专题03 几何图形（七大高频考点+知识讲练+培优精练）-2024年小升初数学无忧衔接（苏科版2024）

专题03 几何图形 （七大高频考点+知识讲练+培优精练） 考点一：图形的拆拼（切拼） 3 考点二：三角形面积与底的正比关系 6 考点三：差不变原理 8 考点四：不规则立体图形的表面积 10 考点五：体积的等积变形 12 考点六：三视图与展开图 13 考点七：染色问题 16 培优讲练 18 直观想象素养： 培养学生对几何图形的直观感知能力，能够通过观察、想象和描述，理解图形的基本性质和特点。 通过图形变换（如平移、旋转、对称等）的直观演示，培养学生的空间想象能力。 推理能力： 培养学生的逻辑推理能力，能够通过图形的性质和定理进行简单的推理和证明。 引导学生理解并应用分类讨论思想，如三角形按角分类、四边形按边分类等，培养思维的条理性和严谨性。 数学建模能力： 虽然数学建模在“几何与图形”领域被视为“副产品”，但它仍然是培养学生应用数学知识和方法解决实际问题的重要途径。 鼓励学生将实际问题抽象为几何图形问题，通过建模和求解，培养学生的数学应用意识和能力。 量感、几何直观和空间观念： 培养学生对图形度量的感知能力，如长度、面积、体积等的度量单位和计算方法。 借助几何直观帮助学生理解数学概念、算理和规律，如通过图形演示帮助学生理解数学定理和公式。 发展学生的空间观念，使学生能够想象和描述三维空间中的图形及其位置关系。 初步的学习能力： 引导学生掌握学习几何图形的基本方法和技巧，如观察、比较、归纳、演绎等。 培养学生的自主学习能力和探究精神，鼓励学生通过自主探索和合作学习来解决问题。 小学和初中几何图形知识的区别与联系，可以从以下几个方面进行详细的阐述： 区别 知识深度与广度： 小学：主要侧重于对基本几何图形的认识和初步测量，如线段、射线、直线、角、三角形、四边形（长方形、正方形、平行四边形、梯形）、圆等。对图形性质的描述相对直观和简单。 初中：进一步深入研究平面图形，包括更复杂的四边形（如菱形、矩形）、圆与圆的位置关系、相似与全等、勾股定理等。同时，开始涉及立体几何，如长方体、正方体、圆柱、圆锥等。 研究方法： 小学：以观察和动手操作为主，直观感受图形的性质和特点，不涉及严谨的定义和证明。 初中：从定义和公理出发，通过演绎推理去推导图形的性质，开始要求严谨的证明和推理 数学语言的运用： 小学：数学语言相对简单，主要使用描述性的语言。 初中：开始使用更专业的数学语言，如符号、公式、定理等。 联系 知识连续性： 小学的几何图形知识是初中的基础，初中的知识是在小学基础上的延伸和拓展。例如，小学学习了三角形的分类和性质，初中则进一步研究相似三角形和全等三角形的性质。 研究方法的过渡： 小学的直观观察和动手操作为学生提供了丰富的几何直观经验，这些经验为学生进入初中后学习演绎推理的论证几何打下了坚实的基础。 数学语言的逐步引入： 从小学到初中，数学语言的使用逐渐从描述性向专业性过渡，为学生进一步学习更高层次的数学知识提供了必要的语言支持。 空间观念的培养： 无论是小学还是初中，都强调对学生空间观念的培养。通过观察和操作几何图形，学生能够形成对空间的初步感知和理解，为进一步学习立体几何打下基础。 考点一：图形的拆拼（切拼） 一、基本概念 图形的拆拼是指将一个图形通过分割或组合，形成新的图形的过程。它包含“拆”和“拼”两个方面：“拆”指的是将一个图形分解为多个部分，“拼”则是将多个图形部分组合成一个新的图形。 二、拆拼方法 分解法： 定义：将一个图形分解成若干个可以拼凑的小块。 示例：将一个长方形分解为若干个小正方形，再将小正方形拼凑成其他形状。 组合法： 定义：将多个图形拼接在一起，形成一个新的图形。 示例：将几个三角形拼接在一起形成一个正方形。 镶嵌法： 定义：将一个图形嵌入到另一个图形中，形成一个新的图形。 示例：将一个小三角形镶嵌到一个大三角形中。 三、拆拼技巧与示例 等面积分割： 技巧：利用“同底等高的三角形面积相等”等性质进行分割。 示例：将一个任意三角形分成四个面积相等的三角形，可以通过将某一边等分成四份，连结各分点与顶点来实现。 对称分割： 技巧：利用图形的对称性进行分割，确保分割后的图形形状相同、面积相等。 示例：将一个长方形分割成两个形状相同、面积相等的部分，可以通过沿长方形的中心线进行垂直或水平分割来实现。 格子纸分割： 技巧：在格子纸上进行图形的分割与拼接，保持每个小方格的完整。 示例：将一个3×4的方格纸分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整。这可以通过多种方法实现，如沿对角线分割、沿中心线分割等。 【典例精讲】六一儿童节，同学们用长方形纸（如图）剪一些图形装扮教室。小红要剪半径1厘米的圆，这张长方形纸一共能剪 　60　个；小明要剪一个最大的半圆，半圆的周长是 　30.84　厘米；小军要把它剪成一些同样大的正方形且没有剩余，正方形的边长最大是 　4　厘米，一共能剪 　15　个。 【思路分析】（1）半径是1厘米，直径就是2厘米；可以看作是剪出边长为2厘米的正方形，然后用20厘米、12厘米分别除以2厘米，即可得出沿着长和宽各能剪出几个半径是1厘米的圆，再把这两个个数相乘； （2）根据长方形内最大的半圆的特点可知，这个半圆的直径是12厘米，由此利用半圆的周长＝圆的周长÷2+直径； （3）根据题意“把一张长20cm、宽12cm的长方形纸剪成同样大小、面积尽可能大的正方形，且纸没有剩余”，可以求出20和12的最大公因数，就是每个正方形的边长，然后用20厘米、12厘米分别除以边长，即可得出沿着长和宽各能剪出几个，再把这两个个数相乘即可。 【规范解答】解：（1）20÷（1×2）×[12÷（1×2）] ＝20÷2×[12÷2] ＝10×6 ＝60（个） 答：这张长方形纸一共能剪60个。 （2）3.14×12÷2+12 ＝18.84+12 ＝30.84（厘米） 答：半圆的周长是30.84厘米。 （3）20＝2×2×5 12＝2×2×3 20和12的最大公因数是4，所以正方形的边长最大是4厘米。 20÷4×（12÷4） ＝5×3 ＝15（个） 答：正方形的边长最大是4厘米，一共能剪15个。 故答案为：60；30.84；4；15。 【考点评析】此题主要考查了灵活应用求最大公因数的方法来解决实际问题的能力及最大正方形的边长等于长方形的长与宽的长度的最大公因数。 【变式演练01】两个相同的长方体正好拼成一个棱长为6分米的正方体，那么每个长方体的长、宽、高分别是　6　分米、　6　分米、　3　分米，体积是　108　立方分米，表面积是　144　平方分米． 【思路分析】要使两个相同的长方体正好拼成一个棱长为6分米的正方体，则每个长方体长、宽和正方体的棱长相同，高是正方体棱长的一半；根据长方体的体积公式，体积＝长×宽×高可以求体积；根据长方体表面积公式，表面积＝长×宽×2+长×高×2+宽×高×2可得表面积． 【规范解答】解：如图， 6×6×3＝108（立方分米）， 6×6×2+6×3×2+6×3×2＝72+36+36＝144（平方分米）， 所以两个相同的长方体正好拼成一个棱长为6分米的正方体，那么每个长方体的长、宽、高分别是 6分米、6分米、3分米，体积是 108立方分米，表面积是 144平方分米； 故答案为：6，6，3，108，144． 【考点评析】此题考查了图形的拆拼（切拼），锻炼了学生的空间想象力和几何直观操作能力． 【变式演练02】在上底为4厘米，下底为6厘米的梯形中画一条线段，把梯形分成面积相等的两部分（画出三种分法） 【思路分析】本题划线的时候，只要坚持一个准则，保持每个图形上下底的和是5厘米，这样画出的线都能把这个图形分成面积相等的两部分． 【规范解答】解：画图如下： 【考点评析】本题考查了学生观察、分析解决问题的能力，同时考查了学生动手操作的能力． 考点二：三角形面积与底的正比关系 一、定义 当三角形的高保持不变时，三角形的面积与底边长度成正比。这意味着，如果底边长度增加，面积也会相应增加；反之，如果底边长度减少，面积也会相应减少。 二、公式表示 三角形的面积公式为：面积 = (底 × 高) ÷ 2 从这个公式中，我们可以看出，当高一定时，面积与底边的比值是一个常数，即面积/底 = 高 ÷ 2。因此，当底边长度变化时，面积也会按照相同的比例变化。 三、详细解释 高一定时，面积与底的正比关系： 当三角形的高确定时，底边的长度成为决定面积大小的唯一因素。 例如，假设三角形的高为4厘米，底边长度从3厘米增加到6厘米，那么面积会从(3 × 4) ÷ 2 = 6平方厘米增加到(6 × 4) ÷ 2 = 12平方厘米，面积增加了一倍。 底边长度变化对面积的影响： 底边长度的增加或减少会直接导致面积的增加或减少。 这是因为面积的计算公式中，底边长度是直接与面积相关的因素之一。 【典例精讲】在下面长方形ABCD中，三角形ABO的面积是5平方厘米，三角形DEO的面积与三角形DEC的面积比是1：2．三角形ABO的面积比三角形BEO的面积大 　　平方厘米． 【思路分析】根据平行四边形定理和长方形的对角线平分长方形面积可知，S△ABO+S△CDOS长方形ABCD，S△CBO+S△CDOS长方形ABCD，即S△CBO＝S△ABO＝5．根据高一定，三角形面积和底成正比可知，OE：EC＝1：2，所以S△BEO：S△BEC＝1：2，即可求出三角形ABO与三角形BEO的面积差值． 【规范解答】解：在长方形ABCD中， 因为S△ABO+S△CDOS长方形ABCD，S△CBO+S△CDOS长方形ABCD， 所以S△CBO＝S△ABO＝5（平方厘米）， 因为S△DEO：S△CDE＝1：2， 则OE：EC＝1：2， 所以S△BEO：S△BEC＝1：2， 则S△BEO所＝5（平方厘米）， 所以S△ABO比S△BEO大：5（平方厘米）． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查三角形面积与底的正比关系：即根据三角形面积底×高可知，当高相同时，三角形的面积和底成正比关系． 【变式演练】如图，平行四边形分成甲、乙、丙三部分，已知乙的面积比丙多4平方厘米，乙的面积是　10　平方厘米． 【思路分析】因为三角形甲、丙的底的和等于乙的底，并且高也相等，所以乙的面积等于甲和丙面积的和，等于平行四边形面积的一半；又因为已知乙的面积比丙多4平方厘米，所以积甲的面积是4平方厘米；甲丙的高相等，所以面积比等于底的长度比；即甲的面积与丙的面积比是2：3，甲的面积就是乙面积的，那么乙的面积就是410平方厘米，据此解答即可． 【规范解答】解：根据分析可知：乙的面积等于甲和丙面积的和，所以积甲的面积是4平方厘米； 甲的面积与丙的面积比是2：3， 乙的面积是：410（平方厘米） 答：乙的面积是10平方厘米． 故答案为：10． 【考点评析】本题的关键是让学生理解：乙的面积等于甲和丙面积的和，以及明确高相等的两个三角形，面积比等于底的长度比． 考点三：差不变原理 一、差不变原理的基本定义 差不变原理，指的是在一个减法算式中，如果被减数和减数同时增加或同时减少相同的数，那么差的值不会改变。这一原理可以帮助我们简化计算，理解减法运算的某些特性。 二、差不变原理的示例说明 示例1：简单的数值运算 假设有算式 A - B = C，如果我们同时给 A 和 B 加上（或减去）一个数 D，那么新的算式 (A+D) - (B+D) 或 (A-D) - (B-D) 的结果仍然等于 C。 例如： 原算式：48 - 17 = 31 同时加27：(48+27) - (17+27) = 75 - 44 = 31 同时减13：(48-13) - (17-13) = 35 - 4 = 31 示例2：面积计算中的应用 在面积计算中，差不变原理也有应用。例如，当两个图形（如正方形或三角形）的面积差已知，我们可以通过给两个图形同时加上（或减去）相同的面积部分，使其中一个图形变为更容易计算的形式，从而简化计算过程。 【典例精讲】有一个直角三角形和长方形摆成如图，长方形的长为6cm，宽为2cm，若甲区域（上方）比乙区域（下方）的面积大6cm2，求三角形ABC的高AB的长度？ 【思路分析】根据长方形的面积公式求出长方形的面积再加6求出三角形的面积是多少，再乘2除以6求出这个三角形另一条直角边的长，就是图中AB的长度，据此解答． 【规范解答】解：（6×2+6）×2÷6 ＝18×2÷6 ＝6（厘米） 答：图中AB的长度是6厘米． 【考点评析】本题考查差不变原理的灵活应用，关键是明确空白部分是三角形和长方形的公共部分，所以差不变，那么根据甲区域（上方）比乙区域（下方）的面积大6cm2，即三角形的面积比长方形的面积大6cm2． 【变式演练】图中正方形的边长是10厘米，三角形甲的面积比三角形乙的面积少20平方厘米，求线段AB的长． 【思路分析】根据三角形甲的面积比三角形乙的面积小20平方厘米，则根据图形可得：（如下图）三角形DCB的面积比正方形CDEA的面积大20平方厘米，由此可得三角形DCB的面积等于正方形的面积加上20 平方厘米，求得三角形DCB的面积后，再利用三角形的面积公式求出CB的长后即可求得AB的长． 【规范解答】解：三角形甲的面积比三角形乙的面积小20平方厘米； 根据图形可得：三角形DCB的面积比正方形CDEA的面积大20平方厘米， 所以三角形DCB的面积为：10×10+20＝100+20＝120（平方厘米） 又因为正方形的边长CD＝10厘米 所以CB的长度是：120×2÷10＝24（厘米） 所以AB的长度为：24﹣10＝14（厘米） 答：AB的长度是14厘米． 【考点评析】此题考查了三角形和正方形面积公式的灵活应用，这里根据题干得出三角形DCB与正方形的面积之差是20平方厘米是解决问题的关键． 考点四：不规则立体图形的表面积 一、基本概念 不规则立体图形是指形状不规则的立体图形，其表面积是指该立体图形所有外表面所占的总面积。不规则立体图形可能是由多个规则几何体组合而成，也可能是由单一不规则几何体构成。 二、计算方法 对于不规则立体图形的表面积，没有直接的公式可以直接计算。但我们可以采用一些基本的方法来近似计算其表面积。 分割法： 定义：将不规则几何体分割成几个规则几何体（如长方体、圆柱体、圆锥体、球体等），然后分别计算这些规则几何体的表面积，最后将这些表面积相加得到不规则几何体的近似表面积。 示例：考虑一个不规则形状的石头，我们可以将其近似分割成几个小的长方体或球体，然后计算这些部分的表面积并求和。 三、分类 根据构成不规则立体图形的几何体数量，可以将不规则立体图形分为两类： 组合不规则立体图形：由两个或多个规则几何体组合而成的立体图形，例如将两个长方体堆叠在一起形成的组合体。 单一不规则立体图形：只有一个不规则几何体构成的立体图形，例如一个扭曲的圆柱体。 【典例精讲】如图，5个棱长为2分米的正方体硬纸箱堆放在墙角，体积一共是　40　立方分米，露在外面的硬纸面积是　40　平方分米． 【思路分析】（1）观察图形可知，这个立体图形的体积是图中5个小正方体的体积之和，利用正方体的体积公式计算出1个小正方体的体积，再乘5即可； （2）这个图形的前面有4个正方体面露在外面，右面、上面都有3个正方体面露在外面，所以一共是4+3+3＝10个面，据此解答即可． 【规范解答】解：（1）体积是：2×2×2×5＝40（立方分米） （2）露在外部的面积是：2×2×（4+3+3） ＝4×10 ＝40（平方分米） 答：体积一共是40立方分米，露在外面的硬纸面积是40平方分米． 故答案为：40，40． 【考点评析】此题考查规则图形的表面积和体积的计算，解决此题的关键是求出露在外面的面的总个数． 【变式演练】棱长1分米的小正方体如图所示层层堆叠放置。 （1）当重叠到5层时，5层一共有 　35　个正方体。 （2）当重叠到5层时，这个5层的立体图形的表面积是 　90　平方分米。 【思路分析】（1）一层时有1个，二层时有1+3＝4（个），三层时有（1+3+6）＝10（个），可得四层时有（1+3+6+10）＝16（个），五层时有（1+3+6+10+15）＝35（个）。 （2）表面积与面有关，分别数出左面、上面、前面有多少个面，把这每三个面的面积算出来，然后相加的和再乘2即可。 【规范解答】解：（1）五层时有：1+3+6+10+15＝35（个） 答：当重叠到5层时，5层一共有35个正方体。 （2）一个正方体的表面积是1×1×6＝6（cm2），1层时表面积是1×6cm2，2层时表面积是（1+2）×6cm2，3层时表面积是（1+2+3）×6cm2，所以5层时表面积是（1+2+3+4+5）×6＝90（cm2） 答：当重叠到5层时，这个立体图形的表面积是90平方厘米。 故答案为：（1）35；（2）90。 【考点评析】解答本题的关键是找出物体摆放的规律，结合正方体的表面积的计算方法解决问题。 考点五：体积的等积变形 一、基本概念 体积的等积变形指的是在物体形状改变时，其体积保持不变的过程。这种变形通常发生在物质状态变化（如熔化、凝固等）或物体形状改变（如切割、重组等）的情境中。 二、等积变形的方法 等积变形的方法主要包括以下几种： 熔铸法：将一种形状的物体熔化后重新浇铸成另一种形状的物体，期间体积保持不变。 排水法：将物体放入水中，通过测量水面上升或下降的高度来计算物体的体积。 容器倒置法：通过改变容器的方向（如倒立），观察水位变化来间接计算物体的体积。 更换容器法：将物体从一个容器转移到另一个容器中，根据水位变化计算物体的体积。 【典例精讲】有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是18厘米、12厘米，杯中盛有适量的水．甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢．问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米？ 【思路分析】由题意可知：当甲杯中取出铁块后，水面下降部分水的体积就等于铁块的体积，即底面直径18厘米、高是2厘米的圆柱的体积；然后再除以乙杯的底面积，就是水位上升的高度． 【规范解答】解：3.14×（18÷2）2×2÷3.14÷（12÷2）2 ＝81×2÷36 ＝4.5（厘米） 答：这时乙杯中的水位上升了4.5厘米． 【考点评析】体积的等积变形主要是用排水法，当物体浸没于容器中时，要根据物体的体积等于容器内下降（升高）部分水的体积这一隐含条件来解题． 【变式演练】如图，一个酒瓶里面深24厘米，底面内径是16厘米，瓶里酒高15厘米．把酒瓶塞紧后，使其瓶口向下倒立，这时酒高19厘米，酒瓶容积是多少毫升？ 【思路分析】由于瓶中空气的体积不变，所以图一中空气的体积就等于图二中高为24﹣19＝5厘米，底面内直径是16厘米的空气柱的体积，因此酒瓶容积就相当于高为15+5＝20厘米，底面内径是16厘米的圆柱的体积，求容积根据“底面积×高”列式为：3.14×（16÷2）2×20＝200.96×20＝4019.2（毫升）；据此解答． 【规范解答】解：24﹣19＝5（厘米）， 15+5＝20（厘米）， 3.14×（16÷2）2×20， ＝200.96×20， ＝4019.2（毫升）； 答：酒瓶容积是4019.2毫升． 【考点评析】本题的难点是理解把左图中不规则的空气的体积转化为右图中规则的圆柱的体积，利用等量代换的方法灵活解答． 考点六：三视图与展开图 一、三视图 1. 定义与概念 三视图是观测者从上面、左面、正面三个不同角度观察同一个空间几何体而画出的图形。它包括主视图（正视图）、俯视图和左视图（侧视图）。 三视图能够正确反映物体长、宽、高尺寸的正投影工程图，是工程界一种对物体几何形状约定俗成的抽象表达方式。 2. 视图特点 主视图（正视图）：主要反映物体的前面形状和长、高尺寸。 俯视图：主要反映物体的上面形状和长、宽尺寸。 3. 投影规则 主视图和俯视图长对正：即主视图和俯视图的长要相等。 主视图和左视图高平齐：即主视图和左视图的高要相等。 俯视图和左视图宽相等：即左视图和俯视图的宽要相等。 4. 绘制方法 首先确定三视图的位置，画出主视图。 然后在主视图的下面画出俯视图，注意与主视图的长对正。 在主视图的右边画出左视图，注意与主视图的高平齐，与俯视图的宽相等。 二、展开图 1. 定义与概念 展开图是将一个立体图形沿着某些边展开成平面图形的过程。常见的立体图形包括正方体、长方体、棱柱、圆柱和圆锥等。 2. 正方体展开图 正方体展开图有11种不同的展开方式，通常归为“一四一型”、“二三一型”、“二二二型”和“三三型”四类。 口诀：一线不过四；田凹应弃之；找相对面：相间，“Z”端是对面；找邻面：间二，拐角邻面知。 3. 其他立体图形的展开图 长方体：类似于正方体，但长和宽可能不相等。 棱柱：由两个相同的多边形和一些长方形组成。 圆柱：由两个相同的圆形和一个长方形组成，长方形的长是底面圆的周长，宽是圆柱的高。 圆锥：由一个圆形和一个扇形组成，扇形的半径是圆锥的母线，弧长是圆锥底面圆的周长。 4. 绘制方法 对于简单的立体图形，如正方体、长方体等，可以直接绘制其展开图。 对于复杂的立体图形，可以通过观察其结构，想象其展开后的形状，然后绘制展开图。 归纳与总结 【典例精讲】如图是（　　）图的展开图。 A． B． C． D． 【思路分析】根据三棱锥的特征进行解答即可。 【规范解答】解：如图是的展开图。 故选：A。 【考点评析】本题考查三棱锥的认识。 【变式演练】老师的小帮手，班级的贡献者。 一天，小明和小涛看见教室里没有粉笔了，主动去总务室领粉笔，而粉笔盒的形状是正方体，其每盒质量相同。 （1）小明一进总务室，看到桌子上放着一些粉笔盒，当时这些粉笔盒摆成一个立体图形，从上面看到的是，从左面看到的是，这个立体图形至少需要 　6　个粉笔盒才能摆成。 （2）总务室老师指着墙角的大箱子说：“里面有11盒粉笔，其中有一盒粉笔用了3支，其他的没有拆过”。在不拆包装盒情况下，小明用天平至少称 　3　次才能保证找出这盒粉笔。 （3）墙角的大箱子是一个长方体，它的长是6dm、宽是4dm、高是5dm。这个大箱子的表面积是 　148　dm2，体积是 　120　dm3。 【思路分析】（1）根据从上面和左面观察到下形状可知，这个几何体下层4个小正方体，排成两行，前面3个，后面1个，左齐；上层至少2个小正方体，分别在下层前排和后排。 （2）根据找次品的规律：n次最多能找对3n个物品中一个确定轻重的物品。 （3）利用长方体表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，长方体体积公式：S＝abh，计算即可。 【规范解答】解：（1）4+2＝6（个） 答：这个立体图形至少需要6个粉笔盒才能摆成。 （2）32＜17＜33 答：小明用天平至少称3次才能保证找出这盒粉笔。 （3）（6×4+6×5+4×5）×2 ＝（24+30+20）×2 ＝74×2 ＝148（平方分米） 6×4×5＝120（立方分米） 答：这个大箱子的表面积是148dm2，体积是120dm3。 故答案为：6；3；148，120。 【考点评析】本题主要考查找次品、从不同方向观察物体、长方体表面积和体积的计算等基础知识。 考点七：染色问题 【典例精讲】用棱长1cm的小正方体拼成如图的大正方体后，在表面涂上颜色，其中两面涂色的小正方体有（　　）个。 A．6 B．8 C．12 D．24 【思路分析】大正方体每条棱长上都有3个小正方体；根据立体图形的知识可知：两个面涂色的在每条棱的中间，根据上面的结论，即可求得答案。 【规范解答】解：（3﹣2）×12＝12（个） 答：两面涂色的小正方体有12个。 故选：C。 【考点评析】此题考查了立方体的涂色问题；注意数形结合与正方体表面涂色的特点的应用。 【变式演练】将32个相同的小正方体拼成一个体积为32立方厘米的长方体，将表面涂上红漆，然后分开，其中有2个面涂红的小正方体有24个，则有1个面涂红的小正方体有 　0　个。 【思路分析】分别把32块小正方体拼搭成不同的长方体后，找到满足2面染色的小正方体有24个拼搭方法，然后计算此种拼搭方式下1面染色的小正方体有几块即可。 【规范解答】解：32＝32×1×1，即32个相同的小正方体拼成一个体积为32立方厘米的长方体，长宽高可以为32厘米、1厘米、1厘米， 将表面涂上红漆，然后分开，其中有2个面涂红的小正方体有0个，不满足题意； 32＝16×2×1，即32个相同的小正方体拼成一个体积为32立方厘米的长方体，长宽高可以为16厘米、2厘米、1厘米， 将表面涂上红漆，然后分开，其中有2个面涂红的小正方体有0个，不满足题意； 32＝8×4×1，即32个相同的小正方体拼成一个体积为32立方厘米的长方体，长宽高可以为8厘米、4厘米、1厘米， 将表面涂上红漆，然后分开，其中有2个面涂红的小正方体的个数是：（8﹣2）×（4﹣2）＝12（个），不满足题意； 32＝8×2×2，即32个相同的小正方体拼成一个体积为32立方厘米的长方体，长宽高可以为8厘米、2厘米、2厘米， 将表面涂上红漆，然后分开，其中有2个面涂红的小正方体的个数是：（8﹣2）×4＝24（个），满足题意； 此时1个面涂红的小正方体个数为0个。 32＝4×4×2，即32个相同的小正方体拼成一个体积为32立方厘米的长方体，长宽高可以为4厘米、4厘米、2厘米， 将表面涂上红漆，然后分开，其中有2个面涂红的小正方体的个数是：（4﹣2）×4＝8（个），不满足题意。 综上，32个相同的小正方体拼成一个体积为32立方厘米的长方体，长宽高是8厘米、2厘米、2厘米时将表面涂上红漆，然后分开，其中有2个面涂红的小正方体的个数是24个。此时1个面涂红的小正方体个数为0。 答：1个面涂红的小正方体有0个。 故答案为：0。 【考点评析】本题考查了染色问题的应用。 培优讲练 1．把一张长48厘米、宽36厘米的长方形纸剪成相同的正方形（没有剩余），正方形的边长最大是 　12　厘米，最多可以剪成 　12　张这样的正方形。 【思路分析】根据题意“把一张长48厘米、宽36厘米的长方形纸剪成相同的正方形（没有剩余）”，可以求出48和36的最大公因数，就是每个正方形的边长；用长方形的面积除以一个正方形的面积即可求解。 【规范解答】解：48＝2×2×2×2×3 36＝2×2×3×3 所以48和36的最大公因数是：2×2×3＝12（厘米） 48×36÷（12×12） ＝1728÷144 ＝12（张） 答：正方形的边长最大是12厘米，最多可以剪成12张这样的正方形。 故答案为：12；12。 【考点评析】此题考查了灵活应用求最大公因数的方法来解决实际问题的能力。 2．如图所示，已知三角形ABC面积为2，延长AB至D，使BD＝AB；延长BC至E，使CE＝2BC；延长CA至F，使AF＝3AC，求三角形DEF的面积。 【思路分析】连接 BF、AE、CD。 根据BD＝AB和三角形ABC的面积，可以求出三角形ABC的面积＝三角形BCD的面积；根据CE＝2BC，可以求出三角形ACE的面积是三角形ABC面积的2倍，三角形CDE的面积是三角形BCD面积的2倍；根据AF＝3AC，可以求出三角形ABF的面积是三角形ABC面积的3倍，三角形AEF的面积是三角形ACE面积的3倍；再根据BD＝AB和三角形ABF的面积，可以求出三角形DBF的面积等于三角形ABF的面积。因此三角形DEF的面积等于三角形ABC、BCD、ABF、DBF、ACE、CDE、AEF的面积之和。据此求解。 【规范解答】解：如下图所示：连接 BF、AE、CD。 因为AF＝3AC，S△ABC＝2 所以S△ABF＝2×3＝6 又因为BD＝AB 所以S△ABF＝S△DBF＝6，S△BCD＝S△ABC＝2 因为CE＝2BC，S△BCD＝S△ABC＝2 所以S△ACE＝S△CDE＝2×2＝4 因为AF＝3AC，S△ACE＝4 所以S△AEF＝4×3＝12 所以S△DEF＝S△ABC+S△BCD+S△ABF+S△DBF+S△ACE+S△CDE+S△AEF ＝2+2+6+6+4+4+12 ＝36 答：三角形△DEF的面积是36。 【考点评析】本题考查了三角形的面积计算。 3．在下图中，平行四边形的面积是20平方厘米，图中甲、丙两个三角形的面积比是 　5：3　，阴影部分的面积是 　4　平方厘米。 【思路分析】根据图意可知，图形中甲、乙、丙三个三角形的高都相等，甲三角形的底为（2+3）厘米，乙三角形的底为2厘米，丙三角形的底为3厘米，根据三角形高一定，面积与底成正比例可知，甲、丙两个三角形的面积就是它们底的比，乙三角形的面积是甲三角形面积的，而甲三角形面积又是平行四边形面积的，据此就能求出乙三角形的面积。 【规范解答】解：甲、丙两个三角形的面积比是：（2+3）：3＝5：3 阴影部分的面积是：204（平方厘米） 故答案为：5：3，4。 【考点评析】解答此题的关键在于掌握三角形高一定，面积与底成正比例。 4．有两根绳子，一根长15米，另一根长20米，把两根绳子都剪下同样的一段后，剩下的长度比是1：2．剪下的一段有多少米？ 【思路分析】两根绳子剪前与剪后的长度差没有变．即（20﹣15）5米是剩下的长度差．根据剩下的长度比是1：2，求出剪后剩下的长度，从而求出剪下的长度．如图． 【规范解答】解：分步算式 剩下的长度差 20﹣15＝5（米） 剩下的长度差所对应的份数 2﹣1＝1（份） 剪后剩下的长度 5×2＝10（米） 或5×1＝5（米） 剪下一段的长度 20﹣5×2＝10（米） 或15﹣5＝10（米） 综合算式 20﹣（20﹣15）÷（2﹣1）×2＝10（米） 或15﹣（20﹣15）×1＝10（米）． 【考点评析】解决此题利用剩下的长度比，求出剪下后剩下的一段长度是解决问题的关键． 5．图中正方形的边长是10厘米，三角形甲的面积比三角形乙的面积少20平方厘米，求线段AB的长． 【思路分析】根据三角形甲的面积比三角形乙的面积小20平方厘米，则根据图形可得：（如图）三角形DCB的面积比正方形CDEA的面积大20平方厘米，由此可得三角形DCB的面积等于正方形的面积加上20平方厘米，求得三角形DCB的面积后，再利用三角形的面积公式求出CB的长后即可求得AB的长． 【规范解答】解：三角形甲的面积比三角形乙的面积小20平方厘米； 根据图形可得：三角形DCB的面积比正方形CDEA的面积大20平方厘米， 所以三角形DCB的面积为：10×10+20＝100+20＝120（平方厘米）， 又因为正方形的边长CD＝10厘米， 所以CB的长度是：120×2÷10＝24（厘米）， 所以AB的长度为：24﹣10＝14（厘米）， 答：AB的长度是14厘米． 【考点评析】此题考查了三角形和正方形面积公式的灵活应用，这里根据题干得出三角形DCB与正方形的面积之差是20平方厘米是解决问题的关键． 6．如图是用体积1立方厘米的小正方体摆成的物体。 （1）这个物体的表面积是 　36　平方厘米。 （2）如果现在你手里还有一些相同的小正方体可添放在这个物体上，要保持前面和右面看到的形状不变，则最多可以添加 　4　个小正方体。 （3）如果增加同样的小正方体，把这个物体补成一个大正方体，至少还需要 　17　个这样的小正方体。 【思路分析】（1）该物体从正面看可以看到6个正方形，从上面看可以看到6个正方形，从左面看可以看到6个正方形，因此这个物体的表面积等于（6+6+6）×2个正方形的面积之和； （2）从前面和右面看分别是和；最多可以再加4个这样的三角形，则这个物体的正方体组成是； （3）改物体的下层的上行有3个正方体，因此该物体可以拼成一个棱长为3厘米的大正方体；求出这个棱长为3厘米的大正方体的由多少个小正方体组成，再减去原来的小正方体个数即可。 【规范解答】解：（1）1×1×（6+6+6）×2 ＝1×36 ＝36（平方厘米） 答：这个物体的表面积是36平方厘米。 （2）要保持前面和右面看到的形状不变，则最多可以添加4个小正方体。 （3）可以补成一个棱长是3厘米的大正方体， 3×3×3＝27（立方厘米） 所以一共有27个小正方体 27﹣10＝17（个） 答：至少还需要17个这样的小正方体。 故答案为：36，4，17。 【考点评析】求物体的表面积就把6个面的面积之和加起来计算；再通过动手摆一摆即可确定物体的形状。 7．如图是由棱长1厘米的正方体拼搭成的，放在桌面上的面的大小是 　4　平方厘米，它的表面积是 　26　平方厘米，体积是 　6　立方厘米．在这个基础上至少添 　12　个这样的正方体，就能搭成一个长方体． 【思路分析】（1）先数出下面小正方形面的个数，乘以1个面的面积即可得到放在桌面上的面的大小； （2）从上面和下面看到的图形一共有4×2＝8个小正方形，从左面和右面看到的图形是5×2＝10个小正方形；从前面和后面看到的图形有4×2＝8个小正方形，据此求出小正方形的总个数，即可求出它的表面积； （3）这个图形的体积就等于6个小正方体的体积之和，据此利用正方体的体积公式计算即可解答； （4）观察图形可知，要堆成的大长方体的长应该是3个小正方体组成的，宽应该是2个小正方体组成的，高应该是3个小正方体组成的，据此求出大正方体的体积和一共需要多少个小正方体，再减去原来的6个，即可解答． 【规范解答】解：（1）1×1×4＝4（平方厘米） （2）（1×1）×（4×2+5×2+4×2） ＝1×26 ＝26（平方厘米） （3）1×1×1×6＝6（立方厘米） （4）3×2×3﹣6 ＝18﹣6 ＝12（个） 答：放在桌面上的面的大小是4平方厘米，它的表面积是26平方厘米，体积是6立方厘米．在这个基础上至少添12个这样的正方体，就能搭成一个长方体． 故答案为：4，26，6，12． 【考点评析】解答此题的关键是熟练掌握小正方体拼组大长方体的方法以及不规则图形的表面积和体积的计算方法． 8．如图：有A、B两个土堆，A的上面面积是25平方米，B的上面面积是15平方米，A与B的高度相差4米．把A处的土推往B，使A与B两处同样高，B处可升高多少米？ 【思路分析】A与B的高度相差4米的那部分土的体积是：25×4＝100（立方米）；要使A与B两处同样高，也就是在等高的情况下，分配的体积比等于底面积比，列式为：25：15＝5：3，那么把A处的土推往B的土的体积是：10037.5（立方米）；然后根据长方体的体积公式可得B处可升高的米数：37.5÷15＝2.5（米），据此解答． 【规范解答】解法一：25×4＝100（立方米）， 25：15＝5：3， 10037.5（立方米）， 37.5÷15＝2.5（米）； 答：B处可升高2.5米． 解法二：A比B高出的4米部分的体积是25×4＝100（立方米） 100÷（25+15）＝2.5米， 答：B处可升高2.5米． 【考点评析】本题关键是理解等高的两个长方体，体积比等于底面积比，然后再根据按比例分配和长方体的体积公式解答即可． 9．一个容器中已注满水，有大、中、小三个球．第一次把小球沉入水中，第二次把小球取出，把中球沉入水中，第三次把中球取出，把小球和大球一起沉入水中，现知道每次从容器中溢出水量的情况是：第一次是第二次的，第三次是第二次的1.5倍．求三个球的体积之比． 【思路分析】根据题意，先设小球的体积是1，由此即可表示出每次溢出的水，再根据溢出的水与小球的关系，即可求出答案． 【规范解答】解：第一次溢出的水是小球的体积，假设为1， 第二次溢出的水是中球的体积﹣小球的体积， 第三次溢出的水是大球的体积+小球的体积﹣中球的体积， 第一次是第二次的，所以中球的体积为1+2＝3， 第三次是第二次的1.5倍，第二次是2； V小球：V中球：V大球＝1：3：5， 答：三个球的体积之比是：1：3：5． 【考点评析】解答此题的关键是，根据题意，找出对应量，即可解答．解答此题的主要依据是：排出的水的体积就等于放入水中的物体的体积． 10．下列不是三棱柱展开图的是（　　） A． B． C． D． 【思路分析】三棱柱的两个底面展开是两个三角形，侧面展开是3个长方形。 【规范解答】解：不是三棱柱展开图的是。 故选：B。 【考点评析】本题主要考查三棱柱的识别。 11． 搭的这组积木，从正面看是 　①　，从左面看是 　③　。 【思路分析】根据所给图示，从正面看到的是三列，左面和右面各1各小正方形，中间一列3个，下齐；从左面看到的形状是两列，左面一列3个小正方形，右面一列2个，下齐。据此解答。 【规范解答】：搭的这组积木，从正面看是，从左面看是。 故答案为：①；③。 【考点评析】本题是考查从不同方向观察物体和几何图形，是培养学生的观察能力。 12．将一个表面涂色的正方体分割成若干个体积为1立方厘米的小正方体，其中不涂色的小正方体有8个，则两面涂色的小正方体有（　　）个。 A．8 B．12 C．24 D．36 【思路分析】不涂色的小正方体有8个，即正方体被切割成4×4×4＝64（个）小正方体，中间的8块没有涂色，两面涂色的是在棱上且不在顶点部分的小正方体，正方体有12条棱，每条棱上有2块两面涂色的，据此计算。 【规范解答】解：2×12＝24（个） 答：两面涂色的小正方体有24个。 故选：C。 【考点评析】本题考查了简单的正方体染色问题。 13．把一个棱长为3分米的正方体表面涂色后，切成棱长为1分米的小正方体。其中2面涂色的小正方体有 　12　个。 【思路分析】把棱长为3分米的正方体表面涂色切成棱长为1分米的小正方体后2面涂色的小正方体在棱的中间位置，正方体有12条棱，据此计算。 【规范解答】解：2面涂色的小正方体在棱的中间，正方体有12条棱，每条棱有1块2面涂色，即有12块2面涂色的小正方体。 答：把一个棱长为3分米的正方体表面涂色后，切成棱长为1分米的小正方体。其中2面涂色的小正方体有12个。 故答案为：12。 【考点评析】本题考查了染色问题的应用 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 几何图形 （七大高频考点+知识讲练+培优精练） 考点一：图形的拆拼（切拼） 3 考点二：三角形面积与底的正比关系 6 考点三：差不变原理 8 考点四：不规则立体图形的表面积 10 考点五：体积的等积变形 12 考点六：三视图与展开图 13 考点七：染色问题 16 培优讲练 18 直观想象素养： 培养学生对几何图形的直观感知能力，能够通过观察、想象和描述，理解图形的基本性质和特点。 通过图形变换（如平移、旋转、对称等）的直观演示，培养学生的空间想象能力。 推理能力： 培养学生的逻辑推理能力，能够通过图形的性质和定理进行简单的推理和证明。 引导学生理解并应用分类讨论思想，如三角形按角分类、四边形按边分类等，培养思维的条理性和严谨性。 数学建模能力： 虽然数学建模在“几何与图形”领域被视为“副产品”，但它仍然是培养学生应用数学知识和方法解决实际问题的重要途径。 鼓励学生将实际问题抽象为几何图形问题，通过建模和求解，培养学生的数学应用意识和能力。 量感、几何直观和空间观念： 培养学生对图形度量的感知能力，如长度、面积、体积等的度量单位和计算方法。 借助几何直观帮助学生理解数学概念、算理和规律，如通过图形演示帮助学生理解数学定理和公式。 发展学生的空间观念，使学生能够想象和描述三维空间中的图形及其位置关系。 初步的学习能力： 引导学生掌握学习几何图形的基本方法和技巧，如观察、比较、归纳、演绎等。 培养学生的自主学习能力和探究精神，鼓励学生通过自主探索和合作学习来解决问题。 小学和初中几何图形知识的区别与联系，可以从以下几个方面进行详细的阐述： 区别 知识深度与广度： 小学：主要侧重于对基本几何图形的认识和初步测量，如线段、射线、直线、角、三角形、四边形（长方形、正方形、平行四边形、梯形）、圆等。对图形性质的描述相对直观和简单。 初中：进一步深入研究平面图形，包括更复杂的四边形（如菱形、矩形）、圆与圆的位置关系、相似与全等、勾股定理等。同时，开始涉及立体几何，如长方体、正方体、圆柱、圆锥等。 研究方法： 小学：以观察和动手操作为主，直观感受图形的性质和特点，不涉及严谨的定义和证明。 初中：从定义和公理出发，通过演绎推理去推导图形的性质，开始要求严谨的证明和推理 数学语言的运用： 小学：数学语言相对简单，主要使用描述性的语言。 初中：开始使用更专业的数学语言，如符号、公式、定理等。 联系 知识连续性： 小学的几何图形知识是初中的基础，初中的知识是在小学基础上的延伸和拓展。例如，小学学习了三角形的分类和性质，初中则进一步研究相似三角形和全等三角形的性质。 研究方法的过渡： 小学的直观观察和动手操作为学生提供了丰富的几何直观经验，这些经验为学生进入初中后学习演绎推理的论证几何打下了坚实的基础。 数学语言的逐步引入： 从小学到初中，数学语言的使用逐渐从描述性向专业性过渡，为学生进一步学习更高层次的数学知识提供了必要的语言支持。 空间观念的培养： 无论是小学还是初中，都强调对学生空间观念的培养。通过观察和操作几何图形，学生能够形成对空间的初步感知和理解，为进一步学习立体几何打下基础。 考点一：图形的拆拼（切拼） 一、基本概念 图形的拆拼是指将一个图形通过分割或组合，形成新的图形的过程。它包含“拆”和“拼”两个方面：“拆”指的是将一个图形分解为多个部分，“拼”则是将多个图形部分组合成一个新的图形。 二、拆拼方法 分解法： 定义：将一个图形分解成若干个可以拼凑的小块。 示例：将一个长方形分解为若干个小正方形，再将小正方形拼凑成其他形状。 组合法： 定义：将多个图形拼接在一起，形成一个新的图形。 示例：将几个三角形拼接在一起形成一个正方形。 镶嵌法： 定义：将一个图形嵌入到另一个图形中，形成一个新的图形。 示例：将一个小三角形镶嵌到一个大三角形中。 三、拆拼技巧与示例 等面积分割： 技巧：利用“同底等高的三角形面积相等”等性质进行分割。 示例：将一个任意三角形分成四个面积相等的三角形，可以通过将某一边等分成四份，连结各分点与顶点来实现。 对称分割： 技巧：利用图形的对称性进行分割，确保分割后的图形形状相同、面积相等。 示例：将一个长方形分割成两个形状相同、面积相等的部分，可以通过沿长方形的中心线进行垂直或水平分割来实现。 格子纸分割： 技巧：在格子纸上进行图形的分割与拼接，保持每个小方格的完整。 示例：将一个3×4的方格纸分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整。这可以通过多种方法实现，如沿对角线分割、沿中心线分割等。 【典例精讲】六一儿童节，同学们用长方形纸（如图）剪一些图形装扮教室。小红要剪半径1厘米的圆，这张长方形纸一共能剪 　 　个；小明要剪一个最大的半圆，半圆的周长是 　厘米；小军要把它剪成一些同样大的正方形且没有剩余，正方形的边长最大是 　 厘米，一共能剪 　 　个。 【变式演练01】两个相同的长方体正好拼成一个棱长为6分米的正方体，那么每个长方体的长、宽、高分别是　 　分米、　 　分米、　 　分米，体积是　 　立方分米，表面积是　 平方分米． 【变式演练02】在上底为4厘米，下底为6厘米的梯形中画一条线段，把梯形分成面积相等的两部分（画出三种分法） 考点二：三角形面积与底的正比关系 一、定义 当三角形的高保持不变时，三角形的面积与底边长度成正比。这意味着，如果底边长度增加，面积也会相应增加；反之，如果底边长度减少，面积也会相应减少。 二、公式表示 三角形的面积公式为：面积 = (底 × 高) ÷ 2 从这个公式中，我们可以看出，当高一定时，面积与底边的比值是一个常数，即面积/底 = 高 ÷ 2。因此，当底边长度变化时，面积也会按照相同的比例变化。 三、详细解释 高一定时，面积与底的正比关系： 当三角形的高确定时，底边的长度成为决定面积大小的唯一因素。 例如，假设三角形的高为4厘米，底边长度从3厘米增加到6厘米，那么面积会从(3 × 4) ÷ 2 = 6平方厘米增加到(6 × 4) ÷ 2 = 12平方厘米，面积增加了一倍。 底边长度变化对面积的影响： 底边长度的增加或减少会直接导致面积的增加或减少。 这是因为面积的计算公式中，底边长度是直接与面积相关的因素之一。 【典例精讲】在下面长方形ABCD中，三角形ABO的面积是5平方厘米，三角形DEO的面积与三角形DEC的面积比是1：2．三角形ABO的面积比三角形BEO的面积大 　　平方厘米． 【变式演练】如图，平行四边形分成甲、乙、丙三部分，已知乙的面积比丙多4平方厘米，乙的面积是　 　平方厘米． 考点三：差不变原理 一、差不变原理的基本定义 差不变原理，指的是在一个减法算式中，如果被减数和减数同时增加或同时减少相同的数，那么差的值不会改变。这一原理可以帮助我们简化计算，理解减法运算的某些特性。 二、差不变原理的示例说明 示例1：简单的数值运算 假设有算式 A - B = C，如果我们同时给 A 和 B 加上（或减去）一个数 D，那么新的算式 (A+D) - (B+D) 或 (A-D) - (B-D) 的结果仍然等于 C。 例如： 原算式：48 - 17 = 31 同时加27：(48+27) - (17+27) = 75 - 44 = 31 同时减13：(48-13) - (17-13) = 35 - 4 = 31 示例2：面积计算中的应用 在面积计算中，差不变原理也有应用。例如，当两个图形（如正方形或三角形）的面积差已知，我们可以通过给两个图形同时加上（或减去）相同的面积部分，使其中一个图形变为更容易计算的形式，从而简化计算过程。 【典例精讲】有一个直角三角形和长方形摆成如图，长方形的长为6cm，宽为2cm，若甲区域（上方）比乙区域（下方）的面积大6cm2，求三角形ABC的高AB的长度？ 【变式演练】图中正方形的边长是10厘米，三角形甲的面积比三角形乙的面积少20平方厘米，求线段AB的长． 考点四：不规则立体图形的表面积 一、基本概念 不规则立体图形是指形状不规则的立体图形，其表面积是指该立体图形所有外表面所占的总面积。不规则立体图形可能是由多个规则几何体组合而成，也可能是由单一不规则几何体构成。 二、计算方法 对于不规则立体图形的表面积，没有直接的公式可以直接计算。但我们可以采用一些基本的方法来近似计算其表面积。 分割法： 定义：将不规则几何体分割成几个规则几何体（如长方体、圆柱体、圆锥体、球体等），然后分别计算这些规则几何体的表面积，最后将这些表面积相加得到不规则几何体的近似表面积。 示例：考虑一个不规则形状的石头，我们可以将其近似分割成几个小的长方体或球体，然后计算这些部分的表面积并求和。 三、分类 根据构成不规则立体图形的几何体数量，可以将不规则立体图形分为两类： 组合不规则立体图形：由两个或多个规则几何体组合而成的立体图形，例如将两个长方体堆叠在一起形成的组合体。 单一不规则立体图形：只有一个不规则几何体构成的立体图形，例如一个扭曲的圆柱体。 【典例精讲】如图，5个棱长为2分米的正方体硬纸箱堆放在墙角，体积一共是　 　立方分米，露在外面的硬纸面积是　 　平方分米． 【变式演练】棱长1分米的小正方体如图所示层层堆叠放置。 （1）当重叠到5层时，5层一共有 　 个正方体。 （2）当重叠到5层时，这个5层的立体图形的表面积是 　平方分米。 考点五：体积的等积变形 一、基本概念 体积的等积变形指的是在物体形状改变时，其体积保持不变的过程。这种变形通常发生在物质状态变化（如熔化、凝固等）或物体形状改变（如切割、重组等）的情境中。 二、等积变形的方法 等积变形的方法主要包括以下几种： 熔铸法：将一种形状的物体熔化后重新浇铸成另一种形状的物体，期间体积保持不变。 排水法：将物体放入水中，通过测量水面上升或下降的高度来计算物体的体积。 容器倒置法：通过改变容器的方向（如倒立），观察水位变化来间接计算物体的体积。 更换容器法：将物体从一个容器转移到另一个容器中，根据水位变化计算物体的体积。 【典例精讲】有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是18厘米、12厘米，杯中盛有适量的水．甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢．问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米？ 【变式演练】如图，一个酒瓶里面深24厘米，底面内径是16厘米，瓶里酒高15厘米．把酒瓶塞紧后，使其瓶口向下倒立，这时酒高19厘米，酒瓶容积是多少毫升？ 考点六：三视图与展开图 一、三视图 1. 定义与概念 三视图是观测者从上面、左面、正面三个不同角度观察同一个空间几何体而画出的图形。它包括主视图（正视图）、俯视图和左视图（侧视图）。 三视图能够正确反映物体长、宽、高尺寸的正投影工程图，是工程界一种对物体几何形状约定俗成的抽象表达方式。 2. 视图特点 主视图（正视图）：主要反映物体的前面形状和长、高尺寸。 俯视图：主要反映物体的上面形状和长、宽尺寸。 3. 投影规则 主视图和俯视图长对正：即主视图和俯视图的长要相等。 主视图和左视图高平齐：即主视图和左视图的高要相等。 俯视图和左视图宽相等：即左视图和俯视图的宽要相等。 4. 绘制方法 首先确定三视图的位置，画出主视图。 然后在主视图的下面画出俯视图，注意与主视图的长对正。 在主视图的右边画出左视图，注意与主视图的高平齐，与俯视图的宽相等。 二、展开图 1. 定义与概念 展开图是将一个立体图形沿着某些边展开成平面图形的过程。常见的立体图形包括正方体、长方体、棱柱、圆柱和圆锥等。 2. 正方体展开图 正方体展开图有11种不同的展开方式，通常归为“一四一型”、“二三一型”、“二二二型”和“三三型”四类。 口诀：一线不过四；田凹应弃之；找相对面：相间，“Z”端是对面；找邻面：间二，拐角邻面知。 3. 其他立体图形的展开图 长方体：类似于正方体，但长和宽可能不相等。 棱柱：由两个相同的多边形和一些长方形组成。 圆柱：由两个相同的圆形和一个长方形组成，长方形的长是底面圆的周长，宽是圆柱的高。 圆锥：由一个圆形和一个扇形组成，扇形的半径是圆锥的母线，弧长是圆锥底面圆的周长。 4. 绘制方法 对于简单的立体图形，如正方体、长方体等，可以直接绘制其展开图。 对于复杂的立体图形，可以通过观察其结构，想象其展开后的形状，然后绘制展开图。 归纳与总结 【典例精讲】如图是（　　）图的展开图。 A． B． C． D． 【变式演练】老师的小帮手，班级的贡献者。 一天，小明和小涛看见教室里没有粉笔了，主动去总务室领粉笔，而粉笔盒的形状是正方体，其每盒质量相同。 （1）小明一进总务室，看到桌子上放着一些粉笔盒，当时这些粉笔盒摆成一个立体图形，从上面看到的是，从左面看到的是，这个立体图形至少需要 　 　个粉笔盒才能摆成。 （2）总务室老师指着墙角的大箱子说：“里面有11盒粉笔，其中有一盒粉笔用了3支，其他的没有拆过”。在不拆包装盒情况下，小明用天平至少称 　 　次才能保证找出这盒粉笔。 （3）墙角的大箱子是一个长方体，它的长是6dm、宽是4dm、高是5dm。这个大箱子的表面积是 　 　dm2，体积是 　 　dm3。 考点七：染色问题 【典例精讲】用棱长1cm的小正方体拼成如图的大正方体后，在表面涂上颜色，其中两面涂色的小正方体有（　　）个。 A．6 B．8 C．12 D．24 【变式演练】将32个相同的小正方体拼成一个体积为32立方厘米的长方体，将表面涂上红漆，然后分开，其中有2个面涂红的小正方体有24个，则有1个面涂红的小正方体有 　 　个。 培优讲练 1．把一张长48厘米、宽36厘米的长方形纸剪成相同的正方形（没有剩余），正方形的边长最大是 　厘米，最多可以剪成 　 　张这样的正方形。 2．如图所示，已知三角形ABC面积为2，延长AB至D，使BD＝AB；延长BC至E，使CE＝2BC；延长CA至F，使AF＝3AC，求三角形DEF的面积。 3．在下图中，平行四边形的面积是20平方厘米，图中甲、丙两个三角形的面积比是 　 　，阴影部分的面积是 　 　平方厘米。 4．有两根绳子，一根长15米，另一根长20米，把两根绳子都剪下同样的一段后，剩下的长度比是1：2．剪下的一段有多少米？ 5．图中正方形的边长是10厘米，三角形甲的面积比三角形乙的面积少20平方厘米，求线段AB的长． 6．如图是用体积1立方厘米的小正方体摆成的物体。 （1）这个物体的表面积是 　 平方厘米。 （2）如果现在你手里还有一些相同的小正方体可添放在这个物体上，要保持前面和右面看到的形状不变，则最多可以添加 　 　个小正方体。 （3）如果增加同样的小正方体，把这个物体补成一个大正方体，至少还需要 　 个这样的小正方体。 7．如图是由棱长1厘米的正方体拼搭成的，放在桌面上的面的大小是 　 平方厘米，它的表面积是 　 　平方厘米，体积是 　 　立方厘米．在这个基础上至少添 　 　个这样的正方体，就能搭成一个长方体． 8．如图：有A、B两个土堆，A的上面面积是25平方米，B的上面面积是15平方米，A与B的高度相差4米．把A处的土推往B，使A与B两处同样高，B处可升高多少米？ 9．一个容器中已注满水，有大、中、小三个球．第一次把小球沉入水中，第二次把小球取出，把中球沉入水中，第三次把中球取出，把小球和大球一起沉入水中，现知道每次从容器中溢出水量的情况是：第一次是第二次的，第三次是第二次的1.5倍．求三个球的体积之比． 10．下列不是三棱柱展开图的是（　　） A． B． C． D． 11． 搭的这组积木，从正面看是 　 　，从左面看是 　 　。 12．将一个表面涂色的正方体分割成若干个体积为1立方厘米的小正方体，其中不涂色的小正方体有8个，则两面涂色的小正方体有（　　）个。 A．8 B．12 C．24 D．36 13．把一个棱长为3分米的正方体表面涂色后，切成棱长为1分米的小正方体。其中2面涂色的小正方体有 　 　个。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$