第13讲 锐角的三角比的意义（七大题型）-【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

第13讲 锐角的三角比的意义（七大题型） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（七大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、理解锐角三角比的几何意义； 2、会求一个锐角的锐角三角比； 3、掌握锐角三角比是否会随角度变化。 4、知道锐角三角比的取值范围。 一、知识引入 我们先来看一看，古希腊数学家怎样利用相似三角形的性质测量埃及大金字塔的高. 如图25- 1所示，设 AB 是大金字塔的高.在某一时刻，阳光 照射下的大金字塔在地面上投下了一个清晰的阴影，塔顶A的影子落在地面上的点C 处.与此同时，直立地面上的一根标杆 DO留下的影子是OE.由于射向地面的太阳光线(如 AC 、DE) 可以看作是平行线(AC//DE), 因此图中的∠ACB与∠DEO相等.于是，Rt△ABC ∽Rt△DOE,得 这样，只要量出BC、DO 、OE的长，就可以算出塔高 AB. 进一步分析上述测量过程.标杆 DO 的长度可以自主选定，标杆DO的影长OE随DO确定. 把比例式 改写,可见在Rt△DOE中，的值是确定的. 图25- 1 二、正切和余切 问题1：对于一个直角三角形，如果给定了它的一个锐角的大小，那么它的两条直角边的比值是否是一个确定的值? 如图25-2所示，任意画一个锐角A, 在角A 的一边上任意取点，例如取 B₁、B₂、B₃ 三点，再分别过这三个点向另一边作垂线，垂 足依次为点 C₁ 、C₂ 、C, 从而得到三个直角三角形，即△AB₁C1、 △AB₂C₂ 和△AB3C3. 图25-2 因为这三个直角三角形有公共的锐角A, 所以△AB₁C₁∽△AB₂C₂∽△AB₃C于是得 由此可见，如果给定直角三角形的一个锐角，那么这个锐角的 对边与邻边的长度的比值就是一个确定的数. 问题2：在图25-2中，当直角三角形中一个锐角的大小变化时，这个锐角的对边与邻边的长度的比值随着变化吗? 图25-3 如图25—3所示，当锐角MAP 变化为锐角NAP时，在 AP上任取一点C, 过点C作CE⊥AP, 垂足为点C,CE 分别交AM、 AN于点D 、E,得Rt△ACD和 Rt△ACE, 这时 显然，这两个比值是不同的， 说明直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的长度的比值随着这个锐角的大小的变化而变化. 通过上面的讨论，可以得到：如图25—4,在Rt△ABC中 (∠C=90°), 当锐角A的大小确定后，不论 Rt△ABC 的边长怎样变化，∠A的对边BC与邻边AC的比值总是确定的，即 图 2 5 - 4 我们把直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切. 如图25 - 4,锐角A的正切记作tanA, 这时 例题1 在 Rt△ABC中，∠C=90°,AC=3,BC=2, 求 tanA和tanB 的值(如图25-4). 解 在 Rt△ABC中， ∵ AC=3,BC=2, 当直角三角形的一个锐角的大小确定时，这个锐角的邻边与对边的比值也是确定的. 我们把直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这锐角的余切. 如图25 - 4,锐角的余切记作cotA这时 根据正切与余切的意义，可以得到 三、正弦与余弦 在图25-2中，我们还可以得到下列等式： 这就是说，如果直角三角形的一个锐角是确定的，那么它的对边(或邻边)与斜边的比也是确定的. 我们定义： 直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦. 直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦. 如图25-4,在 Rt△ABC 中，∠C=90°, 锐角A的正弦记作sinA, 这时 锐角A的余弦记作 cosA,这时 想一想： 在Rt△ABC 中，∠C=90°, 锐角B的余弦用哪两条边的比表示? cosB与sinA有什么关系? 一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比 . 任何一个锐角的三角比的值都是正实数，其中正弦和余弦的 值小于1(为什么?). 锐角A的三角比tanA、cotA、sinA、cosA中， tanA>0,cotA>0; 0<sinA<1,0<cosA<1. 题型1：求锐角的三角比（几何图形类） 1．如图，在 中，．（1）斜边 ；（2） 的对边 ；（3） 的邻边 ；（4） ． 2．如图，已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知：如图，在中，求的值． 4．如图，在中，，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，若，则（    ） A． B． C． D． 题型2：求锐角的三角比（数学语言类） 6．在Rt△ABC中，∠C=90º，那么等于（    ） A． B． C． D． 7．在中，，，，求，和的值． 8．在中，，、、分别为、、的对边，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 题型3：锐角的三角比的变化问题 9．在中，，各边都扩大2倍，则锐角A的三角函数值（    ） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小 D．扩大 10．在直角三角形中，各边的长度都扩大到原来的3倍，则锐角A的三角函数值（    ） A．都扩大到原来的3倍 B．都缩小为原来的3倍 C．都保持原来的数值不变 D．有的变大，有的缩小 11．在中，．当确定时，它的正弦值是否随之确定？余弦值呢？正切值呢？为什么？ 题型4：在一图多三角形中求锐角的三角比 12．如图，在中，，，下列用线段比表示的值，错误的是（    ） A． B． C． D． 13．如图，在中，，为斜边的高，D为垂足，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 题型5：在网格中求锐角的三角比 14．如图，在正方形网格中，点都在格点上，则的正切值是 题型6：在平面直接坐标系中求锐角的三角比 15．如图是直线的图像，求锐角的三个三角函数值． 题型7：互余两角的锐角的三角比的关系 16．在中，，，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 17．已知，则的值约为（    ） A． B． C． D． 18．在中，，则的值（    ） A．大于 B．等于 C．小于 D．不确定，与的值有关 19．⊿ABC中，∠C=90°，下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．在中，，那么锐角的正弦等于（      ） A． B． C． D．． 2．在Rt△ABC中，∠C=90°，则是∠A的（　　） A．正弦 B．余弦 C．正切 D．以上都不对 3．在RtABC中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A的正弦值（　　） A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．没有变化 4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，，则sinB的值为（    ） A． B． C． D．2 5．在中，，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，AC＝，tanA的值是（　　） A． B．1 C． D．无法确定 8．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值不等于sinA的是：（     ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．矩形ABCD中AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，tan∠AFE等于（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，在 中，．（1）斜边 ；（2） 的对边 ；（3） 的邻边 ；（4） ． 12．如果是锐角，且，那么的值是 ． 13．如果中，那么 （填的三角比） 14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则tanA的值为 ． 15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cosA的值的有 个 （1） ；（2）；（3）；（4）． 16．如图，已知的三个顶点均在格点上，则 ． 17．如果方程x2-4x+3=0的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为A，那么tanA的值为＿＿＿＿＿＿＿． 18．已知：正方形ABCD的边长为2，点P是直线CD上一点，若DP=1，则tan∠ BPC的值是 19．在以 O 为坐标原点的直角平面内有一点 A 2, 4 ，如果 AO 与 x 轴正半轴的夹角为 ， 那么 的余弦值为 . 20．如图，在矩形中，为上的点，，，则 ． 三、解答题 21．已知， 其中为锐角，求、、的値． 22．如图，在Rt中，，求和的值． 23．在⊿ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=8.求和的値． 24．在△ABC中，∠B=90°，AC边上的中线BD=5，AB=8，求tan∠ACB的值． 25．直线交轴于点A，交轴于点B，求∠ABO的余切、正弦． 26．如图，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作AB和BC边上的高．） 27．如图，在中，． （1）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？ （2）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？ （3）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 锐角的三角比的意义（七大题型） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（七大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、理解锐角三角比的几何意义； 2、会求一个锐角的锐角三角比； 3、掌握锐角三角比是否会随角度变化。 4、知道锐角三角比的取值范围。 一、知识引入 我们先来看一看，古希腊数学家怎样利用相似三角形的性质测量埃及大金字塔的高. 如图25- 1所示，设 AB 是大金字塔的高.在某一时刻，阳光 照射下的大金字塔在地面上投下了一个清晰的阴影，塔顶A的影子落在地面上的点C 处.与此同时，直立地面上的一根标杆 DO留下的影子是OE.由于射向地面的太阳光线(如 AC 、DE) 可以看作是平行线(AC//DE), 因此图中的∠ACB与∠DEO相等.于是，Rt△ABC ∽Rt△DOE,得 这样，只要量出BC、DO 、OE的长，就可以算出塔高 AB. 进一步分析上述测量过程.标杆 DO 的长度可以自主选定，标杆DO的影长OE随DO确定. 把比例式 改写,可见在Rt△DOE中，的值是确定的. 图25- 1 二、正切和余切 问题1：对于一个直角三角形，如果给定了它的一个锐角的大小，那么它的两条直角边的比值是否是一个确定的值? 如图25-2所示，任意画一个锐角A, 在角A 的一边上任意取点，例如取 B₁、B₂、B₃ 三点，再分别过这三个点向另一边作垂线，垂 足依次为点 C₁ 、C₂ 、C, 从而得到三个直角三角形，即△AB₁C1、 △AB₂C₂ 和△AB3C3. 图25-2 因为这三个直角三角形有公共的锐角A, 所以△AB₁C₁∽△AB₂C₂∽△AB₃C于是得 由此可见，如果给定直角三角形的一个锐角，那么这个锐角的 对边与邻边的长度的比值就是一个确定的数. 问题2：在图25-2中，当直角三角形中一个锐角的大小变化时，这个锐角的对边与邻边的长度的比值随着变化吗? 图25-3 如图25—3所示，当锐角MAP 变化为锐角NAP时，在 AP上任取一点C, 过点C作CE⊥AP, 垂足为点C,CE 分别交AM、 AN于点D 、E,得Rt△ACD和 Rt△ACE, 这时 显然，这两个比值是不同的， 说明直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的长度的比值随着这个锐角的大小的变化而变化. 通过上面的讨论，可以得到：如图25—4,在Rt△ABC中 (∠C=90°), 当锐角A的大小确定后，不论 Rt△ABC 的边长怎样变化，∠A的对边BC与邻边AC的比值总是确定的，即 图 2 5 - 4 我们把直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切. 如图25 - 4,锐角A的正切记作tanA, 这时 例题1 在 Rt△ABC中，∠C=90°,AC=3,BC=2, 求 tanA和tanB 的值(如图25-4). 解 在 Rt△ABC中， ∵ AC=3,BC=2, 当直角三角形的一个锐角的大小确定时，这个锐角的邻边与对边的比值也是确定的. 我们把直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这锐角的余切. 如图25 - 4,锐角的余切记作cotA这时 根据正切与余切的意义，可以得到 三、正弦与余弦 在图25-2中，我们还可以得到下列等式： 这就是说，如果直角三角形的一个锐角是确定的，那么它的对边(或邻边)与斜边的比也是确定的. 我们定义： 直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦. 直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦. 如图25-4,在 Rt△ABC 中，∠C=90°, 锐角A的正弦记作sinA, 这时 锐角A的余弦记作 cosA,这时 想一想： 在Rt△ABC 中，∠C=90°, 锐角B的余弦用哪两条边的比表示? cosB与sinA有什么关系? 一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比 . 任何一个锐角的三角比的值都是正实数，其中正弦和余弦的 值小于1(为什么?). 锐角A的三角比tanA、cotA、sinA、cosA中， tanA>0,cotA>0; 0<sinA<1,0<cosA<1. 题型1：求锐角的三角比（几何图形类） 1．如图，在 中，．（1）斜边 ；（2） 的对边 ；（3） 的邻边 ；（4） ． 【答案】 c b a 【分析】根据各边名称定义写出每边的代号即可． 【解析】（1）直角三角形的斜边为最长边c （2）∠B的对边是∠B正对的边b （3）∠B的邻边是a， （4）∠B的对边比斜边即等于b÷c= 故答案为①c②b③a④ 【点睛】本题考查直角三角形各边名称，熟记这些名称是解题关键． 2．如图，已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查余弦的定义，根据余弦的定义即可解答． 【解析】解：在中，． 故选：C． 3．已知：如图，在中，求的值． 【答案】 【分析】根据勾股定理求，再根据余弦的定义求得． 【解析】解：在中， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查勾股定理、余弦的定义，熟练掌握勾股定理、三角函数的定义是解决本题的关键． 4．如图，在中，，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据正弦，余弦，正切的定义进行计算，即可解答，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键. 【解析】解：在中, 故选：． 5．如图，在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查锐角三角函数的定义，熟练掌握正弦，余弦的定义是解题的关键． 【解析】解：，， 故选A． 题型2：求锐角的三角比（数学语言类） 6．在Rt△ABC中，∠C=90º，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据锐角A的邻边a与对边b的比叫做∠A的余切，记作cotA． 【解析】解：∵∠C=90°， ∴=， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握余切定义． 7．在中，，，，求，和的值． 【答案】，，． 【分析】先利用勾股定理计算出b的值，然后根据正弦、余弦和正切的定义求解． 【解析】解： ， 所以， ， ． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义． 8．在中，，、、分别为、、的对边，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角函数的知识，熟记正弦、余弦和正切的定义是解题的关键．正弦是对边比斜边，余弦是邻边比斜边，正切是对边比邻边，据此可判断． 【解析】解：如下图， A. ，故该选项不成立，不符合题意； B. ，故该选项不成立，不符合题意； C. ，故该选项不成立，不符合题意； D. ，故该选项成立，符合题意． 故选：D． 题型3：锐角的三角比的变化问题 9．在中，，各边都扩大2倍，则锐角A的三角函数值（    ） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小 D．扩大 【答案】B 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，三角形相似的判定和性质，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，三角形相似的判定和性质，根据三角形相似的判定，可以确定各边扩大后的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形的性质可知锐角A的度数不变，所以锐角A对应的三角函数值就不变． 【解析】解：因为各边扩大后的三角形与原三角形相似，锐角A的度数不变，锐角A对应的三角函数值就不变． 故选：B． 10．在直角三角形中，各边的长度都扩大到原来的3倍，则锐角A的三角函数值（    ） A．都扩大到原来的3倍 B．都缩小为原来的3倍 C．都保持原来的数值不变 D．有的变大，有的缩小 【答案】C 【分析】理解锐角三角函数的概念：锐角三角函数值即为直角三角形中边的比值． 【解析】解：根据锐角三角函数的概念，可知在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，锐角的三角函数值不变． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角函数，要能理解锐角三角函数的概念，明白三角函数值与边的长度无关． 11．在中，．当确定时，它的正弦值是否随之确定？余弦值呢？正切值呢？为什么？ 【答案】当确定时，正弦值确定，余弦值确定，正切值确定． 【分析】根据正弦函数、余弦函数、正切函数的定义，可得答案． 【解析】解：在中，．当确定时，它的正弦值是随之确定， 理由是：，确定，则三角形的形状确定，对边与斜边的比值是不变的； 在中，．当确定时，它的余弦值是随之确定， 理由是：，确定，则三角形的形状确定，邻边与斜边的比值是不变的． 在中，．当确定时，它的正切值是随之确定， 理由是：，确定，则三角形的形状确定，对边与邻边的比值是不变的． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，正确掌握边角关系是解题关键． 题型4：在一图多三角形中求锐角的三角比 12．如图，在中，，，下列用线段比表示的值，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数关系，正确把握锐角三角函数定义是解题关键．根据锐角三角函数关系的定义分析得出答案． 【解析】解：∵在中，，， ∴，， ∴， ∴． ∴A，B，C正确，不符合题意，D错误，符合题意， 故选：D． 13．如图，在中，，为斜边的高，D为垂足，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义计算判断即可． 【解析】解：A、由，故该项错误，不符合题意； B、由，故该项错误，不符合题意； C、由，故该项错误，不符合题意； D、由，故该项正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了三角函数，熟练掌握三角函数的基本定义是解题的关键． 题型5：在网格中求锐角的三角比 14．如图，在正方形网格中，点都在格点上，则的正切值是 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，正切的定义，连接，利用勾股定理计算出，然后利用勾股定理的逆定理可得到，再根据正切的定义进行计算即可，利用勾股定理的逆定理推动出为直角三角形是解题的关键． 【解析】解：连接， ∵，，， ∴，，， ∴为直角三角形，， ∴， 故答案为：． 题型6：在平面直接坐标系中求锐角的三角比 15．如图是直线的图像，求锐角的三个三角函数值． 【答案】，，． 【分析】根据直线的图像，首先求出与坐标轴的两个交点坐标，根据勾股定理求得两交点之间的距离，进一步利用锐角三角函数的定义求出三角函数值即可． 【解析】解：如图， 直线的图象与x轴的交点A为（，0），即OA=； 与y轴的交点B为（0，5），即OB=5； 则AB==； ===， ， ． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义，解题的关键是熟知一次函数图象上点的坐标特点以及锐角三角函数的定义． 题型7：互余两角的锐角的三角比的关系 16．在中，，，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据各个三角函数的定义即可解答． 【解析】解：A、∵，∴，故A不成立，不符合题意； B、，∴，故B成立，符合题意； C、，∴，故C不成立，不符合题意； D、，∴，故D不成立，不符合题意； 故选：B．    【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，解题的关键的数量掌握各个三角函数的求法． 17．已知，则的值约为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的正弦值和余弦值都是的的值，因此值相等． 【解析】 ∴ 故选：D 【点睛】此题考查锐角三角形函数值，解题关键是分清锐角三角函数中的对边，邻边和斜边分别是哪条边． 18．在中，，则的值（    ） A．大于 B．等于 C．小于 D．不确定，与的值有关 【答案】A 【分析】根据锐角三角函数的概念表示出，，所以；再根据三角形的三边关系进行分析． 【解析】解：设直角三角形中，的对边是，邻边是，斜边是． 根据锐角三角函数的概念，得 ，． 所以， 再根据三角形的三边关系，得， 故的值大于1． 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形，首先理解锐角三角函数的概念，再结合三角形的三边关系进行分析． 19．⊿ABC中，∠C=90°，下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义就可以解决． 【解析】解：如图所示，Rt△ABC中，设AC=b，BC=a，AB=c．根据锐角三角函数的定义： A、∵tanA=，cotA=， ，∴ ，故成立； B、∵tanA=，cotB=， ，∴ ，故不成立； C、∵tanA=，cotB=，∴，故不成立； D、∵cotA= ，tanB=，∴，故不成立； 故选：A． 【点睛】本题考查直角三角形中两锐角的三角函数之间的关系，结合图形容易求解． 一、单选题 1．在中，，那么锐角的正弦等于（      ） A． B． C． D．． 【答案】B 【分析】根据锐角三角函数的定义可直接得出结果． 【解析】在中，，那么锐角的正弦=， 故选：B． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，属于基础题，需要熟练掌握锐角三角函数的定义． 2．在Rt△ABC中，∠C=90°，则是∠A的（　　） A．正弦 B．余弦 C．正切 D．以上都不对 【答案】B 【解析】试题分析：根据直角三角形的三角函数可得：sinA=，cosA=，tanA=，故选B． 3．在RtABC中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A的正弦值（　　） A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．没有变化 【答案】D 【分析】理解锐角三角函数的概念：锐角A的正弦值等于对边与斜边的比值，判断即可； 【解析】解：根据锐角三角函数的概念，在RtABC中，，则， 若各边长都扩大2倍，则的值不变． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的概念，准确根据正弦的定义求解是解题的关键． 4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，，则sinB的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据勾股定理，可得AB与BC的关系，根据正弦函数的定义，可得答案． 【解析】解：∵∠C=90°，， ∴， ， 故选A． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，先利用勾股定理得出BA与BC的关系，再利用正弦函数的定义． 5．在中，，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据计算选择即可． 【解析】∵，，， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了三角函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 6．如图，在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角形函数的定义、勾股定理解直角三角形，理解三角函数的定义是解题关键．依题意，设，则，利用勾股定理求得，根据正切的定义求得即可． 【解析】解：在中，， ， 设，则， 由勾股定理可得， ， 故选：D． 7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，AC＝，tanA的值是（　　） A． B．1 C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据锐角三角函数正切的定义即tanA进行计算即可． 【解析】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC，AC， ∴tanA， 故选：C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切是解题的关键． 8．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值不等于sinA的是：（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形的性质推出∠A＝∠BCD，然后根据三角函数的定义，针对各选项在不同的直角三角形中分析解答即可． 【解析】∵CD是斜边AB的高， ∴CD⊥AB， ∴∠A＋∠ACD＝90°， 又∵∠ACD＋∠BCD＝90°， ∴∠A＝∠BCD， A、在Rt△ABC中，sinA＝，故本选项正确； B、在Rt△ACD中，sinA＝，故本选项正确； C、在Rt△BCD中，sin∠BCD＝，故本选项错误； D、在Rt△BCD中，sin∠BCD＝＝sinA，故本选项正确； 故选C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 9．如图，在中，，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据锐角三角函数的定义解答． 【解析】解：在Rt△ABC中，∠B=90°， 则． 故选：C． 【点睛】本题考查锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键． 10．矩形ABCD中AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，tan∠AFE等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据折叠的性质以及矩形的性质，易得∠AFE＝∠BCF；在Rt△BFC中，有BC＝8，CF＝10，由勾股定理易得BF的长．根据三角函数的定义，易得tan∠BCF的值，依据∠AFE＝∠BCF，可得tan∠AFE的值． 【解析】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝10，∠B＝∠D＝90°， ∴∠BCF+∠BFC＝90°， 根据折叠的性质得：∠EFC＝∠D＝90°，CF＝CD＝10， ∴∠AFE+∠BFC＝90°， ∴∠AFE＝∠BCF， 在Rt△BFC中，BC＝8，CF＝CD＝10， 由勾股定理得：BF＝＝＝6， 则tan∠BCF＝＝， ∴tan∠AFE＝tan∠BCF＝，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，求三角函数值，勾股定理，余角的性质，根据折叠和勾股定理求出，是解题的关键． 二、填空题 11．如图，在 中，．（1）斜边 ；（2） 的对边 ；（3） 的邻边 ；（4） ． 【答案】 c b a 【分析】根据各边名称定义写出每边的代号即可． 【解析】（1）直角三角形的斜边为最长边c （2）∠B的对边是∠B正对的边b （3）∠B的邻边是a， （4）∠B的对边比斜边即等于b÷c= 故答案为①c②b③a④ 【点睛】本题考查直角三角形各边名称，熟记这些名称是解题关键． 12．如果是锐角，且，那么的值是 ． 【答案】/ 【分析】在Rt，，，由，可设，则,勾股定理求出，即可得到答案． 【解析】解：如图，在Rt，，， ∵， ∴设，则, 由勾股定理得， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了锐角三角函数，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 13．如果中，那么 （填的三角比） 【答案】 【分析】根据直角三角形中余弦性质求解即可 【解析】∵直角三角形中，余弦等于邻边比斜边 ∴= ∴答案为cosB 【点睛】本题主要考查了余弦的性质，熟练掌握相关性质是解题关键 14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则tanA的值为 ． 【答案】 【分析】根据三角函数的定义直接解答． 【解析】解：如图： ∵在中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴tanA＝＝ ． 故答案为． 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数定义，正确把握其定义是解题关键． 15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cosA的值的有 个 （1） ；（2）；（3）；（4）． 【答案】3 【分析】根据锐角三角函数关系的定义分析得出答案． 【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高， ∴∠A＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCD＝90°， ∴∠A＝∠BCD， ∴cosA＝＝＝． 故（1），（2），（4）正确． 故答案为：3． 【点睛】考查了锐角三角函数关系，正确把握锐角三角函数定义是解题关键． 16．如图，已知的三个顶点均在格点上，则 ． 【答案】 【分析】先求出根据勾股定理求出AC的长，再根据即可求解． 【解析】如图，在中， ． 故答案为： 【点睛】本题考查三角函数，熟知在直角三角形中，正弦值等于对边比斜边是解题的关键． 17．如果方程x2-4x+3=0的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为A，那么tanA的值为＿＿＿＿＿＿＿． 【答案】或 【解析】解方程x2-4x+3=0得，x1=1，x2=3， ①当3是直角边时，∵△ABC最小的角为A，∴tanA=； ②当3是斜边时，根据勾股定理，∠A的邻边=，∴tanA=； 所以tanA的值为或． 18．已知：正方形ABCD的边长为2，点P是直线CD上一点，若DP=1，则tan∠ BPC的值是 【答案】2或 【分析】本题无图，应根据题意画出图形，分点P既可以在边CD上和在CD的延长线上两种情况求解. 【解析】如图所示，由于点P是直线CD上一点， ∴点P既可以在边CD上，也可以在CD的延长线上， 当P在边CD上时， ∵BC=2，DP=1， ∴； 当P在CD延长线上时， ∵DP=1，DC=2， ∴PC=3， ∴． 故答案为2或. 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义及正方形的性质，解题时要考虑到两种情况，不要漏解． 19．在以 O 为坐标原点的直角平面内有一点 A 2, 4 ，如果 AO 与 x 轴正半轴的夹角为 ， 那么 的余弦值为 . 【答案】 【分析】利用锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识求解． 【解析】根据题意可得 所以 故答案为： 【点睛】考查锐角三角函数的定义， 坐标与图形性质， 勾股定理，掌握余弦定理的概念是解题的关键. 20．如图，在矩形中，为上的点，，，则 ． 【答案】/ 【解析】解：设， 在矩形中，为上的点，，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，求正切，掌握正确的定义是解题的关键． 三、解答题 21．已知， 其中为锐角，求、、的値． 【答案】，， 【分析】根据已知锐角α的正弦，设α的对边=2k，直角三角形的斜边=3k，由勾股定理求出α的邻边=k，根据锐角三角函数的定义求解即可． 【解析】∵ ∴设α的对边=2k，直角三角形的斜边=3k，由勾股定理求出α的邻边=k， ∴，，． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义的应用，解题关键是熟练掌握三角函数定义． 22．如图，在Rt中，，求和的值． 【答案】图（1），，图（2）， 【分析】图（1）利用勾股定理求出的长度，再利用三角函数的定义求出，，图（2）利用勾股定理求出的长度，再利用三角函数的定义求出，即可． 【解析】解：如图（1），在中，由勾股定理得 ． ∴，． 如图（2），在中，由勾股定理得 ． ∴，． 【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理．掌握三角函数的定义是解答本题的关键． 23．在⊿ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=8.求和的値． 【答案】2；2 【分析】根据锐角的正切等于对边比邻边，余切等于邻边比对边即可解答． 【解析】解：∵⊿ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=8. ∴，． 即=2，=2． 【点睛】本题考了锐角三角函数的定义，熟练掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，余切为邻边比对边是解题关键． 24．在△ABC中，∠B=90°，AC边上的中线BD=5，AB=8，求tan∠ACB的值． 【答案】 【分析】已知直角三角形斜边上的中线长，就可以求出斜边AC的长，根据三角函数的定义求解． 【解析】∵在△ABC中，∠B=90°，AC边上的中线BD=5， ∴AC=2BD=10， ∵AB=8， ∴， ∴tan∠ACB. 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 25．直线交轴于点A，交轴于点B，求∠ABO的余切、正弦． 【答案】∠ABO的余切为，∠ABO的正弦为 【分析】先求出点A、B的坐标，利用勾股定理求出AB=5，再根据公式求解即可. 【解析】令中y=0，得，解得x=-3；令x=0，解得y=4， ∴与轴的交点A为（-3,0），与轴的交点B为（0,4）， ∴， ∴∠ABO的余切为=，∠ABO的正弦为. 【点睛】此题考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，锐角三角函数，正确掌握各计算公式是解题的关键. 26．如图，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作AB和BC边上的高．） 【答案】． 【分析】分别作，垂足分别为，根据正弦的定义，在4个直角三角形中分别表示出，进而将等式变形，即可求得． 【解析】解：如图，分别作，垂足分别为， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正弦的定义，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 27．如图，在中，． （1）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？ （2）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？ （3）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？ 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】利用正切的定义：，进行运算即可． 【解析】解：（1）∵， ∴ （2）∵ ∴ ∴， ∴ （3）∵ ∴ ∴， ∴ 【点睛】本题考查了正切的概念，正确判断对应角的对边和邻边是解决本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！27 学科网（北京）股份有限公司 $$