精品解析：上海市晋元高级中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

晋元中学2023学年第二学期高二年级数学期末 2024.06 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，，则________. 2. 已知随机变量服从二项分布，则________. 3. 从某中学抽取12名同学，他们的数学成绩如下：78，83，84，85，87，87，90，91，92，96，98，99，则这12名同学数学成绩的第70百分位数是________. 4. 方程的解集为________. 5. 某研究小组为了研究中学生的身体发育情况，在某学校随机抽取30名15至16周岁的男生，将他们的身高和体重制成2×2的列联表，根据列联表的数据，取显著性水平为，我们可以认为该学校15至16周岁的30名男生的身高是否偏高与体重是否超重________.（填入有关或无关） 身高 体重 超重 不超重 总计 偏高 12 3 15 不偏高 5 10 15 总计 17 13 30 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 其中 6. 已知且，则的最大值为________. 7. 在的展开式中，项的系数为________. 8. 某张试卷由两位陈老师、一位张老师共同命制，其中第8题从三位老师中随机抽取一位进行命题. 已知若由张老师命题，学生答对这道题的概率是；若由（任意一位）陈老师命题，学生答对这道题的概率是. 那么学生答对第8题的概率是________. 9. 某场中国队与巴西队的足球比赛进入了激动人心的点球大战，中国队需要从除守门员外的10名首发队员中选5名队员依次主罚点球. 已知除守门员外的10名首发队员中有2名前锋、4名中场、4名后卫，若要求2名前锋必须入选、且不能相邻，那么主罚点球人员的不同排列方法有_______种.（不考虑是否踢进等问题） 10. ，已知是定义在上偶函数，且时，，则集合______. 11. 若函数的四个零点从小到大恰好构成等差数列，则________. 12. 老张每天下班回家，通常步行5分钟后乘坐公交车再步行到家，公交车有，两条线路可以选择.乘坐线路所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家要5分钟；乘坐线路所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家要12分钟. 下列说法从统计角度认为不合理的是_________. 参考数据：若，则，， ①若乘坐线路，前一定能到家； ②乘坐线路比乘坐线路在前到家的可能性更大； ③乘坐线路比乘坐线路在前到家的可能性更大； ④若乘坐线路，则在前到家的可能性不超过. 二、选择题（本大题共有4题，13、14每题4分，15、16每题5分，共18分） 13. 已知是实数，则的一个必要非充分条件是（ ） A. B. C. D. 14. 某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲、乙必须参加且不担任四辩，则不同的安排方法种数为（ ） A. 36 B. 72 C. 144 D. 240 15. 下列命题为真命题的有（ ）个. ①若随机变量的方差为，则； ②对于随机事件A与B，若，则事件A与B独立； ③相关系数越大，两组数据的相关程度越强. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 16. 对正实数，若定义在上的函数满足：对任意的实数，都有，则称是“增函数”. 现给出如下两个命题：命题甲：若对一切正有理数，函数均为“增函数”，则是上的增函数，命题乙：若对一切正无理数，函数均为“增函数”，则是上的增函数，则下列说法正确的是（ ） A. 甲是真命题，乙是假命题 B. 甲是真命题，乙是真命题 C. 甲是假命题，乙是假命题 D. 甲是假命题，乙是真命题 三、解答题（本大题共有5小题，共78分） 17. 已知集合，其中实数是常数. （1）求集合A与集合； （2）若对任意的，都有，求实数的取值范围. 18. 在某校举办“青春献礼二十大，强国有我新征程”的知识能力测评中，随机抽查了100名学生，其中共有4名女生和2名男生的成绩在90分以上，从这6名同学中每次随机抽1人在全校作经验分享，每位同学最多分享一次，记第一次抽到女生为事件，第二次抽到男生为事件. （1）求，； （2）若把抽取学生的方式更改为：从这6名学生中随机抽取3人进行经验分享，记被抽取的3人中女生的人数为，求的分布列和数学期望． 19. 某校在高二期末考试，从全年级等级考化学成绩中随机取100名学生的原始成绩（满分100分）进行分析，其频率分布直方图如图所示： （1）求图中值； （2）若采用分层抽样方法，从原始成绩在和内的学生中共抽取8人查看他们的答题情况，再从中选取2人进行个案分析，求这2人中恰有一人原始成绩在内的概率； （3）已知落在的平均成绩，方差，落在的平均成绩，方差，求落在的平均成绩，并估计落在的成绩的标准差（结果精确到0.1）. 20. 已知函数，其中是常数. （1）若，判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）若，且函数在严格单调减，求实数的最大值； （3）若，且不等式对一切实数恒成立，求实数取值范围. 21. 已知是定义在上的函数，如果存在常数，使得对区间的任意划分：，都有成立，则称是上的“绝对差有界函数”. （1）分别判断，是否是上的“绝对差有界函数”，若是“绝对差有界函数”，直接写出的最小值（不需证明）；若不是“绝对差有界函数”，直接写出函数的值域（不需证明）； （2）对定义在上的，若存在常数，使得对任意的，都有，求证：是上的“绝对差有界函数”； （3）设是上的“绝对差有界函数”，满足，，且对任意的，都有，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 晋元中学2023学年第二学期高二年级数学期末 2024.06 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】首先解分式不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由，等价于，解得， 所以，又， 所以. 故答案为： 2. 已知随机变量服从二项分布，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项分布的期望公式计算可得. 【详解】因为，所以. 故答案为： 3. 从某中学抽取12名同学，他们的数学成绩如下：78，83，84，85，87，87，90，91，92，96，98，99，则这12名同学数学成绩的第70百分位数是________. 【答案】92 【解析】 【分析】根据百分位数的定义进行求解. 【详解】，故数据从小到大排列，选择第9个数作为第70百分位数，即92. 故答案为：92 4. 方程的解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】由绝对值三角不等式得到答案. 【详解】，当且仅当时，等号成立， 即， 所以解集为. 故答案为： 5. 某研究小组为了研究中学生的身体发育情况，在某学校随机抽取30名15至16周岁的男生，将他们的身高和体重制成2×2的列联表，根据列联表的数据，取显著性水平为，我们可以认为该学校15至16周岁的30名男生的身高是否偏高与体重是否超重________.（填入有关或无关） 身高 体重 超重 不超重 总计 偏高 12 3 15 不偏高 5 10 15 总计 17 13 30 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 其中 【答案】有关 【解析】 【分析】根据列联表，计算的值并与比较即得结论. 【详解】零假设为假设该学校15至16周岁的30名男生的身高是否偏高与体重是否超重无关， 由， 由小概率值的独立性检验，零假设不成立， 即认为该学校15至16周岁的30名男生的身高是否偏高与体重是否超重有关，这个判断犯错误的概率不超过0.05. 故答案为：有关. 6. 已知且，则的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式得到，结合对数运算法则求出最值. 【详解】且，故， 即，解得，当且仅当时，等号成立， 故. 故答案为： 7. 在的展开式中，项的系数为________. 【答案】 【解析】 【分析】由，写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】因为， 其中展开式的通项为，， 所以的展开式中含的项为， 所以项的系数为. 故答案为： 8. 某张试卷由两位陈老师、一位张老师共同命制，其中第8题从三位老师中随机抽取一位进行命题. 已知若由张老师命题，学生答对这道题的概率是；若由（任意一位）陈老师命题，学生答对这道题的概率是. 那么学生答对第8题的概率是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件概率与全概率公式计算即可求解. 【详解】设事件：张老师出题；事件：陈老师出题；事件：学生答对第8题. 则 所以. 故答案为： 9. 某场中国队与巴西队的足球比赛进入了激动人心的点球大战，中国队需要从除守门员外的10名首发队员中选5名队员依次主罚点球. 已知除守门员外的10名首发队员中有2名前锋、4名中场、4名后卫，若要求2名前锋必须入选、且不能相邻，那么主罚点球人员的不同排列方法有_______种.（不考虑是否踢进等问题） 【答案】4032 【解析】 【分析】利用插空法，先从除2名前锋外的其余8名队员中选3人排列，产生4个空，然后2名前锋从4个空中选2个排列即可. 【详解】由题意得，先从除2名前锋外的其余8名队员中选3人排列，有种， 3人排列后有4个空，然后2名前锋从4个空中选2个排列，则有种， 所以由分步乘法原理可知共有种， 故答案为：4032 10. ，已知是定义在上的偶函数，且时，，则集合______. 【答案】 【解析】 分析】结合分段函数性质利用偶函数作出函数图象，根据函数单调性分析即可求解集合M. 【详解】当时，， 又是定义在上的偶函数，所以其图象关于y轴对称，作出图象如下： 因为，所以在上的值小于， 由图象可知：，即集合. 故答案为： 11. 若函数的四个零点从小到大恰好构成等差数列，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】分析出不合要求，时，求出四个零点，并得到大小关系，由等差数列性质得到方程，求出. 【详解】，若，无解，舍去， 若，此时，此时，只有两个零点，舍去， 若，， 若，则，故， 若，则，故， 其中， 因为四个零点从小到大恰好构成等差数列， 所以，故，故，解得. 故答案为： 12. 老张每天下班回家，通常步行5分钟后乘坐公交车再步行到家，公交车有，两条线路可以选择.乘坐线路所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家要5分钟；乘坐线路所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家要12分钟. 下列说法从统计角度认为不合理的是_________. 参考数据：若，则，， ①若乘坐线路，前一定能到家； ②乘坐线路比乘坐线路在前到家的可能性更大； ③乘坐线路比乘坐线路在前到家的可能性更大； ④若乘坐线路，则在前到家的可能性不超过. 【答案】①② 【解析】 【分析】利用正态分布曲线的对称性及正态分布的概率，对四个选项逐个分析判断即可. 【详解】对于①，因为， 即乘坐线路能到家的概率为， 所以乘坐线路，前不一定能到家，所以①错误； 对于②，乘坐线路A在前到家的概率为 ， 乘坐线路在前到家的概率为 ， 所以乘坐线路A和乘坐线路在前到家的可能性一样，所以②错误； 对于③，乘坐线路A在前到家的概率为， 乘坐线路在前到家的概率为 ， 所以乘坐线路比乘坐线路A在前到家的可能性更大，故③正确； 对于④，乘坐线路A，则在前到家的概率为 ，所以④正确. 故答案为：①② 二、选择题（本大题共有4题，13、14每题4分，15、16每题5分，共18分） 13. 已知是实数，则的一个必要非充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本初等函数的性质及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为在上单调递增，所以， 由推不出，由也推不出，故是既不充分也不必要条件，故A错误； 因为在上单调递增，所以，所以是的充要条件，故B错误； 由推不出，故充分性不成立，由，则，故必要性成立， 所以是必要非充分条件，故C正确； 因为在上单调递增，所以， 所以由推得出，故充分性成立，由推不出，故必要性不成立， 所以是的充分不必要条件，故D错误. 故选：C 14. 某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲、乙必须参加且不担任四辩，则不同的安排方法种数为（ ） A. 36 B. 72 C. 144 D. 240 【答案】B 【解析】 【分析】由分步乘法原理计算，先排甲乙，再从剩下4名同学任选2人排列即可. 【详解】分步完成： 甲不担任四辩，共有3种选择， 又因为乙也不担任四辩，共有2种选择， 从剩下4名同学任选2人，且任意排序，共有种， 所以一共有种. 故选：B. 15. 下列命题为真命题的有（ ）个. ①若随机变量的方差为，则； ②对于随机事件A与B，若，则事件A与B独立； ③相关系数越大，两组数据的相关程度越强. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】①，由方差的性质计算；②，由对立事件概率公式和条件概率公式得到；③，相关系数越大，两组数据的相关程度越强. 【详解】对于①，若随机变量的方差为，则，①错误； 对于②，，故， ，即，则事件A与B独立，②正确； 对于③，相关系数越大，两组数据的相关程度越强，③错误. 故选：B 16. 对正实数，若定义在上的函数满足：对任意的实数，都有，则称是“增函数”. 现给出如下两个命题：命题甲：若对一切正有理数，函数均为“增函数”，则是上的增函数，命题乙：若对一切正无理数，函数均为“增函数”，则是上的增函数，则下列说法正确的是（ ） A. 甲是真命题，乙是假命题 B. 甲是真命题，乙是真命题 C. 甲是假命题，乙是假命题 D. 甲是假命题，乙是真命题 【答案】D 【解析】 【分析】先给出作为命题甲的反例，再用“增函数”的定义证明命题乙正确即可. 【详解】一方面，对于，注意到对任意正有理数，都有和同为有理数或同为无理数，所以，即，故函数为“增函数”，但，所以不是上的增函数，故甲是假命题； 另一方面，若对一切正无理数，函数均为“增函数”. 设，若是无理数，则函数为“增函数”，所以，而若是有理数，则由知和都是正无理数，所以函数为“增函数”和 “增函数”，故 . 无论怎样都有，所以是上的增函数，故乙是真命题. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义的理解. 三、解答题（本大题共有5小题，共78分） 17. 已知集合，其中实数是常数. （1）求集合A与集合； （2）若对任意的，都有，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合指数、对数函数单调性求集合； （2）由题意可知，结合包含关系列式求解即可. 【小问1详解】 因，且在上单调递增， 可得，解得，所以； 又因为，且在上单调递增， 可得，解得，所以. 【小问2详解】 若对任意的，都有，可知， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 18. 在某校举办“青春献礼二十大，强国有我新征程”的知识能力测评中，随机抽查了100名学生，其中共有4名女生和2名男生的成绩在90分以上，从这6名同学中每次随机抽1人在全校作经验分享，每位同学最多分享一次，记第一次抽到女生为事件，第二次抽到男生为事件. （1）求，； （2）若把抽取学生的方式更改为：从这6名学生中随机抽取3人进行经验分享，记被抽取的3人中女生的人数为，求的分布列和数学期望． 【答案】（1），. （2）分布列见解析，2 【解析】 【分析】（1）根据独立事件和条件概率的计算公式计算即可求解； （2）的取值可能为，利用超几何分布求对应的概率，列出分布列，求出数学期望即可. 【小问1详解】 由题意知，， 所以. 【小问2详解】 的取值可能为， ，，， 的分布列为 1 2 3 所以. 19. 某校在高二期末考试，从全年级的等级考化学成绩中随机取100名学生的原始成绩（满分100分）进行分析，其频率分布直方图如图所示： （1）求图中的值； （2）若采用分层抽样的方法，从原始成绩在和内的学生中共抽取8人查看他们的答题情况，再从中选取2人进行个案分析，求这2人中恰有一人原始成绩在内的概率； （3）已知落在的平均成绩，方差，落在的平均成绩，方差，求落在的平均成绩，并估计落在的成绩的标准差（结果精确到0.1）. 【答案】（1） （2） （3）88， 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的特征计算即可求解； （2）根据古典概型的概率问题求解即可； （3）由题意，根据平均数、方差和标准差的定义计算即可求解. 【小问1详解】 ，解得； 【小问2详解】 由原始分在和中的频率之比为， 故抽取的8人中，原始分在中的有人，在中的有人， 则从人中抽取人，恰有一人原始成绩在内的概率； 【小问3详解】 ， . 20. 已知函数，其中是常数. （1）若，判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）若，且函数在严格单调减，求实数的最大值； （3）若，且不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）非奇非偶，理由见解析 （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）当时，根据奇偶函数的定义和、即可判断的奇偶性； （2）根据单调函数的定义可得，即，解之即可求解； （3）由题意可得，由（1）（2），结合函数的奇偶性和单调性解不等式即可. 【小问1详解】 当时，，则， 所以是奇函数； 当且时，，， 且，此时是非奇非偶函数. 【小问2详解】 任取，有， 因此恒成立，即， 因为，，只需，即， 因此的最大值为； 【小问3详解】 ，因此，则， 由（1）（2）知是奇函数，且在、上单调递减，在上单调递增， 所以此时的值域为，所以， 又因为， 所以不等式， 由于最小值为， 所以，解得. 21. 已知是定义在上的函数，如果存在常数，使得对区间的任意划分：，都有成立，则称是上的“绝对差有界函数”. （1）分别判断，是否是上的“绝对差有界函数”，若是“绝对差有界函数”，直接写出的最小值（不需证明）；若不是“绝对差有界函数”，直接写出函数的值域（不需证明）； （2）对定义在上的，若存在常数，使得对任意的，都有，求证：是上的“绝对差有界函数”； （3）设是上的“绝对差有界函数”，满足，，且对任意的，都有，求实数的取值范围. 【答案】（1）是，最小为；不是，因为值域为. （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）证明出是“绝对差有界函数”，最小为；举出反例得到不是“绝对差有界函数”，值域为， （2）证明出充分性，再举出反例得到必要性不成立，得到结论； （3）先得到在上的值域与单调性，结合，得到当时，值域为，在单调递增，单调递减，故对任意，都有，推出时，不合要求，时满足题意，并求出. 【小问1详解】 是“绝对差有界函数”，最小为；不是“绝对差有界函数”，值域为， 理由如下： 在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值为0， 当或2时，取得最大值为1， ，若分类中，恰有， 则 ， 若分类中，没有，故，不妨设，， 此时 ， 综上，是，最小为； ,时，， 又时，， 的值域为，下面证明不是“绝对差有界函数”， ，取， 则， 选取，则， 故不存在，使得恒成立， 故不是“绝对差有界函数”，值域为； 故是，最小为；不是，值域为. 【小问2详解】 充分性：， 对区间的任意划分：， ， 取即可. 非必要： 对函数，显然是上的“绝对差有界函数”， 但是对于，总有. 【小问3详解】 ， 当时，，，， 值域为，且在单调递增，在单调递减， 由于，故， 当时，，且在单调递增，在单调递减， 依次类推，当时，值域为，在单调递增，单调递减， 故对任意，都有， 且可取到，使得. 若，则，与是上的“绝对差有界函数”矛盾，不符题意； 若，则， 取，符合题意. 综上，. 【点睛】方法点睛：函数新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数的性质，包括单调性，值域等进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$