精品解析：陕西省榆林市子洲县周家硷中学2023-2024学年八年级下学期月考数学试题

八年级教学素养测评（七） 数学 下册第一~五章 注意事项：共120分，作答时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的，请把正确答案的代号填在下表中） 1. 若分式有意义，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式从左到右，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 将下列多项式分解因式，结果中不含因式是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，平分是中点，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，点，将线段平移至的位置，则的值为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 7. 若且，则分式的值是（ ） A. 2024 B. C. D. 8. 有一列数，其中，则（ ） A. B. C. D. 1 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 若分式的值为0，则x的值是_____． 10. 利用分式基本性质变形可得，则整式_________． 11. 如图，在中， 的垂直平分线分别交，于点F，E，连接，若，，则_________． 12. 若关于的方程有增根，则的值为__________． 13. 如图，将绕点顺时针旋转，得到，若点恰好在的延长线上，，则的长为___________． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 15. 因式分解： x4-1. 16. 已知，求的值． 17. 解分式方程：． 18. 已知是三条边长，且满足，请判断的形状，并说明理由． 19. 如图， 中，． 请用尺规作图法，在边上求作点 ，使 ．（保留作图痕迹，不写作法） 20. 下面是小明同学的数学笔记，笔记中有一道因式分解题，小明在练书法时不小心将笔记中的两个数字沾上了墨水，分别求出“▲”“■”代表的数字 因式分解：． 21. 下面是小红和小逸两位同学化简的部分运算过程． 解：原式 …… 解：原式 …… （1）小红同学解法的依据是_____；小逸同学解法的依据是_____．（填序号） ①乘法交换律；②乘法分配律；③等式的基本性质；④分式的基本性质． （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 22. 已知． （1）将A进行因式分解． （2）若，求的值． 23. 某体育用品店准备购进一批篮球和足球，每个篮球比每个足球的进价少20元，用700元购进篮球的个数是用450元购进足球个数的2倍．请解答下列问题： （1）这批篮球和足球的进价各是多少元？ （2）若该体育用品店购进足球的个数比篮球的2倍还多5个，且篮球不少于18个，购进篮球和足球的总费用不超过5450元，则该店有哪几种进货方案？ 24. 已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． （1）求的值． （2）当分式的值为正整数时，求整数的值． 25. 问题情境 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如：图1可以得到完全平方公式，这样的方法称为“面积法”． 问题解决 （1）图2利用上述“面积法”，可以得到数学等式___________． （2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证（1）中的数学等式． 应用迁移 （3）如图3，在中，为底边（不含端点）上的动点，过点作，垂足分别为，求的值． 26. 综合与实践 问题提出 （1）如图1，在中，，点分别在边上，且，则与的大小关系是 ． 操作感悟 （2）如图2，将绕点顺时针旋转，连接，猜想与的大小关系和位置关系，并证明你的结论． 延伸探究 （3）如图2，若，在绕点顺时针旋转的过程中，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级教学素养测评（七） 数学 下册第一~五章 注意事项：共120分，作答时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的，请把正确答案的代号填在下表中） 1. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义得到，求出结果即可． 【详解】解：分式有意义， ， ， 故选：B． 2. 在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称和中心对称图形的定义，掌握轴对称图形与中心对称图形的概念是解决的关键．在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，一个图形绕某个点旋转，如果旋转前后的图形能完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】A．既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意； B．轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； C．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； D．是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意； 故选：A． 3. 下列各式从左到右，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解题关键．把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解．根据因式分解的定义逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、，结果不是整式乘积的形式，不属于因式分解，是多项式乘多项式，不符合题意； B、，结果不是整式乘积的形式，不属于因式分解，不符合题意； C、，原等式不成立，不符合题意； D、，属于因式分解，符合题意； 故选：D． 4. 将下列多项式分解因式，结果中不含因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，根据提公因式法和公式法逐项因式分解，判断即可． 【详解】解：A、，结果中含因式，不符合题意； B、不能分解，结果中不含因式，符合题意； C、，结果中含因式，不符合题意； D、，结果中含因式，不符合题意； 故选：B． 5. 如图，在中，平分是的中点，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一性质，和三角形的面积公式，熟练掌握其性质是解题的关键．根据等腰三角形三线合一可判定，，结合三角形面积公式，以及是的中点，可得，无法根据已知条件推出，即得解． 【详解】解：A． 平分，根据等腰三角形三线合一， ，该选项正确，不符合题意； B． 平分，根据等腰三角形三线合一，，该选项正确，不符合题意； C．根据已知条件，不能推出，该结论错误，符合题意； D． ，，又，， ，该选项正确，不符合题意； 故选：C． 6. 如图，在平面直角坐标系中，点，将线段平移至的位置，则的值为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移，掌握点平移坐标的规律是解题的关键． 根据到，可知向上平移了1个单位，由到，可知向右平移了一个单位，由此可得，，即可得解． 【详解】解：将线段平移至的位置后，点对应为，， 即线段平移向右平移了1个单位，向上1平移一个单位得到， ，， ， 故选：B． 7. 若且，则分式的值是（ ） A. 2024 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，由题意可得再把所求的式子进行整理，从而可求解． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 8. 有一列数，其中，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数字规律的探索，含乘方的有理数计算，根据已知分别求出的值，可以发现结果为，，，，，，每三个一循环，根据即可得出结果． 【详解】解：，，，， 这列数是，，，，，，且这列数是每三个一循环的， ，， ， 故选：A． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 若分式的值为0，则x的值是_____． 【答案】0． 【解析】 【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴x＝0． 将x＝0代入x+1＝1≠0． 当x＝0时，分式分式的值为0． 故答案为：0． 【点睛】本题考查了分式值为零的条件，详解关键是注意分子为零的同时分母不能为零. 10. 利用分式基本性质变形可得，则整式_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分子分母同时乘以一个不为0的数，分式的值不变求解即可． 【详解】解：， ∴， 故答案为：． 11. 如图，在中， 的垂直平分线分别交，于点F，E，连接，若，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线性质，熟练掌握其性质是解题的关键．根据是的垂直平分线，得到，进而，即得解． 【详解】解： 是的垂直平分线， ， ， ． 故答案为：． 12. 若关于的方程有增根，则的值为__________． 【答案】-1 【解析】 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根.所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x-1=0，得到x=1，然后代入去分母后的整式方程算出a的值. 【详解】解：由分式方程的最简公分母是x-1，得 分式方程的增根是x=1. 分式方程转化成整式方程为x+a=2(x-1)， 把x=1代入x+a=2(x-1)得：1+a=0， 解得a=-1. 故答案为：-1. 【点睛】增根问题可按如下步骤进行： ①让最简公分母为0确定增根； ②化分式方程为整式方程； ③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值. 13. 如图，将绕点顺时针旋转，得到，若点恰好在的延长线上，，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质求解，勾股定理，根据旋转性质可得出，，根据角度间的关系得出，利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理即可求出结果． 【详解】解：如图，连接， 由旋转的性质得：，， ， ，， ， ， 在中，， 在中，， 故答案为：． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先通分，在进行加法运算，最后再约分即可得到答案． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了异分母的分式的加法运算，先通分，再进行加法计算是解题的关键． 15. 因式分解： x4-1. 【答案】 【解析】 【分析】运用平方差公式进行因式分解. 【详解】解：原式= =. 【点睛】考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 16. 已知，求的值． 【答案】120 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，代数式求解，先将式子因式分解得到，再将给出的式子代入求解即可． 【详解】解：． ， ． 17. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的求解，根据去分母，去括号，移项合并同类项，检验的过程进行求解即可． 【详解】解：方程两边都乘， 得， 去括号，得， 合并同类项，得， 移项，得， 检验：当时，， 是原方程的根． 18. 已知是的三条边长，且满足，请判断的形状，并说明理由． 【答案】等腰三角形，见解析 【解析】 【分析】本题考查了分解因式的应用，等腰三角形的定义，先将题中给出的式子因式分解得出，再根据三角形边长大于零，即可得到，从而得出结论． 【详解】解：是等腰三角形． 理由：． 是的三条边长， ， ，即， 是等腰三角形． 19. 如图，在 中，． 请用尺规作图法，在边上求作点 ，使 ．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了作垂线，等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质等知识，掌握含的直角三角形的性质是解题的关键．过点A作交于点D，先利用等腰三角形的性质求出，然后利用含的直角三角形的性质即可判断． 【详解】解：如图，点D即为所求， 理由：由作图，知， ∵，， ∴， ∴． 20. 下面是小明同学的数学笔记，笔记中有一道因式分解题，小明在练书法时不小心将笔记中的两个数字沾上了墨水，分别求出“▲”“■”代表的数字 因式分解：． 【答案】“▲”代表的数字是3，“■”代表的数字是． 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解二元一次方程组．根据同意得到，再根据等式的性质得到二元一次方程组，据此求解即可． 【详解】解：设“▲”代表的数字为，“■”代表的数字为， ． ， ， 解得， “▲”代表数字是3，“■”代表的数字是． 21. 下面是小红和小逸两位同学化简的部分运算过程． 解：原式 …… 解：原式 …… （1）小红同学解法的依据是_____；小逸同学解法的依据是_____．（填序号） ①乘法交换律；②乘法分配律；③等式的基本性质；④分式的基本性质． （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】（1）④，② （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据所给的解题过程即可得到答案； （2）小红同学的解法：先根据分式的基本性质把小括号内的分式先同分，然后根据分式的加法计算法则求解，最后根据分式的乘法计算法则求解即可；小逸同学解法同学的解法：根据乘法分配律去括号，然后计算分式的乘法，最后合并同类项即可 【小问1详解】 解： 小红同学解法的依据是④分式的基本性质， 小逸同学解法的依据是②乘法分配律， 故答案为：④，② 【小问2详解】 选择小红同学解法： 选择小逸同学解法： 22. 已知． （1）将A进行因式分解． （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，平方差公式，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是解题的关键． （1）先将展开后合并同类项，再利用平方差公式即可求解； （2）先对进行化简，再代入求值即可； 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 ， 若， 则． 23. 某体育用品店准备购进一批篮球和足球，每个篮球比每个足球的进价少20元，用700元购进篮球的个数是用450元购进足球个数的2倍．请解答下列问题： （1）这批篮球和足球的进价各是多少元？ （2）若该体育用品店购进足球的个数比篮球的2倍还多5个，且篮球不少于18个，购进篮球和足球的总费用不超过5450元，则该店有哪几种进货方案？ 【答案】（1）每个篮球的进价为70元，每个足球的进价为90元 （2）有3种进货方案：方案1：购买18个篮球，41个足球；方案2：购买19个篮球，43个足球；方案3：购买20个篮球，45个足球． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式组的应用，找准等量关系，正确列出分式方程和不等式组是解题的关键． （1）设每个篮球的进价为元，则每个足球的进价为元，根据“用700元购进篮球的个数是用450元购进足球个数的2倍”列分式方程，解方程即可求解； （2）设该体育用品店购进个篮球，则购进个足球，根据题意列不等式组，据此求解即可． 【小问1详解】 解：设每个篮球的进价为元，则每个足球的进价为元， 依题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解且符合实际， ． 答：每个篮球的进价为70元，每个足球的进价为90元； 【小问2详解】 解：设该体育用品店购进个篮球，则购进个足球， 依题意，得， 解得． 又为正整数， 可以为18，19，20， 该体育用品店有3种进货方案： 方案1：购买18个篮球，41个足球； 方案2：购买19个篮球，43个足球； 方案3：购买20个篮球，45个足球． 24. 已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． （1）求的值． （2）当分式值为正整数时，求整数的值． 【答案】（1）， （2）整数的值为0，1，3 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件和分式的计算，熟练掌握分式有意义的条件和分式的计算是解题的关键． （1）根据使得分式无意义，时分式的值为0，即可解得； （2）将，代入，得到分式为，逐一代入整数的值即可求解． 【小问1详解】 解： 当时，分式无意义， ， 解得， 当时，此分式的值为0， ， 解得， 【小问2详解】 解： ，， ， 当，， ，， ，， 综上，整数的值为0，1，3． 25. 问题情境 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如：图1可以得到完全平方公式，这样的方法称为“面积法”． 问题解决 （1）图2利用上述“面积法”，可以得到数学等式___________． （2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证（1）中的数学等式． 应用迁移 （3）如图3，在中，为底边（不含端点）上的动点，过点作，垂足分别为，求的值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】本题考查了乘法公式的几何应用，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先利用长乘以宽计算大矩形面积，再由大矩形面积等于6个小矩形面积和，即可得到等式； （2）利用多项式乘以多项式运算法则计算即可； （3）由等腰三角形的“三线合一”以及勾股定理求得，再由等面积法即可求解． 【详解】解：（1）∵大矩形面积为：， 大矩形面积等于6个矩形面积之和，则大矩形面积为：， ∴， 故答案为：； （2） ； （3）如图，连接，过点作，垂足为． ， ． 在中，由勾股定理得． ， ，即， ． 26. 综合与实践 问题提出 （1）如图1，在中，，点分别在边上，且，则与的大小关系是 ． 操作感悟 （2）如图2，将绕点顺时针旋转，连接，猜想与的大小关系和位置关系，并证明你的结论． 延伸探究 （3）如图2，若，在绕点顺时针旋转的过程中，求面积的最大值． 【答案】（1）；（2），．见解析；（3） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，三角形的全等判定与性质，勾股定理，平行线分线段成比例；通过旋转判断线的垂直关系，通过全等求得边与角的关系是解题的关键． （1）利用平行线分线段成比例可证明； （2）结论：，．延长交于．证明，即可解决问题． （3）求得是定值，当共线时，边上的高最长，的面积有最大值，据此求解即可． 【详解】解：（1）， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）结论：，． 理由：如图，延长交于． ，都是等腰直角三角形， ，，， ， ， ，， ， ， ； （3）作垂足为， ∵，， ∴是定值， 当边上的高最长时，的面积有最大值，此时共线，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$