专题01 数的运算（七大高频考点+知识讲练+培优精练）-2024年小升初数学无忧衔接（苏科版2024）

专题01 数的运算 （七大高频考点+知识讲练+培优精练） 考点一：整数和分数的巧算 3 考点二：四则混合运算中的巧算 5 考点三：定义新运算 7 考点四：高斯取整和高斯求和 8 考点五：积和商的变化规律 9 考点六：循环小数和分数 10 考点七：分数与百分数的相关应用题（多重条件） 11 培优讲练 12 知识与技能目标 掌握数的四则运算（加、减、乘、除）的基本概念、运算法则及其基本性质。 理解加法、减法、乘法、除法的定义，并能正确运用其运算法则进行计算。 掌握分数、小数的概念，并能进行分数、小数的四则运算。 准确理解和使用运算符号（+、-、×、÷），并能读懂数学运算表达式。 能根据运算符号正确进行运算，理解运算的优先级和顺序。 掌握简单的四则运算技巧，如加减法口算、乘法口诀表等，提高计算速度和准确性。 能力目标 数的计算能力：能灵活运用四则运算进行简单的数学计算，提高解题能力。 解决问题能力：能运用数的四则运算解决实际生活中的计算问题，如购物、旅行等场景中的计算。 逻辑推理能力：能通过分析问题和运用数的运算进行正确的推理和判断。 小升初数学数的运算与初中数学在内容上存在明显的区别与联系 区别 数的范围与性质： 小升初数学：主要围绕整数、小数、分数的四则运算展开，强调基本的运算规则和方法。 初中数学：引入了有理数、无理数、实数等更广泛的数的概念，同时需要对数的性质（如相反数、绝对值、倒数等）有更深入的理解。 运算的复杂性： 小升初数学：数的运算相对简单，主要关注直接的四则运算和简单的混合运算。 初中数学：运算的复杂性增加，包括有理数的混合运算、整式的加减乘除、分式的运算等，同时还需要掌握运算的优先级和括号的使用。 符号与字母的使用： 小升初数学：虽然开始接触简单的代数概念，但主要仍以数的运算为主，较少使用符号和字母表示数。 初中数学：大量使用符号和字母表示数，进行代数运算，例如使用代数式表示数量关系、使用方程解决实际问题等。 思维方式： 小升初数学：主要侧重于直观思维和形象思维，通过具体的数和图形来理解数学概念。 初中数学：开始培养抽象思维和逻辑推理能力，需要理解更抽象的数学概念和规律，进行逻辑推理和证明。 联系 基础知识的延续：初中数学在数的运算上是对小升初数学的延续和深化，小升初数学所学的整数、小数、分数的四则运算规则和方法是初中数学学习的基础。 运算能力的提升：初中数学在数的运算上提高了难度和复杂度，要求学生通过更多的练习和思考提升运算能力，为后续的数学学习打下坚实的基础。 代数概念的引入：小升初数学虽然较少使用符号和字母表示数，但已经开始接触简单的代数概念，为初中数学学习代数知识做好了铺垫。 解题方法的拓展：初中数学在解题方法上比小升初数学更加多样和灵活，例如通过列方程解决实际问题、使用代数式进行推导等，这些方法在小升初数学的基础上进行了拓展和延伸。 考点一：整数和分数的巧算 整数四则运算 加法：合并两个或多个数的运算，遵循交换律和结合律，即a+b=b+a，a+b+c=a+(b+c)=(a+b)+c。 减法：减法是加法的逆运算，即a-b=a+(-b)。 乘法：求几个相同加数的和的简便运算，遵循交换律、结合律和分配律，即a×b=b×a，(a×b)×c=a×(b×c)，a×(b+c)=a×b+a×c。 除法：除法是乘法的逆运算，即a÷b=a×(1/b)。 整数巧算技巧 凑整法：通过添加或减去一个数，使原式中的某一部分变成整数，从而简化计算。 拆项法：将一个数拆分成易于计算的几个部分，再进行计算。 提取公因数法：在乘法运算中，提取出各个因数中共同的因子，简化计算。 分数的基本概念 分数是指两个整数之比，通常用表示，其中a为分子，b为分母（b≠0）。 分数的基本性质：分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 分数运算 分数加法：当分母相同时，直接相加分子；当分母不同时，先通分再相加。 分数减法：类似分数加法，只是相减分子。 分数乘法：分子乘分子，分母乘分母，然后化简。 分数除法：除以一个分数等于乘以这个分数的倒数。 分数巧算技巧 交叉相乘法：在分数乘除混合运算中，可以使用交叉相乘法来简化计算。 分数与小数的互化：当分数与小数混合运算时，可以先将它们互化为相同的数制（分数或小数），再进行计算。 分数拆分法：将一个分数拆分成两个或多个易于计算的分数之和或差，从而简化计算。 分数大小比较 通过比较分子和分母的大小关系来判断两个分数的大小。 使用通分法，将两个分数转化为同分母分数，然后比较分子大小。 【典例精讲】（2021•玉溪）求4+8+12+16的和，下面算式错误的是（　　） A．（4+16）÷2×4 B．16×4 C．（8+12）×2 D．20×2 【变式演练01】（2012•西城区自主招生）2.77，2.77，2.77，2.77，…2.77，2.77这20个数的整数部分的和是多少？ 【变式演练02】（2023•宛城区）（1）1.251125% （2） [（]÷32 （3）0.5×[]+（） 【变式演练03】（2023•卧龙区）1+357911131517 考点二：四则混合运算中的巧算 四则混合运算的基本规则 运算顺序： 同级运算时，从左到右依次计算； 两级运算时，先算乘除，后算加减； 有括号时，先算括号里面的，再算括号外面的；有多层括号时，先算小括号里的，再算中括号里面的，最后算大括号里面的。 括号运算：括号里的运算，仍按照先乘除，后加减，同级运算从左到右的顺序进行计算。 巧算技巧 凑整法：观察数字特点，运用加法和乘法的定律以及减法和除法的性质，凑成整千、整百、整十的数，直接进行简便运算。 例如：3643-74+6357-126，通过凑整法，可以简化为(3643+6357)-(74+126)。 交换律和结合律：在连乘或连除的算式中，应用乘法的交换律和结合律，先算能凑成整数的乘积，使计算简便。例如：125×25×4×8，可以先算125×8和25×4，得到整千、整百的数，再进行计算。 连除的运算规律： 在连除的算式中，可以将除数相乘凑成整百或整十的数，再用被除数除以这个数，使计算简便。 例如：1400÷25÷4，可以先算25×4，再用1400除以这个数。 分步计算： 对于较复杂的算式，可以采用分步计算的方法，先计算一部分，再与剩下的部分进行运算。 例如：484+250×，可以先算250×，再将结果与484相加。 注意事项 在运算过程中，要注意运算顺序，遵循先乘除后加减、先括号内后括号外的原则。 在运用巧算技巧时，要注意观察数字的特点和运算的规律，灵活运用各种运算定律和性质。 在计算过程中，要保持细心和耐心，避免因粗心导致的错误。 【典例精讲】（2022•锦江区）脱式计算。 [3.14+（3.14﹣3.14）×3.14]÷3.14 1 【变式演练】（2021•黔江区）计算 （1）6﹣[（）÷1.2] （2）4.52×1.5+4.481.5 （3） [（77）×（1）﹣1.5]÷0.2 （4） [1﹣（1﹣0.5）]×12+27÷214×49×12 （5）7+14+21+28+…+777+784 （6） 考点三：定义新运算 定义新运算的基本概念 定义新运算是指用一个特殊的符号（如⊕、△、⊙等）和已知运算表达式相结合，来表示一种全新的运算形式。这种新定义的运算形式与常规的四则运算（加、减、乘、除）不同，它们在不同的题目中往往拥有不同的运算规则。 解题方法与步骤 理解新定义：首先，需要正确理解题目中给出的新运算定义，明确新运算符号所代表的运算规则。 代入数值：根据新定义的运算规则，将题目中给出的具体数值代入到表达式中。 进行计算：按照新定义的运算规则，将代入数值后的表达式转化为常规的四则运算算式进行计算。 注意括号：如果算式中有括号，需要按照运算法则先计算括号里面的内容，得到结果后再进行下一步的计算。 【典例精讲】（2023•高邮市）为了确保通讯安全，信息需要加密传输。现规定加密规则如下：（a，b）加密变成（a2，2a+b）。（4，5）加密后是（ 　 　，　 　）；（ 　 　，　 　）加密后（49，20）。 【变式演练】（2023•扬中市）我们已经学过加、减、乘、除这四种运算，如果用“◎”表示一种新运算，其意义是m◎n＝3mn，那么4◎2＝　。 考点四：高斯取整和高斯求和 高斯取整 1. 基本概念 高斯取整（通常也称为整数部分取整或向下取整）是指找到不大于给定数x的最大整数，通常记作⌊x⌋。例如，⌊3.14⌋ = 3，⌊-2.7⌋ = -3。 2. 性质 对于任意实数x，都有x-1 < ⌊x⌋ ≤ x。 若x为整数，则⌊x⌋ = x。 ⌊x+n⌋ = ⌊x⌋ + n，其中n为整数，且x+n不为负数。 3. 应用 高斯取整在解决一些实际问题时非常有用，如计算某个数能分成多少个完整的单位（如绳子能截成多少个一米长的小段）。 高斯求和 1. 基本概念 高斯求和是指使用一种巧妙的方法来计算等差数列的和。德国数学家高斯在童年时就发现了这种方法，用于快速计算1到100（或任何等差数列）的和。 2. 高斯求和公式 对于等差数列，首项为a，末项为l，项数为n，其和S可以通过以下公式计算： S = (a + l) × n ÷ 2 或者，如果知道首项a、公差d和项数n，则可以使用以下公式： S = × [2a + (n-1)d] 3. 推导过程 高斯发现，等差数列中的数可以两两配对，每对的和都是相等的。例如，在1到100的数列中，1和100配对，2和99配对，依此类推，直到50和51配对。每对的和都是101，总共有50对，所以总和是50 × 101 = 5050。 4. 应用 高斯求和公式在解决等差数列求和问题时非常有用，它大大简化了计算过程，使计算变得更加高效和准确。 【典例精讲】（2023•林芝市）我们学过+、﹣、×、÷这四种运算．现在规定“*”是一种新的运算．A*B表示2A﹣B．如：4*3＝4×2﹣3＝5．那么9*6＝ 　． 【变式演练01】（2023•锦州）如果我们定义，[x]表示取数x的整数部分，如[6.58]＝6，若x＝9.12，则[x]+[2x]＝　 　. 【变式演练02】（2021•宁波模拟）以[x]表示不大于x的最大整数，那么，满足[1.9x]+[8.8y]＝36的自然数x，y的值共有　 　组． 【变式演练03】（2021•上城区）10+11+12+……+19的和为（　　） A．135 B．145 C．155 D．165 考点五：积和商的变化规律 积的变化规律 当两个数相乘时，如果一个因数扩大（或缩小）N倍（N为非0自然数），而另一个因数不变，那么它们的积也扩大（或缩小）N倍。 当两个数相乘时，如果一个因数扩大a倍，另一个因数扩大b倍，那么它们的积就扩大a×b倍。 如果两个数相乘时，一个因数扩大了N倍，而另一个因数缩小了N倍，那么它们的积不变。 商的变化规律 在除法算式中，如果被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数（0除外），那么商不变。 如果被除数不变，除数扩大多少倍，商就缩小相同的倍数；反之，除数缩小多少倍，商就扩大相同的倍数。 如果除数不变，被除数扩大（或缩小）多少倍，商也扩大（或缩小）相同的倍数。 【典例精讲】（2022•顺德区）在横线里填上“＞”、“＜”或“＝” 　 　 6.98×1.01 　 　6.98 【变式演练01】．（2023•西平县）甲数÷乙数＝24……30，如果甲数和乙数同时缩小到原来的，那么此时的余数是（　　） A．10 B．30 C．90 D．无法确定 【变式演练02】（2023•嘉鱼县）如果A÷B＝62……5，则（A×100）÷（B×100）＝62……5。 　 　（判断对错） 考点六：循环小数和分数 分数与循环小数的关系 纯循环小数可以改写为分数形式，其分子是一个循环节的数字组成的数，分母各位数字都是9，9的个数与循环节中的数字的个数相同。 混循环小数改写为分数时，分子是不循环部分与第一个循环节连成的数字组成的数减去不循环部分数字组成的数之差，分母的头几位数字是9，末几位数字是0，9的个数跟循环节的数位相同，0的个数跟不循环部分的数位相同。 实际应用 分数在日常生活和数学计算中有着广泛的应用，例如在测量、比例分配、计算概率等方面。循环小数则经常出现在除法运算和无限不循环小数的近似表示中。 【典例精讲】（2023•麒麟区）已知，小数点后第50位上的数是 　 。 【变式演练】（2022•醴陵市）用下面的方法可以把循环小数0.化成分数：设0.666……＝x则10x＝6.666……，可得方程10x﹣x＝6，解得x＝即0.。参考上面的方法，把0.化成分数是 　。 考点七：分数与百分数的相关应用题（多重条件） 【典例精讲】（2023•临海市）如图，一个长方形遮住了甲、乙两条线段的一部分，下面说法中正确的有（　　）句。 ①甲、乙两条线段被长方形遮住部分的长度相等。 ②甲、乙两条线段的长度比是4：5。 ③乙线段的长度比甲线段长20%。 ④乙线段被长方形遮住部分是露出部分的。 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式演练01】（2022•揭西县）一艘轮船以每时40千米的速度从甲港开往乙港，行了全程的20%后，又行了时，此时未行路程与已行路程的比是3：1，甲、乙两港相距多少千米？ 【变式演练02】（2024•九龙坡区）一项工程，甲单独做要15天完成，乙单独做要30天完成，丙单独做要45天完成。现在三队合作，中途甲休息了2天，乙体息了4天，丙体息了9天。完成这项工程共需多少天？ 【变式演练03】（2022•江北区）甲、乙两种商品成本共250元，甲种商品按30%的利润定价，乙种商品按20%的利润定价．后来应顾客要求，两种商品都按定价的九折出售，仍可获利33.5元．问：甲种商品的成本是多少元？ 培优讲练 1．（2022•广州）． 2．（2023•曹县）再加上（　　）的结果是1． A． B． C． D． 3．（2023•北碚区）计算题。 （1）4.6 （2）36÷[（）×3] （3） [1]×4.8 （4 ）]] （5）81.25×420%﹣5÷4 （6）9.75+99.75+999.75+9999.75 （7）29×12+29×13+29×25+29×10 （8）1997÷19971÷1999 （9） （10） 4．（2019春•成都月考）你一定知道小高斯快速求出：1+2+3+4+5+…+n＝　 　．请你继续观察：13＝12，13+23＝32，13+23+33＝62，13+23+33+43＝102，…，求出：13+23+33+…+n3＝　 　． 6．（2023•洋县）两个数相除商80余20，如果被除数和除数同时缩小到原来的，那么商是 　 　，余数是 　 。 7．（2022•苍南县）阅读与理解：用下面的方法可以把循环小数0.化成分数：设0.6666…＝x， 10x＝6.6666……，可得方程：10x﹣x＝6，解得x，即0..参考以上方法，解决下面的问题。 （1）把0.化成分数。 （2）把0.化成分数。 （3）把5.2化成分数。 （4）通过阅读，解题，你有什么发现与收获吗？ 8．（2022•綦江区）从两个重量分别为12千克和8千克，且含铜的百分数不同的合金上切下重量相等的两块，把所切下的每块和另一块剩余的合金放在一起，熔炼后两个合金含铜的百分数相等。求：所切下的合金的重量是多少千克？ 9．（2022•长沙）如今网络团购已经走进我们的生活。聪聪一家星期天去某湘菜馆就餐，这家湘菜馆可以使用团购代金券，每张代金券售价70元，可抵100元消费，每次最多使用2张，多余部分不找零钱，不足部分用现金补齐。若不使用代金券，则直接享受八折优惠。 （1）聪聪一家在这家湘菜馆消费260元，若尽量多的使用代金券，需要支付多少元？（包括购买代金券所支付的钱） （2）如果聪聪一家在这家湘菜馆消费，不管是否使用代金券，需要支付的钱数都是同样多（若使用代金券，应包括购买代金券支付的钱）。聪聪一家消费的金额可能是 　元。 10．（2023•嘉祥县）一个三角形三个内角度数之比为2：5：2，这个三角形中最大的一个内角是 　100　°；如果把三角形按边进行分类，它属于 　 　三角形． 11．（2023•武陵区）某服装工厂生产一批衣服，甲车间单独生产需要12天完成，乙车间单独生产需要30天完成。甲车间单独生产几天后由于机器故障剩下的衣服全部由乙车间单独生产，从开始到完成生产共用15天。甲车间单独生产了几天？（列方程解） 12．（2022•渝中区）有一批服装，按80%的利润定价，当售出这批服装的60%以后，决定换季减价出售，剩下的服装全部按定价打七五折出售，这批服装全部售完后，实际可获利（　　） A．62% B．60% C．48% D．45% 13．（2022•西安）李明的爸爸经营一个水果店，按开始定的价，每卖出1千克水果可获利0.2元，后来李明建议爸爸降价销售，结果降价后每天的销售量增加了1倍，每天的获利也比原来增加50%．每千克水果降价 　 　元． 14．（2023•宜丰县）用500克浓度为70%的酒精溶液与300克浓度为50%的酒精溶液混合后得到的酒精溶液的浓度为（　　） A．62.5% B．60% C．55% D．65% 15．（2022•江北区）从两块分别重10千克和15千克且含铜百分比不同的合金上切下质量相同的一块，再把切下的那一块与另一块后剩余的部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等，则切下的那一块质量是多少千克？ 、 16．（2023•北碚区）把浓度为20%、30%、45%的三种酒精溶液混合在一起，得到浓度为35%的酒精溶液45升，已知浓度为20%的酒精用量是浓度30%的酒精溶液用量的3倍，原来每种浓度的酒精溶液各用了多少L？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 数的运算 （七大高频考点+知识讲练+培优精练） 考点一：整数和分数的巧算 3 考点二：四则混合运算中的巧算 6 考点三：定义新运算 11 考点四：高斯取整和高斯求和 13 考点五：积和商的变化规律 15 考点六：循环小数和分数 17 考点七：分数与百分数的相关应用题（多重条件） 18 培优讲练 21 知识与技能目标 掌握数的四则运算（加、减、乘、除）的基本概念、运算法则及其基本性质。 理解加法、减法、乘法、除法的定义，并能正确运用其运算法则进行计算。 掌握分数、小数的概念，并能进行分数、小数的四则运算。 准确理解和使用运算符号（+、-、×、÷），并能读懂数学运算表达式。 能根据运算符号正确进行运算，理解运算的优先级和顺序。 掌握简单的四则运算技巧，如加减法口算、乘法口诀表等，提高计算速度和准确性。 能力目标 数的计算能力：能灵活运用四则运算进行简单的数学计算，提高解题能力。 解决问题能力：能运用数的四则运算解决实际生活中的计算问题，如购物、旅行等场景中的计算。 逻辑推理能力：能通过分析问题和运用数的运算进行正确的推理和判断。 小升初数学数的运算与初中数学在内容上存在明显的区别与联系 区别 数的范围与性质： 小升初数学：主要围绕整数、小数、分数的四则运算展开，强调基本的运算规则和方法。 初中数学：引入了有理数、无理数、实数等更广泛的数的概念，同时需要对数的性质（如相反数、绝对值、倒数等）有更深入的理解。 运算的复杂性： 小升初数学：数的运算相对简单，主要关注直接的四则运算和简单的混合运算。 初中数学：运算的复杂性增加，包括有理数的混合运算、整式的加减乘除、分式的运算等，同时还需要掌握运算的优先级和括号的使用。 符号与字母的使用： 小升初数学：虽然开始接触简单的代数概念，但主要仍以数的运算为主，较少使用符号和字母表示数。 初中数学：大量使用符号和字母表示数，进行代数运算，例如使用代数式表示数量关系、使用方程解决实际问题等。 思维方式： 小升初数学：主要侧重于直观思维和形象思维，通过具体的数和图形来理解数学概念。 初中数学：开始培养抽象思维和逻辑推理能力，需要理解更抽象的数学概念和规律，进行逻辑推理和证明。 联系 基础知识的延续：初中数学在数的运算上是对小升初数学的延续和深化，小升初数学所学的整数、小数、分数的四则运算规则和方法是初中数学学习的基础。 运算能力的提升：初中数学在数的运算上提高了难度和复杂度，要求学生通过更多的练习和思考提升运算能力，为后续的数学学习打下坚实的基础。 代数概念的引入：小升初数学虽然较少使用符号和字母表示数，但已经开始接触简单的代数概念，为初中数学学习代数知识做好了铺垫。 解题方法的拓展：初中数学在解题方法上比小升初数学更加多样和灵活，例如通过列方程解决实际问题、使用代数式进行推导等，这些方法在小升初数学的基础上进行了拓展和延伸。 考点一：整数和分数的巧算 整数四则运算 加法：合并两个或多个数的运算，遵循交换律和结合律，即a+b=b+a，a+b+c=a+(b+c)=(a+b)+c。 减法：减法是加法的逆运算，即a-b=a+(-b)。 乘法：求几个相同加数的和的简便运算，遵循交换律、结合律和分配律，即a×b=b×a，(a×b)×c=a×(b×c)，a×(b+c)=a×b+a×c。 除法：除法是乘法的逆运算，即a÷b=a×(1/b)。 整数巧算技巧 凑整法：通过添加或减去一个数，使原式中的某一部分变成整数，从而简化计算。 拆项法：将一个数拆分成易于计算的几个部分，再进行计算。 提取公因数法：在乘法运算中，提取出各个因数中共同的因子，简化计算。 分数的基本概念 分数是指两个整数之比，通常用表示，其中a为分子，b为分母（b≠0）。 分数的基本性质：分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 分数运算 分数加法：当分母相同时，直接相加分子；当分母不同时，先通分再相加。 分数减法：类似分数加法，只是相减分子。 分数乘法：分子乘分子，分母乘分母，然后化简。 分数除法：除以一个分数等于乘以这个分数的倒数。 分数巧算技巧 交叉相乘法：在分数乘除混合运算中，可以使用交叉相乘法来简化计算。 分数与小数的互化：当分数与小数混合运算时，可以先将它们互化为相同的数制（分数或小数），再进行计算。 分数拆分法：将一个分数拆分成两个或多个易于计算的分数之和或差，从而简化计算。 分数大小比较 通过比较分子和分母的大小关系来判断两个分数的大小。 使用通分法，将两个分数转化为同分母分数，然后比较分子大小。 【典例精讲】（2021•玉溪）求4+8+12+16的和，下面算式错误的是（　　） A．（4+16）÷2×4 B．16×4 C．（8+12）×2 D．20×2 【思路点拨】观察4、8、12、16，可以看出这一组数是相差为4的连续的自然数，可知它的特点就第一个数加第四个数的和等于第二个数加第三个数的和，根据这个特点进行简便运算。 【规范解答】解：A.（4+16）÷2可以算出四个数的平均数，再乘4可以算出4、8、12、16的和；所以选项正确； B.16×4是4个16相加的和，不符合题干的算式，所以错误； C.8+12＝4+16，所以（8+12）×2就是4+8+12+16的和，所以正确； D.因为8+12＝4+16＝20，所以20×2就是4+8+12+16的和，所以正确。 故选：B。 【考点评析】此题需要学生找到算式的规律，然后进行简便运算。 【变式演练01】（2012•西城区自主招生）2.77，2.77，2.77，2.77，…2.77，2.77这20个数的整数部分的和是多少？ 【思路点拨】要求20个数的整数部分，那么先要看这20个数中，整数部分各为多少，因为最大肯定不超过3，所以只有2、3这两种情况，所以就转换成了这20个数中，有几个整数部分是2，几个是3．然后分类计算，得出结果． 【规范解答】解：因为1﹣0.77＝0.23，又因为0.23，0.23，所以整数部分为2的有5个，3的有15个． 所以：2×5+3×15＝55； 答：这20个数的整数部分的和是55． 【考点评析】此题考查学生仔细观察、寻找最佳解决途径，进行分类计算的能力． 【变式演练02】（2023•宛城区）（1）1.251125% （2）[（]÷32 （3）0.5×[]+（） 【思路点拨】（1）1.251125%，利用乘法分配律进行简便运算； （2）[（]÷32，先把小括号里提取7，然后把剩下的分数进行拆分，拆分成两个分数相减的形式，由此计算； （3）0.5×[]+（）观察题中算式可知，以此类推进行计算即可。 【规范解答】解：（1）1.251125% ＝1.251.25﹣1.25 ＝1.25×（1） ＝1.25×1 ＝1.25 （2）[（]÷32 ＝[7（]÷32 ＝[7（）]÷32 ＝[7×（）÷32 ＝[7]÷32 （3）0.5×[]+（） ＝0.5×[]+（1） ＝0.5×[]+（1） 1﹣0.1 ＝3.2+1﹣0.1 ＝4.1 【考点评析】本题考查的是分数的简便运算的应用。 【变式演练03】（2023•卧龙区）1+357911131517 【思路点拨】整数部分利用高斯求和公式计算，分数部分列项相消后即可简便运算。 【规范解答】解：1+357911131517 ＝1+3+5+7+9+11+13+15+17+（） ＝（1+17）×9÷2+（） ＝18÷2×9+（） ＝81 ＝81 【考点评析】本题考查了分数的简便运算方法。 考点二：四则混合运算中的巧算 四则混合运算的基本规则 运算顺序： 同级运算时，从左到右依次计算； 两级运算时，先算乘除，后算加减； 有括号时，先算括号里面的，再算括号外面的；有多层括号时，先算小括号里的，再算中括号里面的，最后算大括号里面的。 括号运算：括号里的运算，仍按照先乘除，后加减，同级运算从左到右的顺序进行计算。 巧算技巧 凑整法：观察数字特点，运用加法和乘法的定律以及减法和除法的性质，凑成整千、整百、整十的数，直接进行简便运算。 例如：3643-74+6357-126，通过凑整法，可以简化为(3643+6357)-(74+126)。 交换律和结合律：在连乘或连除的算式中，应用乘法的交换律和结合律，先算能凑成整数的乘积，使计算简便。例如：125×25×4×8，可以先算125×8和25×4，得到整千、整百的数，再进行计算。 连除的运算规律： 在连除的算式中，可以将除数相乘凑成整百或整十的数，再用被除数除以这个数，使计算简便。 例如：1400÷25÷4，可以先算25×4，再用1400除以这个数。 分步计算： 对于较复杂的算式，可以采用分步计算的方法，先计算一部分，再与剩下的部分进行运算。 例如：484+250×，可以先算250×，再将结果与484相加。 注意事项 在运算过程中，要注意运算顺序，遵循先乘除后加减、先括号内后括号外的原则。 在运用巧算技巧时，要注意观察数字的特点和运算的规律，灵活运用各种运算定律和性质。 在计算过程中，要保持细心和耐心，避免因粗心导致的错误。 【典例精讲】（2022•锦江区）脱式计算。 [3.14+（3.14﹣3.14）×3.14]÷3.14 1 【思路点拨】第1题，中括号内的减数部分可以使用乘法分配律进行简算，其余按四则混合运算顺序进行计算即可； 第2题，将中括号内的除以改写成乘，再灵活运用乘法分配律、加法结合律、乘法结合律等进行简算； 第3题，按运算顺序进行计算，注意相同的数相减差是0，0与任何数的积为0，一个数加上0，和就是本身，相同的数（0除外）相除商是1； 第4题，先把除以2.5改写为乘，0.4改写为，2除以5写出分数商，再运用乘法分配律进行简算； 第5题，按四则混合运算顺序进行计算即可； 第6题，各加数的分母分别是2与3的积、3与4的积、4与5的积、5与6的积……49与50的积、50与51的积，共49个加数，每个加数的分子比分母小1，据此先把每个分数改写为1减一个分子为1的真分数，再用49个1的和减（），因为分子为1，分母为相邻两个正整数的积的分数等于这两个正整数的倒数的差，所以。 【规范解答】解： ＝[6﹣（3030）]÷（） ＝[6﹣（2）] ＝[] ＝[20.14×（2）+20.14]×（） ＝20.14×（2） ＝20.14×（2） ＝20.14×3 ＝20.14×2 ＝40.28 [3.14+（3.14﹣3.14）×3.14]÷3.14 ＝[3.14+0×3.14]÷3.14 ＝[3.14+0]÷3.14 ＝3.14÷3.14 ＝1 ＝321 （321） 5 ＝2 1 ＝1[7（2）÷2] ＝1[73÷2] ＝1[71] ＝16 ＝11 ＝（1）+（1）+（1）+（1）+……+（1）+（1） ＝49﹣（） ＝49﹣（） ＝49﹣（） ＝49 ＝48 【考点评析】解答分数四则混合运算，首先要掌握分数四则计算的方法，并能细心计算，其次要掌握四则混合运算的顺序，第三要能灵活运用运算定律和性质进行简便运算，使计算快捷、准确。 【变式演练】（2021•黔江区）计算 （1）6﹣[（）÷1.2] （2）4.52×1.5+4.481.5 （3）[（77）×（1）﹣1.5]÷0.2 （4）[1﹣（1﹣0.5）]×12+27÷214×49×12 （5）7+14+21+28+…+777+784 （6） 【思路点拨】按照四则运算的顺序进行计算，能简便的可以用简便计算。 【规范解答】解：（1）6﹣[（）÷1.2] ＝6﹣[（）] ＝6 ＝6 ＝5 （2）4.52×1.5+4.481.5 ＝4.52×1.5+4.48×1.5﹣1.5 ＝（4.52+4.48﹣1）×1.5 ＝8×1.5 ＝12 （3）[（77）×（1）﹣1.5]÷0.2 ＝[（77）1.5）÷0.2 ＝（771.5）÷0.2 ＝（44+0.5﹣1.5）÷0.2 ＝43÷0.2 ＝215 （4）[1﹣（1﹣0.5）]×12+27÷214×49×12 ＝（1﹣1）×12+2749×1212 12 ＝2+175 ＝177 （5）7+14+21+28+…+777+784 ＝7+2×7+3×7+4×7+…+111×7+112×7 ＝7×（1+2+3+…+111+112） ＝7×113×56 ＝44296 （6） ＝（90）（40）（70） ＝904070 ＝50+1+30+1+40+1 ＝123 【考点评析】此题主要是考查了学生的计算能力，能简便的要简便运算，计算时需认真仔细。 考点三：定义新运算 定义新运算的基本概念 定义新运算是指用一个特殊的符号（如⊕、△、⊙等）和已知运算表达式相结合，来表示一种全新的运算形式。这种新定义的运算形式与常规的四则运算（加、减、乘、除）不同，它们在不同的题目中往往拥有不同的运算规则。 解题方法与步骤 理解新定义：首先，需要正确理解题目中给出的新运算定义，明确新运算符号所代表的运算规则。 代入数值：根据新定义的运算规则，将题目中给出的具体数值代入到表达式中。 进行计算：按照新定义的运算规则，将代入数值后的表达式转化为常规的四则运算算式进行计算。 注意括号：如果算式中有括号，需要按照运算法则先计算括号里面的内容，得到结果后再进行下一步的计算。 【典例精讲】（2023•高邮市）为了确保通讯安全，信息需要加密传输。现规定加密规则如下：（a，b）加密变成（a2，2a+b）。（4，5）加密后是（ 　16　，　13　）；（ 　7　，　6　）加密后（49，20）。 【思路点拨】根据“（a，b）加密变成（a2，2a+b）”，将a＝4，b＝5代入求值即可；同理，解答后面的填空。 【规范解答】解：当a＝4，b＝5时， 42＝16 2×4+5＝13 所以，（4，5）加密后是（16，13）； a2＝49，则a＝7； 20﹣2×7 ＝20﹣14 ＝6 所以，（7，6）加密后是（49，20）。 故答案为：16，13；7，6。 【考点评析】解答本题的关键是知道新运算的算理及计算方法。 【变式演练】（2023•扬中市）我们已经学过加、减、乘、除这四种运算，如果用“◎”表示一种新运算，其意义是m◎n＝3mn，那么4◎2＝　　。 【思路点拨】根据规定的运算法则进行计算即可。 【规范解答】解：4◎2 ＝3×42 ＝12 故答案为：。 【考点评析】解答此题的关键是，根据所给出的等式找出新的运算方法，再根据新的运算方法解决问题。 考点四：高斯取整和高斯求和 高斯取整 1. 基本概念 高斯取整（通常也称为整数部分取整或向下取整）是指找到不大于给定数x的最大整数，通常记作⌊x⌋。例如，⌊3.14⌋ = 3，⌊-2.7⌋ = -3。 2. 性质 对于任意实数x，都有x-1 < ⌊x⌋ ≤ x。 若x为整数，则⌊x⌋ = x。 ⌊x+n⌋ = ⌊x⌋ + n，其中n为整数，且x+n不为负数。 3. 应用 高斯取整在解决一些实际问题时非常有用，如计算某个数能分成多少个完整的单位（如绳子能截成多少个一米长的小段）。 高斯求和 1. 基本概念 高斯求和是指使用一种巧妙的方法来计算等差数列的和。德国数学家高斯在童年时就发现了这种方法，用于快速计算1到100（或任何等差数列）的和。 2. 高斯求和公式 对于等差数列，首项为a，末项为l，项数为n，其和S可以通过以下公式计算： S = (a + l) × n ÷ 2 或者，如果知道首项a、公差d和项数n，则可以使用以下公式： S = × [2a + (n-1)d] 3. 推导过程 高斯发现，等差数列中的数可以两两配对，每对的和都是相等的。例如，在1到100的数列中，1和100配对，2和99配对，依此类推，直到50和51配对。每对的和都是101，总共有50对，所以总和是50 × 101 = 5050。 =4. 应用 高斯求和公式在解决等差数列求和问题时非常有用，它大大简化了计算过程，使计算变得更加高效和准确。 【典例精讲】（2023•林芝市）我们学过+、﹣、×、÷这四种运算．现在规定“*”是一种新的运算．A*B表示2A﹣B．如：4*3＝4×2﹣3＝5．那么9*6＝　12　． 【思路点拨】由题中条件“A*B表示2A﹣B．如：4*3＝4×2﹣3＝5”，可依此类推出9*6＝9×2﹣6，算出结果即可． 【规范解答】解：9*6＝9×2﹣6＝12； 故答案为12． 【考点评析】此题是考查学生依此类推的能力，要注意找出规律，根据规律列式． 【变式演练01】（2023•锦州）如果我们定义，[x]表示取数x的整数部分，如[6.58]＝6，若x＝9.12，则[x]+[2x]＝　27　. 【思路点拨】根据题意，若x＝9.12，则[x]＝9，[2x]＝[2×9.12]＝[18.24]，据此计算出结果即可。 【规范解答】解：[x]+[2x]＝[9.12]+[2×9.12] ＝9+[18.24] ＝9+18 ＝27 故答案为：27。 【考点评析】解答本题要注意取整并不是根据“四舍五入”法则取近似值，而是直接将小数部分舍去，只取整数部分。 【变式演练02】（2021•宁波模拟）以[x]表示不大于x的最大整数，那么，满足[1.9x]+[8.8y]＝36的自然数x，y的值共有　4　组． 【思路点拨】显然0≤y≤4（否则等式左边＞36），当y＝0时，有 x＝19．当y＝1时，有x＝15；当y＝2时，x＝10；当y＝3时，x不存在；当y＝4时，x＝1． 【规范解答】解：x最小是1，此时[1.9x]＝[1.9]＝1，此时[8.8y]≤36﹣1＝35，由于8.8×4＝35.2，8.8×5＝44，所以y≤4， 所以满足[1.9x]+[8.8y]＝36的自然数x，x的值共有4组． y＝0，x＝19， y＝1，x＝15； y＝2，x＝10； y＝3，x无解； y＝4，x＝1． 答：满足[1.9x]+[8.8y]＝36的自然数x，y的值共有，4组． 故答案为：4． 【考点评析】采用枚举法解决问题． 【变式演练03】（2021•上城区）10+11+12+……+19的和为（　　） A．135 B．145 C．155 D．165 【思路点拨】根据高斯求和公式：数列和＝（首项+末项）×项数÷2解答即可。 【规范解答】解：（10+19）×10÷2 ＝29×5 ＝145 故选：B。 【考点评析】高斯求和相关公式：末项＝首项+（项数﹣1）×公差，项数＝（末项﹣首项）÷公差+1，首项＝末项﹣（项数﹣1）×公差，数列和＝（首项+末项）×项数÷2。 考点五：积和商的变化规律 积的变化规律 当两个数相乘时，如果一个因数扩大（或缩小）N倍（N为非0自然数），而另一个因数不变，那么它们的积也扩大（或缩小）N倍。 当两个数相乘时，如果一个因数扩大a倍，另一个因数扩大b倍，那么它们的积就扩大a×b倍。 如果两个数相乘时，一个因数扩大了N倍，而另一个因数缩小了N倍，那么它们的积不变。 商的变化规律 在除法算式中，如果被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数（0除外），那么商不变。 如果被除数不变，除数扩大多少倍，商就缩小相同的倍数；反之，除数缩小多少倍，商就扩大相同的倍数。 如果除数不变，被除数扩大（或缩小）多少倍，商也扩大（或缩小）相同的倍数。 【典例精讲】（2022•顺德区）在横线里填上“＞”、“＜”或“＝” 　＜　 6.98×1.01 　＞　6.98 【思路点拨】一个数（0除外）乘一个小于1的数，积小于原数；一个数（0除外）除以一个小于1的数，商大于原数；一个数（0除外）乘一个大于1的数，积大于原数。 【规范解答】解：因为1，所以，，所以； 因为1.01＞1，所以6.98×1.01＞6.98 故答案为：＜，＞。 【考点评析】熟练掌握积的变化规律和商的变化规律是解题的关键。 【变式演练01】．（2023•西平县）甲数÷乙数＝24……30，如果甲数和乙数同时缩小到原来的，那么此时的余数是（　　） A．10 B．30 C．90 D．无法确定 【思路点拨】被除数和除数都乘或除以一个相同的数（0除外），商不变，余数也同时乘或除以一个相同的数（0除外）。据此判断即可。 【规范解答】解：甲数÷乙数＝24……30，如果甲数和乙数同时缩小到原来的，那么此时的余数是3010。 故选：A。 【考点评析】熟练掌握商的变化规律是解题的关键。 【变式演练02】（2023•嘉鱼县）如果A÷B＝62……5，则（A×100）÷（B×100）＝62……5。 　×　（判断对错） 【思路点拨】被除数和除数都乘或除以一个相同的数（0除外），商不变，余数也同时乘或除以一个相同的数（0除外）。据此判断即可。 【规范解答】解：如果A÷B＝62……5，则（A×100）÷（B×100）＝62……500。 所以原题说法错误。 故答案为：×。 【考点评析】熟练掌握商的变化规律是解题的关键。 考点六：循环小数和分数 分数与循环小数的关系 纯循环小数可以改写为分数形式，其分子是一个循环节的数字组成的数，分母各位数字都是9，9的个数与循环节中的数字的个数相同。 混循环小数改写为分数时，分子是不循环部分与第一个循环节连成的数字组成的数减去不循环部分数字组成的数之差，分母的头几位数字是9，末几位数字是0，9的个数跟循环节的数位相同，0的个数跟不循环部分的数位相同。 实际应用 分数在日常生活和数学计算中有着广泛的应用，例如在测量、比例分配、计算概率等方面。循环小数则经常出现在除法运算和无限不循环小数的近似表示中。 【典例精讲】（2023•麒麟区）已知，小数点后第50位上的数是 　4　。 【思路点拨】根据循环小数的认识，142857为一个循环，用50除以循环节中数字的个数，看余数是几，就从前往后数几，即为小数点后第50位上的数。 【规范解答】解：50÷6＝8……2 答：小数点后第50位上的数是4。 故答案为：4。 【考点评析】本题考查循环小数的认识以及周期现象中的规律。 【变式演练】（2022•醴陵市）用下面的方法可以把循环小数0.化成分数：设0.666……＝x则10x＝6.666……，可得方程10x﹣x＝6，解得x＝即0.。参考上面的方法，把0.化成分数是 　　。 【思路点拨】设0.x，表示出10x，相减求出x的值即可。 【规范解答】解：设x＝0.，则10x＝5.， 可得10x﹣x＝5.0.5 解得 x 故答案为：。 【考点评析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解本题的关键。 考点七：分数与百分数的相关应用题（多重条件） 【典例精讲】（2023•临海市）如图，一个长方形遮住了甲、乙两条线段的一部分，下面说法中正确的有（　　）句。 ①甲、乙两条线段被长方形遮住部分的长度相等。 ②甲、乙两条线段的长度比是4：5。 ③乙线段的长度比甲线段长20%。 ④乙线段被长方形遮住部分是露出部分的。 A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】观察图可知：甲的与乙的相等，设甲的长度是1，用1乘求出甲的，再除以，求出乙的长度，然后结合4种说法，逐个判断，找出正确的说法即可求解。 【规范解答】解：设甲的长度是1，则乙的长度是： 1 ①甲乙的总长度不相等，而露出的长度相等，所以被长方形遮住部分的长度不相等，所以本说法是错误的。 ②1：4：5，甲、乙两条线段的长度比是4：5，本说法正确； ③（1）÷1 1 ＝25% 乙线段的长度比甲线段长25%，不是20%，本说法错误。 ④（1） 乙线段被长方形遮住部分是露出部分的，本说法正确。 说法正确是②④，一共有2句。 故选：B。 【考点评析】解决本题先根据图中已知的等量关系和分数乘除法的意义，设出甲线段的长度，然后求出乙线段的长度，再根据分数乘除法的意义，以及比的意义求解。 【变式演练01】（2022•揭西县）一艘轮船以每时40千米的速度从甲港开往乙港，行了全程的20%后，又行了时，此时未行路程与已行路程的比是3：1，甲、乙两港相距多少千米？ 【思路点拨】开始行了全程的20%，后来行驶了小时后，即行驶了4060千米．此时未行路程与已行路程的比是3：1，则现在已经行驶的距离是全程的，这小时行驶了全程的（20%），用除法求出全程，所以全程为60÷（20%）千米． 【规范解答】解：40（20%） ＝60÷（20%） ＝60÷5% ＝1200（千米） 答：甲、乙两港相距1200千米． 【考点评析】本题考查了学生的综合能力，关键找出小时已行的路程占总数的几分之几，然后利用除法求出全程． 【变式演练02】（2024•九龙坡区）一项工程，甲单独做要15天完成，乙单独做要30天完成，丙单独做要45天完成。现在三队合作，中途甲休息了2天，乙体息了4天，丙体息了9天。完成这项工程共需多少天？ 【思路点拨】分析题意，将整个工程看作单位“1”，则甲、乙、丙三人的工作效率分别为、、；设完成这项工程共需x天，则甲工作了（x﹣2）天，乙工作了（x﹣4）天，丙工作了（x﹣9）天；由此可得方程：（x﹣2）（x﹣4）（x﹣9）＝1，解方程即可。 【规范解答】解：设这项工程从开始到完成共用了x天。 （x﹣2）（x﹣4）（x﹣9）＝1 xxx1 x1 x1 x x x＝12 答：完成这项工程共需12天。 【考点评析】本题主要考查了工程问题，解题的关键是正确找出等量关系，列出方程。 【变式演练03】（2022•江北区）甲、乙两种商品成本共250元，甲种商品按30%的利润定价，乙种商品按20%的利润定价．后来应顾客要求，两种商品都按定价的九折出售，仍可获利33.5元．问：甲种商品的成本是多少元？ 【思路点拨】假设这250元全是乙的成本，应该获利250×（1+20%）×90%﹣250＝20（元），比实际少：33.5﹣20＝13.5（元）； 这13.5元就是甲成本的（1+30%）×90%﹣（1+20%）×90%＝9%；甲商品的成本是13.5÷9%，计算即可． 【规范解答】解：250×（1+20%）×90%﹣250， ＝250×1.2×0.9﹣250， ＝270﹣250， ＝20（元）； （33.5﹣20）÷[（1+30%）×90%﹣（1+20%）×90%]， ＝13.5÷[1.3×0.9﹣1.2×0.9]， ＝13.5÷0.09， ＝150（元）； 答：甲种商品的成本是150元． 【考点评析】此题也可用方程解答： 解：设甲商品成本价是X元，则乙商品成本价是（250﹣X）元． 1.3X×0.9+1.2（250﹣X）×0.9＝250+33.5 1.17X+270﹣1.08X＝283.5 0.09X＝13.5 X＝150． 培优讲练 1．（2016•广州）． 【思路点拨】通过仔细观察，此算式中的每个分数都拆成两个分数相减的形式，然后通过加、减相互抵消，得出结果． 【规范解答】解：， ＝1， ＝1， ． 【考点评析】此题考查了用分数拆项的方法解决问题，做这类问题，应仔细审题，找到解决的最佳途径，运用运算技巧灵活解答． 2．（2023•曹县）再加上（　　）的结果是1． A． B． C． D． 【思路点拨】根据分数的拆项公式，求出的结果，再与1相减求出差即可． 【规范解答】解： ＝（1）+（）+（）+（）+（）+（） ＝1 ＝1 ； 1． 故选：C． 【考点评析】考查了分数的拆项，根据进行解答． 3．（2023•北碚区）计算题。 （1）4.6 （2）36÷[（）×3] （3）[1]×4.8 （4 ）]] （5）81.25×420%﹣5÷4 （6）9.75+99.75+999.75+9999.75 （7）29×12+29×13+29×25+29×10 （8）1997÷19971÷1999 （9） （10） 【思路点拨】（1）根据加法交换律和加法结合律计算； （2）依据运算顺序，先算小括号内的减法，再算中括号内的乘法，最后算外面的除法； （3）化小括号内的小数为分数，再根据四则运算的运算顺序计算； （4）先算小括号里的减法，再利用乘法交换律计算； （5）根据四则运算的运算顺序计算； （6）利用拆分法简算； （7）利用乘法分配律简算； （8）利用拆分法简算； （9）找规律，求和； （10）利用拆分法简算。 【规范解答】解：（1）4.6 ＝（4.6+5.4）×0.9 ＝10×0.9 ＝9 （2） ＝36÷[3] ＝36 ＝24 （3）[1]×4.8 ＝（11）×4.8 ＝2×4.8 ＝9.6 （4 ＝1 ＝12 （5）81.25×420%﹣5÷4 ＝10+5.25﹣1.25 ＝14 （6）9.75+99.75+999.75+9999.75 ＝（9+0.75）+（99+0.75）+（999+0.75）+（9999+0.75） ＝（10﹣1）+（100﹣1）+（1000﹣1）+（10000﹣1）+0.75×4 ＝11110﹣4+3 ＝11109 （7）29×12+29×13+29×25+29×10 ＝29×（12+13+25+10） ＝29×60 ＝1740 （8）1997 ＝[1÷（19971997] ＝[1÷（）] ＝1 （9）...... ...... ＝1...... ＝1 ＝1 （10） ＝1 故答案为：9；24；9.6；12；14；11109；1740；1；；1。 【考点评析】掌握运算定律和简算方法是解题关键。 4．（2019春•成都月考）你一定知道小高斯快速求出：1+2+3+4+5+…+n＝　（1+n）×n÷2　．请你继续观察：13＝12，13+23＝32，13+23+33＝62，13+23+33+43＝102，…，求出：13+23+33+…+n3＝　（1+2+3+…+n）2．　． 【思路点拨】高斯求和公式为：等差数列和＝（首项+尾项）×项数÷2，所以1+2+3+4+5+…+n＝（1+n）×n÷2；由于13＝12，13+23＝32＝（1+2）2，13+23+33＝62＝（1+2+3）2，13+23+33+43＝102＝（1+2+3+4）2，…，由此可以发现，几个连续自然数的立方的和等于这几个连续自然数的和的平方，即13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2． 【规范解答】解：根据高斯求和公式可知， 1+2+3+4+5+…+n＝（1+n）×n÷2； 由13＝12，13+23＝32＝（1+2）2，13+23+33＝62＝（1+2+3）2，13+23+33+43＝102＝（1+2+3+4）2，…，可以发现： 13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2． 故答案为：（1+n）×n÷2；（1+2+3+…+n）2． 【考点评析】在认真分析所给等式的基础上发现规律，并将规律进行总结是完成本题的关键． 5．（2023•务川县）计算下面各题，怎样简便就怎样计算。 8 [（）] 0.8+4356×80% 1+3+5+7+……+97+99 【思路点拨】（1）先把除法变成乘法，再根据乘法分配律简算； （2）先算小括号里面的减法，再算中括号里面的乘法，最后算括号外的乘法； （3）根据乘法分配律简算； （4）根据高斯求和的方法求解。 【规范解答】解：（1）8 （） 2 （2）[（）] [] （3）0.8+4356×80% ＝0.8×（1+43+56） ＝0.8×100 ＝80 （4）1+3+5+7+……+97+99 ＝（1+99）+（3+97）+（5+95）+……+（49+51） ＝100×25 ＝2500 【考点评析】本题考查了四则混合运算，注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律进行简便计算。 6．（2023•洋县）两个数相除商80余20，如果被除数和除数同时缩小到原来的，那么商是 　80　，余数是 　2　。 【思路点拨】被除数和除数都乘或除以一个相同的数（0除外），商不变，余数也同时乘或除以一个相同的数（0除外）。据此判断即可。 【规范解答】解：两个数相除商80余20，如果被除数和除数同时缩小到原来的，那么商是80，余数是202。 故答案为：80，2。 【考点评析】熟练掌握商不变的规律和余数的变化规律是解题的关键。 7．（2022•苍南县）阅读与理解：用下面的方法可以把循环小数0.化成分数：设0.6666…＝x， 10x＝6.6666……，可得方程：10x﹣x＝6，解得x，即0..参考以上方法，解决下面的问题。 （1）把0.化成分数。 （2）把0.化成分数。 （3）把5.2化成分数。 （4）通过阅读，解题，你有什么发现与收获吗？ 【思路点拨】根据题干分析，（1）设0.x，就可以得出3.10x，就有10x﹣x＝3，解关于x的一元一方程求出即可。 （2）设0.x，就可以得出43.100x，就有100x﹣x＝43，解关于x的一元一方程求出即可。 （3）设5.2x，就可以得出52.10x，5243.1000x，就有1000x﹣10x＝5191，解关于x的一元一方程求出即可。 （4）根据题意和解题过程说出自己的发现即可。 【规范解答】解：（1）设0.x 3.10x 10x﹣x＝3 9x＝3 x 答：把0.化成分数为。 （2）设0.x 43.100x 100x﹣x＝43 99x＝43 x 答：把0.化成分数为。 （3）设5.2x 52.10x 5243.1000x 1000x﹣10x＝5191 990x＝5191 x 答：把5.2化成分数为。 （4）答：我发现循环小数可以通过一元一次方程的形式化为分数，过程也比较简便，关键是把循环小数扩大整十、整百、整千……的倍数（答案不唯一）。 【考点评析】本题考查了将无限循环小数化为分数的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，解答时根据等式的性质建立一元一次方程是关键。 8．（2022•綦江区）从两个重量分别为12千克和8千克，且含铜的百分数不同的合金上切下重量相等的两块，把所切下的每块和另一块剩余的合金放在一起，熔炼后两个合金含铜的百分数相等。求：所切下的合金的重量是多少千克？ 【思路点拨】根据题意，设切下的合金重量是x千克；重12千克的合金的含铜百分数为p，重8千克的合金的含铜百分数为q（p≠q）；再根据（12千克合金里切后纯铜的质量+8千克合金切下纯铜的质量）÷12＝（8千克合金里切后纯铜的质量+12千克合金切下纯铜的质量）÷8，列出方程进行解答。 【规范解答】解：设切下的合金重量是x千克；重12千克的合金的含铜百分数为p，重8千克的合金的含铜百分数为q（p≠q）；根据题意可得： 整理可得：20x（q﹣p）＝96（q﹣p） 因为p≠q，所以q﹣p≠0； 因此，20x＝96 x＝4.8 答：切下的合金重量是4.8千克。 【考点评析】本题考查了用多个未知数解决含铜百分比问题，注意在解含参数的方程时，一般情况下可以把参数消去，转化成只含有待求未知数的一般方程。 9．（2022•长沙）如今网络团购已经走进我们的生活。聪聪一家星期天去某湘菜馆就餐，这家湘菜馆可以使用团购代金券，每张代金券售价70元，可抵100元消费，每次最多使用2张，多余部分不找零钱，不足部分用现金补齐。若不使用代金券，则直接享受八折优惠。 （1）聪聪一家在这家湘菜馆消费260元，若尽量多的使用代金券，需要支付多少元？（包括购买代金券所支付的钱） （2）如果聪聪一家在这家湘菜馆消费，不管是否使用代金券，需要支付的钱数都是同样多（若使用代金券，应包括购买代金券支付的钱）。聪聪一家消费的金额可能是 　87.5，150或175，300元　元。 【思路点拨】（1）共消费了260元，超过了200可以买2张优惠券，不足部分用现金补齐，每张代金券的售价是70元，这样需要支付的钱数就是2个70元加上超过200元的部分； （2）设支付x元时两种情况支付的钱数同样多，分为支付1张或2张代金券进行讨论列出方程求解。 【规范解答】解：（1）260里面有2个100，所以可以使用2张代金券 70×2+（260﹣200） ＝140+60 ＝200（元） 答：需要支付200元。 （2）设支付x元时两种情况支付的钱数同样多； ①当使用1张支付券时，a：大于100元时1张支付券可以优惠100﹣70＝30（元），b：不足100元时就是花了70元。 a：（1﹣80%）x＝30 0.2x＝30 x＝150 b：80%x＝70 80%x÷80%＝70÷80% x＝87.5 ②当使用2张支付券时，a：消费额大于200元时，2张支付券可以优惠30×2＝60（元），b：消费额在100元到200元之间时花的钱数就是2个70元。 a：（1﹣80%）x＝60 0.2x＝60 x＝300 b：80%x＝70×2 80%x÷80%＝140÷80% x＝175 答：聪聪一家消费的金额可能是87.5，150或175，300元。 故答案为：87.5，150或175，300元。 【考点评析】解决本题注意找清楚两种支付方式的不同含义，得出其计算所花钱数的方法，从而解决问题。 10．（2023•嘉祥县）一个三角形三个内角度数之比为2：5：2，这个三角形中最大的一个内角是 　100　°；如果把三角形按边进行分类，它属于 　等腰　三角形． 【思路点拨】把三角形内角和180度看作单位“1”，根据按比例分配方法，求出三个角的度数，再根据最大角的度数即可解答． 【规范解答】解：2+5+2＝9 18040（度） 180100（度） 所以它最大的一个内角是100度； 因为2＝2≠5，所以这个三角形是等腰三角形； 故答案依次为：100，等腰． 【考点评析】本题根据三个角的比的数值：2：5：2，其中2＝2，说明是等腰三角形，据此也可解答． 11．（2023•武陵区）某服装工厂生产一批衣服，甲车间单独生产需要12天完成，乙车间单独生产需要30天完成。甲车间单独生产几天后由于机器故障剩下的衣服全部由乙车间单独生产，从开始到完成生产共用15天。甲车间单独生产了几天？（列方程解） 【思路点拨】设甲车间单独生产了x天，则乙车间单独生产了（15﹣x）天，把工作总量看作“1”，根据甲车间单独完成的量+乙车间单独完成的量＝1，列出方程，再解方程即可。 【规范解答】解：设甲车间单独生产了x天，则乙车间单独生产了（15﹣x）天， x（15﹣x）＝1 x15x＝1 xx1 xx x x＝10 答：设甲车间单独生产了10天。 【考点评析】本题主要考查了工程问题，解题的关键是根据等量关系列出方程。 12．（2022•渝中区）有一批服装，按80%的利润定价，当售出这批服装的60%以后，决定换季减价出售，剩下的服装全部按定价打七五折出售，这批服装全部售完后，实际可获利（　　） A．62% B．60% C．48% D．45% 【思路点拨】设这批服装的成本是100元，这批服装的数量是100件，根据百分数乘法的意义，先计算出定价，再计算出售出的数量和剩下的数量，根据总价＝单价×数量，分别计算出两部分的总价各是多少元，再算出两部分的总价之和，最后用两部分的总价之和减去成本总数，计算出实际的利润，最后算出实际可获利百分之几。 【规范解答】解：100×（1+80%） ＝100×1.8 ＝180（元） 100×60%＝60（件） 100﹣60＝40（件） 180×75%＝135（元） 180×60+135×40 ＝10800+5400 ＝16200（元） 100×100＝10000（元） （16200﹣10000）÷10000×100% ＝6200÷10000×100% ＝62% 答：实际可获利62%。 故选：A。 【考点评析】本题解题的关键是设这批服装的成本是100元，这批服装的数量是100件，根据百分数乘法的意义，先计算出定价，再根据总价＝单价×数量和利润率的意义列式计算。 13．（2022•西安）李明的爸爸经营一个水果店，按开始定的价，每卖出1千克水果可获利0.2元，后来李明建议爸爸降价销售，结果降价后每天的销售量增加了1倍，每天的获利也比原来增加50%．每千克水果降价 　0.05　元． 【思路点拨】假设销量原来只有1千克，则获利是0.2元，后来销售量是2千克，应获利2×0.2＝0.4元，实际获得的总利润是0.2×1.5＝0.3元；则每千克水果降价“（0.4﹣0.3）÷2”元，解答即可． 【规范解答】解：销量原来只有1千克，则后来销售量是2千克， 则：[0.2×2﹣0.2×（1+50%）]÷2， ＝[0.4﹣0.3]÷2， ＝0.1÷2， ＝0.05（元）； 答：每千克水果降价0.05元． 故答案为：0.05． 【考点评析】解答此题应认真分析题意，根据题意，进行假设，进而得出所需数字，继而得出结论． 14．（2023•宜丰县）用500克浓度为70%的酒精溶液与300克浓度为50%的酒精溶液混合后得到的酒精溶液的浓度为（　　） A．62.5% B．60% C．55% D．65% 【思路点拨】分别计算70%酒精溶液和50%酒精溶液的纯酒精的质量，根据溶液浓度的计算公式：酒精的浓度100%，用两种溶液中的酒精的质量和除以溶液质量乘100%，计算即可。 【规范解答】解：（500×70%+300×50%）÷（500+300）×100% ＝（350+150）÷800×100% ＝500÷800×100% ＝62.5% 答：混合后得到的酒精溶液的浓度是62.5%． 故选：A。 【考点评析】本题主要考查百分数的应用，关键是利用浓度问题公式：酒精的浓度100%，求所得溶液中酒精的含量。 15．（2022•江北区）从两块分别重10千克和15千克且含铜百分比不同的合金上切下质量相同的一块，再把切下的那一块与另一块后剩余的部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等，则切下的那一块质量是多少千克？ 【思路点拨】由题意可知，（10千克合金中纯铜的质量+另一块切下的纯铜的质量）÷10＝（15千克合金中纯铜的质量+另一块切下的纯铜的质量）÷15，根据这个等量关系列方程解答。 【规范解答】解：设切下的质量为x千克，10千克的合金的含铜量为a，15千克的合金的含铜量为b。 [（10﹣x）×a+bx]÷10＝[（15﹣x）×b+ax]÷15 [（10﹣x）×a+bx]÷10×150＝[（15﹣x）×b+ax]÷15×150 15[（10﹣x）×a+bx）]＝10[（15﹣x）×b+ax] 15a（10﹣x）+15bx＝10b（15﹣x）+10ax 150a﹣15ax+15bx＝150b﹣10bx+10ax 150a﹣15ax+15bx+15ax＝150b﹣10bx+10ax+15ax 150a+15bx＝150b﹣10bx+25ax 150a+15bx+10bx＝150b﹣10bx+25ax+10bx 150a+25bx＝150b+25ax 150a+25bx﹣25bx＝150b+25ax﹣25bx 150a﹣150b＝25（a﹣b）x+150b﹣150b 25（a﹣b）x＝150（a﹣b） 25（a﹣b）x÷25＝150（a﹣b）÷25 （a﹣b）x÷（a﹣b）＝6（a﹣b）÷（a﹣b） x＝6 答：切下的那一块质量是6千克。 【考点评析】列方程解决问题的关键是找准题目中的等量关系。 16．（2023•北碚区）把浓度为20%、30%、45%的三种酒精溶液混合在一起，得到浓度为35%的酒精溶液45升，已知浓度为20%的酒精用量是浓度30%的酒精溶液用量的3倍，原来每种浓度的酒精溶液各用了多少L？ 【思路点拨】从“浓度为20%的酒精用量是浓度为30%的酒精用量的3倍”可知，这两种酒精混合后得到一种新的酒精溶液，其浓度为：（3×20%+1×30%）÷（3+1）×100%＝22.5%．这样原题就变为把浓度为22.5%和45%的两种溶液混合在一起，得到浓度为35%的酒精溶液45升，求每种浓度的酒精溶液各用多少升就轻而易举了。 【规范解答】解：20%与30%的两种酒精溶液按3：1的比例混合后得到溶液的浓度为： （3×20%+1×30%）÷（3+1）×100% ＝（60%+30%）÷4×100% ＝22.5% 浓度为45%的酒精用量为： （45×35%﹣45×22.5%）÷（45%﹣22.5%） ＝（15.75﹣10.125）÷0.225 ＝5.625÷0.225 ＝25（升） 20%的酒精用量为： （45﹣25）÷（3+1）×3 ＝20÷4×3 ＝15（升） 30%的酒精用量为： 15÷3＝5（升） 答：浓度为20%、30%和45%的三种酒精溶液各用了：15、5、25升。 【考点评析】此题解答的关键，是求出浓度为20%、30%两种酒精混合后得到新的酒精溶液的浓度。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$