专题02 解方程与列方程解应用题（七大高频考点+知识讲练+培优精练）-2024年小升初数学无忧衔接（苏科版2024）

专题02 解方程与列方程解应用题 （八大高频考点+知识讲练+培优精练） 考点一：解含括号的方程 2 考点二：解小数、分数、百分数的方程 3 考点三：列方程解含有一个未知数的问题 4 考点四：列方程解和差倍问题 5 考点五：列方程解稍复杂的行程问题 6 考点六：列方程解含有两个未知数的问题 7 考点七：列方程解稍复杂的实际问题 9 考点八：列方程解鸡兔同笼问题 9 培优讲练 11 理解应用题与方程的关系： 学生应明白应用题中的等量关系可以通过列方程来表示。 能根据两个未知量之间的关系，列方程解答求含有两个未知数的应用题。 掌握列方程解应用题的方法： 学生应学会根据应用题的具体情况灵活选择解题方法，如直接列方程、设未知数等。 明白列方程解应用题的关键是找出数量之间的相等关系，能根据题意正确地列出方程解答。 培养实际应用能力和检验习惯： 学生应能将实际问题抽象为数学问题，并通过方程解决问题，增强应用数学的意识。 学会用检验答案是否符合已知条件的方法，提高学生求解验证的能力。 发展数学素养和思维： 在列方程解应用题的过程中，学生的数学素养将得到发展，包括分析问题、解决问题的能力。 通过合作探索、自主探究等方式，培养学生的合作精神和探究精神。 小升初数学解方程和列方程解应用题与初中数学在内容上存在明显的区别与联系 区别： 复杂程度： 小学方程：主要涉及一元一次方程，形式较为简单，如基础的加、减、乘、除运算。 初中方程：方程类型增多，如一元二次方程、二元一次方程组等，运算和逻辑复杂度明显提升。 解题方法： 小学方程：主要运用等式的基本性质，通过简单的移项、合并同类项等步骤求解。 初中方程：除了基本性质外，还需掌握配方法、公式法、因式分解法等更为复杂的解法，同时对方程解的合理性进行判断。 逻辑思维： 小学方程：主要侧重于方程的基本概念和简单应用，对学生的逻辑思维要求相对较低。 初中方程：对学生的逻辑思维提出更高要求，需要理解方程的深层次含义，能够抽象概括问题并转化为数学模型。 联系： 知识基础：小学方程是初中方程的基础，学生在小学阶段掌握的方程知识和技能为初中学习打下坚实基础。 方法过渡：小学方程中的解题方法在初中阶段仍有应用，但需要根据具体问题进行适当调整和拓展。 思维发展：从小学到初中，学生的抽象思维能力和逻辑推理能力逐渐增强，这种发展在方程学习中表现得尤为明显。 应用场景：无论是小学还是初中，方程都是解决实际问题的重要工具。通过列方程解应用题，学生可以更好地理解和应用数学知识，提高数学素养。 考点一：解含括号的方程 解含括号的方程的步骤 去括号：首先，根据括号内的运算规则，计算出括号内的结果。如果括号内有加减运算，直接进行；如果有乘除运算，先执行乘除后执行加减。 移项：将含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到另一边。这有助于我们简化方程，更容易找到未知数的解。 合并同类项：如果方程中存在同类项，即未知数前的系数相同的项，需要将它们合并成一个项。 在这个例子中，因为已经移项并去括号，所以没有需要合并的同类项。但在其他情况下，如 2x + 3x = 10，我们会合并得到 5x = 10。 求解未知数： 最后，将方程两边同时除以未知数的系数，得到未知数的解。 例如，在方程 3x - 2y = 18 中，由于这是一个包含两个未知数的方程，我们需要另一个方程来求解y或x。但如果只有一个未知数，如 x = (18 + 2y) / 3，我们可以直接求解x的值。 【典例精讲】（22-23五年级下·江苏盐城·期末）解方程。                                         【变式演练】（23-24五年级下·江苏淮安·期中）解方程。 0.8x－2.5×3＝0.5   x－7.9＋5.4＝12    12（x＋0.5）＝48     10.8－2x＝1.8 考点二：解小数、分数、百分数的方程 【典例精讲】（2024五年级下·江苏·专题练习）解方程。                       【变式演练】（23-24六年级下·江苏·课后作业）解方程。 8x＋5x＝78                     18＋2x＝81.6             （x－6）÷4＝3.5 考点三：列方程解含有一个未知数的问题 理解应用题 应用题是数学中一种常见的问题类型，它通常描述了一个实际情境，并给出了与这个情境相关的数学信息。学生需要理解这个情境，并识别出其中的数学关系。 确定未知数 在应用题中，通常有一个或多个未知数。对于含有一个未知数的应用题，学生需要明确这个未知数代表什么。例如，在购物问题中，未知数可能代表商品的单价或数量；在行程问题中，未知数可能代表速度、时间或距离。 建立方程 建立方程是解应用题的关键步骤。学生需要根据题目中的信息，利用数学关系式（如加法、减法、乘法、除法等）来建立方程。这个方程应该包含已知的数值和未知的未知数。 【典例精讲】（22-23六年级上·江苏淮安·期中）天平的一端放着一袋食用盐，另一端放着袋盐和250克的砝码，这时天平恰好平衡，整袋盐的重量是( )克。 【变式演练】（23-24六年级下·江苏盐城·期中）有三堆围棋子，每堆围棋子都相等，其中第一堆的白子与第二堆的黑子同样多。第三堆白子与黑子的数量比是5∶2，已知三堆围棋子中黑子有72枚，三堆围棋子共有多少枚？ 考点四：列方程解和差倍问题 理解和差倍问题 和差倍问题是一类常见的应用题，它涉及到两个或多个数量之间的和、差、倍数关系。这类问题通常描述了两个或多个数量之间的某种关系，并给出了其中一个或多个数量的具体值，要求求出其他数量的值。 列方程解和差倍问题的步骤 理解题意： 首先，需要仔细阅读题目，理解题目中描述的实际情境和数量之间的关系。明确题目中给出的已知数量和需要求解的未知数量。 设定未知数： 根据题目中的描述，设定一个或多个未知数来表示需要求解的数量。通常，未知数用字母（如x、y等）来表示。 建立方程： 根据题目中给出的数量关系和已知数量，利用数学表达式（如加法、减法、乘法等）来建立方程。这个方程应该包含已知的数值和设定的未知数。 例如，在典型的和差倍问题中，如果题目说“甲数是乙数的3倍，甲数和乙数的和是16”，那么可以设乙数为x，则甲数为3x。根据题目中的“甲数和乙数的和是16”，可以建立方程：x + 3x = 16。 【典例精讲】（22-23五年级下·辽宁·课后作业）一个等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍，设一个内角为x度，则可以列出方程 或 。 【变式演练01】（22-23五年级下·江苏淮安·期末）同学们去植树，五年级植的棵数是四年级的4倍，五年级比四年级多植120棵。四年级植树多少棵？（列方程解答） 【变式演练02】（22-23五年级下·江苏徐州·期末）一根电线长36米，剪成两段，其中第一段是第二段的2倍，第一段长（    ）米。 A．24 B．18 C．12 考点五：列方程解稍复杂的行程问题 一、理解行程问题 行程问题通常涉及到两个或多个物体（如人、车、船等）在一段时间内沿一定方向移动的情况。这些物体可能同向而行、相向而行或背向而行。在行程问题中，我们需要关注速度、时间和距离这三个基本量，并理解它们之间的关系。 二、速度、时间和距离的关系 在行程问题中，速度、时间和距离之间的关系可以用以下公式表示： 距离 = 速度 × 时间 这个公式是解决行程问题的关键。它告诉我们，只要知道速度和时间中的两个量，就可以求出第三个量。 三、列方程解稍复杂的行程问题 对于稍复杂的行程问题，我们通常需要列方程来求解。以下是一些常见的稍复杂的行程问题及其解决方法： 相遇问题：两个物体从两个不同地点出发，沿同一条路线相向而行，在某个地点相遇。我们需要找出它们相遇的时间或地点。 解决方法：设两个物体的速度分别为v1和v2，相遇时间为t，两地之间的距离为d。根据速度、时间和距离的关系，我们可以列出方程： d = v1 × t + v2 × t 解这个方程，我们就可以找出相遇时间t。 追及问题：一个物体比另一个物体先出发，沿同一条路线同向而行，后面的物体要追上前面的物体。我们需要找出追及的时间或地点。 解决方法：设先出发的物体的速度为v1，后出发的物体的速度为v2，追及时间为t，先出发的物体先走的路程为s。根据速度、时间和距离的关系，我们可以列出方程： s + v1 × t = v2 × t 解这个方程，我们就可以找出追及时间t。 环形跑道问题：两个物体在环形跑道上同向或相向而行，我们需要找出它们相遇的次数或时间。 解决方法：设环形跑道的长度为L，两个物体的速度分别为v1和v2，相遇时间为t。根据速度、时间和距离的关系，我们可以列出方程： 对于同向而行的情况： v2 × t - v1 × t = n × L（n为相遇的次数） 对于相向而行的情况： v1 × t + v2 × t = L 解这些方程，我们就可以找出相遇的时间t或次数n。 【典例精讲】（21-22五年级下·陕西西安·期中）小强家到学校，如果每分走50米，上课就要迟到3分钟，如果每分钟走60米，就可以提前2分钟到校。小强家到学校的路程是多少米？ 【变式演练】（23-24六年级下·辽宁·课后作业）我国元代数学家朱世杰所著的《算学启蒙》一书中有这样一道题目：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里。驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”译文：“快马每天走240里，慢马每天走150里。慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？” 考点六：列方程解含有两个未知数的问题 一、理解含有两个未知数的问题 含有两个未知数的问题，通常是指在题目中涉及到两个需要求解的量，这两个量之间的关系可以通过一个或多个方程来表示。这类问题在日常生活和数学学习中都非常常见，如购物问题、分配问题、年龄问题等。 二、设立未知数 在解决含有两个未知数的问题时，首先需要设立两个未知数来表示题目中的两个需要求解的量。这两个未知数通常用字母来表示，如x和y。设立未知数的目的是将题目中的文字信息转化为数学表达式，便于建立方程。 三、建立方程 建立方程是解决含有两个未知数问题的关键步骤。根据题目中的条件，可以设立一个或多个方程来表示两个未知数之间的关系。这些方程通常是由等式组成的，等式两边表示的是两个相等的数学表达式。在建立方程时，需要注意以下几点： 准确理解题目中的条件，确保方程能够正确反映两个未知数之间的关系。 合理利用题目中的已知信息，将已知信息转化为数学表达式，并代入方程中。 注意方程中的运算符号和运算顺序，确保方程的正确性。 四、注意事项 在解决含有两个未知数的问题时，需要注意以下几点： 准确理解题目中的条件，确保设立的未知数和建立的方程能够正确反映题目中的实际情况。 在解方程时，要仔细审题，选择合适的解方程方法，并注意解方程的步骤和过程。 在求解完成后，要验证解的正确性，确保解符合题目中的条件。 【典例精讲】（2022六年级下·全国·竞赛）某班男生中有戴眼镜，女生中有戴眼镜，如果男生比女生少3人，但戴眼镜的男生比不戴眼镜的女生少12人，那么这个班一共有 人。 【变式演练】（23-24六年级上·河南南阳·期末）为了改善人民群众的宜居环境，凤瑞公园里要建一个直径是24m的圆形大花坛，在花坛的周围铺一条1m宽的小路，这条小路的面积是( )m2；但是这项工程现在需要提前3天完成，就要把原来的工作效率提高12%，原计划完成这一工程用( )天。 考点七：列方程解稍复杂的实际问题 【典例精讲】（23-24六年级上·山西大同·期末）商场新进一批服装，把进价提高20%作为售价，但是销量并不好，于是又降价20%销售，结果每件亏损6元。这批服装原来的售价是每件多少元？ 【变式演练】（2023·四川成都·小升初真题）一个盒子里有红、黄、白三种颜色的球，红球占总数的，黄球比不是红色的少4个，其余都是白球，如果白球比红球多12个，那么黄球有多少个？ 考点八：列方程解鸡兔同笼问题 一、理解鸡兔同笼问题 鸡兔同笼问题是一个典型的假设法问题，它涉及到两个未知数：鸡的数量和兔子的数量。在这个问题中，我们知道每只鸡有2只脚，每只兔子有4只脚，同时我们还知道总的头数和脚数。我们需要通过列方程来求解这两个未知数。 二、设立未知数 在解决鸡兔同笼问题时，我们通常会设立两个未知数，分别表示鸡的数量和兔子的数量。这两个未知数通常用字母来表示，例如设鸡的数量为x，兔子的数量为y。 三、建立方程 根据题目中的条件，我们可以建立两个方程来表示鸡和兔子的数量与头数和脚数之间的关系。第一个方程通常表示头数的总和，即鸡和兔子的数量之和等于总头数；第二个方程表示脚数的总和，即鸡的脚数（每只鸡2只脚）和兔子的脚数（每只兔子4只脚）之和等于总脚数。 具体来说，如果总头数为H，总脚数为F，我们可以建立以下方程组： x + y = H （鸡和兔子的数量之和等于总头数） 2x + 4y = F （鸡的脚数和兔子的脚数之和等于总脚数） 【典例精讲】（2024六年级下·全国·专题练习）妈妈送给菲菲一个存钱罐，她们约定好每次共读一本书。如果菲菲先看完，妈妈就给存钱罐里放12元。如果妈妈先看完，她就要拿出来3元还给妈妈。两人读完10本书后，存钱罐里有90元，菲菲有多少次先看完一本书？ 【变式演练01】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）我国明代珠算发明家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完。如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各有几人？ 【变式演练02】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）学校体育室有10张乒乓球桌，34名同学来参加乒乓球训练。参加双打练习的有多少人？    培优讲练 1．（19-20五年级下·江苏·单元测试）解方程。 3（3x－2）＝10－0.5（x＋3.5）    （0.6x＋420）÷（x＋20）＝3 4（2y＋5）－3y＝7（y－5）＋4（2y＋1）    3（x＋2）－4（x－1）＋2（3x－1）－18＝0 2．（23-24六年级下·江苏徐州·期末）解方程或解比例。               x＋25%x＝62.5            3．（20-21六年级上·江苏泰州·期末）光明小学六年级学生中女生占，后来又转来了15名女生，这样女生占六年级总人数的，六年级原来共有( )人。 4．（22-23六年级上·江苏泰州·期中）六（6）班同学开班会，一位男同学上讲台数了一下人数，说台下男女生人数的比是3∶2，他下去后，又上来一位女同学数了一下，说台下男女生人数的比是5∶3，请问六（6）班有多少人？ 5．（21-22五年级下·辽宁·单元测试）杭州到绍兴的路程是63千米，有甲、乙、丙三人，甲、乙从杭州，丙从绍兴同时出发，相向而行，甲、乙、丙三人每小时的速度分别为6.5千米，5.5千米，4.5千米。求出发后经过几小时，丙在甲、乙的中间。 6．（23-24五年级下·辽宁·课后作业）带着小狗的小明和小兵同时从相距1200米的两地相向而行，小明每分行55米，小兵每分行65米，小狗每分跑240米。小明的小狗遇到小兵后立即返回向小明这边跑，遇到小明后再向小兵那边跑……当小明和小兵相遇时，小狗一共跑了多少米？ 7．（22-23六年级下·河南周口·期中）晨光文具店用2400元进了一批排球和篮球，排球比篮球多15个，商店出售篮球的定价是20元，排球的定价比篮球增加20%，这批球售完后共获得利润820元。排球和篮球各有多少个？ 8．（23-24五年级下·江苏·课后作业）甲、乙两人同时从相距400米的两地出发，相向而行，甲每分钟行60米，乙每分钟行40米。甲带着一只狗，狗每分钟跑100米，这只狗与甲一起出发，碰到乙时调头跑向甲，碰到甲又调头跑向乙，直到两人相遇为止，这只狗一共跑了多少米？ 9．（2019六年级·全国·竞赛）甲、乙两厂生产同一规格的上衣和裤子，甲厂每月用16天生产上衣，14天做裤子，共生产924套衣服（每套上衣、裤子各一件）；乙厂每月用12天生产上衣，18天生产裤子，共生产1296套衣服。两厂合并后，每月（按30天计算）最多能生产多少套衣服？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 解方程与列方程解应用题 （八大高频考点+知识讲练+培优精练） 考点一：解含括号的方程 2 考点二：解小数、分数、百分数的方程 5 考点三：列方程解含有一个未知数的问题 7 考点四：列方程解和差倍问题 9 考点五：列方程解稍复杂的行程问题 11 考点六：列方程解含有两个未知数的问题 13 考点七：列方程解稍复杂的实际问题 16 考点八：列方程解鸡兔同笼问题 19 培优讲练 22 理解应用题与方程的关系： 学生应明白应用题中的等量关系可以通过列方程来表示。 能根据两个未知量之间的关系，列方程解答求含有两个未知数的应用题。 掌握列方程解应用题的方法： 学生应学会根据应用题的具体情况灵活选择解题方法，如直接列方程、设未知数等。 明白列方程解应用题的关键是找出数量之间的相等关系，能根据题意正确地列出方程解答。 培养实际应用能力和检验习惯： 学生应能将实际问题抽象为数学问题，并通过方程解决问题，增强应用数学的意识。 学会用检验答案是否符合已知条件的方法，提高学生求解验证的能力。 发展数学素养和思维： 在列方程解应用题的过程中，学生的数学素养将得到发展，包括分析问题、解决问题的能力。 通过合作探索、自主探究等方式，培养学生的合作精神和探究精神。 小升初数学解方程和列方程解应用题与初中数学在内容上存在明显的区别与联系 区别： 复杂程度： 小学方程：主要涉及一元一次方程，形式较为简单，如基础的加、减、乘、除运算。 初中方程：方程类型增多，如一元二次方程、二元一次方程组等，运算和逻辑复杂度明显提升。 解题方法： 小学方程：主要运用等式的基本性质，通过简单的移项、合并同类项等步骤求解。 初中方程：除了基本性质外，还需掌握配方法、公式法、因式分解法等更为复杂的解法，同时对方程解的合理性进行判断。 逻辑思维： 小学方程：主要侧重于方程的基本概念和简单应用，对学生的逻辑思维要求相对较低。 初中方程：对学生的逻辑思维提出更高要求，需要理解方程的深层次含义，能够抽象概括问题并转化为数学模型。 联系： 知识基础：小学方程是初中方程的基础，学生在小学阶段掌握的方程知识和技能为初中学习打下坚实基础。 方法过渡：小学方程中的解题方法在初中阶段仍有应用，但需要根据具体问题进行适当调整和拓展。 思维发展：从小学到初中，学生的抽象思维能力和逻辑推理能力逐渐增强，这种发展在方程学习中表现得尤为明显。 应用场景：无论是小学还是初中，方程都是解决实际问题的重要工具。通过列方程解应用题，学生可以更好地理解和应用数学知识，提高数学素养。 考点一：解含括号的方程 解含括号的方程的步骤 去括号：首先，根据括号内的运算规则，计算出括号内的结果。如果括号内有加减运算，直接进行；如果有乘除运算，先执行乘除后执行加减。 移项：将含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到另一边。这有助于我们简化方程，更容易找到未知数的解。 合并同类项：如果方程中存在同类项，即未知数前的系数相同的项，需要将它们合并成一个项。 在这个例子中，因为已经移项并去括号，所以没有需要合并的同类项。但在其他情况下，如 2x + 3x = 10，我们会合并得到 5x = 10。 求解未知数： 最后，将方程两边同时除以未知数的系数，得到未知数的解。 例如，在方程 3x - 2y = 18 中，由于这是一个包含两个未知数的方程，我们需要另一个方程来求解y或x。但如果只有一个未知数，如 x = (18 + 2y) / 3，我们可以直接求解x的值。 【典例精讲】（22-23五年级下·江苏盐城·期末）解方程。                                        【答案】； ； 【思路分析】根据等式的性质解方程。 （1）方程两边同时减去，求出方程的解； （2）方程两边同时乘，求出方程的解； （3）先把方程化简成，方程两边同时除以，求出方程的解； （4）先把方程化简成，然后方程两边先同时加上，再同时除以，求出方程的解。 【规范解答】（1） 解： （2） 解： （3） 解： （4） 解： 【变式演练】（23-24五年级下·江苏淮安·期中）解方程。 0.8x－2.5×3＝0.5   x－7.9＋5.4＝12    12（x＋0.5）＝48     10.8－2x＝1.8 【答案】x＝10；x＝14.5；x＝3.5；x＝4.5 【思路分析】0.8x－2.5×3＝0.5，根据等式的性质1和2，两边同时＋2.5×3的积，再同时÷0.8即可； x－7.9＋5.4＝12，先将左边合并成x－2.5，根据等式的性质1，两边同时＋2.5即可； 12（x＋0.5）＝48，根据等式的性质1和2，两边同时÷12，再同时－0.5即可； 10.8－2x＝1.8，根据等式的性质1和2，两边同时＋2x，再同时－1.8，最后同时÷2即可。 【规范解答】0.8x－2.5×3＝0.5 解：0.8x－7.5＝0.5 0.8x－7.5＋7.5＝0.5＋7.5 0.8x＝8 0.8x÷0.8＝8÷0.8 x＝10 x－7.9＋5.4＝12 解：x－2.5＝12 x－2.5＋2.5＝12＋2.5 x＝14.5 12（x＋0.5）＝48 解：12（x＋0.5）÷12＝48÷12 x＋0.5＝4 x＋0.5－0.5＝4－0.5 x＝3.5 10.8－2x＝1.8 解：10.8－2x＋2x＝1.8＋2x 1.8＋2x＝10.8 1.8＋2x－1.8＝10.8－1.8 2x＝9 2x÷2＝9÷2 x＝4.5 考点二：解小数、分数、百分数的方程 【典例精讲】（2024五年级下·江苏·专题练习）解方程。                       【答案】；； 【思路分析】根据等式的性质解方程。 （1）先把方程化简成，然后方程两边先同时减去，再同时除以，求出方程的解； （2）方程两边先同时加上，再同时除以，求出方程的解； （3）先把方程化简成，然后方程两边同时除以，求出方程的解。 【规范解答】（1） 解： （2） 解： （3） 解： 【变式演练】（23-24六年级下·江苏·课后作业）解方程。 8x＋5x＝78                     18＋2x＝81.6             （x－6）÷4＝3.5 【答案】x＝6；x＝31.8 x＝1.2；x＝20 【思路分析】第一小题方程先计算含有x的加法得到13x，再在等式两边同时除以13，计算得出x的值；第二小题先在等式两边同时减去18，再在等式两边同时除以2，得出答案；第三小题先在等式两边除以3.2，再在等式两边减去，得出答案；第四小题先在等式两边同时乘4，再同时加上6，可得出答案。 【规范解答】8x＋5x＝78 解：13x＝78 13x÷13＝78÷13 x＝6 18＋2x＝81.6 解：18＋2x－18＝81.6－18 2x＝63.6 2x÷2＝63.6÷2 x＝31.8 解： x＝1.2 （x－6）÷4＝3.5 解：（x－6）÷4×4＝3.5×4 x－6＝14 x－6＋6＝14＋6 x＝20 考点三：列方程解含有一个未知数的问题 理解应用题 应用题是数学中一种常见的问题类型，它通常描述了一个实际情境，并给出了与这个情境相关的数学信息。学生需要理解这个情境，并识别出其中的数学关系。 确定未知数 在应用题中，通常有一个或多个未知数。对于含有一个未知数的应用题，学生需要明确这个未知数代表什么。例如，在购物问题中，未知数可能代表商品的单价或数量；在行程问题中，未知数可能代表速度、时间或距离。 建立方程 建立方程是解应用题的关键步骤。学生需要根据题目中的信息，利用数学关系式（如加法、减法、乘法、除法等）来建立方程。这个方程应该包含已知的数值和未知的未知数。 【典例精讲】（22-23六年级上·江苏淮安·期中）天平的一端放着一袋食用盐，另一端放着袋盐和250克的砝码，这时天平恰好平衡，整袋盐的重量是( )克。 【答案】375 【思路分析】根据“天平平衡”可得出等量关系：一袋食用盐的重量＝袋盐的重量＋砝码的重量，据此列出方程，并求解。 【规范解答】解：设整袋盐的重量是克。 ＝＋250 －＝＋250－ ＝250 ÷＝250÷ ＝250× ＝375 整袋盐的重量是375克。 【考点评析】本题考查列方程解决问题，从题目中找到等量关系，按等量关系列出方程。 【变式演练】（23-24六年级下·江苏盐城·期中）有三堆围棋子，每堆围棋子都相等，其中第一堆的白子与第二堆的黑子同样多。第三堆白子与黑子的数量比是5∶2，已知三堆围棋子中黑子有72枚，三堆围棋子共有多少枚？ 【答案】168枚 【思路分析】根据题意，第一堆的白子与第二堆的黑子同样多，说明第一堆的白子加上第二堆的白子＝第一堆的黑子＋第二堆的黑子，也可以说是第一堆全是白子，第二堆全是黑子；每堆围棋子都相等，即每堆围棋子占三堆围棋子的；设三堆围棋子共有x枚，则每堆围棋子有x枚；用（72－x），求出第三堆围棋子中黑子的数量；第三堆围棋子中白子有（x－72－x）枚；根据第三堆白子与黑子的数量比是5∶2，列比例：（x－72－x）∶（72－x）＝5∶2，解比例，即可解答。 【规范解答】解：设三堆围棋子共有x枚，则每堆有围棋子x枚。 （x－72－x）∶（72－x）＝5∶2 2×（x－72－x）＝5×（72－x） 2×（x－72）＝5×72－x 2×x－72×2＝360－x x＋－144＝360 x＝360＋144 3x＝504 x＝504÷3 x＝168 答：三堆围棋子共有168枚。 【考点评析】明确第一堆和第二堆白子与黑子的关系，是解答本题的关键。 考点四：列方程解和差倍问题 理解和差倍问题 和差倍问题是一类常见的应用题，它涉及到两个或多个数量之间的和、差、倍数关系。这类问题通常描述了两个或多个数量之间的某种关系，并给出了其中一个或多个数量的具体值，要求求出其他数量的值。 列方程解和差倍问题的步骤 理解题意： 首先，需要仔细阅读题目，理解题目中描述的实际情境和数量之间的关系。明确题目中给出的已知数量和需要求解的未知数量。 设定未知数： 根据题目中的描述，设定一个或多个未知数来表示需要求解的数量。通常，未知数用字母（如x、y等）来表示。 建立方程： 根据题目中给出的数量关系和已知数量，利用数学表达式（如加法、减法、乘法等）来建立方程。这个方程应该包含已知的数值和设定的未知数。 例如，在典型的和差倍问题中，如果题目说“甲数是乙数的3倍，甲数和乙数的和是16”，那么可以设乙数为x，则甲数为3x。根据题目中的“甲数和乙数的和是16”，可以建立方程：x + 3x = 16。 【典例精讲】（22-23五年级下·辽宁·课后作业）一个等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍，设一个内角为x度，则可以列出方程 或 。 【答案】 x＋x＋2x＝180 2x＋2x＋x＝180 【思路分析】根据等腰三角形的特征可知，有两个内角是相等的，且一个内角是另一个内角的2倍，如果顶角比底角大，则设一个底角为x度，顶角为2x度，又已知三角形的内角和是180度，据此列方程为x＋x＋2x＝180；如果底角比顶角大，则设顶角为x度，底角为2x度，列方程为2x＋2x＋x＝180。 【规范解答】根据分析可知，一个等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍，设一个内角为x度，则可以列出方程x＋x＋2x＝180或2x＋2x＋x＝180。 【考点评析】本题主要考查了列方程解决问题，掌握等腰三角形的特征以及三角形的内角和是解答本题的关键。 【变式演练01】（22-23五年级下·江苏淮安·期末）同学们去植树，五年级植的棵数是四年级的4倍，五年级比四年级多植120棵。四年级植树多少棵？（列方程解答） 【答案】40棵 【思路分析】根据“五年级植的棵数是四年级的4倍”，可以设四年级植树棵，那么五年级植树4棵；根据“五年级比四年级多植120棵”可得出等量关系：五年级植树的棵数－四年级植树的棵数＝五年级比四年级多植的棵数，据此列出方程，并求解。 【规范解答】解：设四年级植树棵，那么五年级植树4棵。 4－＝120 3＝120 3÷3＝120÷3 ＝40 答：四年级植树40棵。 【变式演练02】（22-23五年级下·江苏徐州·期末）一根电线长36米，剪成两段，其中第一段是第二段的2倍，第一段长（    ）米。 A．24 B．18 C．12 【答案】A 【思路分析】我们可以设第二段电线长度为米，则第一段电线长为2米，再根据等量关系“第一段长度＋第二段长度＝总长36米”列出方程，求出未知数，再算出第一段长度即可解答。 【规范解答】解：设第二段电线长度为米。 2＋＝36 3＝36 ＝12 2×12＝24（米） 所以，第一段电线长度为24米。 故答案为：A 考点五：列方程解稍复杂的行程问题 一、理解行程问题 行程问题通常涉及到两个或多个物体（如人、车、船等）在一段时间内沿一定方向移动的情况。这些物体可能同向而行、相向而行或背向而行。在行程问题中，我们需要关注速度、时间和距离这三个基本量，并理解它们之间的关系。 二、速度、时间和距离的关系 在行程问题中，速度、时间和距离之间的关系可以用以下公式表示： 距离 = 速度 × 时间 这个公式是解决行程问题的关键。它告诉我们，只要知道速度和时间中的两个量，就可以求出第三个量。 三、列方程解稍复杂的行程问题 对于稍复杂的行程问题，我们通常需要列方程来求解。以下是一些常见的稍复杂的行程问题及其解决方法： 相遇问题：两个物体从两个不同地点出发，沿同一条路线相向而行，在某个地点相遇。我们需要找出它们相遇的时间或地点。 解决方法：设两个物体的速度分别为v1和v2，相遇时间为t，两地之间的距离为d。根据速度、时间和距离的关系，我们可以列出方程： d = v1 × t + v2 × t 解这个方程，我们就可以找出相遇时间t。 追及问题：一个物体比另一个物体先出发，沿同一条路线同向而行，后面的物体要追上前面的物体。我们需要找出追及的时间或地点。 解决方法：设先出发的物体的速度为v1，后出发的物体的速度为v2，追及时间为t，先出发的物体先走的路程为s。根据速度、时间和距离的关系，我们可以列出方程： s + v1 × t = v2 × t 解这个方程，我们就可以找出追及时间t。 环形跑道问题：两个物体在环形跑道上同向或相向而行，我们需要找出它们相遇的次数或时间。 解决方法：设环形跑道的长度为L，两个物体的速度分别为v1和v2，相遇时间为t。根据速度、时间和距离的关系，我们可以列出方程： 对于同向而行的情况： v2 × t - v1 × t = n × L（n为相遇的次数） 对于相向而行的情况： v1 × t + v2 × t = L 解这些方程，我们就可以找出相遇的时间t或次数n。 【典例精讲】（21-22五年级下·陕西西安·期中）小强家到学校，如果每分走50米，上课就要迟到3分钟，如果每分钟走60米，就可以提前2分钟到校。小强家到学校的路程是多少米？ 【答案】1500米 【思路分析】设小强正常从家到学校时间为x分钟，如果每分钟走50米，上课就要迟到3分钟，小强实际走了（x＋3）分钟，走了50×（x＋3）米，就是家到学校的路程；如果每分钟走60米，就可以提前2分钟到学校，小强实际走了（x－2）分钟，走了60×（x－2）米，也就是家到学校的路程，由于学校路程不变，列方程：50×（x＋3）＝60×（x－2），解方程，求出小强正常从家到学校的时间。进而求出家到学校的路程。 【规范解答】解：设小强正常从家到学校的时间为x分钟。 50×（x＋3）＝60×（x－2） 50x＋150＝60x－120 60x－50x＝150＋120 10x＝270 x＝270÷10 x＝27 50×（27＋3） ＝50×30 ＝1500（米） 答：小强家到学校的路程是1500米。 【考点评析】本题考查方程的实际应用，利用路程不变，小强正常上学的时间不变，列方程，找出相关的量，列方程，解方程。 【变式演练】（23-24六年级下·辽宁·课后作业）我国元代数学家朱世杰所著的《算学启蒙》一书中有这样一道题目：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里。驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”译文：“快马每天走240里，慢马每天走150里。慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？” 【答案】20天 【思路分析】根据题意可得出等量关系：（快马的速度－慢马的速度）×快马行走的天数＝慢马先行的路程，据此列出方程，并求解。 【规范解答】解：设快马天可以追上慢马。 （240－150）＝150×12 90＝1800 ＝1800÷90 ＝20 答：快马20天可以追上慢马。 考点六：列方程解含有两个未知数的问题 一、理解含有两个未知数的问题 含有两个未知数的问题，通常是指在题目中涉及到两个需要求解的量，这两个量之间的关系可以通过一个或多个方程来表示。这类问题在日常生活和数学学习中都非常常见，如购物问题、分配问题、年龄问题等。 二、设立未知数 在解决含有两个未知数的问题时，首先需要设立两个未知数来表示题目中的两个需要求解的量。这两个未知数通常用字母来表示，如x和y。设立未知数的目的是将题目中的文字信息转化为数学表达式，便于建立方程。 三、建立方程 建立方程是解决含有两个未知数问题的关键步骤。根据题目中的条件，可以设立一个或多个方程来表示两个未知数之间的关系。这些方程通常是由等式组成的，等式两边表示的是两个相等的数学表达式。在建立方程时，需要注意以下几点： 准确理解题目中的条件，确保方程能够正确反映两个未知数之间的关系。 合理利用题目中的已知信息，将已知信息转化为数学表达式，并代入方程中。 注意方程中的运算符号和运算顺序，确保方程的正确性。 四、注意事项 在解决含有两个未知数的问题时，需要注意以下几点： 准确理解题目中的条件，确保设立的未知数和建立的方程能够正确反映题目中的实际情况。 在解方程时，要仔细审题，选择合适的解方程方法，并注意解方程的步骤和过程。 在求解完成后，要验证解的正确性，确保解符合题目中的条件。 【典例精讲】（2022六年级下·全国·竞赛）某班男生中有戴眼镜，女生中有戴眼镜，如果男生比女生少3人，但戴眼镜的男生比不戴眼镜的女生少12人，那么这个班一共有 人。 【答案】123 【思路分析】假设女生有x人，男生有（x－3）人，根据分数乘法的意义，戴眼镜的女生有x人，戴眼镜的男生有[×（x－3）]人，不戴眼镜的女生人数是（1－）x人，已知戴眼镜的男生比不戴眼镜的女生少12人，据此可列方程为：×（x－3）＝（1－）x－12，然后解出方程即可，进而求出男生人数和全班人数。 【规范解答】解：设女生有x人，男生有（x－3）人。 ×（x－3）＝（1－）x－12 x－＝x－12 x－＋12＝x x＋＝x ＝x－x ＝x x＝ x＝÷ x＝×6 x＝63 63－3＝60（人） 63＋60＝123（人） 这个班一共有123人。 【考点评析】本题可用列方程解决问题，找到相应的数量关系是解答本题的关键。 【变式演练】（23-24六年级上·河南南阳·期末）为了改善人民群众的宜居环境，凤瑞公园里要建一个直径是24m的圆形大花坛，在花坛的周围铺一条1m宽的小路，这条小路的面积是( )m2；但是这项工程现在需要提前3天完成，就要把原来的工作效率提高12%，原计划完成这一工程用( )天。 【答案】 78.5 28 【思路分析】小路的形状是个圆环，花坛直径÷2＝小圆半径，小圆半径＋小路宽＝大圆半径，根据圆环面积＝圆周率×（大圆半径的平方－小圆半径的平方），求出小路的面积； 设原计划完成这一工程用x天，则现在需要（x－3）天，将这项工程看作单位“1”，时间分之一可以看作效率，原计划的效率是，现在的效率是，现在的效率是原来的（1＋12%），根据原计划的效率×现在对应百分率＝现在的效率，列出方程求出x的值即可。 【规范解答】24÷2＝12（m） 12＋1＝13（m） 3.14×（132－122） ＝3.14×（169－144） ＝3.14×25 ＝78.5（m2） 解：设原计划完成这一工程用x天。 为了改善人民群众的宜居环境，凤瑞公园里要建一个直径是24m的圆形大花坛，在花坛的周围铺一条1m宽的小路，这条小路的面积是78.5m2；但是这项工程现在需要提前3天完成，就要把原来的工作效率提高12%，原计划完成这一工程用28天。 【考点评析】关键是掌握并灵活运用圆环面积公式，本题的难度主要在求原计划天数，关键是理解工作时间、工作效率、工作总量之间的关系，找到等量关系，用方程解决问题。 考点七：列方程解稍复杂的实际问题 【典例精讲】（23-24六年级上·山西大同·期末）商场新进一批服装，把进价提高20%作为售价，但是销量并不好，于是又降价20%销售，结果每件亏损6元。这批服装原来的售价是每件多少元？ 【答案】180元 【思路分析】设这批服装原来的进价是每件x元，将进价看作单位“1”，把进价提高20%作为原来的售价，原来的售价是进价的（1＋20%）；再将原来的售价看作单位“1”，又降价20%销售，是原来的售价的（1－20%），进价×原来的售价对应百分率×降价后对应百分率＝最终售价，根据进价－最终售价＝亏损钱数，列出方程求出x的值是进价。进价×原来的售价对应百分率＝原来的售价，据此列式解答。 【规范解答】解：设这批服装原来的进价是每件x元。 x－x×（1＋20%）×（1－20%）＝6 x－ x×1.2×0.8＝6 x－0.96x＝6 0.04x＝6 0.04x÷0.04＝6÷0.04 x＝150 150×（1＋20%） ＝150×1.2 ＝180（元） 答：这批服装原来的售价是每件180元。 【考点评析】关键是确定单位“1”，找到等量关系用方程解答，整体数量×部分对应百分率＝部分数量。 【变式演练】（2023·四川成都·小升初真题）一个盒子里有红、黄、白三种颜色的球，红球占总数的，黄球比不是红色的少4个，其余都是白球，如果白球比红球多12个，那么黄球有多少个？ 【答案】20个 【思路分析】题目中的红、黄、白球的个数都是未知的，总数是一定的。可以假设总数是x个，那么红球是个，根据“黄球比不是红色的少4个”可知，黄球的个数是个，最后根据“白球比红球多12个”列方程解答。 【规范解答】解：设球的总数是x个，红球是个，黄球是个，则 黄球： 答：黄球有20个。 32．（2021·四川绵阳·小升初真题）小明用同一根绳子测量树的周长，第一次他将绳对折来量，绕树2周余1米；第二次将绳3折来量，绕树1周余1.5米。绳长、树干周长各是多少米？ 【答案】绳长12米，树干周长2.5米 【思路分析】根据题意，可以设树干周长是米；用同一根绳子测量树的周长，第一次对折来量，绕树2周余1米，绳子是（2＋1）×2米；第二次3折来量，绕树1周余1.5米，绳子是（＋1.5）×3米；根据绳子长度相等，列出方程，并求解。 【规范解答】解：设树干周长是米。 （2＋1）×2＝（＋1.5）×3 4＋2＝3＋4.5 4－3＝4.5－2 ＝2.5 绳长： （2×2.5＋1）×2 ＝（5＋1）×2 ＝6×2 ＝12（米） 答：绳长是12米，树干周长是2.5米。 【考点评析】列方程解决问题，根据绳子长度相等列出方程是解题的关键。 考点八：列方程解鸡兔同笼问题 一、理解鸡兔同笼问题 鸡兔同笼问题是一个典型的假设法问题，它涉及到两个未知数：鸡的数量和兔子的数量。在这个问题中，我们知道每只鸡有2只脚，每只兔子有4只脚，同时我们还知道总的头数和脚数。我们需要通过列方程来求解这两个未知数。 二、设立未知数 在解决鸡兔同笼问题时，我们通常会设立两个未知数，分别表示鸡的数量和兔子的数量。这两个未知数通常用字母来表示，例如设鸡的数量为x，兔子的数量为y。 三、建立方程 根据题目中的条件，我们可以建立两个方程来表示鸡和兔子的数量与头数和脚数之间的关系。第一个方程通常表示头数的总和，即鸡和兔子的数量之和等于总头数；第二个方程表示脚数的总和，即鸡的脚数（每只鸡2只脚）和兔子的脚数（每只兔子4只脚）之和等于总脚数。 具体来说，如果总头数为H，总脚数为F，我们可以建立以下方程组： x + y = H （鸡和兔子的数量之和等于总头数） 2x + 4y = F （鸡的脚数和兔子的脚数之和等于总脚数） 【典例精讲】（2024六年级下·全国·专题练习）妈妈送给菲菲一个存钱罐，她们约定好每次共读一本书。如果菲菲先看完，妈妈就给存钱罐里放12元。如果妈妈先看完，她就要拿出来3元还给妈妈。两人读完10本书后，存钱罐里有90元，菲菲有多少次先看完一本书？ 【答案】8次 【思路分析】设菲菲有x次先看完，如果菲菲先看完，妈妈就给存钱罐里放12元，妈妈给存钱罐12x元；妈妈看了（10－x）本，如果妈妈先看完，她就要拿出来3元还给妈妈，妈妈先看完菲菲拿出给妈妈的钱（10－x）×3元，用妈妈给存钱罐12x元－妈妈先看完菲菲拿出给妈妈的钱（10－x）×3元＝菲菲存钱罐的90元，列方程：12x－（10－x）×3＝90，解方程，即可解答。 【规范解答】解：设菲菲有x次先看完，则妈妈有（10－x）次看完。 12x－（10－x）×3＝90 12x－10×3＋3x＝90 15x－30＝90 15x＝90＋30 15x＝120 x＝120÷15 x＝8 答：菲菲有8次先看完一本书。 【变式演练01】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）我国明代珠算发明家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完。如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各有几人？ 【答案】大和尚：25人；小和尚：75人 【思路分析】根据题中熟练关系：大和尚吃馒头数量＋小和尚吃馒头数量＝100；设大和尚有x人，则小和尚有（100－x）人；大和尚1人分3个馒头，x人分3x个馒头；小和尚每3人分一个馒头，（100－x）人分得（100－x）÷3个馒头；一共100个，列方程：3x＋（100－x）÷3＝100，解方程，即可解答。 【规范解答】解：设大和尚有x人，小和尚有（100－x）人。 3x＋（100－x）÷3＝100 3x×3＋（100－x）＝100×3 9x＋100－x＝300 8x＝300－100 8x＝200 x＝200÷8 x＝25 小和尚：100－25＝75（人） 答：大和尚有25人，小和尚有75人。 【考点评析】本题属于鸡兔同笼问题，利用大和尚和小和尚人数与分馒头数量关系，设出未知数，找出相关的量，列方程，解方程。 【变式演练02】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）学校体育室有10张乒乓球桌，34名同学来参加乒乓球训练。参加双打练习的有多少人？    【答案】28人 【思路分析】设练双打占x张乒乓球台，则练单打占（10－x）张乒乓球台；双打是4个队员，x张乒乓球台有4x个队员，单打有2个队员，（10－x）张乒乓球台有2×（10－x）个队员，一共有34个队员，列方程：4x＋2×（10－x）＝34，解方程，求出练双打占多少张乒乓球台，进而求出参加双打的人数，即可解答。 【规范解答】解：设练双打占x张乒乓球台，则练单打占（10－x）张乒乓球台。 4x＋2×（10－x）＝34 4x＋2×10－2x＝34 2x＋20＝34 2x＝34－20 2x＝14 x＝14÷2 x＝7 4×7＝28（人） 答：参加双打练习有28人。 【考点评析】利用鸡兔同笼问题进行解答，根据方程的实际应用，根据题意，找出数量关系，列方程，解方程，进场解答。 培优讲练 1．（19-20五年级下·江苏·单元测试）解方程。 3（3x－2）＝10－0.5（x＋3.5）    （0.6x＋420）÷（x＋20）＝3 4（2y＋5）－3y＝7（y－5）＋4（2y＋1）    3（x＋2）－4（x－1）＋2（3x－1）－18＝0 【答案】x＝1.5；x＝150； y＝5.1；x＝2； 【思路分析】先根据乘法分配律把小括号去掉，再根据等式的性质1，把含未知数的项放在等号的左边，常数放在等号的右边，化简解方程即可。对于含除法的方程（0.6x＋420）÷（x＋20）＝3，首先转换成（0.6x＋420）＝3（x＋20）再计算。 【规范解答】3（3x－2）＝10－0.5（x＋3.5） 解：9x－6＝10－0.5x－1.75 9x＋0.5x＝10－1.75＋6 9.5x＝14.25 x＝1.5 （0.6x＋420）÷（x＋20）＝3 解：0.6x＋420＝3x＋60 2.4x＝360 x＝150 4（2y＋5）－3y＝7（y－5）＋4（2y＋1） 解：8y＋20－3y＝7y－35＋8y＋4 5y＋20＝15y－31 10y＝51 y＝5.1 3（x＋2）－4（x－1）＋2（3x－1）－18＝0 解：3x＋6－4x＋4＋6x－2－18＝0 5x＝10 x＝2 【考点评析】此题方程带有有括号比较复杂，需要先去小括号，需看准符号，认真计算。 2．（23-24六年级下·江苏徐州·期末）解方程或解比例。               x＋25%x＝62.5                 【答案】；； 【思路分析】（1）根据比例的基本性质，先将方程转化为，然后根据等式的性质2，方程两边同时除以12即可； （2）先将百分数化为小数，，然后化简还有的算式，再根据等式的性质2，方程两边同时除以的和即可； （3）先计算，然后根据等式的性质1，方程两边同时减去，再根据等式的性质2，方程两边同时乘即可。 【规范解答】（1） 解： （2） 解： （3） 解： 3．（20-21六年级上·江苏泰州·期末）光明小学六年级学生中女生占，后来又转来了15名女生，这样女生占六年级总人数的，六年级原来共有( )人。 【答案】360 【思路分析】首先根据题意，设六年级原来共有x人，则女生有x名；然后根据后来六年级的总人数是（x＋15）人，后来女生的人数＝后来六年级总人数×，列出方程，求出六年级原来共有多少人即可。 【规范解答】解：设六年级原来共有x人，则女生有x名。 x ＋15＝ （x＋15） x ＋15＝x＋×15 x－x＝15－9 x＝6 x＝6÷ x＝360 即六年级原来共有360人。 【考点评析】此题主要考查了分数乘法的意义的应用，以及方程的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键。 4．（22-23六年级上·江苏泰州·期中）六（6）班同学开班会，一位男同学上讲台数了一下人数，说台下男女生人数的比是3∶2，他下去后，又上来一位女同学数了一下，说台下男女生人数的比是5∶3，请问六（6）班有多少人？ 【答案】41人 【思路分析】假设六（6）班有x人，男同学上讲台时，台下有（x－1）人，台下男生占总人数的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法，表示出台下男生的人数，再加上1，即是男生的总人数；女同学上台时，台下有（x－1）人，台下男生占总人数的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法，表示出台下男生的人数，即男生的总人数，据此列出方程，解方程即可求出六（6）班的总人数。 【规范解答】解：设六（6）班有x人， （x－1）×＋1＝（x－1）× （x－1）×＋1＝（x－1）× x－＋1＝x－ x－＋1＝x－ x－x＝－＋1 x－x＝－＋ x＝ x＝÷ x＝41 答：六（6）班有41人。 【考点评析】此题主要考查比的应用，把六（6）班的总人数设为未知数x，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，解方程得到最终的结果。 5．（21-22五年级下·辽宁·单元测试）杭州到绍兴的路程是63千米，有甲、乙、丙三人，甲、乙从杭州，丙从绍兴同时出发，相向而行，甲、乙、丙三人每小时的速度分别为6.5千米，5.5千米，4.5千米。求出发后经过几小时，丙在甲、乙的中间。 【答案】6小时 【思路分析】设出发经过x小时，丙在甲、乙之间；甲x小时行6.5x千米，乙x小时行5.5x千米，丙x小时行4.5x千米；丙在甲、乙中间，用杭州到绍兴的路程减去乙和丙行驶的路程和，等于甲比乙多行驶的路程的一半，列方程：63－（5.5x＋4.5x）＝（6.5x－5.5x）÷2，列方程，即可解答。 【规范解答】解：设出发后经过x小时，丙在甲、乙的中间。 63－（5.5x＋4.5x）＝（6.5x－5.5x）÷2 63－10x＝x÷2 63－10x＝0.5x 10x＋0.5x＝63 10.5x＝63 x＝63÷10.5 x＝6 答：出发后经过6小时，丙在甲、乙的中间。 【考点评析】本题考查方程的实际的应用，根据三人的速度各不相同，以及行驶的路程，利用三人行驶的路程之间的关系，设出未知数，找出相关的量。列方程，解方程。 6．（23-24五年级下·辽宁·课后作业）带着小狗的小明和小兵同时从相距1200米的两地相向而行，小明每分行55米，小兵每分行65米，小狗每分跑240米。小明的小狗遇到小兵后立即返回向小明这边跑，遇到小明后再向小兵那边跑……当小明和小兵相遇时，小狗一共跑了多少米？ 【答案】2400米 【思路分析】根据题意可知，先设小明、小兵x分相遇，结合相遇公式：速度和×相遇时间＝全长，算出他们的相遇时间，再根据速度×时间＝路程这一公式，用相遇时间乘上小狗的速度即可算出答案。 【规范解答】解：设小明和小兵x分相遇。 （55＋65）x＝1200 120x＝1200 120x÷120＝1200÷120 x＝10 240×10＝2400（米） 答：小狗一共跑了2400米。 7．（22-23六年级下·河南周口·期中）晨光文具店用2400元进了一批排球和篮球，排球比篮球多15个，商店出售篮球的定价是20元，排球的定价比篮球增加20%，这批球售完后共获得利润820元。排球和篮球各有多少个？ 【答案】80个；65个 【思路分析】将篮球定价看作单位“1”，排球定价是篮球的（1＋20%），篮球定价×排球对应百分率＝排球定价，设篮球有x个，则排球有（x＋15）个，根据篮球定价×篮球个数＋排球定价×排球个数－总进价＝总利润，列出方程求出x的值是篮球个数，篮球个数＋15＝排球个数。 【规范解答】排球定价：20×（1＋20%） ＝20×1.2 ＝24（元） 解：设篮球有x个。 20x＋24×（x＋15）－2400＝820 20x＋24x＋360－2400＝820 44x－2040＝820 44x－2040＋2040＝820＋2040 44x＝2860 44x÷44＝2860÷44 x＝65 65＋15＝80（个） 答：排球和篮球各有80个、65个。 【考点评析】关键是确定单位“1”，先求出排球定价，理解单价、数量、总价之间的关系，用方程解决问题的关键是找到等量关系。 8．（23-24五年级下·江苏·课后作业）甲、乙两人同时从相距400米的两地出发，相向而行，甲每分钟行60米，乙每分钟行40米。甲带着一只狗，狗每分钟跑100米，这只狗与甲一起出发，碰到乙时调头跑向甲，碰到甲又调头跑向乙，直到两人相遇为止，这只狗一共跑了多少米？ 【答案】400米 【思路分析】狗奔跑的时间与甲乙两人相遇的时间相等，可设分钟后两人相遇。根据题意可列出方程：，解此方程求出甲乙相遇的时间，再根据路程＝速度×时间，求出狗跑的路程即可。 【规范解答】60x+40x＝400 x＝4 （米） 答：这只狗一共跑了400米。 【考点评析】本题考查相遇问题，解答本题的关键是理解狗奔跑的时间与甲乙两人相遇的时间相等。 9．（2019六年级·全国·竞赛）甲、乙两厂生产同一规格的上衣和裤子，甲厂每月用16天生产上衣，14天做裤子，共生产924套衣服（每套上衣、裤子各一件）；乙厂每月用12天生产上衣，18天生产裤子，共生产1296套衣服。两厂合并后，每月（按30天计算）最多能生产多少套衣服？ 【答案】2484套 【思路分析】用除法分别计算出每个厂生产上衣和裤子的速度，通过比较可知，甲厂生产的裤子速度快于甲厂生产上衣的速度，但是乙厂生产上衣和裤子的速度都比甲厂快，所以甲厂应专门生产裤子，剩余的衣裤由乙厂负责。设乙厂用x天生产裤子，用（30－x）天生产上衣，上衣的总数量等于裤子的总数量，根据数量关系：乙厂每天生产的裤子数量×乙厂生产裤子的天数＋甲厂每天生产的裤子数量×甲厂生产裤子的天数＝乙厂每天生产的上衣数量×乙厂生产上衣的天数，据此列方程为72x＋66×30＝108×（30－x），然后解出方程即可，然后求出乙厂生产多少件上衣，也就是生产多少套衣服。 【规范解答】甲厂每天生产上衣的数量：924÷16≈58（件） 乙厂每天生产上衣的数量：1296÷12＝108（件） 甲厂每天生产裤子的数量：924÷14＝66（条） 乙厂每天生产裤子的数量：1296÷18＝72（条） 58＜66＜72＜108 甲厂应专门生产裤子，剩余的衣裤由乙厂负责。 解：设乙厂用x天生产裤子，用（30－x）天生产上衣。 72x＋66×30＝108×（30－x） 72x＋1980＝108×（30－x） 72x＋1980＝3240－108x 72x＋108x＝3240－1980 180x＝1260 x＝1260÷180 x＝7 30－7＝23（天） 108×23＝2484（套） 答：每月（按30天计算）最多能生产2484套衣服。 【考点评析】本题可用列方程解决问题，关键是找出谁的生产效率最高，谁就尽可能做最多。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$