精品解析：江苏省盐城市2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题

高二年级2023~2024学年度第二学期考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：苏教版选择性必修第一册，选择性必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某大学食堂备有4种荤菜､8种素菜､2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为（ ） A. 14 B. 64 C. 72 D. 80 2. 已知，则下列向量中与平行的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列叙述中，是离散型随机变量的是（ ） A. 某电子元件的寿命 B. 某人早晨在车站等出租车的时间 C. 高速公路上某收费站在一小时内经过的车辆数 D. 测量某零件的长度产生的测量误差 4. 设点，，，若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中.已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为，若该数据的残差为0.6，则（ ） 色差x 21 23 25 27 色度y 15 18 19 20 A. 23.4 B. 23.6 C. 23.8 D. 24.0 6. 已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，则的周长为（ ） A. 20 B. 22 C. 28 D. 36 7. 3600的正因数的个数是（ ） A. 55 B. 50 C. 45 D. 40 8. 设等比数列的公比为，且，设甲：；乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（ ） A. B. C. D. 10. 高二年级安排甲､乙､丙三位同学到六个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（ ） A. 如果社区必须有同学选择，则不同的安排方法有88种 B. 如果同学乙必须选择社区，则不同的安排方法有36种 C. 如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有150种 D. 如果甲､丙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有36种 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点是底面上的一点，且平面，则下列说法正确的是（ ） A. B. 存在点，使得 C. 的最小值为 D. 的最大值为6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设随机变量，则__________． 13. 有甲､乙两个班级共计100人进行物理考试，按照大于等于80分为优秀，80分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表： 优秀 非优秀 总计 甲班 10 乙班 30 已知在全部100人中随机抽取1人，成绩非优秀的概率为，则下列说法正确的是__________. ①列联表中的值为的值为40； ②列联表中的值为的值为50； ③根据列联表中的数据，若按的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”； ④根据列联表中的数据，若按的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”. 附：，其中. 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 14. 由这七个数字组成没有重复数字的七位数，且偶数数字从小到大排列（由高数位到低数位），这样的七位数有__________个． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为. （1）求数列的通项公式： （2）已知，求数列的前项和. 16. 如图，在四棱锥中，平面，，，是等边三角形，为的中点． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知函数（且）． （1）若曲线在处的切线与直线平行，求的值； （2）当时，若恒成立，求的取值范围． 18. 在平面直角坐标系中，点F(0，1)，P为动点，以PF为直径的圆与x轴相切，记Р的轨迹为. （1）求Р的方程； （2）设M为直线上的动点，过M的直线与Р相切于点A，过A作直线MA的垂线交于点B，求面积的最小值． 19. 甲、乙两同学进行射击比赛，已知甲射击一次命中的概率为，乙射击一次命中的概率为，比赛共进行轮次，且每次射击结果相互独立，现有两种比赛方案，方案一：射击次，每次命中得2分，未命中得0分；方案二：从第一次射击开始，若本次命中，则得6分，并继续射击；若本次未命中，则得0分，并终止射击． （1）设甲同学在方案一中射击轮次总得分为随机变量是，求； （2）甲、乙同学分别选取方案一、方案二进行比赛，试确定的最小值，使得当时，甲的总得分期望大于乙． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级2023~2024学年度第二学期考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：苏教版选择性必修第一册，选择性必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某大学食堂备有4种荤菜､8种素菜､2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为（ ） A. 14 B. 64 C. 72 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】因为备有4种素菜，8种荤菜，2种汤，所以素菜有4种选法，荤菜有8种选法，汤菜有2种选法， 所以要配成一荤一素一汤的套餐，可以配制出不同的套餐有种. 故选：B． 2. 已知，则下列向量中与平行的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用共线向量定理逐个分析判断即可. 【详解】对于A，因为，所以A不正确； 对于B，因为，所以B正确； 对于C，因为，所以C不正确； 对于D，因为，所以D不正确． 故选：B． 3. 下列叙述中，是离散型随机变量的是（ ） A. 某电子元件的寿命 B. 某人早晨在车站等出租车的时间 C. 高速公路上某收费站在一小时内经过的车辆数 D. 测量某零件的长度产生的测量误差 【答案】C 【解析】 【分析】根据离散型随机变量的定义进行判断，得到答案. 【详解】A选项，某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出来，不是离散型随机变量，A错误； B选项，等出租车的时间是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量，B错误； C选项，一小时内经过的车辆数可以一一列举出来，是离散型随机变量，C正确； D选项，测量误差不能一一列出，不是离散型随机变量，D错误． 故选：C． 4. 设点，，，若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据，结合向量的坐标表示，列出方程组，即可求解. 【详解】设，则，且， 因为，可得，解得，即点. 故选：B. 5. 色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中.已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为，若该数据的残差为0.6，则（ ） 色差x 21 23 25 27 色度y 15 18 19 20 A. 23.4 B. 23.6 C. 23.8 D. 24.0 【答案】A 【解析】 【分析】先由x、y的平均值和代入方程，求得，从而得到，再将代入并加上残差0.6即可得出答案. 【详解】由题意可知，，， 将代入，即，解得， 所以， 当时，， 则. 故选：A. 6. 已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，则的周长为（ ） A. 20 B. 22 C. 28 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】先根据双曲线定义列出，，然后结合求出的周长. 【详解】由题意知，， 所以， 又， 所以， 所以的周长为． 故选：C． 7. 3600的正因数的个数是（ ） A. 55 B. 50 C. 45 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】先分解得到，从而根据组合知识求出答案. 【详解】由题意，故因数2可以选择个， 同理因数3可以选择个，因数5可以选择个， 因此正因数的个数是． 故选：C． 8. 设等比数列的公比为，且，设甲：；乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列的通项，结合充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】等比数列的公比为，且，当时，，因此； 当时，有，即，而，则， 又，，于是，即，又，因此， 所以甲是乙的充要条件. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】先明确两圆位置关系，从而根据两圆位置关系明确公切线的情况，再根据公切线特征情况分情况直接计算求解即可. 【详解】由题知，两圆半径， 所以， 故圆、外切，则两圆有三条公切线，如图，的中点为两圆外切切点， 当直线过的中点，且与垂直时， 因为，所以直线的方程为，即； 当直线与平行，且到的距离为时，设直线的方程为， 所以，解得或， 所以直线的方程为或． 故选：ABC． 10. 高二年级安排甲､乙､丙三位同学到六个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（ ） A. 如果社区必须有同学选择，则不同的安排方法有88种 B. 如果同学乙必须选择社区，则不同的安排方法有36种 C. 如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有150种 D. 如果甲､丙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有36种 【答案】BD 【解析】 【分析】根据间接法即可判断A,根据分步乘法计数原理即可判断BCD. 【详解】安排甲､乙､丙三位同学到六个社区进行暑期社会实践活动， 对于A：如果社区必须有同学选择，则不同的安排方法有（种）．故A错误； 对于B：如果同学乙必须选择社区，则不同的安排方法有（种）．故B正确； 对于C：如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有（种）．故C错误； 对于D：如果甲､丙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有（种）．故D正确． 故选:． 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点是底面上的一点，且平面，则下列说法正确的是（ ） A. B. 存在点，使得 C. 的最小值为 D. 的最大值为6 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立坐标系，利用空间向量判断位置关系和求解长度、数量积等. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，; 所以，， 所以，即，； 因为，平面，所以平面； 又平面，所以.故A正确； 设，所以， 所以，即， 所以， ， 解得，又，故B错误； ， 所以，故C正确； ， 所以，， 因为，所以时，取到最小值， 时，取到最大值， 所以.故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设随机变量，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项分布的概率计算公式即可求解. 【详解】随机变量服从． 故答案为： 13. 有甲､乙两个班级共计100人进行物理考试，按照大于等于80分为优秀，80分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表： 优秀 非优秀 总计 甲班 10 乙班 30 已知在全部100人中随机抽取1人，成绩非优秀的概率为，则下列说法正确的是__________. ①列联表中的值为的值为40； ②列联表中的值为的值为50； ③根据列联表中的数据，若按的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”； ④根据列联表中的数据，若按的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”. 附：，其中. 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】①④ 【解析】 【分析】根据题中条件计算可判断选项①、②；根据列联表计算出的值，即可判断选项③④. 【详解】由题意知，成绩非优秀的学生数是， 成绩非优秀的学生数是70，所以， 选项①正确、②错误； 根据列联表中的数据， 得到 因此没按的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”. 故③错误，④正确， 故答案为：①④. 14. 由这七个数字组成没有重复数字的七位数，且偶数数字从小到大排列（由高数位到低数位），这样的七位数有__________个． 【答案】90 【解析】 【分析】由题可知，偶数排列顺序固定且0只能在6，5，4位，奇数可任意排列，据此可得答案. 【详解】因偶数排列顺序固定且0只能在6，5，4位，奇数可任意排列，则 当0排在第6位时，共有（个）数； 当0排在第5位时，共有（个）数； 当0排在第4位时，共有（个）数， 故这样的七位数共有（个）． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为. （1）求数列的通项公式： （2）已知，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出公差，根据条件得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式； （2）裂项得到，进而求和即可. 【小问1详解】 设公差为，则， 解得， 故； 【小问2详解】 ， 故. 16. 如图，在四棱锥中，平面，，，是等边三角形，为的中点． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 由于是等边三角形，为的中点． 故是等边的中线，所以， 又因为平面，在平面内，所以， 由于和在平面内，且交于点，，，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，，然后利用线面垂直的判定定理证明垂直于平面； （2）通过建立空间直角坐标系，由空间向量法即可求出两平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，则由是的中点，知是三角形的中位线，故平行于. 因为平面，平行于， 所以垂直于平面，即三线两两垂直. 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则由，，，， ，知，，， 所以，． 设平面的法向量为，则 ，即， 令，则，，故． 显然平面的一个法向量为. 而， 故平面与平面夹角的余弦值为． 17. 已知函数（且）． （1）若曲线在处的切线与直线平行，求的值； （2）当时，若恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得，分和两种情况，结合函数单调性分析求解； （2）求导，根据题意结合端点效应可得，解得，并代入利用导数判断的单调性和最值即可. 【小问1详解】 因为， 由题意可知：，即， 当时，，不符题意； 当时，设，则， 可知在内单调递增，且，所以， 经检验符合题意； 综上所述：. 【小问2详解】 因为， 因为在上恒成立，且，可得，解得， 当时，令，则对任意恒成立， 可知在内单调递增，则， 即在内恒成立， 可知在内单调递增，则，符合题意； 综上所述：的取值范围为． 18. 在平面直角坐标系中，点F(0，1)，P为动点，以PF为直径的圆与x轴相切，记Р的轨迹为. （1）求Р的方程； （2）设M为直线上的动点，过M的直线与Р相切于点A，过A作直线MA的垂线交于点B，求面积的最小值． 【答案】（1） （2）16 【解析】 【分析】（1）设，解得线段FP的中点坐标，根据题意列等式化简即可得方程； （2）设设A，根据函数导数求得函数的切线方程进而求得M的坐标，根据垂直易得直线AB的方程，与联立，推得B的坐标，利用弦长公式计算得，，结合面积公式和基本不等式求得面积最小值. 【小问1详解】 设，则线段FP的中点坐标为，因为以PF为直径的圆与x轴相切， ∴，化简得，所以的方程为； 【小问2详解】 设A，由，，则点A处的切线斜率为， 所以直线MA方程为，整理为， 令，则，所以M，易知直线AB斜率为， 所以直线AB：，整理为， 与联立可得， 有，解得， 即B的横坐标为， 所以， ， 所以△MAB面积为 ，又，当且仅当时，等号成立， 所以的面积最小值为 19. 甲、乙两同学进行射击比赛，已知甲射击一次命中的概率为，乙射击一次命中的概率为，比赛共进行轮次，且每次射击结果相互独立，现有两种比赛方案，方案一：射击次，每次命中得2分，未命中得0分；方案二：从第一次射击开始，若本次命中，则得6分，并继续射击；若本次未命中，则得0分，并终止射击． （1）设甲同学在方案一中射击轮次总得分为随机变量是，求； （2）甲、乙同学分别选取方案一、方案二进行比赛，试确定的最小值，使得当时，甲的总得分期望大于乙． 【答案】（1）20 （2）12 【解析】 【分析】（1）由已知设，则服从二项分布，根据二项分布期望的公式和期望的性质求解即可； （2）设乙同学的总得分为随机变量，写出的所有可能取值，并计算相应的概率，并求解，利用设，求解的最小值即可. 【小问1详解】 设，故， 所以， 故； 【小问2详解】 由（1）知， 设乙同学的总得分为随机变量，的所有可能取值为，，，，， 所以，，， ，，， ， 所以， 设， 则， 故， 即，代入， 故， 设， 易知，当时，，且， 则满足题意的最小为12. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查概率的综合问题，方案一利用二项分布求期望，方案二的期望表达式与数列知识结合，通过变形转化为错位相减法求和问题，再利用作差法求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $