1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示 空间中直线、平面的平行 （学生用书）【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

第一章空间向量与立体几何 1.4空间向量的应用 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 第一课时 空间中点、直线和平面的向量表示 空间中直线、平面的平行 [学习目标]1，能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量，培养数学抽象的核心素 养，2.会求直线的方向向量与平面的法向量，强化数学运算的核心素养（重点），3.能用向量语言表述直线与直 线、直线与平面、平面与平面的平行关系，提升数学抽象的核心素养，4.能用向量方法判断或证明直线、平面间 的平行关系，提升逻辑推理和直观想象的核心素养（难点）.5.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位 置关系的判断，提升逻辑推理和直观想象的核心素养。 必备知识基础落实 答案见P 要点一空间中点、直线和平面的向量表示 此可知，空间中任意平面由 1.空间中点的位置向量：如图，在空间中，我们取 唯一确定。 一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就 4.平面的法向量：如图，若直线⊥《，取直线1的 可以用向量OP来表示.我们把向量OP称为点 方向向量a,我们称向量a为平面a的 P的位置向量. :给定一个点A和一个向量a,那么 的平面完全确定，可以表 示为集合 0 2.空间中直线的向量表示式：如图，a是直线1的 方向向量，点A和点P为直线1上的点，在直 线l上取AB=a,取定空间中的任意一点O,可 >思考：直线的方向向量和平面的法向量是不是 以得到点P在直线！上的充要条件是存在实 唯一的？ 数t,使OP=OA+a①，将AB=a代入①式 得O币-OA+1AB②，①式和②式都称为空 间直线的向量表示式.由此可知，空间任意直 线由 唯一确定 要点二空间中直线、平面的平行 1.线线平行的向量表示：设4，分别是直线1， 12的方向向量，则l∥2台 3空间平面的向量表示式：取定空间任意一点O,可 以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条 2.线面平行的向量表示：设u是直线1的方向向 件是存在实数x,y,使 ③.我 量，n是平面a的法向量，l￠a,则l∥a台 们把③式称为空间平面ABC的向量表示式.由 ·23· 数学选择性必修第一册课堂学案 3.面面平行的向量表示：设n1,n2分别是平面a,3 (2)两直线的方向向量平行，则两直线平行. 的法向量，则a∥3= () 辨析 (3)若两个平面平行，则这两个平面的法向量 判断正误，正确的画“/”，错误的画“×” 平行 () (1)若两条直线平行，则它们方向向量的方向 (4)若向量a是直线l的一个方向向量，则向量 相同或相反 ( k如也是直线！的一个方向向量 () 关键能力素养提升 答案见P 探究一 求平面的法向量 【变式1】已知点A(1,0,1),B(0,1,1),C(1,1, 0),求平面ABC的一个法向量. 解题技巧 利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为n=(x,y,x). (2)选向量：在平面内选取两个不共线的向量 AB.AC n·AB=0, (3)列方程组：由 ln·AC=0 列出方程组， n·AB=0, (4)解方程组： In AC=0. (5)赋非零值：取x,y,z其中一个为非零值 (常取士1). (6)得结论：得到平面的一个法向量」 【例题1】如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面 是直角梯形，AD∥BC,∠ABC=90°，SA⊥底 面ABCD,且SA=AB=BC-1,AD=2,建立 适当的空间直角坐标系，分别求平面SDC与 平面SAB的一个法向量， 探究二 直线和直线平行 答题模板 证明空间两直线平行的步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系，求出相应点 的坐标，得到对应直线的方向向量： (2)证明两向量共线： (3)说明其中一个向量所在直线上的一点不 在另一个向量所在的直线上，即可得证， 24 第一章空间向量与立体几何 【例题2】如图所示，在正方体 【例题3】在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD ABCD-ABCD中，PQ与 是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD,PD= 直线AD和AC都垂直.求 DC,E是PC的中点.求证：PA∥平面EDB 证：PQ∥BD. 【变式2】在正方体ABCD-ABCD中，E为AA 的中点，F为CC的中点.求证：BF∥DE 【变式3】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平 面ABCD,PB与底面所成的角为45°，底面 ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°， PA=BC=2AD=1,问在棱PD上是否存在 一点E,使CE∥平面PAB?若存在，求出点 E的位置：若不存在，请说明理由 探究三利用空间向量证明线面平行 规律总结 利用向量法证明线面平行的三个思路 (1)设直线1的方向向量是a,平面α的法向量 是u,要证明l∥a,只需证明a⊥，即a·1=0. 求解法向量时，赋值与运算一定要准确 (2)根据线面平行的判定定理：平面外一条直 线与此平面内的一条直线平行，则该直线与 此平面平行，要证明一条直线和一个平面平 行，只需在平面内找一个向量与已知直线的 方向向量是共线向量即可， (3)根据共面向量定理可知，要证明一条直线和 一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量 能够用平面内两个不共线向量线性表示即可. ·25· 数学选择性必修第一册课堂学案 探究四 平面和平面平行 【变式4】已知正方体ABCD-A,B,CD的棱长 为2，E,F分别是BB1,DD1的中点，求证：平 规律总结 面ADE∥平面B,CF 证明面面平行的常用方法 (1)转化为相应的线线平行或线面平行： (2)分别求出这两个平面的法向量，然后证明 这两个法向量平行 【例题4】已知正方体ABCD-A,B,CD,的棱长 为1，E,F,G分别为AB,AD,AA的中点，求 证：平面EFG∥平面B,CD, 444444444444444444444444444 随堂检测学以致用 答案见P 1.若点A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线1上，则直 (1,2,-1),=(一3，一6,3)，则 () 线！的一个方向向量为 A.a∥3 A.(1,2,3) B.(1,3,2) B.a⊥3 C.(2,1,3) D.(3,2,1) C.a,3相交但不垂直 2.(多选)若直线4和的方向向量分别是a=(1, D.以上均不正确 -1,2).b=(-2,2,一4)，则 ( 4.已知平面ABC,且A(1,2,一1)，B(2,0,-1), A.1∥ B.4与2相交 C(3,一2,1)，则平面ABC的一个法向量 C.l与l2重合 D.以上都不正确 为 3.若两个不重合平面a,3的法向量分别为u= 是示完成P:课时作业（七） 第二课时空间中直线、平面的垂直 [学习目标]1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系，培养数学抽象的核心素 养.2.能用向量方法判断或证明直线、平而间的垂直关系，提升逻辑推理和直观想象的核心素养（重难点）.3.能 用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理，强化逻辑推理和直观想象的核心素养. ·26·-2x+3y=0, 8 x1 所以 解得 12 所以D(是o) y= 3 所以0，D=o市-√()+()+4=2 13 随堂检测·学以致用 所以心-(31,0)房=(-20,1) 1B解析由题意可得OM=A店=O市-OA,所以O成=O成+ 显然向量Ai=(号，0,0)是平面SAB的一个法向量。 OA=(9,1,1),即点B的坐标为(9,1,1).故选B项. 设n=(x,y,)为平面SDC的法向量， 2.A解析因为b-c=(-2,3,1),且a⊥(b-c),所以a·(b c)=4十3x十2=0，解得x=一2.故选A项. n:D心-之x+=0, y=-2x 即 3.C解析a+b=(0,-1,1)十(4,1,0)=(4,1一A,A),由已 1 =2 知得a十b=√4+(1一)+灭=√2四，且A>0,解得λ= 取x=2,得y=-1,2=1, 3.故选C项. 故平面SDC的一个法向量为(2，一1,1). 4.解折因为Ai=(0,3,3),AC=(-1,1,0),所以AB1=3V2, [变式1]解杨设平面ABC的法向量为n=(r,y,x),由已知可 AC=2,A店·AC=0×(-1)+3×1+3×0=3,所以 得Ai=(0,1,1)-(1,0.1)=(-1,1,0),BC=(1,1,0)-(0,1 需活-宁又∈0闲，所以 c0s(A店Ad=A·A花 1)=(1,0,-1),则n·AB=(xy.)·(-1,1,0)=-x+ y=0,n·BC=(x,,x)·(1,0,-1)=x-2=0.不妨令 AB.Ad=号 x=1.则y==1.因此可取n=(1,1,1)为平面ABC的一 个法向量 俗累牙 [例题2]匠明以，点D为坐标原点·以DA,心，D心的方向分别 1.4空间向量的应用 为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系，令AD=1,则D(0, 0,0),A(1,0.1).A(1,0,0),C(0.1,0),D(0,0,1D,B1,1.0),所 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 以DA=1,0,1,AC=(-1,l,0),设r-(a,b),由PQ1 第一课时空间中点、直线和平面的向量表示 AD.PQ⊥AC,得 =0心 P0·AC=0. -a+b=0 令a=1,则 空间中直线，平面的平行 必备知识·基础落实 -(11,-1.因为B0=(0.0,1)-(1,1.0=(-1,-11)= 要点一 —夜.所以P夜/BD.又PQ与BD没有公共点，所以PQ∥BD. 2.直线上一点及直线的方向向量 [变式2]证朋以A为原点，AB,AD,AA的方向分别为x轴、y 3.O币-Oi+xA苏+yAC空间一点及两个不共线向量 轴、：轴的正方向，正方体的棱长为单位长度，建立如图所 4.法向量过点A且以向量a为法向量{Pa·AP=0 示的空间直角坐标系， [思考]提示直线的方向向量和平面的法向量都不唯一，各有 无数个，且直线的方向向量都是共线向量，平面的法向量都 是共线向量，解题时，可以选取坐标最筒的向量作为方向向 量或法向量 要点二 L.山∥h3入R,使得M=2 2.ulnu·n=0 3.m∥ne3A∈R,使得n:=ng 则B1.00),D0,1,1),E(0,0,号)F(1.1,2) [辨析]解析口)正确.相互平行的两条直线的方向向量共线， 所以B亦=(01,2)DE=(0,-1,-号）， 所以两向量的方向相同或相反. (2)错误.两直线的方向向量平行，这两直线可能平行或 因为B亦=一D,店，所以B亦∥DE,所以BF∥DE 重合 [例题3]证明以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐 (3)正确.由法向量的概念可知正确. 标系，设PD=DC=a.连接AC,交BD于，点G,连接EG (4)错误.当k=0时，加=0不是直线l的方向向量. 答累(1)√(2)×(3)√(4)× 关键能力·素养提升 [例题1门解析以A为坐标原点，AD,AB,AS所在直线分别为 x轴，y轴、：轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axy, 则A(0,0,0),D(2,0,0）.C1,1,0).50,0,1D, ·192· 依题意得D(0,0,0).A(a,0,0),B(a,a,0),P(0,0,a), E(o,号，号) 方法一设平面EDB的法向量为n=(x,y,x), 又成=(o,号，号），成=(a,受-受) ndi-0.∫受+)=0， 即/y+=0, 设m1=(x,1)为平面EFG的法向量，=(g,”,) 则 即 n…成=0，(+岂-)=0 12x+y-x=0. 为平面BCD的法向量， 令=1，则1， n·EF=0, 20-2y=0. 则 即 y=-1. 所以n=(1,-11), m·EG=0, 1 (-2+2=0. 又PA=(a,0,-a,所以n·PA=(1,-1.l)·(a,0,-a)=a 令0=1，可得y1=一1，=-1，则n=(1,一1，一1)， a=0,所以n⊥PA 同理可得2=(1，一1，一1). 又PA庄平面EDB,所以PA∥平面EDB. 由n=n,得m∥n:,所以平面EFG∥平面BCDL. 方法二因为四边形ABCD是正方形， [变式]正明建立如图所示的空间直角坐标系Dx)y, 所以G是此正方形的中心， 故点G的坐标为（受，号0），所以E=(号0，-号) 又PA=(a,0,一a),所以PA=2EG,这表明PA∥EG 而EGC平面EDB,且PA吐平面EDB,所以PA∥平面EDB. 方法三假设存在实数入，使得PA=入DE十红EB, 则D(0,0,0),A(2.0,0),C(0,2,0),C(0,2,2),E(2,2,1) 即(a0,-a)=(0,受，号)+(a,受，-受) F(0,0.1),B(2,2,2), a-pa. 所以F=(0,2.1),DA=(2,0,0),A正=(0,2,1D.CB=(2.0.0), 财0=·号·受解得所以=庇+应 设n=(,)是平面ADE的法向量， =l 1m.DA=2=0. 1m·AE=2十名=0 解得=0， x1=-2y. 又PA吐平面EDB,所以PA∥平面EDB. 令=2，则y1=-1,所以可取m1=(0,一1,2). [变式3]解析假设存在，点E,使CE∥平面PAB,以A为原，点， 同理，设m=(,)是平面BCF的法向量， 分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、轴建立空间 n:·FC=2+2=0 直角坐标系Axy,如图所示，则P(0,0,1),C(1,1,0),D(0, 则 n·CB=2x2=0, 解得=0， 2=-2w. 2,0). 令=2，得边=一1，所以=(0，一1,2). 因为n=n,即n1∥，所以平面ADE∥平面B,CF 随堂检测·学以致用 1.A解析由题意可得，直线1的一个方向向量AB=(2,4,6), 又市=1,23)，所以向量12,3)是直线1的-个方向 向量，故选A项， 设E(0,y,),则PE=(0.y.-1).PD=(0,2,-1). 2.AC解析因为b=一2a,所以l与平行或重合.故选 因为P正/Pi,所以(-1)×y-2(:-1)=0, ① AC项， 因为AD=(0,2,0)是平面PAB的一个法向量， 3.A解折因为v=一3u,所以y∥u,故a∥B故选A项. 且CE-(-1y-1,).CE∥平面PAB, 4.解折AB=(1,一2,0)，AC=(2,一4,2)，设平面ABC的法向 所以CE1AD,所以(-1y-1)·(0,2,0)=0 量为n=(x,y,),则 所以y=1,代入①得=之所以E是PD的中点， 6。 令y=1,得x=2,2=0,故平面ABC的一个法向量为n=(2, 所以存在，点E,当点E为PD的中点时，CE∥平而PAB. 1,0). [例题4]证明由题意可建立如图所示的空间直角坐标系 答系(2,1,0)（答案不唯一） Dxy,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0).D(0,0,0) 第二课时空间中直线，平面的垂直 Aa,0.1D,Ba1D.D0.0D.E1,号0），F20,0 必备知识·基础落实 要点 1,0.2) 1.⊥4·k=0 所以=(-号，-0)，=(0，-) 2.u∥nu=n 3.n:⊥n·ne=0 ·193·