余角的定义是解答的关键． 12. 函数 自变量的取值范围为_____________； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不能为0是解题的关键．根据分母不能为0可得 ，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， 解得：， 故答案为：． 13. 如图， 是 的直径， 于点E，连接 ，若，，则 的半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、平行线的性质和判定、解直角三角形，根据圆周角定理得到 ，证明，推出，再利用，即可解题． 【详解】解： 是 的直径， ， 于点E， ， ， ， ， ， ， ， 的半径为 ． 故答案为： ． 14. 在数学探究活动中，某同学进行了如下操作：如图，在直角三角形纸片 内剪取一个直角，点 ，， 分别在 ， ， 边上．请完成如下探究： （1）当 为 的中点时，若， __________________ （2）当， 、时 ， 的长为 ___________ 【答案】 ①. ##度 ②. 【解析】 【分析】（1）连接 ，根据为 的中点，可得，，则，根据 ， ，易得四点在同一个圆上，根据圆周角定理，则有； （2）过点分别作 于点，作于点 ，易证，可得 ，即 ，根据 ，有， ，即；根据，得到 ，即，可得，即有 ，即 ． 【详解】解：（1）如图1，连接 ， ∵为 的中点， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ， ∴四点在同一个圆上， ∴； （2）如图2，过点分别作 于点，作于点 ， 则有： ， ∴ ， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴ 又∵ ， ∴，则有 ，即． ∵， ∴，即， ∵， ∴， 即 ． 【点睛】本题考查了四点共圆，圆周角定理，三角形的内角和，平角的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，平行线的判定与性质，熟悉相关性质是解题的关键． 三、(本大题共2小题，每小题8分，共16分) 15. 解不等式： ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 16. 《九章算术》中有一问题，“今有善行者一百步，不善行者六十步，今不善行者先行一百 步，善行者追之．问：几何步几之？”其意思是：有一个善于走路的人和一个不善于走路的人．善于走路的人走100步的同时，不善于走路的人只能走60步，现在不善于走路的人先走100步，善于走路的人追他，需要走多少步才能追上他？ 【答案】走路快的人要走250步才能追上走路慢的人． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设善于走路的人追上不善于走路的人所用时间为t，根据二者的速度差×时间=路程，即可求出t值，再将其代入路程速度时间，即可求出结论． 【详解】解：设善于走路的人追上不善于走路的人所用时间为t， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：走路快的人要走250步才能追上走路慢的人． 四、(本大题共2小题，每小题8分，共16分) 17. 如图， 的顶点坐标分别为：，，． （1） 的外接圆圆心M的坐标为 ． （2）以点M为位似中心，画出，使它与 位似，且位似比为． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的外心，以及位似图形的作图，理解三角形外心的定义以及作位似图形的方法是解题关键． （1）根据三角形的外接圆圆心是三边中垂线的交点，则可画出三边中垂线交于M点，得出坐标即可； （2）①连接并反向延长至，使得，同理构造和，顺次连接、、，则即为所求． 【小问1详解】 如图所示，分别作 三边的中垂线，交于M点，坐标为； 【小问2详解】 ①如图，连接 并反向延长至，使得， 同理构造出、，顺次连接、、，则即为所求 18. 如图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第3行起，每行两端的数都是“1”， 其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．图中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……， 我们把第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，……，第n个数记为． （1）根据这列数的规律， ， （2）这列数中有66这个数吗？如果有，求n；如果没有，请说明理由． 【答案】（1）45， （2）有66这个数，是第11个数． 【解析】 【分析】本题主要考查找规律和解一元二次方程： （1）根据题目中的数据，可以写出前几项，从而可以数字的变化特点，然后即可得到的值； （2）当 时，得一元二次方程，求解方程即可． 【小问1详解】 解：由题意可得， ， ， ， ， ， …， ∴， ∴当 时， ， 故答案为：45；； 【小问2详解】 解：当 时，即： ， 整理得， 解得， （舍去） 所以，这列数中有66这个数，此时 ． 五、(本大题共2小题，每小题10分，共20分) 19. 如图，四边形 是边长为4的正方形，以边 为直径作 ，点E在 边上，连接交 于点F，连接并延长交 于点G． （1）求证： ； （2）若 ，求劣弧的长．(结果保留) 【答案】（1） 证明：∵四边形 是正方形， 为 的直径， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， 在与中， ， ∴ ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据四边形 是正方形， 为 直径，得到 ，根据余角的性质得到 ，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）连接，根据三角形的内角和得到 ，根据圆周角定理得到 ，根据弧长公式即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵四边形 是边长为4的正方形 ∴ ∴的长度为 ． 【点睛】本题考查了弧长的计算，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，圆周角定理，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键． 20. 如图，在一个坡度（或坡比）的山坡 上发现有一棵古树 ．测得古树底端C到山脚点A的距离米，在距山脚点A水平距离4米的点E处，测得古树顶端D的仰角（古树 与山坡 的剖面、点E在同一平面上，古树 与直线垂直），求古树 的高度．（结果保留两位小数）（参考数据：） 【答案】12.76米． 【解析】 【分析】如图，根据已知条件得到，设，，根据勾股定理得到，求得，，得到，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】解：如图，设 与交于， ， 设，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 答：古树 的高度约为12.76米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 六、(本大题共2小题，每小题12分，共24分) 21. 如图，有两个可以自由转动的均匀转盘A、B．每个转盘被平均分成3个区域并标有数字，转动转盘指针都会等可能地指向每个区域．分别转动转盘A和转盘B各一次．将转盘A上的数字记为x，转盘B上的数字记为y． （1）当转动转盘A时，指针指向数字1所在区域的概率为__________； （2）求点恰好为一次函数图象上的点的概率． （请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，用列表法或画树状图解决概率，解题的关键是： （1）转动一次转盘A有3种可能，根据概率公式即可得； （2）先利用树状图列点的所有可能的结果，再找出点恰好为一次函数图象上的点的结果，最后利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵转盘A被平均分成三等份， ∴当转动转盘A时，指针指向数字1所在区域的概率为； 【小问2详解】 解：依题意，列表为： 1 2 3 2 3 4 共有9种等可能的结果，其中，， 在一次函数图象上， ∴点恰好为一次函数图象上的点的概率为． 22. 如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B、C两点，抛物线与x轴负半轴交于点A． （1）求抛物线的函数表达式； （2）直接写出当时，x的取值范围； （3）点P是位于直线BC下方抛物线上的一个动点，过点P作于点E，连接 ．求面积的最大值及此时点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3）； 【解析】 【分析】（1）令直线解析式 ，即可求得点B的坐标，令 ，即可求得点C的坐标，利用待定系数法直接代入求解即可； （2）根据函数图象即可解答； （3）过点P作轴于点H，交直线 于点G，过点E作于点F，设点，则点，，证明是等腰直角三角形，得到，利用二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解： 时， ， ， ， 时，， ， 将，代入得： 解得， ； 【小问2详解】 解：，， 时， 由函数图象可得：； 【小问3详解】 解：如图，过点P作轴于点H，交直线BC于点G，过点E作于点F， 设点， 则点，， ， ， ，轴， 是等腰直角三角形，， ， ， ∵P在直线 下方， ， ，对称轴为直线， 当时，， 此时点P坐标为． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，图像法解不等式，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题． 七、 (本大题共14分) 23. 如图1，正方形ABCD边长为10，P为边AD上一点，点B与点E关于直线CP对称，直线CP与ED交于点F，连接CE，BF． （1）求证：△CDE是等腰三角形； （2）求∠BFC的度数； （3）如图2，若点P为AD中点，求EF的长． 【答案】（1）解∵B、E关于CP对称，C点为CP上的点， ∴CB、CE关于CP对称， ∴CE=CB=CD， ∴△CDE是等腰三角形； （2）∠BFC的度数为45°； （3）EF的长为4． 【解析】 【分析】（1）由题意可以得到CD=CE，从而得证； （2）设BF交AD于Q，则可以证得∠FDP+∠FQP=90°，从而得到∠QFD=90°，进一步可得∠BFC的度数； （3）连结BE，交CF于点H，交CD于N，可得△BCN≌△CPD，从而得到CN、BN的值，再根据cos∠NBC=BH：BC=BC：BN可以得到BH与EH的值，从而最终得到EF的长． 【详解】（1）略 （2）如图，设BF交AD于Q， 则由题意可得： ∠E=∠FBC，∠FBC=∠FQP， ∴∠E=∠FQP， 又CD=CE， ∴∠E=∠CDE， ∴∠FQP=∠CDE， ∵由正方形的性质可得：∠FDP+∠CDE=90°， ∴∠FDP+∠FQP=90°， ∴∠BFD=90°， 又可知BF与EF关于CF对称， ∴∠BFC=∠BFD=45°； （3）如图，连结BE，交CF于点H，交CD于N， ∵点B与点E关于直线CP对称， ∴CP⊥BE，∠CBH+∠HCB=90°， 又∠BCH+∠DCH=90°， ∴∠HBC=∠DCP， 又BC=CD，∠ADC=∠BCD=90°， ∴△BCN≌△CPD（AAS）， ∴CN=PD=5， ∴BN=， ∵cos∠NBC=BH：BC=BC：BN， ∴BH=， ∴EH=BH=， ∵CF⊥BE，∠EFC=45°， ∴EF=． 【点睛】本题考查正方形与轴对称的综合应用，熟练掌握等腰三角形的判定、直角三角形的性质、轴对称的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理与三角函数的意义是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $