2.1.1 倾斜角与斜率（学生用书）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

数学 选择性必修 第一册 课堂学案 第二章 直线和圆的方程 2.1 直线的倾斜角与斜率 2.1.1 斜角与斜率 [学习目标]1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,培养数学抽象的核心素养,2.经历用代数方法刻画直线斜率 的过程,培养逻辑推理的核心素养,3.掌握过两点的直线斜率的计算公式,提升数学运算的核心素养(). 必备知识基础落实 答案见Pi 要点一:直线的斜角 3.过两点的直线的斜率公式:过两点P(x,y). 1.倾斜角的定义 P(x,y)(x≠x)的直线的斜率公式为 (1)当直线/与x轴相交时,我们以x轴为基准 2轴 与直线/向上的方向之间所成的 >思考:你能说出直线的倾斜角与斜率的区别与 角。叫做直线/的倾斜角. 联系吗? (2)当直线/与:轴平行或重合时,规定它的 倾斜角为0{ 2.直线的倾斜角a的取值范围为 >思考:任何一条直线都有倾斜角吗?不同的直 线其倾斜角一定不相同吗? 析 判断正误,正确的画“/”,错误的画“×” 要点二 直线的斜率 (1)任何一条直线都有倾斜角,都存在斜率 1.直线的斜率:把一条直线的倾斜角;的 叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母人表 (2)若直线的倾斜角为a,则0。<。180* 示,即一. ) 2.斜率与倾斜角的对应关系 (3)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应 ######## 7 _ 图示 (4)经过两点的直线的斜率公式适用干任何直线 倾斜角 o0_18 0<90。 (5)直线的倾斜角越大,其斜率就越大.( -0{ -90” ) (范围) (6)若一条直线的斜率为tan200{},则该直线的 斜率 =0 0 不存在 10 ( 倾斜角为20 ) (范围) .38. 第二章 直线和圆的方程 关键能力素养提升 答案见Pno 探究一 直线的倾斜角 探究二 直线的斜率 误区防错 误区防错 直线倾斜角的注意点 求直线的斜率的注意点 (1)求直线的倾斜角主要根据定义来求,其关 (1)运用公式的前提条件是“&去x。”,当直线 键是根据题意画出图形,找准倾斜角,有时要 与文轴垂直时,斜率是不存在的. 根据情况分类讨论 (2)斜率公式与两点P,P的先后顺序无关。 (2)注意倾斜角的范围. (3)若直线/的斜率为k,它的一个方向向量 【例题1】(1)已知直线/经过第二、四象限,则直 线/的倾斜角。满足的条件是 ) B.90。180。 A.0<~90* 【例题2】经过下列两点的直线的斜率是否存在? C.90*180 D.0{q180” 如果存在,求其斜率 (2)(参选)设直线/过坐标原点,它的倾斜角 (1)A(2.3).B(4,5); 为a,如果将/绕坐标原点按逆时针方向旋转 (2)C(-2,3),D(2,-1); 45^{},得到直线,那么/的倾斜角可能为 (3)A(a,b).B(b,c),其中bc ,。_ A.a十45” B.-135{ C. 135*- D.a-450 【变式1】(1)已知直线/向上的方向与y轴正向所 成的角为30{},则直线/的倾斜角为 (2)如图,已知直线/的倾斜角g三15^{},直线/ 【变式2】(1)若直线的倾斜角为135{,则直线的 与2的交点为A,直线/与/。向上的方向所成 斜率为 的角为120{},则直线2。的倾斜角为 (2)已知过点P(-2,m).Q(m.4)的直线的方 向向量为(1,1),则n的值为 (3)经过两点A(1.n).B(m-1.3)的直线的倾 斜角是钝角,则实数的取值范围是 .39 数学 选择性必修 第一册 课堂学案 探究三 倾斜角和斜率的应用 【变式3】已知A(3.3),B(-4.2),C(0.-2). (1)求直线AB和AC的斜率,并判断其倾斜 规律总结 角是锐角还是钝角 (2)当点D在线段BC(包括端点)上移动时. (1)三点共线问题:实际就是任意两点确定的 求直线AD的斜率的变化范围 直线斜率相等,或者都不存在,解决这类问题 需要利用条件建立斜率相等的关系。 (2)已知一条线段AB及线段外一点P,求过 点P的直线/与线段AB有交点的情况下直 线/的斜率的取值范围可按如下步骤:①连 接PA,PB;②由-二(c:xo)求出 2-x1 k,r;③结合图形即可写出满足条件的直 线/的斜率的取值范围 【例题3】已知A(-2,-4),B(2,0).C(3,1)三 点,判断这三点是否在同一条直线上,并说明 理由. 随堂检测学以致用 答案见P 1.已知直线经过点(0,2)和点(3.0),则它的斜率为 3.已知过两点A(4.y),B(2,-3)的直线的倾斜 ~ 角为135*,则y- ) A. B#3} } C -2 .73} B-2 C.-3 A.-1 D.-5 4.若A(2,3).B(3.2).C(,m)三点共线,则实 2.已知直线经过点A(-2.0),B(-5.3),则该直 线的倾斜角为 ) ( 数n的值为 A.150{ B. 135* C.75* D.45* l提示完成Ps课时作业(十一) .40.x￥B 则A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),P(0,0,4), 则CD=(-2,2,0).PD=(0,4,-4). 则C(0,0,0),C(0,0,3),B(0.2,2),D(2,0,2),A(2.2,1) 设平面PCD的法向量为n=(xy,), 所以BCG=(0.-2,1),AD=(0.-2,1).所以BC∥ (n.CD=0,. 即 /-2x+2y=0. A:D.. n·PD=0,4y-4=0, 又BC,AD3不在同一条直线上，所以BC∥AD. 令1，得即=D (2)设P(0,2,A)(0≤A≤4)， 则AC=(-2,-2,2),PC=(0,-2,3-A),D2C=(-2, 由M疝=PD.得M而=(0,4a.-4a), 0,1),设平面PAC2的法向量为n=(x,y,:). 故M0,4-4,4),AM=(0,4-4,4). n·A,C=-2x-2y+2=0, 则 由直线AM与平面PCD所成角的正孩值为。 n·PC=-2y+(3-a)x=0, 令=2，得y=3-入，x=入-1，所以n=(a-1.3-1,2), 得|cos(AM,m| AM·n 4-4以十4] 设平面ACDz的法向量为m=(a,b,c), AMn √(4-4以)+(4)·3 1m·AC=-2a-2b+2c=0, 写解得入= m.D2C=-2a+c=0, [真题4]解析(1)证明：因为平而PAD⊥平面ABCD,平面 令a=1,得b=1,c=2,所以m=(1,1,2), PAD∩平面ABCD=AD,AB⊥AD,所以AB⊥平面PAD, 所以1casa,m=日阅 6 所以AB⊥PD. 6/4十(-1)+(3-) 又PA⊥PD,PA∩AB=A,所以PD⊥平而PAB 1s150=, (2)取AD的中点O,连接PO,CO 化简可得2一4十3=0，解得1=1或1=3， 因为PA=PD,所以POLAD. 所以P(0,2,1)或P(0.2.3),所以B2P=1. 因为POC平面PAD,平面PADL平面ABCD,平面PADn 平面ABCD=AD,所以POL平面 第二章直线和圆的方程 ABCD. 因为COC平面ABCD, 2.1直线的倾斜角与斜率 所以POLCO. 因为AC=CD,所以CO⊥AD 2.1.1倾斜角与斜率 如图所示，建立空间直角坐标系 Qxyx.由题意得，A(0,1,0), 必备知识·基础落实 B(1,1,0),C(2,0,0),D(0.一1,0)，P(0,0,1, 要点一 所以PD=(0,-1,-1),PC=(2,0,-1). 1.(1)正向 设平面PCD的法向量为n=(x,y,), 2.0°≤a<180 期n市-0 [思考]提示由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾 /一y-2=0, 斜角：不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾 n.r元=0,12x-=0, 斜角是相同的. 令=2，则x=1,y=-2.所以n=(1,-2,2). 要点二 又P成=(1,1，-1，所以sn,P应=，n座=- L.正切值tana PBI 3 3.边二边 x2一x 所以直线PB与平面CD所成角的正孩值为号 [思考]提示①直线的斜率与倾斜角既有区别，又有联系.它们 (3)假设存在A∈[0,1]，使得AM=AAP 都反映了直线相对于x轴的倾斜程度，本质上是一致的.但 倾斜角是角度，是直线倾斜度的直接体现：斜率是实数，是 因此，点M(0,1-A,a),则BM=(-1,-入，A). 直线倾斜度的间接反映，用斜率比用倾斜角更方便.②倾斜 因为BM过平面PCD, 角α可正、可零，但不可为负，而斜率k不仅可正、可零，还 所以要使BM∥平面PCD,剥BM,n=O, 可以为负.③当《=90°时，直线斜率不存在，当≠90°时，可 即(-1，-X2)(1,-2,2)=0,解得X= 以建立领斜角a和斜率飞之间的函数关系，即k=tana (a≠90°). 所以在棱PA上存在点M,使得BM∥平面PCD,此时有 [辨析]解析(1)错误.倾斜角为90的直线不存在斜率， (2)错误.若直线的倾钟角为a,则0°≤a<180°. (3)错误.当领斜角为90时，直线对应的斜率不存在. [真题5]解析(1)以C为坐标原点，CD,CB,CC所在直线为 (4)错误.当直线与x轴垂直时，直线的斜率不存在，无法用 x,y,g轴建立空间直角坐标系，如图， 该公式求斜蒹 ·199 (5)错误.倾斜角为锐角时斜率为正，倾领斜角为纯角时斜率 随堂检测·学以致用 为负， (6)正确.因为tan200°=tan(180°+20)=tan20°，.所以领 1.C图霸由题意可得针率人-号号一景收选C须： 斜角为20. 2.B 解析因为直线经过点A(一2,0)，B(一5,3)，所以其斜率k= 答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)√ -5--2=-1,设其领斜角为00≤0<180)，则am0 3-0 关键能力·素养提升 [例题1]解析(1)因为a是克线的倾斜角，所以0°≤a<180°， 一1，所以0=135°.故选B项. 又直线（经过第二、四象限，所以直线（的领斜角。满足的 3D解罚由直线AB的斜率长=m135=-1,得洁名-1， 条件是90°<a<180°.故选C项. (2)根据题意，画出图形，如图所示，通过图象可知，当0°≤ 解得y=-5故选D项. a<135时，山4的颅斜角为a十45°：当135°≤a<180°时，l的 4.解析设直线AB,BC的斜率分别为k格，k:,则由斜率公式 倾斜角为45°+a一180°=a一135°.故选AB项】 得ku=2号-1.6e=里之-号（m-2.周为A.B. 2-3 C三点共线，所以kw=e,即-1=一号(m一2)，解得 m- 答案(1)C(2)AB [变式1门解析(1)有两种情况：①如图a,直线1向上的方向与 圈号 x轴正向所成的角为60°，即直线1的倾斜角为60°：②如图 b,直线1向上的方向与x轴正向所成的角为120°，即直线1 2.1.2两条直线平行和垂直的判定 的领斜角为120°.故直线1的倾斜角为60°或120°. 必备知识·基础落实 要点一 1=k2两直线的斜率都不存在 60 [思考]提示不是，垂直于x轴的两条直线，虽然平行，但斜率 不存在。 要点二 (2)设直线2的倾斜角为四，因为与向上的方向所成的 kk2=-1l4⊥l2 角为120°，所以∠BAC-120°，所以a2=120°+a=135. [辨析]解析(1)错误.当一条直线的斜率不存在，另一条直线 答率(1)60°或120°(2)135 的斜率为0时，两直线也垂直. [例题2到照翻)存在。直钱AB的针幸k如》1 (2)错误，若两条直线平行，则这两条直线的方向向量只要 共线即可， -1-3 (2)存在.直线CD的斜率km=28一1 (3)错误，当一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为 0时，两条直线才垂直. (3)当a=b时，A,B两点的横坐标相等，直线AB⊥x轴，斜 (4)正确.斜率都不存在且不重合的两条直线都是垂直于x 丰不存在：音a6时，针率存在，由针车公式知一合 轴的直线，所以这两条直线平行 答累1)×(2)×(3)×(4)√ [变式2]解析(1)由题意和斜率的概念可得，直线的斜率为 tan135=-1. 关键能力·素养提升 (2)由斜率公式得k=上”=1，解得m=1. [例题1解析设直线4，l的斜率分别为k1,k, m十2 7n-3 (3)直线的倾斜角是钝角，则直线的斜率k仙=m十< a%=1k-号 因为k1=k,所以l4与4重合或∥l2 0,解得m<2或m>3,故实数m的取值范围是（一∞，2）U (2)山与都与x轴垂直，通过数形结合知1∥2. (3,+∞). 8%-9昌-1k=29名-1 0-3 答累(1)-1(2)1(3)(-60,2)U(3,+c∞) [例题3]解析由题意可得经过A,B两点的直线的斜率k= 因为k1=k2,所以由数形结合知41∥l2: 号二号-1，经过A.C两点的直线的率x（二》 4%==2=号- 1,所以kw=kx,又因为A是公共点，所以A,B,C三点在同 因为=一1，所以4L4. 一条直线上. [变式3]解析(1)由题意和斜率公式可得直线AB的斜率kw 6以的针率不存在k号-0， 2-31 写-号由>0 437,直线AC的斜率kx=03 画出图形如图所示，由图知⊥2 及kx>0可知，直线AB与AC的倾斜角均为锐角， (2)如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由k如增 2 大到k所以直线AD的针率的交化范国是[7，号] -1123 -F +B 答案(1)山与1重合或4∥(2)4∥4(3)∥ (4)l⊥(5)l⊥ ·200·