精品解析：河南省南阳市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

河南省南阳市2023-2024学年高二下学期期中数学试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 函数的导数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的计算公式即可求得． 【详解】由函数求导得，. 故选：A． 2. 是等差数列的前n项和，若，，则（ ） A. 43 B. 44 C. 45 D. 46 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合等差数列的性质，等差数列的前n项和公式，即可求解． 【详解】由，， 可得且，即且， 所以. 故选：C. 3. 函数的图象如图所示，下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分析和的几何意义，结合图象分析可得答案． 【详解】根据题意的几何意义为在点B处切线的斜率， 的几何意义为在点A处切线的斜率， ，其几何意义为割线AB的斜率， 则有． 故选：C 4. 在一组样本数据，，…，（，，，…，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ） A. -1 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据相关系数的意义即可判断 【详解】解：因为这组样本数据的所有样本点都在直线上， 所以这组样本数据完全负相关，其相关系数是-1． 故选：A． 5. 已知数列为等比数列， ，则 （ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列的性质与通项公式即可得解. 【详解】因为为等比数列，则公比， 所以，又， 所以 ，解得， 又，而恒成立， 所以，则，故. 故选：C. 6. 若正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（ ） A. 22 B. 24 C. 26 D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用等比数列的性质，得到，求得，结合基本不等式的公式，即可求解． 【详解】由题意，设等比数列的公比为， 因为成等比数列，可得， 又因为，即 所以， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 7. 刚考入大学的小明准备向银行贷款a元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款．小明与银行约定：每个月月末还一次款，分12次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为t．则小明每个月所要还款的钱数为（ ）元． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等额本息还款法，分别写出第一个月末，第二个月末，…，第12个月末所欠银行贷款，其中第12月末还清所有的欠款，利用递推关系由等比数列前项和公式列出方程求出结果． 【详解】设小明每个月所要还款的钱数为元， 根据等额本息还款法得，第一个月末所欠银行贷款为：， 第二个月末所欠银行贷款数为：； ．．．， 第12个月末所欠银行贷款为： ； 由于分12次还清所有的欠款，所以， 解得. 故选：D． 8. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数p（p＞1）满足二二数之剩一，三三数之剩一，将符合条件的所有正整数p按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前n项和为，则的最小值为（ ） A. 16 B. 22 C. 23 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】由已知先求出，然后结合等差数列的通项公式与求和公式，以及基本不等式即可求解． 【详解】因为二二数之剩一的数为的形式，三三数之剩一的数为的形式，其中， 则数列的项即为以上两类数的公共项，即为的形式，， 即， 因，故数列是等差数列， 于是，， 则 当且仅当，即时取等号． 即时，取得最小值22. 故选：B． 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．） 9. 若数列是等比数列，且，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是等比数列 C. 数列是等比数列 D. 数列是等比数列 【答案】AC 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据等比数列概念及性质，以及通项公式进行判断． 【详解】设等比数列的公比为， 因为，所以， 对于A，，所以数列是等比数列，故A正确； 对于B，当时，等比数列为正项常数列，此时，所以数列不是等比数列，故B错误； 对于C，，所以数列是等比数列，故C正确； 对于D，，所以数列是等差数列，故D错误． 故选：AC． 10. 小明研究函数的图象与导函数，经查阅资料，发现具有下面的性质：若函数在上的导函数为，且在上也存在导函数，则称函数在上存在二阶导函数，简记为．若在区间上，则称函数在区间上为“凹函数”．请你根据以上信息和所学知识，判断以下函数在其定义域上是“凹函数”的有（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】对选项中的函数求导，再求导，由“凹函数”的定义逐项判断即可得解． 【详解】对于A，，其导数，则有，不符合“凹函数”的定义，故A错误； 对于B，，定义域为R，其导数，则，在定义域R上不恒成立，不符合“凹函数”的定义，故B错误； 对于C，，定义域为R，其导数，则有在R上恒成立，符合“凹函数”的定义，故C正确； 对于D，，定义域为，其导数，则有在上恒成立，符合“凹函数”的定义，故D正确． 故选：CD． 【点睛】本题主要考查导数的运算，函数的新定义，属于基础题． 11. 已知等差数列的公差，数列为正项等比数列，且，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据等差和等比数列通项公式可求得；采用作差法，结合导数的知识判断以为自变量的函数的单调性和最值，从而得到大小关系. 【详解】设正项等比数列的公比为， 由得：，，又，； 对于A，， 设，， 则当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，， 又，，即，A错误； 对于B，， ，B正确； 对于C，由得：，， 即，又，， ， 设，则， 在上单调递增，， ，即，C正确； 对于D，由得：，， 即，又，，； 设，则， 在上单调递减，， ，即，D正确. 故选：BCD. 12. 设数列为正项等比数列，为公比，为前项的积，且，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 与均为的最大值 【答案】ABD 【解析】 【分析】由得，结合等比数列公比的定义即可判断A；由可得即可判断B；由题可得，可将均表示成与的式子，比较系数的大小即可判断C；根据与的大小即可判断的单调性，从而求解D． 【详解】为正项等比数列，，，； 对于A，，，，， ，又，，A正确； 对于B，，，B正确； 对于C，，又，， ，即，C错误； 对于D，，， 当且时，；当且时，；又， 当或时，取得最大值，即与均为的最大值，D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13. 已知数列{an}的前5项依次为，则的一个通项公式为____________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分析数列前5项的规律，综合可得答案． 【详解】根据题意，数列的前5项依次为，即， 则的一个通项公式为， 故答案为： 14. 已知，则______， 【答案】 【解析】 【分析】注意是个常数，对进行求导，再代入即可得解. 【详解】因为， 所以， 所以，则. 故答案为：. 15. 垃圾分类是保护环境，改善人居环境、促进城市精细化管理、保障可持续发展的重要举措．某小区为了倡导居民对生活垃圾进行分类，对垃圾分类后处理垃圾（千克）所需的费用（角）的情况作了调研，并统计得到表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则下列正确说法的序号是_____． 2 3 4 5 2 2.3 3.4 ①变量之间呈正相关关系； ②可以预测当时，的值为6.88； ③表中的值为3.9； ④样本中心点为． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由，可得判定①正确；令时，求得，可判定②正确；根据回归直线方程的含义与性质，可判定③错误，④正确. 【详解】对于①中，由关于的线性回归方程为，可得， 所以变量之间呈正相关关系，所以①正确； 对于②中，由关于的线性回归方程为， 当时，可得，所以②正确； 对于③中，由表格中的数据，可得，， 可得，解得，所以③错误； 对于④中，由，，即样本中心点为，所以④正确. 故答案为：①②④. 16. 已知数列满足，且前12项和为134，则_____． 【答案】1 【解析】 【分析】由数列的递推式，讨论n为奇数和偶数时，结合等差数列的通项公式，解方程可得所求值． 【详解】因为， 当n为奇数时，， 即， ， 可得； 当n为偶数， 即， 可得， 则前12项和为，解得． 故答案为：1 四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 已知曲线． （1）求与直线平行，且与曲线相切的直线方程； （2）设曲线上任意一点处切线的倾斜角为，求的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数几何意义可求得切点坐标，结合直线点斜式可求得结果； （2）根据直线斜率和倾斜角关系直接求解即可. 【小问1详解】 ，， 令，解得：； 当时，，切线方程为：，即； 当时，，切线方程为：，即； 综上所述：所求直线方程为或. 【小问2详解】 由（1）知：，， 又，. 18. 已知数列的前项和． （1）求证：是等差数列； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）证明：因为， 所以时，， 当时，适合上式， 故， 所以时，， 故数列是以为首项，以2为公差的等差数列； （2） 【解析】 【分析】（1）结合和与项的递推关系先求出，然后结合等差数列的定义即可证明； （2）结合数列项的正负特点对的范围进行分类讨论，然后结合等差数列的求和公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 当时，， 则 当时， ， 故. 19. 已知公差不为0的等差数列，前n项和为，且，_____． 现有条件：；；．请从这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解决下面问题． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列{bn}的前n项和． （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合所选条件，利用等差数列的通项公式及求和公式即可求解； （2）先求出，然后利用裂项求和即可求解． 【小问1详解】 设等差数列的公差为d， 选条件，可得，， 又，解得，所以； 选条件可得，， 又，解得（舍去），所以； 选条件可得，， 又，解得，所以. 【小问2详解】 ， 所以 ＝． 20. 为了了解高中学生课后自主学习数学时间x（分钟/每天）和他们的数学成绩y（分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）． 表一 编号 1 2 3 4 5 学习时间x 30 40 50 60 70 数学成绩y 65 78 85 99 108 （1）经分析，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请求出线性回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩．（参考数据：，，的方差为200） （2）基于上述调查，某校提倡学生周末自主学习．经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生．按照是否参与周末自主学习以及成绩是否有进步进行统计，得到2×2列联表（表二）．依据表中数据，判断是否有99.9%的把握认为“周末自主学习与成绩进步”有关． 表二 没有进步 有进步 合计 参与周末自主学习 35 130 165 末参与周末自主学习 25 30 55 合计 60 160 220 附：，， 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1），140 （2）可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关 【解析】 【分析】（1）先求出平均数，利用最小二乘法求出回归方程，代入数据即可预测； （2）根据题意计算出，进而由的独立性检验得出答案． 【小问1详解】 ， ，又的方差为， 所以， ， 故， 当时，， 故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为140； 【小问2详解】 零假设为H0：学生周末在校自主学习与成绩进步无关， 根据数据，计算得到： ， ∵， ∴依据的独立性检验，可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关． 21. 设函数，过点作轴的垂线交函数图象于点，以为切点作函数图象的切线交轴于点，再过作轴的垂线交函数图象于点，，以此类推得点，记的横坐标为，． （1）证明数列为等比数列并求出通项公式； （2）设直线与函数的图象相交于点，记（其中为坐标原点），求数列的前项和． 【答案】 （1）函数，， 以点为切点的切线方程为：， 当时，，即， 又，数列是以为首项，为公比的等比数列,. （2）． 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义可求得以点为切点的切线方程，代入可求得，由此可得数列为等比数列，根据等比数列通项公式求得结果； （2）根据向量数量积的坐标运算可求得，利用错位相减法可求得结果. 【详解】（1）略 （2）由题意得：， ， …①， 则…②， ①②得：， . 【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解、错位相减法求解数列的前项和，涉及到利用导数求解曲线在某点处的切线方程、平面向量数量积的坐标运算等知识；关键是明确在数列求和时，需要根据通项公式的形式准确选择求和方法，当通项公式为等差等比时，需采用错位相减法求和. 22. 在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”．如数列1，2第1次“和扩充”后得到数列1，3，2，第2次“和扩充”后得到数列1，4，3，5，2．设数列a，b，c经过第n次“和扩充”后所得数列的项数记为，所有项的和记为． （1）求； （2）若，求n的最小值； （3）是否存在实数，使得数列为等比数列？若存在，求出满足的条件；若不存在，说明理由． 【答案】（1）； （2）10 （3）存在；，且，或，且 【解析】 【分析】（1）根据题中“和扩充”的定义分析统计即得； （2）先判断为等比数列，求出其通项，再求解不等式即得； （3）根据等比数列的定义和性质进行求解即可． 【小问1详解】 原数列有3项，经第1次“和扩充”后的项数； 经第2次“和扩充”后的项数； 【小问2详解】 数列的每一次“和扩充”是在原数列的相邻两项中增加一项， 设数列经第n次“和扩充”后的项数为，则经第次“和扩充”后增加的项数为， 则，则， 由（1）得，则数列是首项为4，公比为2的等比数列， 则，即， 由可得，因，解得， 所以n的最小值为10； 【小问3详解】 设第次“和扩充”后数列的各项为， 所以， 因为数列每一次“和扩充”是在原数列的相邻两项中增加这两项的和， 所以， 即， 所以，即有（*）， 因，则， 由（*）知，要使数列为等比数列，需使(Ⅰ) ，或(Ⅱ) ， 由(Ⅰ)解得，，且；由(Ⅱ)解得，，且. 故存在满足的条件为，且，或，且. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查数列的新定义问题，属于难题. 解题的关键在于充分理解“和扩充”的含义，求出相应的数列递推式，构造等比数列，利用等比数列的定义、通项与求和公式等性质推理解题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省南阳市2023-2024学年高二下学期期中数学试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 函数的导数（ ） A. B. C. D. 2. 是等差数列的前n项和，若，，则（ ） A. 43 B. 44 C. 45 D. 46 3. 函数的图象如图所示，下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在一组样本数据，，…，（，，，…，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ） A. -1 B. 1 C. D. 5. 已知数列为等比数列， ，则 （ ） A. B. C. 2 D. 6. 若正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（ ） A. 22 B. 24 C. 26 D. 28 7. 刚考入大学的小明准备向银行贷款a元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款．小明与银行约定：每个月月末还一次款，分12次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为t．则小明每个月所要还款的钱数为（ ）元． A. B. C. D. 8. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数p（p＞1）满足二二数之剩一，三三数之剩一，将符合条件的所有正整数p按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前n项和为，则的最小值为（ ） A. 16 B. 22 C. 23 D. 25 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．） 9. 若数列是等比数列，且，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是等比数列 C. 数列是等比数列 D. 数列是等比数列 10. 小明研究函数的图象与导函数，经查阅资料，发现具有下面的性质：若函数在上的导函数为，且在上也存在导函数，则称函数在上存在二阶导函数，简记为．若在区间上，则称函数在区间上为“凹函数”．请你根据以上信息和所学知识，判断以下函数在其定义域上是“凹函数”的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知等差数列的公差，数列为正项等比数列，且，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 12. 设数列为正项等比数列，为公比，为前项的积，且，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 与均为的最大值 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13. 已知数列{an}的前5项依次为，则的一个通项公式为____________________． 14. 已知，则______， 15. 垃圾分类是保护环境，改善人居环境、促进城市精细化管理、保障可持续发展的重要举措．某小区为了倡导居民对生活垃圾进行分类，对垃圾分类后处理垃圾（千克）所需的费用（角）的情况作了调研，并统计得到表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则下列正确说法的序号是_____． 2 3 4 5 2 2.3 3.4 ①变量之间呈正相关关系； ②可以预测当时，的值为6.88； ③表中的值为3.9； ④样本中心点为． 16. 已知数列满足，且前12项和为134，则_____． 四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 已知曲线． （1）求与直线平行，且与曲线相切的直线方程； （2）设曲线上任意一点处切线的倾斜角为，求的取值范围． 18. 已知数列的前项和． （1）求证：是等差数列； （2）求数列的前项和． 19. 已知公差不为0的等差数列，前n项和为，且，_____． 现有条件：；；．请从这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解决下面问题． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列{bn}的前n项和． （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．） 20. 为了了解高中学生课后自主学习数学时间x（分钟/每天）和他们的数学成绩y（分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）． 表一 编号 1 2 3 4 5 学习时间x 30 40 50 60 70 数学成绩y 65 78 85 99 108 （1）经分析，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请求出线性回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩．（参考数据：，，的方差为200） （2）基于上述调查，某校提倡学生周末自主学习．经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生．按照是否参与周末自主学习以及成绩是否有进步进行统计，得到2×2列联表（表二）．依据表中数据，判断是否有99.9%的把握认为“周末自主学习与成绩进步”有关． 表二 没有进步 有进步 合计 参与周末自主学习 35 130 165 末参与周末自主学习 25 30 55 合计 60 160 220 附：，， 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 21. 设函数，过点作轴的垂线交函数图象于点，以为切点作函数图象的切线交轴于点，再过作轴的垂线交函数图象于点，，以此类推得点，记的横坐标为，． （1）证明数列为等比数列并求出通项公式； （2）设直线与函数的图象相交于点，记（其中为坐标原点），求数列的前项和． 22. 在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”．如数列1，2第1次“和扩充”后得到数列1，3，2，第2次“和扩充”后得到数列1，4，3，5，2．设数列a，b，c经过第n次“和扩充”后所得数列的项数记为，所有项的和记为． （1）求； （2）若，求n的最小值； （3）是否存在实数，使得数列为等比数列？若存在，求出满足的条件；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $