1.4.1 第2课时 空间中直线、平面的垂直（学生用书）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

数学选择性必修第一册课堂学案 探究四 平面和平面平行 【变式4】已知正方体ABCD-A,B,CD的棱长 为2，E,F分别是BB1,DD1的中点，求证：平 规律总结 面ADE∥平面B,CF 证明面面平行的常用方法 (1)转化为相应的线线平行或线面平行： (2)分别求出这两个平面的法向量，然后证明 这两个法向量平行 【例题4】已知正方体ABCD-A,B,CD,的棱长 为1，E,F,G分别为AB,AD,AA的中点，求 证：平面EFG∥平面B,CD, 444444444444444444444444444 随堂检测学以致用 答案见P 1.若点A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线1上，则直 (1,2,-1),=(一3，一6,3)，则 () 线！的一个方向向量为 A.a∥3 A.(1,2,3) B.(1,3,2) B.a⊥3 C.(2,1,3) D.(3,2,1) C.a,3相交但不垂直 2.(多选)若直线4和的方向向量分别是a=(1, D.以上均不正确 -1,2).b=(-2,2,一4)，则 ( 4.已知平面ABC,且A(1,2,一1)，B(2,0,-1), A.1∥ B.4与2相交 C(3,一2,1)，则平面ABC的一个法向量 C.l与l2重合 D.以上都不正确 为 3.若两个不重合平面a,3的法向量分别为u= 是示完成P:课时作业（七） 第二课时空间中直线、平面的垂直 [学习目标]1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系，培养数学抽象的核心素 养.2.能用向量方法判断或证明直线、平而间的垂直关系，提升逻辑推理和直观想象的核心素养（重难点）.3.能 用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理，强化逻辑推理和直观想象的核心素养. ·26· 第一章空间向量与立体几何 必备知识基础落实 答案见P 要点直线、平面垂直的向量表示 辨析 1.线线垂直的向量表示：设直线1，l2的方向向 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×” 量分别为山，2，则⊥l2曰 (1)方向向量垂直的两直线互相垂直.( (2)若一条直线的方向向量与平面的法向量垂 2.直线和平面垂直的向量表示：设直线！的方向 直，则该直线与平面垂直 向量为u,平面a的法向量为n,则l⊥a台 (3)若两平面垂直，则这两个平面的法向量所成 台3λ∈R,使得 的角一定是90° () 3.平面和平面垂直的向量表示：设平面a,3的法 (4)若直线1是平面α外的一条直线，直线m 向量分别为n1,n,则a⊥3曰 垂直于直线l在平面a内的投影，则l与m垂直. () 关键能力素养提升 答索见Pu 探究一 证明线线垂直 【变式1】已知正方体ABCD-ABCD中，点E,F 分别是BB,DB的中点，用向量法证明： 规律总结 EF⊥DA. 用向量证明空间两条直线相互垂直的主要思 路是证明两条直线的方向向量相互垂直，即 证明他们的方向向量的数量积为0，证明的 关键是建立恰当的空间直角坐标系，正确地 表示出点的坐标，进而求直线的方向向量 【例题1】如图，△ABC和△BCD 所在平面互相垂直，且AB BC=BD=2,∠ABC=∠DBC 120,E,F分别为AC,DC的中 探究二 直线和平面垂直 点求证：EF⊥BC 规律总结 用向量证明线面垂直的方法与步骤 (1)①建立空间直角坐标系：②将直线的方向 向量用坐标表示：③将平面内任意两条相交 直线的方向向量用坐标表示：④分别计算直 线的方向向量与平面内两相交直线的方向向 量的数量积 (2)①建立空间直角坐标系：②将直线的方向向 量用坐标表示；③求平面的法向量；④说明平面 的法向量与直线的方向向量平行 ·27 数学选择性必修第一册课堂学案 【例题2】如图所示，在正方体ABCD-A,B,CD 探究三平面和平面垂直 中，E,F分别是BB,DC的中点，求证：AE⊥平 面ADF. 解题技巧 空间向量证明面面垂直常用的两个方法 (1)利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直 问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直. (2)直接求解两个平面的法向量，证明两个法 向量垂直，从而得到两个平面垂直 【例题3】如图，在直三棱柱ABC- ABC中，AB⊥BC,AB BC=BB=2,E为BB的中点 求证：平面AEC⊥平面AA,CC 【变式2】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面 ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD, PD=DC,E为PC的中点，EF⊥BP于点F 求证：PB⊥平面EFD. 【变式3】在正方体ABCD-A1BCD中，E是 棱BC的中点，试在棱CC上求一点P,使得 平面ABP⊥平面CDE ·28· 第一章空间向量与立体几何 随堂检测学以致用 答案见Pt 1.若直线4,2的方向向量分别为a=(1,2,一2)， (3)直线1的方向向量，平面α的法向量分别是 b=(-2,3,2),则 a=(1,-4,-3),=(2,0,3). A.l1∥lg B.lh⊥l2 C.l,相交但不垂直D.不能确定 2.已知平面a的法向量为a=(1,2,-2),平面3 的法向量为b=(一2，一4，k),若a⊥3，则k= A.4 B.-4 C.5 D.-5 3.已知直线【与平面α垂直，直线1的一个方向 向量u=(1,-3,≈)，向量v=(3,一2,1)与平 面a平行，则x 4.根据下列各条件，判断相应的直线与直线、平 面与平面、直线与平面的位置关系。 (1)直线4，lg的方向向量分别是a=(1,一3， -1),b=(8,2,2): (2)平面a,3的法向量分别是4=(1,3,0)，= (-3,-9,0)； 提示完成P课时作业（八） 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 第一课时用空间向量研究距离问题 [学习目标]1.能用向量方法解决点到直线，点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题，培养逻 辑推理和直观想象的核心素养（重难点）.2.能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的 作用，提升数学运算的核心素养。 必备知识基础落实 答案见P 要点一点到直线的距离 要点二点到平面的距离 如图，已知直线1的单位方向向量为“，A是直 如图，已知平面a的法向量为n,A是平面a内 线1上的定点，P是直线I外一点，设向量 的定点，P是平面a外一点.过点P作平面a AP=a,则向量AP在直线1上的投影向量 的垂线l,交平面α于点Q,则n是直线I的方向 AQ=(a·u)u,则点P到直线l的距离PQ= 向量，且点P到平面α的距离就是AP在直线I上 的投影向量QP的长度.因此PQ- ·29·依题意得D(0,0,0).A(a,0,0),B(a,a,0),P(0,0,a), E(o,号，号) 方法一设平面EDB的法向量为n=(x,y,x), 又成=(o,号，号），成=(a,受-受) ndi-0.∫受+)=0， 即/y+=0, 设m1=(x,1)为平面EFG的法向量，=(g,”,) 则 即 n…成=0，(+岂-)=0 12x+y-x=0. 为平面BCD的法向量， 令=1，则1， n·EF=0, 20-2y=0. 则 即 y=-1. 所以n=(1,-11), m·EG=0, 1 (-2+2=0. 又PA=(a,0,-a,所以n·PA=(1,-1.l)·(a,0,-a)=a 令0=1，可得y1=一1，=-1，则n=(1,一1，一1)， a=0,所以n⊥PA 同理可得2=(1，一1，一1). 又PA庄平面EDB,所以PA∥平面EDB. 由n=n,得m∥n:,所以平面EFG∥平面BCDL. 方法二因为四边形ABCD是正方形， [变式]正明建立如图所示的空间直角坐标系Dx)y, 所以G是此正方形的中心， 故点G的坐标为（受，号0），所以E=(号0，-号) 又PA=(a,0,一a),所以PA=2EG,这表明PA∥EG 而EGC平面EDB,且PA吐平面EDB,所以PA∥平面EDB. 方法三假设存在实数入，使得PA=入DE十红EB, 则D(0,0,0),A(2.0,0),C(0,2,0),C(0,2,2),E(2,2,1) 即(a0,-a)=(0,受，号)+(a,受，-受) F(0,0.1),B(2,2,2), a-pa. 所以F=(0,2.1),DA=(2,0,0),A正=(0,2,1D.CB=(2.0.0), 财0=·号·受解得所以=庇+应 设n=(,)是平面ADE的法向量， =l 1m.DA=2=0. 1m·AE=2十名=0 解得=0， x1=-2y. 又PA吐平面EDB,所以PA∥平面EDB. 令=2，则y1=-1,所以可取m1=(0,一1,2). [变式3]解析假设存在，点E,使CE∥平面PAB,以A为原，点， 同理，设m=(,)是平面BCF的法向量， 分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、轴建立空间 n:·FC=2+2=0 直角坐标系Axy,如图所示，则P(0,0,1),C(1,1,0),D(0, 则 n·CB=2x2=0, 解得=0， 2=-2w. 2,0). 令=2，得边=一1，所以=(0，一1,2). 因为n=n,即n1∥，所以平面ADE∥平面B,CF 随堂检测·学以致用 1.A解析由题意可得，直线1的一个方向向量AB=(2,4,6), 又市=1,23)，所以向量12,3)是直线1的-个方向 向量，故选A项， 设E(0,y,),则PE=(0.y.-1).PD=(0,2,-1). 2.AC解析因为b=一2a,所以l与平行或重合.故选 因为P正/Pi,所以(-1)×y-2(:-1)=0, ① AC项， 因为AD=(0,2,0)是平面PAB的一个法向量， 3.A解折因为v=一3u,所以y∥u,故a∥B故选A项. 且CE-(-1y-1,).CE∥平面PAB, 4.解折AB=(1,一2,0)，AC=(2,一4,2)，设平面ABC的法向 所以CE1AD,所以(-1y-1)·(0,2,0)=0 量为n=(x,y,),则 所以y=1,代入①得=之所以E是PD的中点， 6。 令y=1,得x=2,2=0,故平面ABC的一个法向量为n=(2, 所以存在，点E,当点E为PD的中点时，CE∥平而PAB. 1,0). [例题4]证明由题意可建立如图所示的空间直角坐标系 答系(2,1,0)（答案不唯一） Dxy,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0).D(0,0,0) 第二课时空间中直线，平面的垂直 Aa,0.1D,Ba1D.D0.0D.E1,号0），F20,0 必备知识·基础落实 要点 1,0.2) 1.⊥4·k=0 所以=(-号，-0)，=(0，-) 2.u∥nu=n 3.n:⊥n·ne=0 ·193· [辨析]解杨(1)正确.由线线垂直的向量表示可知正确 (2)错误.若一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则 该直线与平面平行或在平面内， (3)正确.若两平面垂直，则这两个平面的法向量也垂直，所 以这两个平面的法向量所成的角一定是90° (4)错误.若直线m在平面a外，例如m⊥a,尽管m垂直于 直线l在平面a内的投影，但也不能得出Lm的结论 设DC=PD=1,则P(0,0,1),A(1.0,0),D(0,0,0),B(1, 答累(1)/(2)×(3)√(4)× 关键能力·素养提升 1.0.E(0,号)，所以Pi=11.-10.成-(0，号 [例题1门证明由题意，以点B为坐标原点，在平面DBC内过 )成-(1,22) 点B作垂直于BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在 平面ABC内过点B作垂直于BC的直线为：轴，建立如图 方法一 国为成.D成-=a1,-1…(o,2)）=0叶号 所示的空间直角坐标系。 是=0，所以P店1D2,即PB1DE, 图为PB⊥EF,且EFODE=E,EF,DEC平面EFD, 所以PB⊥平面EFD. 方法二设Fxy,,期P市=(x,y,2-1),E=（x,y 合》 易得B(0.0.0),A(0,-13),D(3.-1,0),C(0,2,0), 因为E萨1P店，所以x+(小-）-(-2)=0，即x+ 从而E(o,号)r(号，0)： y-=0. ① 所以E求=（停0，-号）C=02.0), 又因为P币∥P成，所以可设P亦=AP(0≤≤1)， 所以=入，y=A,之一1=一入 ② 因此E萨.BC=O.从而E序LBC,所以EF⊥BC 1 2 [变式1]证明如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，设 正方体的棱长为2， 所以成-（合-言言）月 设n=(,)为平面EFD的法向量， /n:·EF-0. -为+=0， 1 则有 即 m·Di=0, +3=0 1 所以{二二取=1，则m=(一1-1,1。 则可得D(0,0,0),A(2.0,2),E(2,2,1),F(1,1,2) 所以DA=(2.0,2),EF=(-1,-1,1). 所以PB∥，所以PB⊥平面EFD. [例题3]证明由题意得AB,BC,BB两两垂直，以B为原点， 所以DA·E亦=2×(-1)+0×(-1)+2×1=0， B,BC,BB,的方向分别为x轴y轴，：轴的正方向，建立 所以DA⊥E求，即EF⊥DA. 如图所示的空间直角坐标系， [例题2]证明如图所示，建立空间直角 坐标系，设正方体的校长为1， 则A10.0,E(11,)A1,0 1D.D0,0.1D.F(o.号0）. 所以A正=(01，克）A=(-1, 则A(2,0,0),A(2,0,2),C(0,2,0),C(0,2,2),E(0,0,1), 则A4=(0.0,2),AC=(-2,2,0),AC=(-2,2,2), 0.0.DF-(0.2,-1） AE=(-2,0,1). 设平面A1DF的法向量为n=(x,y,z), 设平面AA1CC的法向量为n1=(xM,), n·AD=0.-x=0, m·AA=0,21=0. → 0产=0.y-= 则 解得x=0, 1n1·AC=01-2.+2y=0, ly=2: 令x1=1,得1=1，所以n=(1,1,0). 令=1，则n=(0.2,1).又A正-(0.1，令)，所以n=2A它 设平面A℃的法向量为=(2为，2)， n·ACi=0,∫-2x2+2为+2x=0, 所以n∥AE,即AE⊥平而A1DF 则 m.A定=0{-2m+=0, [变式2]证明由题意得，DA,DC,DP两两垂直，所以以D为 令2=2，得x=1,32=一1，所以2=(1，一1,2). 坐标原点，DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、轴建 因为m1·n=1×1+1×(-1)+0×2=0, 立空间直角坐标系Dxy,如图， 所以n1⊥n2,所以平面AEC⊥平面AACC ·194· [变式3]解如图所示，以D为坐标原 DD所在直线为x轴、y轴、：轴建立空间直角坐标系 点，分别以DA,DC,DD,所在直线 Dxy,如图所示. 为x轴、y轴、之轴建立空间直角坐标 系.设正方体的棱长为1，则D(0,0, 0),P(0,1,a),A1(1,0.1),B(1,1,1). E(号1,0G(0,11),则AB= 01,0,Ap=(-1,1a-D,d=(号1,0），元=0,1D. 设平面ABP的法向量为n1=(m), 则A(2,0,0),E(0,2,1),F(1,0,2),EF=(1,-2,1). 剥：A-0所以=0 设点M满足FM=AEF且AM⊥EF,令M(.x,y,), m·AP=0. 所以(x-1,y,2-2)=A(1.-2,1), (-+y+(a-1)=0. 所以x=A十1，y=一2以，x=A十2， 令=1，得=a-1,所以n=(a-1,0,1) 所以M(1+1,-2,A+2),所以AM=(a-1,-2A,a+2), 设平面CDE的法向量为n=(x4,边，)， 1 因为AM1EF,所以AM.E亦-入-1+从十A+2=0,解得 m·D或0：所以会+0， n·Dc=0. h十2=0. 言所以i=(一专合岩》 令32=1，得19=一2,2=-1，所以2=（一2,1，一1）. 所以-√专)+（信》+（借-， 因为平面AB,P⊥平面CDE, 所以m·m=0,即一2(a-1)-1=0,解得a=2 所以成A到直线F的距离为 所以当P为CC的中点时，平面A1BP⊥平面CDE 方法二以D为坐标原，点，分别以DA,DC,DD,所在直线 为x轴、y轴、：轴建立空间直角坐标系Dxy,如图所示. 随堂检测·学以致用 1.B解粉因为a·b=1×(一2)+2×3+(-2)×2=一2+ 6-4=0,所以a⊥b,所以11⊥2，故进B项. 2.D解析因为a⊥3，所以a⊥b,所以a·b=-2-8-2k=0, 所以k=一5.故选D项. 3.解析由题意得L,所以1·=3十6十之=0，所以=一9. 答案一9 则A(2,0,0),E(0,2,1),F(1,0,2) 4.解折(1)因为a·b=1×8+(-3)×2+(一1)×2=0， 所以E亦=(1，-21)，FA=(1,0,-2. 所以4⊥. 所以E=P+(-2)+=6,下A.E亦=1×1+0× (2)因为=(-3，-9,0)=-3(1,3,0)=-3u,所以a∥a (-2)+(-2)×1=-1, (3)因为a·u=一7≠0，所以l不与a平行，也不在a内. 又a,4不共线，所以l与a不垂直.故1与a斜交. 所以成金萨上的投影长度为面亩-所以点A到 EFI 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 直线F的矩病d√成-（管-√零-网 第一课时用空间向量研究距离问题 [变式1门解析以B为坐标原点，分别以BA,BB,所在直线为x 必备知识·基础落实 轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 要点一 a-(a·u) 要点二 市员 AP.n AP.nl n n [辨析门解析(1)错误.直线外一，点到直线的距离是过该点作已 则B(0,0,0),A(2,0,2),C(13,2),所以AC的方向向 知直线的垂线段的长度 量AG=(-13,0),B=(1,3,2),所以可得点B到直线 (2)正确.直线和平面平行时，直线上所有的点到平面的距 离都是相等的，所以直线上任意一点到平面的距离就是直 AC的距离d= 屁（国·亮 线到平面的距离， (3)正确.根据面面平行的概念可知正确. (4)错误.当直线与平面相交时，直线与平面的距离无法 [例题2]解析以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系D, 求出. 如图所示， 答3(1)×(2)/(3)√(4)× 所以D(0,0,0),B(1,1,0),D(0,0.2),E(0,1,1),故DB 关键能力·素养提升 (1,1,0),DE-(0,1,1).设平面BDE的法向量为n=(x [例题1门解扬方法一以D为坐标原，点，分别以DA,DC, y,),则n⊥DB,n⊥DE ·195·