第10讲 平面向量的线性运算（八大题型）-【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

第10讲 平面向量的线性运算（八大题型） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（八大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、理解向量的数乘； 2、掌握向量的线性运算； 3、会用向量的线性组合表示向量。 一、实数与向量相乘 1. 实数与向量相乘的意义： 一般地，设为正整数，为向量，我们用表示个相加；用表示个相加.又当为正整数时，表示与同向且长度为的向量. 【方法规律】 设P为一个正数，P就是将的长度进行放缩，而方向保持不变；-P也就是将的长度进行放缩，但方向相反. 2．向量数乘的定义 一般地，实数与向量的相乘所得的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下： （1）如果时，则： ①的长度：；②的方向：当时，与同方向；当时，与反方向； （2）如果时，则：，的方向任意. 实数与向量相乘，叫做向量的数乘. 【方法规律】 （1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量； （2）实数与向量不能进行加减运算； （4）表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表示向量的箭头写在数字上面； （5）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系. 3. 实数与向量的相乘的运算律： 设为实数，则： （1）（结合律）； （2）（向量的数乘对于实数加法的分配律）； （3） （向量的数乘对于向量加法的分配律） 二、平行向量定理 1.单位向量：长度为1的向量叫做单位向量. 【方法规律】 任意非零向量与它同方向的单位向量的关系：，. 2.平行向量定理：如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数，使. 【方法规律】 （1）定理中，，的符号由与同向还是反向来确定. （2）定理中的“”不能去掉，因为若，必有，此时可以取任意实数，使得成立. （3）向量平行的判定定理：是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量平行. （4）向量平行的性质定理：若向量与非零向量平行，则存在一个实数，使. （5）A、B、C三点的共线若存在实数λ，使 . 三、向量的线性运算 1．向量的线性运算定义： 向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 【方法规律】 （1）如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减. （2）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2．向量的分解： 平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使得. 【方法规律】 （1）同一平面内两个不共线（或不平行）向量叫做这一平面内所有向量的一组基底. 一组基底中，必不含有零向量． (2) 一个平面向量用一组基底表示为形式，叫做向量的分解，当相互垂直时，就称为向量的正分解. (3) 以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底不同，表示也不同． 3．用向量方法解决平面几何问题： （1）利用已知向量表示未知向量 用已知向量来表示另外一些向量，除利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解． （2）用向量方法研究平面几何的问题的“三步曲”： ①建立平面几何与向量的联系，将平面几何问题转化为向量问题. ②通过向量运算，研究几何元素的关系. ③把运算结果“翻译”成几何关系. 题型1：作图理解向量的数乘 1．已知非零向量，求作、、． 2．已知非零向量，求作，．    题型2：向量的数乘及运算律、判定向量平行 3．下列命题中，正确的是（    ） A．如果或，那么 B．如果，那么（k为实数） C．如果（k为实数），那么 D．如果，那么或 4．已知，，且与的方向相反，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．计算：     ； ；      ． 6．下列命题中，错误的是（    ） A．如果或，那么 B．如果、为实数，那么 C．如果（为实数），那么 D．如果或，那么 7．已知向量与是互不平行的非零向量，如果，那么向量与是否平行？答： ． 8．已知非零向量，下列条件中不一定能判定的是（    ） A． B． C． D． 题型3：与单位向量有关的概念及表示 9．下列判断不正确的是（     ） A．； B．如果向量与均为单位向量，那么或； C．如果，那么； D．对于非零向量，如果，那么． 10．下列说法中，正确的是（    ） A． B．如果是单位向量，那么 C．如果，那么 D．如果非零向量，且，那么 11．向量和单位向量的方向相反，且，那么 ．（用表示）． 12．下列命题中，正确的是（    ） A．如果或，那么 B．如果，那么 C．如果和都是单位向量，那么 D．如果，那么 13．已知是非零向量，如果与同方向的单位向量记作，那么下列式子中正确的是（        ） A． B． C． D． 14．已知一个单位向量，设、是非零向量，下列等式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 15．已知为单位向量，向量与方向相反，且其模为的4倍；向量与方向相同，且其模为的2倍，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 题型4：平面向量的线性运算 16．如图，已知两个不平行的向量和向量．先化简，再求作：． 17．＝ ，＝ ，＝ ． 18．化简： ． 19．如果向量、和满足，那么 ． 20．如果（、均为非零向量）那么下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．与方向相反 21．在平行四边形中，点是的中点，相交于点．    (1)设，试用表示； (2)先化简，再求作：（直接作在图中）． 题型5：用两个（不平行）向量的线性组合表示向量 22．如图，已知中，中线、相交于点G，设，，那么向量用向量、表示为 ．    23．如图，在平行四边形中，点是边中点，点是边上的点，且设，，那么可用、表示为 ． 题型6：重心的性质在平面向量中的应用 24．如图，经过的重心，设，，那么可以用向量，表示为： ．    25．如图，在中，中线、交于点，设，，那么向量用向量，表示为 ． 26．如图，已知为的重心，过点作的平行线交边和于点、，设、．用（为实数）的形式表示向量____________． 27．如图，在中，是的重心，联结并延长交于点． (1)如果，，那么=________________(用向量、表示)； (2)已知，，点在边上，且，求的长． 题型7：平行线分线段成比例在平面向量中的应用 28．如图，在梯形中，，对角线、相交于点O，，． (1)求的长； (2)如果，，试用表示向量． 29．如图，在中，，，平分交于点D，交于点E． (1)求的长； (2)连结交于点F，设，，用、的线性组合表示向量_____，____． 30．如图，已知相交于点，过作交于点，． (1)求的值； (2)设，用向量表示． 题型8：画出平面向量的分向量 31．如图，在平行四边形中，点为上的一点，，与相交于点，如果，， (1)用向量、分别表示下列向量； ； ； (2)在图中求作分别在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论） 32．如图，已知在平行四边形中，点E，F分别是边、的中点，、与对角线分别交于点G，H，设，．    (1)向量______，向量______．（用、表示） (2)画出向量在向量和方向上的分向量．（画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）． 一、单选题 1．下列判断错误的是（     ）． A． B．如果（为非零向量），那么 C．设为单位向量，那么 D．如果，那么或 2．设n为正整数，为非零向量，那么下列说法不正确的是（　　） A．n表示n个相乘 B．-n表示n个-相加 C．n与是平行向量 D．-n与n互为相反向量 3．矩形的对角线与相交于点，如果，，那么（ ） A． B． C． D． 4．如图，在中，点是边的中点，，，那么等于（    ） A． B． C． D． 5．在四边形中，如果，那么四边形是（    ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 6．已知非零向量和单位向量，那么下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在△ABC中，中线AD、CE交于点O，设，那么向量用向量表示为（　　） A． B． C． D． 8．已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，且=a，=b，=c，则下列各式，其中正确的等式的个数为（    ） ①=c－b    ②=a+b  ③=－a+b    ④++=0 A．1 B．2 C．3 D．4 9．已知向量与非零向量方向相同，且其模为的2倍：向量与方向相反，且其模为的3倍．则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 10．点是的重心，设，，那么关于和的分解式是（    ） A． B． C． D．． 二、填空题 11．计算： ． 12．长度为的倍，且与是平行向量的向量是 ． 13．如图，在中，是中线，是重心，，，那么 .（用、表示） 14．在平面直角坐标系中，点A(2，0)，B(0，﹣3)，若，则点C的坐标为 ． 15．如图，梯形中，，、分别是、上的点，且，，若，，则向量可用、表示为 ． 16．如图，正六边形，连接，如果，那么 ．    17．如图，将等边△ABC分割成9个全等的小等边三角形，点D是其中一个小等边三角形的顶点，设，，那么向量＝ .（用向量、表示） 18．如图，在梯形中，，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是边AB、CD的中点，，设，那么 ．（用含向量的式子表示） 三、解答题 19．如图，在中，点D在边上，，E是的中点． (1)求证：； (2)设，，用向量、表示向量． 20．如图，已知中，点、分别在边、上，，． (1)如果，求的长； (2)设，，用、表示． 21．如图，在中，点、分别在边、上，且，，，， （1）求的长 （2）联结，如果，．试用、表示向量． 22．如图，点在平行四边形的边的延长线上，且，与交于点．设． (1)用向量、表示向量； (2)求作：向量分别在向量、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量） 23．如图，已知在中，点分别在边上，且，过点作交于点． (1)求证：； (2)若，，，请用、表示、（直接写出答案）． 24．已知：如图，是的中线，点是重心，点、分别在边和上，四边形是平行四边形． (1)求证：； (2)设，，用向量，表示 ． 25．定义：在平面内，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量．平面向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．其中大小相等，方向相同的向量叫做相等向量．如以正方形的四个顶点中某一点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出8个不同的向量:、、、、、、、（由于和是相等向量，因此只算一个） ⑴作两个相邻的正方形(如图一)．以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出不同向量的个数记为，试求的值； ⑵作个相邻的正方形(如图二)“一字型”排开．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为，试求的值； ⑶作个相邻的正方形(如图三)排开．以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出不同向量的个数记为，试求的值； ⑷作个相邻的正方形(如图四)排开．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量,可以作出不同向量的个数记为，试求的值．                原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 平面向量的线性运算（八大题型） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（八大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、理解向量的数乘； 2、掌握向量的线性运算； 3、会用向量的线性组合表示向量。 一、实数与向量相乘 1. 实数与向量相乘的意义： 一般地，设为正整数，为向量，我们用表示个相加；用表示个相加.又当为正整数时，表示与同向且长度为的向量. 【方法规律】 设P为一个正数，P就是将的长度进行放缩，而方向保持不变；-P也就是将的长度进行放缩，但方向相反. 2．向量数乘的定义 一般地，实数与向量的相乘所得的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下： （1）如果时，则： ①的长度：；②的方向：当时，与同方向；当时，与反方向； （2）如果时，则：，的方向任意. 实数与向量相乘，叫做向量的数乘. 【方法规律】 （1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量； （2）实数与向量不能进行加减运算； （4）表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表示向量的箭头写在数字上面； （5）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系. 3. 实数与向量的相乘的运算律： 设为实数，则： （1）（结合律）； （2）（向量的数乘对于实数加法的分配律）； （3） （向量的数乘对于向量加法的分配律） 二、平行向量定理 1.单位向量：长度为1的向量叫做单位向量. 【方法规律】 任意非零向量与它同方向的单位向量的关系：，. 2.平行向量定理：如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数，使. 【方法规律】 （1）定理中，，的符号由与同向还是反向来确定. （2）定理中的“”不能去掉，因为若，必有，此时可以取任意实数，使得成立. （3）向量平行的判定定理：是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量平行. （4）向量平行的性质定理：若向量与非零向量平行，则存在一个实数，使. （5）A、B、C三点的共线若存在实数λ，使 . 三、向量的线性运算 1．向量的线性运算定义： 向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 【方法规律】 （1）如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减. （2）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2．向量的分解： 平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使得. 【方法规律】 （1）同一平面内两个不共线（或不平行）向量叫做这一平面内所有向量的一组基底. 一组基底中，必不含有零向量． (2) 一个平面向量用一组基底表示为形式，叫做向量的分解，当相互垂直时，就称为向量的正分解. (3) 以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底不同，表示也不同． 3．用向量方法解决平面几何问题： （1）利用已知向量表示未知向量 用已知向量来表示另外一些向量，除利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解． （2）用向量方法研究平面几何的问题的“三步曲”： ①建立平面几何与向量的联系，将平面几何问题转化为向量问题. ②通过向量运算，研究几何元素的关系. ③把运算结果“翻译”成几何关系. 题型1：作图理解向量的数乘 1．已知非零向量，求作、、． 【答案】见解析 【分析】与方向相同，长度是的3倍，据此作图即可； 与方向相反，长度是的2倍，据此作图即可； 与方向相反，长度是的倍，据此作图即可. 【解析】解：（1） （2） （3） 【点睛】本题考查了向量的作图，明确各向量与已知向量的方向及长度关系是作图的关键. 2．已知非零向量，求作，．    【答案】见解析 【分析】作向量，向量即可． 【解析】解：如图，向量和向量即为所作． 【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握向量基础知识，属于中考常考题型． 题型2：向量的数乘及运算律、判定向量平行 3．下列命题中，正确的是（    ） A．如果或，那么 B．如果，那么（k为实数） C．如果（k为实数），那么 D．如果，那么或 【答案】D 【分析】根据向量的性质之一判断即可得到答案． 【解析】解：A．如果或，那么，原说法错误，不符合题意，选项错误； B．如果，且，那么（k为实数），原说法错误，不符合题意，选项错误； C．如果（k为实数），当时，和不平行，原说法错误，不符合题意，选项错误； D．如果，那么或，说法正确，符合题意，选项正确， 故选D． 【点睛】本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的性质是解题关键． 4．已知，，且与的方向相反，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的性质即可解决问题． 【解析】∵，而且和的方向相反 ∴. 故选D． 【点睛】本题考查平面向量的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识． 5．计算：     ； ；      ． 【答案】 【分析】（1）根据实数与向量相乘的运算定律计算即可； （2）根据实数与向量相乘的运算定律计算即可； （3）根据实数与向量相乘的运算定律计算即可． 【解析】解：（1）； （2）； （3）． 【点睛】此题主要考查实数与向量相乘的运算定律，以及去括号法则，掌握运算定律是解决问题的关键． 6．下列命题中，错误的是（    ） A．如果或，那么 B．如果、为实数，那么 C．如果（为实数），那么 D．如果或，那么 【答案】C 【分析】本题主要考查平面向量，解题的关键是熟练掌握平面向量的性质， 根据平面向量的性质一一判断即可． 【解析】解：A．如果或，那么，正确，故本选项不符合题意． B．如果、为实数，那么，正确，故本选项不符合题意． C． 如果（为实数），那么，错误，时，不成立，故本选项符合题意． D． 如果或，那么，正确，故本选项不符合题意． 故选：C． 7．已知向量与是互不平行的非零向量，如果，那么向量与是否平行？答： ． 【答案】否 【分析】本题主要考查了向量的线性运算，若向量与平行，则（k为常数，且），据此可得答案． 【解析】解：∵， ∴（k为常数，且）， ∴向量与不平行， 故答案为：否． 8．已知非零向量，下列条件中不一定能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面向量，主要利用了向量平行的判定，解题关键是对向量性质的理解．根据向量的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解析】解：A、只能判定的模的数量关系，不能判定，符合题意； B、，能判定，不符合题意； C、，根据平行的传递性得到，不符合题意； D、，得到，平行的传递性得到，不符合题意； 故选A． 题型3：与单位向量有关的概念及表示 9．下列判断不正确的是（     ） A．； B．如果向量与均为单位向量，那么或； C．如果，那么； D．对于非零向量，如果，那么． 【答案】B 【分析】本题考查了平面向量、平行向量、单位向量，根据平面向量的性质逐一判断即可得出答案，解题的关键是熟练掌握基本知识． 【解析】解：A、，计算正确，原说法正确，故本选项不符合题意； B、如果向量与均为单位向量，那么它们的模相等，即，原说法错误，故本选项符合题意； C、如果，那么，原说法正确，故本选项不符合题意； D、对于非零向量，如果，那么，原说法正确，故本选项不符合题意； 故选：B． 10．下列说法中，正确的是（    ） A． B．如果是单位向量，那么 C．如果，那么 D．如果非零向量，且，那么 【答案】D 【分析】本题考查向量的相关概念，根据向量的概念和性质逐项判断即可． 【解析】解：A、，所以A错误，不符合题意． B、如果是单位向量，那么，所以B错误，不符合题意． C、如果，那么，这两个向量方向不一定相同，所以C错误，不符合题意． D、如果非零向量，且，那么，D正确，符合题意． 故选：D． 11．向量和单位向量的方向相反，且，那么 ．（用表示）． 【答案】 【分析】本题考查了向量的定义，根据向量和单位向量的方向相反，且向量的长度为即可求解． 【解析】解：由题意得：； 故答案：． 12．下列命题中，正确的是（    ） A．如果或，那么 B．如果，那么 C．如果和都是单位向量，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】根据平面向量的性质，逐项判断即可求解． 【解析】解：如果或，那么，故本选项错误，不符合题意； B、如果，那么或，故本选项错误，不符合题意； C、如果和都是单位向量，那么或，故本选项错误，不符合题意； D、如果，那么，故本选项正确，符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了平面向量的性质，熟练掌握平面向量的性质是解题的关键． 13．已知是非零向量，如果与同方向的单位向量记作，那么下列式子中正确的是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据实数与向量相乘，对各选项进行判断作答即可． 【解析】解：由题意知，，A错误，故不符合要求； ，B错误，故不符合要求； ，C正确，故符合要求； ，D错误，故不符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了实数与向量相乘．解题的关键在于熟练掌握实数与向量相乘结果是向量． 14．已知一个单位向量，设、是非零向量，下列等式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的性质一一判断即可． 【解析】解：A、与的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意． B、，计算正确，故本选项符合题意． C、和的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意． D、和的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 15．已知为单位向量，向量与方向相反，且其模为的4倍；向量与方向相同，且其模为的2倍，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的性质得到，，从而得到． 【解析】解：根据题意知，，， 则，， 则，观察选项，只有选项B符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了平面向量的知识．此题比较简单，注意掌握单位向量的知识． 题型4：平面向量的线性运算 16．如图，已知两个不平行的向量和向量．先化简，再求作：． 【答案】 【分析】 此题考查了平面向量的运算．注意掌握三角形法则是解答本题的关键．首先利用平面向量的运算法则，化简原式，再利用三角形法则画出向量． 【解析】 解：原式 ． 如图： ，， 则即为所求． 17．＝ ，＝ ，＝ ． 【答案】 【分析】根据向量的加减运算法则进行运算． 【解析】； ； ． 故答案是：；；． 【点睛】本题考查向量的加减运算法则，需要注意向量的加减运算法则和数的加减运算有所区别． 18．化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查向量的加减运算，根据向量加减运算法则求解即可 【解析】解： ， 故答案为：． 19．如果向量、和满足，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是平面向量，正确利用等式的性质是解题的关键．根据等式的性质变形，得到答案． 【解析】解：， ∴， ∴， 故答案为：． 20．如果（、均为非零向量）那么下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．与方向相反 【答案】C 【分析】根据平行向量的定义与性质，逐一对选项判断即可． 【解析】解：A、∵， ∴，故该结论正确，不符合题意； B、∵（、均为非零向量）， ∴与是方向相反的向量，即，故该结论正确，不符合题意； C、∵， ∴，故该结论错误，符合题意； D、∵（、均为非零向量）， ∴与是方向相反的向量，故该结论正确，不符合题意． 故选：C 【点睛】本题考查了平面向量的定义与性质，熟练掌握平面向量的定义与性质是解本题的关键．平面向量的定义：平面内既有大小，又有方向的量；平行向量，也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量；零向量和任何向量平行． 21．在平行四边形中，点是的中点，相交于点．    (1)设，试用表示； (2)先化简，再求作：（直接作在图中）． 【答案】(1) (2)，见详解 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理和平面向量， 根据题意得和，进一步得到，则，代入向量即可． 化解得，将对应线段代入得到，过点E作，则，，连接即可． 【解析】（1）解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 则， ∵点是的中点， ∴， 则， ∴， ∵， ∴． （2）， ∵， ∴， 过点E作，则， ∴，如图，即为所求．    题型5：用两个（不平行）向量的线性组合表示向量 22．如图，已知中，中线、相交于点G，设，，那么向量用向量、表示为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了三角形的重心，三角形法则等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．根据重心的性质可得，，利用三角形法则求出，进而可得结果． 【解析】解：∵中线、交于点G， ∴，， ∴， ∵，即， ∴． 故答案为：． 23．如图，在平行四边形中，点是边中点，点是边上的点，且设，，那么可用、表示为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的知识点是向量的线性运算、平行四边形的性质，解题关键是熟练掌握向量的线性运算． 首先由四边形是平行四边形，求得，又由点是边中点，点是边上的点，且，求得与，再利用三角形法则求解即可． 【解析】解：四边形是平行四边形， ， 点是边中点，点是边上的点，且， ，， ． 故答案为：． 题型6：重心的性质在平面向量中的应用 24．如图，经过的重心，设，，那么可以用向量，表示为： ．    【答案】 【分析】先求出，再根据重心是三角形三条中线的交点得到，由此可由求出答案． 【解析】解：∵，， ∴， ∵经过的重心， ∴是的中线， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，重心的定义，正确表示出是解题的关键． 25．如图，在中，中线、交于点，设，，那么向量用向量，表示为 ． 【答案】 【分析】根据重心的性质可得，利用三角形法则求出，进而可得结果． 【解析】解：∵中线、交于点， ∴， ∴， ∵，即， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的重心，三角形法则等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 26．如图，已知为的重心，过点作的平行线交边和于点、，设、．用（为实数）的形式表示向量____________． 【答案】 【分析】由于G是三角形的重心，根据平行线分线段成比例定理与三角形重心的性质，可得到，再根据平面向量加减运算可求得答案． 【解析】解：连接并延长交于点M， ∵ ∴ ∵点G是的重心， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故填：． 【点睛】本题考查了三角形重心的性质和平面向量基本定理，掌握三角形重心的定义，熟练运用平面向量加减运算是解答本题的关键． 27．如图，在中，是的重心，联结并延长交于点． (1)如果，，那么=________________(用向量、表示)； (2)已知，，点在边上，且，求的长． 【答案】(1) (2)3； 【分析】 本题主要考查了平面向量，三角形的重心，相似三角形的判定与性质， （1）利用平面向量的定义解答即可； （2）利用三角形的重心的定义和相似三角形的判定与性质解答即可． 【解析】（1） 解：，， 是的重心，联结并延长交于点， 为的边上的中线， 即点为的中点， ， 故答案为：． （2） 是的重心， ． ，， ， 题型7：平行线分线段成比例在平面向量中的应用 28．如图，在梯形中，，对角线、相交于点O，，． (1)求的长； (2)如果，，试用表示向量． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平面向量，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据，得出，则，进而得出，最后根据即可求解； （2）先得出，则，进而得出，由（1）可得，则，进而得出，即可求解． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴． 29．如图，在中，，，平分交于点D，交于点E． (1)求的长； (2)连结交于点F，设，，用、的线性组合表示向量_____，____． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查等腰三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平面向量． （1）根据平行线的性质和角平分线的定义得到，设，根据得到，分别代入即可解答； （2）根据平面向量三角形减法法则得出，根据可求得与的关系，即可求解． 【解析】（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． （2）∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：， 30．如图，已知相交于点，过作交于点，． (1)求的值； (2)设，用向量表示． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质以及平面向量的加减运算． （1）根据平行线的性质，可证明和，得到和，即可得出结论； （2）根据(1)中结论得，则有，进一步求得，由，结合平面向量的加减运算即可得出结论即可求得答案． 【解析】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）由（1）得，则， ∵， ∴， 由（1）得， ∴， 则． 题型8：画出平面向量的分向量 31．如图，在平行四边形中，点为上的一点，，与相交于点，如果，， (1)用向量、分别表示下列向量； ； ； (2)在图中求作分别在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论） 【答案】(1)；； (2)见解析． 【分析】本题考查了向量的线性计算，平行四边形的性质，相似三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据已知条件得出，根据三角形法则得出，根据相似三角形得出，，即可求解； （2）根据平行四边形法则构造平行四边形，即可求解． 【解析】（1）解：∵四边形是平行四边形 ∴，， ∴，， ∵ ∴ ∵ ∴； ∵ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴； （2）如图，即为分别在、方向上的分向量． 32．如图，已知在平行四边形中，点E，F分别是边、的中点，、与对角线分别交于点G，H，设，．    (1)向量______，向量______．（用、表示） (2)画出向量在向量和方向上的分向量．（画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、平面向量等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）根据平行四边形的判定和性质得四边形为平行四边形，再由平行线分线段成比例确定，，利用向量的三角形法则得出，即可确定，； （2）利用平行四边形法则分解向量即可． 【解析】（1）解：∵平行四边形， ∴，， ∵点E，F分别是边、的中点， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 同理得：， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； ∵，，， ∴， 故答案为：，； （2）如图所示：即为所求．    一、单选题 1．下列判断错误的是（     ）． A． B．如果（为非零向量），那么 C．设为单位向量，那么 D．如果，那么或 【答案】D 【分析】根据零向量，平行向量，单位向量等知识进行判定即可求解． 【解析】解：、与任何向量的乘积都是零向量，故原选项正确，不符合题意； 、方向相同或相反的非零向量叫平行向量，因为（为非零向量），所以，故原选项正确，不符合题意； 、单位向量的模为，所以设为单位向量，那么，故原选项正确，不符合题意； 、两个向量的模相等，则两个向量的长度相等，当方向不确定，故原选项错误，符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要向量的概念及计算，理解并掌握零向量，平行向量，单位向量等知识是解题的关键． 2．设n为正整数，为非零向量，那么下列说法不正确的是（　　） A．n表示n个相乘 B．-n表示n个-相加 C．n与是平行向量 D．-n与n互为相反向量 【答案】A 【分析】根据单位向量、平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案． 【解析】根据向量的性质和意义，可知：A、n表示n个相加，错误； B、-n表示n个-相加，正确； C、n与是平行向量，正确； D、﹣n与n互为相反向量，正确； 故选A. 3．矩形的对角线与相交于点，如果，，那么（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出，再根据即可得到结果． 【解析】解：如图所示： ∵ ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平面向量，矩形的性质，本题侧重考查知识点的理解能力． 4．如图，在中，点是边的中点，，，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了向量的线性运算，根据、、即可求解． 【解析】解：∵，点是边的中点， ∴ ∴ 故选：D 5．在四边形中，如果，那么四边形是（    ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 【答案】D 【分析】本题考查了向量计算，四边形形状的判定，正确进行向量化简是解题的关键． 【解析】∵， ∴， 对边平行，但不相等， 故四边形是梯形； ∵， ∴， 故对角线， 故四边形是等腰梯形， 故选：D． 6．已知非零向量和单位向量，那么下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的模只有大小，没有方向，向量既有长度也有方向对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解析】解：A. 向量的模只有大小，没有方向，则不成立，故该选项不正确，不符合题意；     B. 单位向量与向量方向不一定相同，则，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. 单位向量与向量方向不一定相同，则，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意； 故选C 【点睛】本题考查了向量的运算，向量的问题一定要注意从方向与模两方面考虑． 7．如图，在△ABC中，中线AD、CE交于点O，设，那么向量用向量表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形的重心性质得到： ；结合平面向量的三角形法则解答即可． 【解析】∵在△ABC中，AD是中线， ， ∴． ∴ 又∵点O是△ABC的重心， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】此题主要考查了平面向量与重心有关知识，根据重心知识得出是解题的关键． 8．已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，且=a，=b，=c，则下列各式，其中正确的等式的个数为（    ） ①=c－b    ②=a+b  ③=－a+b    ④++=0 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】画出图形，结合图形利用平面向量加减运算的几何意义进行解答即可． 【解析】 如图所示：D、E、F分别是的边BC、CA、AB的中点，且，， ，故①错误； ，故②正确； ，故③正确； ，故④正确． 故选C． 【点睛】本题主要考查向量的线性运算，关键是根据题意画出图形，然后结合已知条件及向量的线性运算解答即可． 9．已知向量与非零向量方向相同，且其模为的2倍：向量与方向相反，且其模为的3倍．则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的方向和模的关系可得=2，=-3，从而可得=，即可求出结论． 【解析】解：由题意可知：=2，=-3 ∴= ∴=2= 故选：B． 【点睛】此题考查的是向量的数乘运算，根据向量的方向和模的关系找出各向量关系是解题关键． 10．点是的重心，设，，那么关于和的分解式是（    ） A． B． C． D．． 【答案】C 【分析】连接AG并延长，交BC于点D．由重心的性质可知，D为BC中点，且．再根据题意可求出，即可由求出结果． 【解析】如图，连接AG并延长，交BC于点D． ∵点G为重心， ∴点D为BC中点． 又∵，， ∴，即， ∵重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查三角形重心的性质，向量的线性运算．掌握重心的性质是解答本题的关键． 二、填空题 11．计算： ． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算可直接进行求解． 【解析】解：； 故答案为． 【点睛】本题主要考查向量的线性运算，熟练掌握向量的线性运算是解题的关键． 12．长度为的倍，且与是平行向量的向量是 ． 【答案】或/或 【分析】根据向量的方向相同或相反，即可求解． 【解析】解：长度为的倍，且与是平行向量的向量是或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了平面向量，注意要分类讨论：平行向量的方向有相同方向和相反方向两种情况． 13．如图，在中，是中线，是重心，，，那么 .（用、表示） 【答案】 【分析】根据重心定理求出，再利用三角形法则求出即可． 【解析】解：根据三角形的重心定理，， 于是． 故． 故答案为：． 【点睛】此题考查了平面向量的三角形法则和重心定理（三角形的重心是各中线的交点，重心定理是说三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的），难度不大． 14．在平面直角坐标系中，点A(2，0)，B(0，﹣3)，若，则点C的坐标为 ． 【答案】(2，﹣3) 【分析】根据平面向量的平行四边形的法则解答即可得． 【解析】解：如图， ∵， ∴过点A作y轴的平行线，过点B作x中的平行线，交于点C，则点C(2，﹣3)， 故答案为(2，﹣3)． 【点睛】本题主要考查平面向量，熟练掌握平面向量的平行四边形法则是解题的关键． 15．如图，梯形中，，、分别是、上的点，且，，若，，则向量可用、表示为 ． 【答案】 【分析】过点A作交EF于点G，交BC于H，可得AD=GF=CH，然后用BH表示出CH，再求出，根据相似三角形对应边成比例可得，再用BH表示出EG、EF，根据向量的三角形法则求出BH，即可得解． 【解析】解：如图，过点A作交EF于点G，交BC于H 四边形ADFG、GFCH、ADCH均为平行四边形 ， 若， 则 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面向量、梯形、平行四边形与相似三角形相结合，关键在于作平行线表示出BH，熟记向量的平行四边形法则和三角形法则是解题的关键． 16．如图，正六边形，连接，如果，那么 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了向量的线性计算，平行线的性质与判定，正多边形内角和定理，等边对等角等等，连接，先由正六边形的性质可得，，进而求出，则可证明，得到，则． 【解析】解：如图所示，连接， 由题意得，，， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：．    17．如图，将等边△ABC分割成9个全等的小等边三角形，点D是其中一个小等边三角形的顶点，设，，那么向量＝ .（用向量、表示） 【答案】 【分析】根据＝，求解即可． 【解析】解：∵＝＝﹣﹣，CD＝AC， ∴CD＝（﹣﹣）， ∴＝＝+（﹣﹣）＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查平面向量，三角形法则，等边三角形的性质等知识，解题的关键是掌握三角形法则解决问题，属于中考常考题型． 18．如图，在梯形中，，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是边AB、CD的中点，，设，那么 ．（用含向量的式子表示） 【答案】 【分析】根据平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例可求出BC，根据中位线的性质即可求出EF． 【解析】∵，AC、BD相交于点O， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∵点E、F分别是梯形腰AB、CD的中点， ∴EF是梯形的中位线， ∴，且， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形和中位线的性质，熟练掌握知识是解题关键． 三、解答题 19．如图，在中，点D在边上，，E是的中点． (1)求证：； (2)设，，用向量、表示向量． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题目条件，证明，即可求证； （2）利用平面向量线性运算的三角形法则即可求解． 【解析】（1）∵E是的中点， ∴， ∴, 又, ∴， ∴ （2）∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平面向量的线性运算，解题关键是找出相似三角形． 20．如图，已知中，点、分别在边、上，，． (1)如果，求的长； (2)设，，用、表示． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先证明得到，再根据已知条件推出，得到，由此即可得到答案； （2）先求出，再由进行求解即可． 【解析】（1）解：∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，向量的线性运算，证明推出是解题的关键． 21．如图，在中，点、分别在边、上，且，，，， （1）求的长 （2）联结，如果，．试用、表示向量． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据SAS判定，再根据相似三角形对应边成立解题即可； （2）根据相似三角形的判定与性质解题即可． 【解析】解：（1），，，， ； （2）由（1）中， ， ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、向量的线性运算等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 22．如图，点在平行四边形的边的延长线上，且，与交于点．设． (1)用向量、表示向量； (2)求作：向量分别在向量、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质 且．且，根据三角形法则得出； （2）作，，根据平行四边形法则，得出向量为向量分别在向量、方向上的分向量，即可求解． 【解析】（1）解：∵， ∴且．且 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，作,，根据平行四边形法则， 向量为向量分别在向量、方向上的分向量 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平面向量的线性计算，掌握平面向量的线性运算是解题的关键． 23．如图，已知在中，点分别在边上，且，过点作交于点． (1)求证：； (2)若，，，请用、表示、（直接写出答案）． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】（1）根据平行线分线段成比例得出，，即可得证； （2）根据得出，由（1）得出，求得，然后根据三角形法则即可得出． 【解析】（1）证明：∵， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，线性向量的计算，掌握以上知识是解题的关键． 24．已知：如图，是的中线，点是重心，点、分别在边和上，四边形是平行四边形． (1)求证：； (2)设，，用向量，表示 ． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】 （）由三角形重心的性质得到，由平行四边形的性质得到，，推出，得到，而，得到 ，由，推出 得到，因此，而，推出，得到，即可证明， （）由平面向量的运算法则，即可求解； 本题考查三角形的重心，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平面向量， 关键是证明，掌握平面向量的运算法则． 【解析】（1）∵是的重心， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵G是的重心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， （2） ∵ ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 25．定义：在平面内，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量．平面向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．其中大小相等，方向相同的向量叫做相等向量．如以正方形的四个顶点中某一点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出8个不同的向量:、、、、、、、（由于和是相等向量，因此只算一个） ⑴作两个相邻的正方形(如图一)．以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出不同向量的个数记为，试求的值； ⑵作个相邻的正方形(如图二)“一字型”排开．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为，试求的值； ⑶作个相邻的正方形(如图三)排开．以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出不同向量的个数记为，试求的值； ⑷作个相邻的正方形(如图四)排开．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量,可以作出不同向量的个数记为，试求的值．                【答案】⑴   ；⑵   ；⑶；⑷. 【分析】（1）根据图形，即可求得f（2）的值； （2）首先求f（1），f（2），f（3），f（4），所以得到规律为：f（n）=6n+2； （3）根据图形，即可求得f（2×3）的值； （4）先分析特殊情况，再求得规律：f（m×n）=2（m+n）+4mn． 【解析】（1）作两个相邻的正方形，以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数f（2）=14； （2）分别求出作两个、三个、四个相邻的正方形（如图1）．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同的向量个数，找出规律， ∵f（1）=6×1+2=8，f（2）=6×2+2=14，f（3）=6×3+2=20，f（4）=6×4+2=26， ∴f（n）=6n+2； （3）f（2×3）=34； （4）∵f（2×2）=24，f（2×3）=34，f（2×4）=44，f（3×2）=34，f（3×3）=48，f（3×4）=62 ∴f（m×n）=2（m+n）+4mn． 【点睛】此题考查了向量的知识．注意解此题的关键是找到规律：f（n）=6n+2与f（m×n）=2（m+n）+4mn． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！41 学科网（北京）股份有限公司 $$