第16讲 解直角三角形的应用（六大题型）-【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

第16讲 解直角三角形的应用（六大题型） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（六大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、弄清题中名词、术语的意义，如仰角、坡度等； 2、会运用有关解直角三角形的知识解决实际问题； 一、解直角三角形的应用 解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 　　解这类问题的一般过程是： 　　(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型. 　　(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题. 　　(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. 　　(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 应用举例：　在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： 　　(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 　　坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 　　　　　　　　　　　　 　　(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别地：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°. 【方法规律】 　　1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图； 　　2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解； 　　　　　　 　　3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解. 题型1：仰角、俯角问题 1．某火箭从地面处发射，当火箭达到点时，从位于地面处雷达站测得、的距离是米，仰角为，此时火箭的高度是（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题；在中，由，可求得，即可得出答案． 【解析】解：由题意得，米， 在中， 解得：， ∴火箭的高度是米． 故选：A． 2．如图，热气球的探测器显示，从热气球处看一栋楼顶部处的仰角为，看这栋楼底部处的俯角为，热气球处与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，根据题意得，，，再解直角三角形即可解答． 【解析】解：如图，过点作于点，    由题意得，，， 在中，， 在中，， ，即这栋楼的高度为， 故选：A． 【点睛】本题考查了仰角俯角问题，用辅助线构建直角三角形是解题的关键． 3．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十三号载人飞行任务收得圆满成功，中国航天，又站在了一个新的起点．如图2021年10月16日，神舟十三号载人飞船从地面O处成功发射，当飞船到达点A时，地面D处的雷达站测得米，仰角为，3秒后，飞船直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为．点O，C，D在同一直线上，已知C，D两处相距460米，则飞船从A到B处的平均速度为多少．结果精确到1米；参考数据：，　    A．332 B．333 C．334 D．335 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题,勾股定理．根据题意可得：，先在中，利用含角的直角三角形的性质求出，的长，从而求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，进行计算即可解答．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【解析】解：由题意得：， 在中，米，， 米， 米， 米， 米， 在中，， 米， 米， 飞船从到处的平均速度． 故选：D． 题型2：方位角问题 4．王英同学从地沿北偏西方向走到地，再从地向正南方向走到地，此时王英同学离地（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，过点作，交于点．在中，，，，． 【易错点分析】不会画图，“地沿北偏西方向”应该在地建立方向坐标，“地向正南方向”应该在地建立方向坐标，要根据需要建立方向坐标． 5．如图，某货船以24海里/时的速度从A处向正东方向的D处航行，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向．该货船航行30分钟后到达B处，此时测得该岛在北偏东30°的方向上．则货船在航行中离小岛C的最短距离是（　　）    A．12海里 B．6海里 C．12海里 D．24海里 【答案】B 【分析】过点作，利用，结合锐角三角函数，列式计算即可． 【解析】解：如图，过点作，    由题意，得：， 在中，， 在中，， ∴， ∴； 故选B 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形． 6．如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向距离灯塔海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处，则海轮行驶的路程的值为（　　）    A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】C 【分析】根据方向角的概念可知，由锐角三角函数的定义求出的值，在中根据求出的值，由即可得出结论． 【解析】解：由题意得，，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴（海里） 故选C． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，熟知方向角的概念是解答此题的关键． 题型3：坡度坡比问题 7．如图，若坡角，则斜坡的坡度为（    ）    A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了坡度的定义，根据坡度是坡角的正切值，即可求解． 【解析】解：坡角，则斜坡的坡度为， 故选：B． 8．某人沿着坡度为的山坡前进了100米，则此人所在的位置升高了（    ） A．100米 B．米 C．50米 D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，已知了坡度，可求出坡角的度数，进而根据坡面长求出铅直高度即此人垂直升高的距离． 【解析】解：如图，中，米，，    ∴，米． 即此人所在的位置比原来升高了50米， 故选：C． 9．如图，大坝横截面的迎水坡的坡比为∶，即∶∶，若坡面长度米，则坡面的水平宽度长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据坡度的概念得到，根据勾股定理计算即可． 【解析】解：坡面的坡度为：， ，即， 由勾股定理得，， 则， 解得， 故斜坡的水平宽度的长为米． 故选：D． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度的概念：坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键． 10．如图，某地下车库的入口处有斜坡，它的坡度为，斜坡的长为，斜坡的高度为，为了让行车更安全，现将斜坡的坡角改造为（图中的）．    (1)求车库的高度； (2)求点与点之间的距离（结果精确到，参考数据：，，． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）根据坡度，可求得的值，根据可求得答案． （2）根据，，可分别求得，的长度． 【解析】（1）根据题意，得 ． 所以，． 所以，． 所以，车库的高度为． （2）根据题意，得 ，． 所以，． 所以，点与点之间的距离为． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，牢记锐角三角函数的定义是解题的关键． 11．根据以下素材，完成探索任务． 探究斜坡上两车之间距离 素材1 图①是某高架入口的横断面示意图．高架路面用表示，地面用表示，斜坡用表示．已知，高架路面离地面的距离为25米，斜坡长为65米． 素材2 如图②，矩形为一辆大巴车的侧面示意图，长为10米，长为米．如图③，该大巴车遇堵车后停在素材1中的斜坡上，矩形的顶点与点重合，点与指示路牌底端点之间的距离为米，且．小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶，小张的眼睛到斜坡的距离为1米． 问题解决 任务一 如图①，求斜坡的坡比． 任务二 如图③，当小张正好可以看到整个指示路牌（即、、在同一条直线上）时，试求小张距大巴车尾的距离． 【答案】任务一：斜坡的坡比；任务二：米 【分析】本题考查的是解直角三角形坡度坡角问题及相似三角形判定与性质，矩形判定与性质，任务一：根据勾股定理求出第三边进而求出坡度；任务二：作交延长线于点O，作于点Q，交于点R，通过解直角三角形结合矩形判定与性质求出相关线段长度，再证明，根据性质求出结论即可． 【解析】解：任务一：如图①， 由题意得：在中，为25米，斜坡长为65米， （米）， 斜坡的坡比； 任务二：如图③，作交延长线于点O，作于点Q，交于点R， 则四边形为矩形，四边形为矩形， 米， 米， ，为米， ， 解得：米， 米， 米，米， ， ， ， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 米． 题型4：临界值题 12．如图，是一个放置于水平桌面的平板支架的示意图，底座的高为，宽为，点是的中点，连杆的长度分别为和，，且连杆与始终在同一平面内． (1)求点到水平桌面的距离； (2)产品说明书提示，若点与的水平距离超过的长度，则该支架会倾倒．现将调节为，此时支架会倾倒吗？（参考数据∶） 【答案】(1)点与水平桌面的距离为 (2)支架不会倾倒 【分析】（1）过点作于，过点作于，由题意得，，解求出，则； （2）过点作，过点作于，与交于点．先解求出，再解在求出，即可得到，由此即可得到答案． 【解析】（1）解：过点作于，过点作于． 由题意可得，， 在中，， ∴，即， ∴ ∴， ∴此时点与水平桌面的距离为． （2）解：过点作，过点作于，与交于点． 由题意可知，在中，，，， ∴，即 ∴， 在中，，， ∴，即， ∴， ∴ ∵， ∴支架不会倾倒． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 13．地震会导致房间内吊灯剧烈摇晃而掉落．在一间高3米（点A至地面）的房间内有一盏吊灯，吊绳长厘米，当吊绳摆动与铅垂方向夹角处于至范围时，灯可能会垂直掉落．    (1)灯垂直掉落至地面的危险区域长度为多少厘米？（精确到0.1） (2)机智的你正在房间内愉快地玩耍，忽然收到温馨提示将发生地震，你冷静地仰望静止的灯（点B），测得仰角为，请计算并说明你是否站在灯掉落的危险区域？（参考数据：，，，，） 【答案】(1) (2)未站在灯掉落的危险区域 【分析】（1）作由，，即可求解； （2）延长交于点M处，假设此时“我”在点N处，，由即可求解； 【解析】（1）如图，作 由题可知， ∵， ， ∴， ， ∴． （2）如图，延长交于点M处，假设此时“我”在点N处，， ∵， ∴， ∵， ∴未站在灯掉落的危险区域．      【点睛】本题主要考查三角函数的综合应用，正确画出辅助线是解本题的关键． 题型5：测量高度问题 14．如图，在河流的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度的山坡，点与点在同一水平面上，与在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼的高度，在坡底处测得楼顶的仰角为，然后沿坡面上行了米（即米）到达点处，此时在处测得楼顶的仰角为．（参考数据：，，） （1）求点到点的水平距离的长； （2）求楼的高度． 【答案】（1）米；（2）楼的高度为米． 【分析】（1）由的坡度，可得 设 则 由勾股定理可得 再列方程 解方程可得答案； （2）如图，过作于 先证明四边形是矩形，可得 设 证明 可得 由 建立方程，再解方程检验即可得到答案． 【解析】解：（1） 的坡度， 设 则 （2）如图，过作于 四边形是矩形， 设 由 解得： 经检验：符合题意， 所以：建筑物的高为：米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，坡度的含义，掌握利用解直角三角形测量建筑物的高是解题的关键． 15．如图，某风景区内有一瀑布，AB表示瀑布的垂直高度，在与瀑布底端同一水平位置的点D处测得瀑布顶端A的仰角β为45°，沿坡度i＝1：3的斜坡向上走100米，到达观景台C，在C处测得瀑布顶端A的仰角α为37°，若点B、D、E在同一水平线上．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.41，≈3.16） （1）观景台的高度CE为　 　米（结果保留准确值）； （2）求瀑布的落差AB（结果保留整数）． 【答案】（1）10；（2）瀑布的落差约为411米． 【分析】（1）通过解直角△CDE得到：CE＝CD•sin37°． （2）作CF⊥AB于F，构造矩形CEBF．由矩形的性质和解直角△ADB得到DE的长度，最后通过解直角△ACF求得答案． 【解析】（1）∵tan∠CDE＝ ∴CD＝3CE． 又CD＝100米， ∴100＝ ∴CE＝10 ． 故答案是：10． （2）作CF⊥AB于F，则四边形CEBF是矩形． ∴CE＝BF＝10，CF＝BE． 在直角△ADB中，∠DB＝45°．设AB＝BD＝x米． ∵＝ ， ∴DE＝30． 在直角△ACF中，∠ACF＝37°，tan∠ACF 解得x≈411． 答：瀑布的落差约为411米． 【点睛】本题考查解直角三角形、仰角、坡度等概念，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，记住坡度的定义，属于中考常考题型． 16．上海中心大厦位于中国上海浦东陆家嘴金融贸易区核心区，是一幢集商务、办公、酒店、商业、娱乐、观光等功能的超高层建筑．它的附近有一所学校的数学兴趣小组在讨论建筑物的高度测量问题，讨论发现要测量学校教学楼的高度可以用“立杆测影”的方法，他们在平地上立一根2米长并且与地面垂直的测量杆，量得影子长为1.6米，同时量得教学楼的影子长为24米，这样就可以计算出教学楼的高度．进而在讨论测量上海中心大厦高度时，由于距离远和周围建筑密集等因素，发现用“立杆测影”的方法不可行，要采用其他方法，经讨论提出两个方案（测角仪高度忽略不计）： 方案1：如图1所示，利用计算所得的教学楼（）高度，分别在教学楼的楼顶（点A）和楼底地面（点B），分别测得上海中心大厦（）的楼顶（点S）的仰角和，通过计算就可以得到大厦的高度； 方案2：如图2所示，在学校操场上相对于上海中心大厦的同一方向上选取两点C、D，先量得的长度，再分别在点C、D测得上海中心大厦（）的楼顶（点S）的仰角和，通过计算就可以得到大厦的高度．测量并通过计算得：米，． (1)教学楼（）的高度为 米； (2)请你在两种方案中选取一种方案，计算出上海中心大厦（）的高度（精确到1米）． 【答案】(1)30 (2)上海中心大厦（SH）的高度为632米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）设教学楼（）的高度为x米，根据题意列方程即可得到结论； （2）方案1，设米，过点A作，垂足为点E，根据矩形的性质得到（米），解直角三角形得到上海中心大厦（）的高度为632米；方案2，设米，解直角三角形即可得到结论． 【解析】（1）解：设教学楼（）的高度为x米， 根据题意得， 解得， 答：教学楼（）的高度为30米， 故答案为：30； （2）解：方案1，设米，过点A作，垂足为点E， ∴， ∴四边形是矩形， ∴（米） 在中，， ， 在中，， ， ∴， 解得：， ∴上海中心大厦（）的高度为632米； 方案2，设米， 在中，， , 在中，， , ∴， 解得， ∴上海中心大厦（）的高度为632米． 17．小明为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示． 测量方法：如图2，人眼在点观察所测物体最高点，量角器零刻度线上两点均在视线上，将铅锤悬挂在量角器的中心点．当铅锤静止时，测得视线与铅垂线所夹的角为，且此时的仰角为． 实践操作：如图3，小明利用上述工具测量河对岸垂直于水平地面的大楼的高度．他先站在水平地面的点处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为；然后他向前走10米靠近大楼站在水平地面的点处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为． 问题解决： (1)请用含的代数式表示仰角； (2)如果在同一平面内，小明的眼睛到水平地面的距离为1.6米，求大楼的高度．（结果保留根号） 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查了解直角三角形−仰角俯角问题，列代数式，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）延长交于L，根据题意可得：，从而可得：，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答； （2）延长交于点M，根据题意可得：米，米，然后设米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解析】（1）解：如图：延长交于L， 由题意得： ∴， ∵， ∴ ∴； （2）解：延长交于点M， 由题意得：， 设米， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∵， ∴ 解得： ∴米， ∴米， ∴大楼EF的高度为米． 18．九（1）班同学在学习了“解直角三角形”的知识后，开展了“测量学校教学大楼高度”的活动中，在这个活动中他们设计了以下两种测量的方案： 课题 测量教学大楼的高度 方案 方案一 方案二 测量示意图 测得数据 甲楼和乙楼之间的距离米，乙楼顶端D测得甲楼顶端B的仰角，测得甲楼底端A的俯角 甲楼和乙楼之间的距离米，甲楼顶端B测得乙楼顶端D的俯角，测得乙楼底端C的俯角， 参考数据 ，，，，，，，，． 请你选择其中一种方案，求甲楼和乙楼的高度．（结果精确到1米） 【答案】见详解． 【分析】用方案一，过D作于点E，构建出直角三角形，再求出，，即可得解． 【解析】过D作于点E，如图所示： ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴米， ， ∵， ∴米，米， ∵， ∴米， ∴米． 甲楼和乙楼的高度分别为17米和21米． 【点睛】考查锐角三角函数的性质运用，准确掌握正切、正弦、余弦的概念并准确运用是解题的关键． 题型6：其他问题 19．如图，某农林部门用钢管为垂直于地面的树木进行加固．已知钢管、的长度相等，钢管与地面所成角，钢管落地点间距长6米，则固定点离地面的高度为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】根据题意可得：， 然后在 中， 利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答． 【解析】由题意得：， ∵在中，，， ∴， 在中， ，米， ∴ (米)， 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 20．马路边上有一棵树，树底距离护路坡的底端有3米，斜坡的坡角为60度，小明发现，下午2点时太阳光下该树的影子恰好为，同时刻1米长的竹竿影长为0.5米，下午4点时又发现该树的部分影子落在斜坡上的处，且，如图所示，线段的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据在同一时刻物高和影长成正比，求出，延长，交于点，根据30度角的直角三角形即可求出结果． 【解析】解：同时刻1米长的竹竿影长为0.5米，米， 树的高度是6米； 延长，交于点，            ， ， ， 米， 米， 米， 线段的长度为， 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用以及平行投影，解决本题的关键是作出辅助线得到的影长． 21．近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面．图1所示是一款智能送货机器人，图2是其侧面示意图，现测得其矩形底座的高为，上部显示屏的长度为，侧面支架的长度为，，，则该机器人的最高点F距地面的高度约为(   ) ．（参考：，，） A．143 B．77 C．62 D．158 【答案】A 【分析】 通过作垂线或平行线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可． 【解析】 解：如图，过点作于点，过点作，过点作于点， 在中，，， ， 在中，，， ， 机器人的最高点距地面的高度为， 故选：A． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 22．诱发高速公路夜间行车安全事故的一个重要原因是眩光现象．夜间会车时，对向车辆车灯的强光射向驾驶员，存在安全隐患．目前主要措施是设置防眩装置遮挡车辆灯光，避免强光射向对向车道的驾驶员． 如图所示，一条东西方向的双向笔直道路，中央隔离带中轴线l垂直平分每块遮光板，遮光板宽度是米，即米．一辆摩托车自西向东行驶，车灯位于点A时，车灯发出的光线AC经过相邻2个遮光板外侧的点Q和点M，光线经过遮光板外侧的点P，点D和点C在对向车道驾驶员行驶路线上．于点B，两侧驾驶员行驶路线之间的距离米，光线和行驶路线的夹角，点A，B，C，D，P，Q，M，N在同一平面内．（参考数据： ） (1)的长度是多少米？ (2)相邻遮光板的距离是多少米？ 【答案】(1)20米 (2)米 【分析】本题主要考查了解直角三角形： （1）根据锐角三角函数的定义求解即可； （2）过P作于E，过Q作于F，中轴线l与交于点O，然后根据平行线的性质求出的长，再根据矩形的判定与性质求出以及的长，最后根据平行线的性质，求出，从而可以求出． 【解析】（1）解： ∴（米）； （2）解：过P作于E，过Q作于F，中轴线l与交于点O，如图： ∵， ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵O是中点，也是的中点， ∴米，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 答：相邻遮光板的距离是米． 23．如图1是光的反射规律示意图，是入射光线，是反射光线，法线平面镜，入射角等于反射角． 如图2，水平桌面上从左至右分别竖直放置了挡板、挡板、平面镜，在挡板的正上方有一可上下移动的挡板（挡板的厚度都忽略不计），已知厘米，当从点发出的光线经平面镜反射后恰好经过点时，测得入射角为.（参考数据：，，） (1)点到平面镜的距离是______厘米． (2)移动挡板，使空隙的长度是厘米，当从点发出的光线经平面镜反射后恰好经过点时，求入射角的度数． (3)在（2）的条件下，如果从点发出的光线经平面镜反射后通过空隙落到挡板上的最高点为，最低点为，那么的长度是_____厘米． 【答案】(1) (2)入射角的度数为 (3) 【分析】（1）作于点，且，得出，则，根据三线合一可得，进而解直角三角形，即可求解； （2）作于，使得，得出是等腰直角三角形，进而即可求解； （3）作关于的对称点，连接，并延长交分别为，得出，，根据相似三角形的性质，即可求解． 【解析】（1）解：如图所示，作于点，且， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：40； （2）解：如图所示，作于，使得， 同理可得， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 则入射角为； （3）解：如图所示，作关于的对称点，连接，并延长交分别为， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：35． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，轴对称的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 一、单选题 1．如果斜坡的坡度为，那么这条斜坡的坡角为（　　） A．75度 B．60度 C．45度 D．30度 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题．根据坡角的正切坡度，列式可得结果． 【解析】解：设这个斜坡的坡角为， 由题意得：， ． 故选：D． 2．进博会期间，从一架离地米的无人机上，测得地面监测点的俯角是，那么此时无人机与地面监测点的距离是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，仰角俯角，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 根据题意，得到，利用已知角的正弦，求出答案． 【解析】解：如图，在中， 米，， ， （米）， 故选：． 3．许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层，“飞梯”的截面如图，的长为50米，与的夹角为，则高是（） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据图形和锐角三角函数，可以表示出的值． 【解析】解：∵， 米， 故选：A． 4．如图，已知直线为水平线，，从甲楼的楼顶处观测乙楼的楼顶处的俯角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了俯角的定义，根据俯角是往下看，观测者的视线与水平线的夹角即为俯角，结合图形，即可求解． 【解析】解：∵直线为水平线，， ∴从甲楼的楼顶处观测乙楼的楼顶处的俯角是， 故选：B． 5．如图，为了测量学校教学楼的高度，在操场的处架起测角仪，测角仪的高米，从点测得教学大楼顶端的仰角为，测角仪底部到大楼底部的距离是米，那么教学大楼的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了仰角问题，过作于点，则四边形是矩形，根据性质和三角函数即可求解，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，熟练掌握三角函数的应用． 【解析】如图，过作于点， 则有四边形是矩形， ∴米，米，， 在中，， ∴， ∴， 故选：． 6．如图，一艘船从处向北偏东的方向行驶千米到处，再从处向正西方向行驶千米到处，这时这艘船与的距离（　　） A．千米 B．千米 C．1千米 D．千米 【答案】B 【分析】根据直角三角形的三角函数得出，进而得出，利用勾股定理得出即可． 【解析】解：如图： ， ， 千米， 千米，千米， 千米， 千米， 故选B． 【点睛】此题考查了方向角、解直角三角形的应用，解题的关键是根据直角三角形的三角函数得出解答． 7．如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动．已知细绳从悬挂点O到球心的长度为50厘米，小球在左、右两个最高位置时，细绳相应所成的角∠AOB为40°，那么小球在最高位置和最低位置时的高度差为（    ） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 【答案】D 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，三角函数的基本概念， 当小球在最高位置时，过小球作小球位置最低时细绳的垂线，在构建的直角三角形中，可根据偏转角的度数和细绳的长度，求出小球最低位置时的铅直高度，进而可求出小球在最高位置与最低位置时的高度差． 【解析】解：如图：过作于， 中，厘米，， ． （厘米）． 故选：D． 8．如图，为测量一条河的宽度，分别在河岸一边相距米的、两点处，观测对岸的标志物，测得、，那么这条河的宽度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】过点P作于点C，则这条河的宽度是的长，根据锐角三角函数可得，从而得到，即可求解． 【解析】解：如图，过点P作于点C，则这条河的宽度是的长， ∵， ∴， ∵米， ∴， 即， ∴， 即米， 即这条河的宽度是米， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键． 9．共享单车为市民出行提供了便利．图1为单车实物图，图2为单车示意图，与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线方向调节．已知，，，车轮半径为，，小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为时骑着比较舒适，此时的长约为（    ）（结果精确到，参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点C作CN⊥AB，交AB于M，通过构建直角三角形解答即可． 【解析】解：过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N 由题意可知MN＝30cm，当CN＝90cm时，CM＝60cm， ∵Rt△BCM中，∠ABE＝70°，sin∠ABE＝sin70°＝≈0.9， ∴BC≈67cm， ∴CEBC−BE＝67−40＝27cm． 故选B． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确构建直角三角形是解答本题的关键． 10．某同学利用数学知识测量建筑物的高度，他从点出发沿着坡度为的斜坡步行米到达点处，用测角仪测得建筑物顶端的仰角为，建筑物底端的俯角为．若为水平的地面，点在同一平面内，建筑物和测角仪与水平方向垂直，若米，则此建筑物的高度约为（　　）（精确到米，参考数据：，，） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，由坡度的定义和勾股定理得出的长，再由等腰直角三角形的性质得出的长，然后由锐角三角函数定义求出的长，即可得出答案，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【解析】解：如图，过点作于，过作于， 则， ∵， ∴设米，则米， ∴米， ∵米， ∴， 解得， ∴， ∴米， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴米， 在中，， ∴米， ∴米， 故选：． 二、填空题 11．已知斜坡坡度为，如果斜坡长为米，那么斜坡的高为 米． 【答案】60 【分析】设斜坡的高3x米，水平宽度为4x米，根据勾股定理计算即可． 【解析】解： ∵斜坡坡度为3：4， ∴设斜坡的高3x米，水平宽度为4x米， 由勾股定理得，（3x）2+（4x）2=1002， 解得，x=20， 即斜坡的高为3×20=60（米）， 故答案为：60． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． 12．如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B的仰角为，看这栋楼底部C的俯角为，热气球A处与楼的水平距离为m米，那么这栋楼的高度为 米．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的仰角俯角问题，首先过点A作于点D，根据题意得，，米，然后利用三角函数求解即可求得答案． 【解析】解：首先过点A作于点D，如下图所示， 则，，米， 在中，米， 在中，米， ∴米． 故答案为： 13．如图是屋架设计图的一部分，立柱垂直于横梁，如果，，那么立柱的长度是 米． 【答案】5 【分析】本题考查含的直角三角形知识，掌握所对的直角边是斜边的一半是解题的关键．含角的直角三角形，利用直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半即可求解． 【解析】解： 垂直于横梁，，． ． 故答案为：5． 14．如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物M的俯角为α，tanα＝，水平飞行900米后，到达点B处，又测得标志物M的俯角为β，tanβ＝，那么此时飞机离地面的高度为 米． 【答案】1200 【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可表示出此时飞机离地面的高度． 【解析】解：作交于点，如图所示， ，， ， ， ， 故答案为：1200． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答． 15．如图，某兴趣小组用无人机对大楼进行测高，无人机从距离大楼30米（PB＝30米）垂直起飞，飞到A处悬停，测得大楼底部俯角α＝45°，大楼顶部仰角β＝60°，则大楼的楼高BC＝ 米．（结果保留根号） 【答案】/ 【分析】过A点作AD⊥BC交BC于D点，根据题意得到四边形APBD是正方形，求出DB的长度，然后根据仰角β＝60°的三角函数值和AD=30求出DC的长度，即可求出大楼的楼高BC的长度． 【解析】解：如图所示，过A点作AD⊥BC交BC于D点， ∵，，， ∴四边形APBD是矩形， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形APBD是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了解直角三角形，三角函数的应用，解题的关键是根据题意作出辅助线AD，根据三角函数值求解． 16．如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面米的处，无人机测得操控者的俯角为，测得点处的俯角为．又经过人工测量操控者和教学楼距离为米，则教学楼的高度为 ．(点都在同一平面上，结果保留根号)    【答案】米 【分析】作于点E，作于点F，由得米，由AB=57知米，由四边形BCEF是矩形知米，由知米，从而得到 米． 【解析】过点D作于点E，作于点F，    由题可得： AB=57，DE=30，，， 在Rt△ADE中，， ∴， ∴， ∵AB=50， ∴， ∵四边形BCEF是矩形， ∴， 在Rt△DCF中，， ∴， ∴， ∴米． 故答案为米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用中仰角俯角问题，根据题意构造直角三角形是解题的关键． 17．如图，已知斜坡长为，坡角（即）为，，现计划在斜坡中点处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线的平台和一条新的斜坡．若修建的斜坡的坡角为，则平台的长为 ．（参考数据：） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，解直角三角形，求出，再解直角三角形，求出，最后根据线段的和差关系即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【解析】解：延长交于点， ∵， ∴， ∵ ， ∴，， ∵，点是的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平台的长约为， 故答案为：． 18．一款闭门器按如图1所示安装，支点，分别固定在门框和门板上，门宽，摇臂，连杆，闭门器工作时，摇臂、连杆和长度均固定不变．如图2，当门闭合时，，则的长为 cm．如图3，门板绕点旋转，当时，点到门框的距离，则的长为 cm． 【答案】 【分析】过作，为垂足，利用三角函数和勾股定理求出、即可求解；连接，作，为垂足，为的对应点，设，分别表示出、、、，用勾股定理即可求解． 【解析】 解：过作，为垂足， ， ， ， ， ， ，      ． 故答案：． 解：如图，连接，作，为垂足，为的对应点， ， ， ， ， 设，则， ， 由题空1得：，， ， 又 ， ， 即：， 整理得：， 解得：，（舍去）， ． 故答案：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构建直角三角形，熟练利用勾股定理及三角函数是解题的关键． 三、解答题 19．如图，梯形ABCD是某水库大坝的横断面，其坝顶宽5米，坝底宽33米，坝的迎水坡度是i1=1:2，背水坡的坡度i2=2:3，求：水坝横截面的面积． 【答案】水坝横截面的面积为152平方米 【分析】根据坝的迎水坡度是i1=1:2，背水坡的坡度i2=2:3，坝顶宽5米，坝底宽33米，设AE=DF=2x米，则BE=4x米，CF=3x米，可得方程，可以求得AE=8米，根据梯形面积公式，即可得到水坝横截面的面积． 【解析】∵i1=1:2,背水坡的坡度i2=2:3 设AE=DF=2x米，则BE=4x米，CF=3x米 ∵AD=5米 ∴EF=5米 ∵BC=33米 ∴AE=8米 ∴水坝横截面的面积为平方米． 【点睛】本题考查了坡度的求解，根据坡度求得，的长是解题的关键． 20．如图，小明一家从家所在地自驾前往古镇游玩，古镇在小明家的正北方向千米处，由于道路清障，小明一家先从沿西北方向行驶至地，再从地沿北偏东方向行驶至古镇，求小明一家从地到地实际行驶的路程是多少千米？（结果精确到千米） （参考数据：，，，） 【答案】从地到地实际行驶的路程是千米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点作于点，先解，设，则,，解，进而求得，，进而根据，即可求解． 【解析】解：如图所示，过点作于点， ∵点在点的西北方向， ∴， ∴，， ∵点在点的北偏东方向， ∴， ∵， 设，则,， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴（千米） 答：从地到地实际行驶的路程是千米． 21．如图，在东西方向的海岸线l上有长为300米的码头AB，在码头的最西端A处测得轮船M在它的北偏东方向上；同一时刻，在A点正东方向距离100米的C处测得轮船M在北偏东方向上．（参考数据：，，，．） (1)求轮船M到海岸线l的距离；（结果精确到0.01米） (2)如果轮船M沿着南偏东的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB靠岸？请说明理由． 【答案】(1)167.79米 (2)能，理由见解析 【分析】（1）过点M作，交AC的延长线于D，设．解，得，解，得，进而可得，解方程即可； （2）作，交l于点F．解求出DF，进而求出AF，与AB比较大小即可． 【解析】（1）解：过点M作，交AC的延长线于D，设． ∵在中，， 又∵在中，， ∴， ∵， ∴． ∴（米）． 即轮船M到海岸线l的距离约为167.79米． （2）解：作，交l于点F． 在中，有：（米）， ∴． ∴该轮船能行至码头靠岸． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，通过添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 22．如图，在数学综合实践活动课上，两名同学要测量小河对岸大树的高度，甲同学在点测得大树顶端的仰角为，乙同学从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点处，在此处测得大树顶端的仰角为，且斜坡的坡度为，于点，点、、在一条直线上． (1)求乙同学从点到点的过程中，上升的竖直高度； (2)依据他们测量的数据求出大树的高度．（参考数据：） 【答案】(1)米 (2)的高度为米 【分析】（1）在中，，则，根据勾股定理，即可求解； （2）如图所示（见详解），过点作于点，设米，在矩形中，米，米，在中，米，，且，由此即可求解． 【解析】（1）解：根据题意，在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴米． ∴乙同学从点到点的过程中，上升的竖直高度为米． （2）解：如图，过点作于点，设米， 在中，， ∴米， 由（1）得米， 在矩形中，米， 米， 在中，米， ∵，且， ∴，解方程得，米， ∴大树的高度为米． 【点睛】本题主要是解直角三角形，勾股定理的应用，掌握勾股定理的运算，锐角三角函数的计算方法是解题的关键． 23．如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动．已知细绳从悬挂点O到球心的长度为50厘米，小球在A、B两个位置时达到最高点，且最高点高度相同（不计空气阻力），在C点位置时达到最低点．达到左侧最高点时与最低点时细绳相应所成的角度为，细绳在右侧达到最高点时与一个水平放置的挡板所成的角度为．（参考数据：）    (1)求小球达到最高点位置与最低点位置时的高度差． (2)求这段细绳的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得出，进而得出答案； （2）根据题意得出，进而得出的长，进而得出答案. 【解析】（1）解：连接交于点, 可知,    由题意可得则 故之间的高度差为； （2）由 知, 的高度差也是, 故, 解得： 则 答: 这段细绳的长度为. 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意得出与的关系是解题关键. 24．如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC、CD与AB始终在同一平面上． （1）转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE． （2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，经试验后发现，如图3，当∠BCD＝150°时台灯光线最佳．求此时连杆端点D离桌面l的高度比原来降低了多少厘米？    【答案】（1）（20+5）cm；（2）比原来降低了（10﹣10）厘米． 【分析】（1）作BO⊥DE于O，根据矩形的判定，可得四边形ABOE是矩形，先求出∠DBO，然后根据锐角三角函数即可求出OD，从而求出DE； （2）过C作CG⊥BH，CK⊥DE，根据锐角三角函数，即可求出CG，从而求出KH，再求出∠DCK，利用锐角三角函数即可求出DK，从而求出此时连杆端点D离桌面l的高度，即可求出结论. 【解析】解：（1）如图2中，作BO⊥DE于O．   ∵∠OEA＝∠BOE＝∠BAE＝90°， ∴四边形ABOE是矩形， ∴∠OBA＝90°， ∴∠DBO＝150°﹣90°＝60°， ∴OD＝BD•sin60°＝20（cm）， ∴DE＝OD+OE＝OD+AB＝（20+5）cm； （2）过C作CG⊥BH，CK⊥DE， 由题意得，BC＝CD＝20m，CG＝KH， ∴在Rt△CGB中，sin∠CBH＝， ∴CG＝10cm， ∴KH＝10cm， ∵∠BCG＝90°﹣60°＝30°， ∴∠DCK＝150°﹣90°﹣30°＝30°， 在Rt△DCK中，sin∠DCK＝＝＝， ∴DK＝10cm， ∴此时连杆端点D离桌面l的高度为10+10+5=（15+10）cm ∴比原来降低了（20+5）﹣（15+10）＝10﹣10， 答：比原来降低了（10﹣10）厘米．    【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用，掌握构造直角三角形的方法和用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键. 25．图1是某区规划建设的过街天桥的侧面示意图，等腰梯形ABCD的上底BC表示主跨桥，两腰AB，CD表示桥两侧的斜梯，A，D两点在地面上，已知AD＝40m，设计桥高为4m，设计斜梯的坡度为1：2.4．点A左侧25m点P处有一棵古树，有关部门划定了以P为圆心，半径为3m的圆形保护区． (1)求主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和； (2)为了保证桥下大货车的安全通行，桥高要增加到5m，同时为了方便自行车及电动车上桥，新斜梯的坡度要减小到1：4，新方案主跨桥的水平位置和长度保持不变．另外，新方案要修建一个缓坡MN作为轮椅坡道，坡道终点N在左侧的新斜梯上，并在点N处安装无障碍电梯，坡道起点M在AP上，且不能影响到古树的圆形保护区．已知点N距离地面的高度为0.9m，请利用表中的数据，通过计算判断轮椅坡道的设计是否可行． 表：轮椅坡道的最大高度和水平长度 坡度 1：20 1：16 1：12 1：10 1：8 最大高度（m） 1.20 0.90 0.75 0.60 0.30 水平长度（m） 24.00 14.40 9.00 6.00 2.40 【答案】(1)主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为26.6m (2)轮椅坡道的设计不可行，理由见解析 【分析】（1）根据斜坡AB的坡度以及天桥的高度可求出AE，由勾股定理求出AB，进而求出EF＝BC的长，再计算主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和； （2）根据坡度的定义求出新方案斜坡 的水平距离进而求出点M到点G的最大距离，再由表格中轮椅坡道的最大高度和水平长度的对应值进行判断即可． 【解析】（1）解：如图，作直线AD，则AD过点 和点，过点B、C分别作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足为E、F，延长EB，延长FC，则射线EB过点，射线FC过点，由题意得，BE＝CF＝4m，AP＝25m，E＝5m， ∵斜坡AB的坡度为1：2.4，即＝1：2.4， ∴AE＝4×2.4＝9.6（m）， 又∵四边形ABCD是等腰梯形， ∴AE＝DF＝9.6m， ∴BC＝AD﹣AE﹣DF＝5.8（m）， AB＝＝＝10.4（m）＝CD， ∴主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为AB+BC+CD＝10.4+5.8+10.4＝26.6（m）， 答：主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为26.6m． （2）解：∵斜坡的坡度为1：4，即＝1：4， ∴E＝5×4＝20（m）， ∴A＝20﹣9.6＝11.4（m）， G＝4NG＝4×0.9＝3.6（m）， ∴AG＝11.4﹣3.6＝7.8（m）， 点M到点G的最多距离MG＝25﹣7.8﹣3＝14.2（m）， ∵14.2＜14.4， ∴轮椅坡道的设计不可行． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据坡度和坡角构造直角三角形，然后分别用解直角三角形的知识坡道的水平距离是解答本题的关键． 26．钓鱼伞设计：户外钓鱼是一项独特的休闲娱乐活动，已经吸引了越来越多的人． 图解：图1是某钓鱼俱乐部设计了一款新型钓伞，伞面可近似看成弧线．图2是其侧面示意图．已知遮阳伞由伞面弧、支架和支架组成，D为两个支架的连接点，其中支架垂直于且可在D处任意旋转，C为中点，支架垂直于地面且可以适当调整长度．传统的钓伞在连接点D处需要手动旋转支架，使弦与光线垂直以达到最大遮阳目的．新型遮阳伞在D处设置了光线传感器，自动旋转支架以保持始终与光线垂直．图3-5为在不同太阳高度下的情况，其中为光线方向，为在地面形成的影子．仅考虑光线由右上到左下的情况． 定义变量：设米，米，米，太阳高度角定义为光线与地面夹角（为锐角）． 问题一：如图4，若，当伞面端点的影子刚好与点重合时，求影子的长度． 问题二：根据图3-图5，为了最大程度利用遮阳伞，假设钓鱼人坐在点，面朝阳光方向，设的距离为米，请利用相关变量表示． 问题三：在图5中，该俱乐部的某场钓鱼比赛定在上午九点，此时太阳光线与地面夹角为，俱乐部选择，型号的钓伞．假设点刚好在岸边，座椅在处，为了满足最大舒适性，选手距离岸边距离（在点左侧）不超过米，且为了满足视野不影响比赛，要求点离地面的垂直距离不小于米，根据此要求，该俱乐部应如何设置的高度以满足比赛，求的取值范围．（精确到0.1米，参考数据：） 【答案】问题一：影长米；问题二：；问题三： 【分析】问题一：过点D作，交于点F，过点N作，交于点H，则可得四边形为矩形，则有；在中，由勾股定理求得，则可求得的值，在在中，利用正弦函数关系则可求得； 问题二：延长交于点，由平行线分线段成比例定理得G点是中点；及中，利用三角函数分别求出，分点N在点E右侧、点N在点E左侧、点N与点E重合三种情况，即可求解； 问题三：过点F作，交于P，过点B作交延长线于Q，交延长线于R，利用解直角三角形知识分别求出，由，即可求得h的范围． 【解析】问题一 解：当点E和点N重合时，过点D作，交于点F，过点N作，交于点H， ， ， 四边形为矩形，米， ， ， 由题可知，米，米， 在中，由勾股定理得米， 则， 在中，， 解得米，即影长为米， 问题二 解： 延长交于点， ， ，即， 中，，则， ， 在中，， ，则， 当点N在点E右侧时，， 则， 当点N在点E左侧时，， 则， 当点N与点E重合时，，即， 综上所述，； 问题三 解：过点F作，交于P，过点B作交延长线于Q，交延长线于R， 当时，都为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 由题可知：， ， 当时，解得： ， 即． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定，构造适当辅助线得到直角三角形是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16讲 解直角三角形的应用（六大题型） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（六大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、弄清题中名词、术语的意义，如仰角、坡度等； 2、会运用有关解直角三角形的知识解决实际问题； 一、解直角三角形的应用 解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 　　解这类问题的一般过程是： 　　(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型. 　　(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题. 　　(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. 　　(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 应用举例：　在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： 　　(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 　　坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 　　　　　　　　　　　　 　　(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别地：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°. 【方法规律】 　　1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图； 　　2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解； 　　　　　　 　　3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解. 题型1：仰角、俯角问题 1．某火箭从地面处发射，当火箭达到点时，从位于地面处雷达站测得、的距离是米，仰角为，此时火箭的高度是（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 2．如图，热气球的探测器显示，从热气球处看一栋楼顶部处的仰角为，看这栋楼底部处的俯角为，热气球处与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（    ） A． B． C． D． 3．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十三号载人飞行任务收得圆满成功，中国航天，又站在了一个新的起点．如图2021年10月16日，神舟十三号载人飞船从地面O处成功发射，当飞船到达点A时，地面D处的雷达站测得米，仰角为，3秒后，飞船直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为．点O，C，D在同一直线上，已知C，D两处相距460米，则飞船从A到B处的平均速度为多少．结果精确到1米；参考数据：，　    A．332 B．333 C．334 D．335 题型2：方位角问题 4．王英同学从地沿北偏西方向走到地，再从地向正南方向走到地，此时王英同学离地（    ）． A． B． C． D． 5．如图，某货船以24海里/时的速度从A处向正东方向的D处航行，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向．该货船航行30分钟后到达B处，此时测得该岛在北偏东30°的方向上．则货船在航行中离小岛C的最短距离是（　　）    A．12海里 B．6海里 C．12海里 D．24海里 6．如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向距离灯塔海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处，则海轮行驶的路程的值为（　　）    A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 题型3：坡度坡比问题 7．如图，若坡角，则斜坡的坡度为（    ）    A． B． C． D．2 8．某人沿着坡度为的山坡前进了100米，则此人所在的位置升高了（    ） A．100米 B．米 C．50米 D． 9．如图，大坝横截面的迎水坡的坡比为∶，即∶∶，若坡面长度米，则坡面的水平宽度长为（    ）    A． B． C． D． 10．如图，某地下车库的入口处有斜坡，它的坡度为，斜坡的长为，斜坡的高度为，为了让行车更安全，现将斜坡的坡角改造为（图中的）．    (1)求车库的高度； (2)求点与点之间的距离（结果精确到，参考数据：，，． 11．根据以下素材，完成探索任务． 探究斜坡上两车之间距离 素材1 图①是某高架入口的横断面示意图．高架路面用表示，地面用表示，斜坡用表示．已知，高架路面离地面的距离为25米，斜坡长为65米． 素材2 如图②，矩形为一辆大巴车的侧面示意图，长为10米，长为米．如图③，该大巴车遇堵车后停在素材1中的斜坡上，矩形的顶点与点重合，点与指示路牌底端点之间的距离为米，且．小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶，小张的眼睛到斜坡的距离为1米． 问题解决 任务一 如图①，求斜坡的坡比． 任务二 如图③，当小张正好可以看到整个指示路牌（即、、在同一条直线上）时，试求小张距大巴车尾的距离． 题型4：临界值题 12．如图，是一个放置于水平桌面的平板支架的示意图，底座的高为，宽为，点是的中点，连杆的长度分别为和，，且连杆与始终在同一平面内． (1)求点到水平桌面的距离； (2)产品说明书提示，若点与的水平距离超过的长度，则该支架会倾倒．现将调节为，此时支架会倾倒吗？（参考数据∶） 13．地震会导致房间内吊灯剧烈摇晃而掉落．在一间高3米（点A至地面）的房间内有一盏吊灯，吊绳长厘米，当吊绳摆动与铅垂方向夹角处于至范围时，灯可能会垂直掉落．    (1)灯垂直掉落至地面的危险区域长度为多少厘米？（精确到0.1） (2)机智的你正在房间内愉快地玩耍，忽然收到温馨提示将发生地震，你冷静地仰望静止的灯（点B），测得仰角为，请计算并说明你是否站在灯掉落的危险区域？（参考数据：，，，，） 题型5：测量高度问题 14．如图，在河流的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度的山坡，点与点在同一水平面上，与在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼的高度，在坡底处测得楼顶的仰角为，然后沿坡面上行了米（即米）到达点处，此时在处测得楼顶的仰角为．（参考数据：，，） （1）求点到点的水平距离的长； （2）求楼的高度． 15．如图，某风景区内有一瀑布，AB表示瀑布的垂直高度，在与瀑布底端同一水平位置的点D处测得瀑布顶端A的仰角β为45°，沿坡度i＝1：3的斜坡向上走100米，到达观景台C，在C处测得瀑布顶端A的仰角α为37°，若点B、D、E在同一水平线上．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.41，≈3.16） （1）观景台的高度CE为　 　米（结果保留准确值）； （2）求瀑布的落差AB（结果保留整数）． 16．上海中心大厦位于中国上海浦东陆家嘴金融贸易区核心区，是一幢集商务、办公、酒店、商业、娱乐、观光等功能的超高层建筑．它的附近有一所学校的数学兴趣小组在讨论建筑物的高度测量问题，讨论发现要测量学校教学楼的高度可以用“立杆测影”的方法，他们在平地上立一根2米长并且与地面垂直的测量杆，量得影子长为1.6米，同时量得教学楼的影子长为24米，这样就可以计算出教学楼的高度．进而在讨论测量上海中心大厦高度时，由于距离远和周围建筑密集等因素，发现用“立杆测影”的方法不可行，要采用其他方法，经讨论提出两个方案（测角仪高度忽略不计）： 方案1：如图1所示，利用计算所得的教学楼（）高度，分别在教学楼的楼顶（点A）和楼底地面（点B），分别测得上海中心大厦（）的楼顶（点S）的仰角和，通过计算就可以得到大厦的高度； 方案2：如图2所示，在学校操场上相对于上海中心大厦的同一方向上选取两点C、D，先量得的长度，再分别在点C、D测得上海中心大厦（）的楼顶（点S）的仰角和，通过计算就可以得到大厦的高度．测量并通过计算得：米，． (1)教学楼（）的高度为 米； (2)请你在两种方案中选取一种方案，计算出上海中心大厦（）的高度（精确到1米）． 17．小明为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示． 测量方法：如图2，人眼在点观察所测物体最高点，量角器零刻度线上两点均在视线上，将铅锤悬挂在量角器的中心点．当铅锤静止时，测得视线与铅垂线所夹的角为，且此时的仰角为． 实践操作：如图3，小明利用上述工具测量河对岸垂直于水平地面的大楼的高度．他先站在水平地面的点处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为；然后他向前走10米靠近大楼站在水平地面的点处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为． 问题解决： (1)请用含的代数式表示仰角； (2)如果在同一平面内，小明的眼睛到水平地面的距离为1.6米，求大楼的高度．（结果保留根号） 18．九（1）班同学在学习了“解直角三角形”的知识后，开展了“测量学校教学大楼高度”的活动中，在这个活动中他们设计了以下两种测量的方案： 课题 测量教学大楼的高度 方案 方案一 方案二 测量示意图 测得数据 甲楼和乙楼之间的距离米，乙楼顶端D测得甲楼顶端B的仰角，测得甲楼底端A的俯角 甲楼和乙楼之间的距离米，甲楼顶端B测得乙楼顶端D的俯角，测得乙楼底端C的俯角， 参考数据 ，，，，，，，，． 请你选择其中一种方案，求甲楼和乙楼的高度．（结果精确到1米） 题型6：其他问题 19．如图，某农林部门用钢管为垂直于地面的树木进行加固．已知钢管、的长度相等，钢管与地面所成角，钢管落地点间距长6米，则固定点离地面的高度为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 20．马路边上有一棵树，树底距离护路坡的底端有3米，斜坡的坡角为60度，小明发现，下午2点时太阳光下该树的影子恰好为，同时刻1米长的竹竿影长为0.5米，下午4点时又发现该树的部分影子落在斜坡上的处，且，如图所示，线段的长度为（    ）    A． B． C． D． 21．近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面．图1所示是一款智能送货机器人，图2是其侧面示意图，现测得其矩形底座的高为，上部显示屏的长度为，侧面支架的长度为，，，则该机器人的最高点F距地面的高度约为(   ) ．（参考：，，） A．143 B．77 C．62 D．158 22．诱发高速公路夜间行车安全事故的一个重要原因是眩光现象．夜间会车时，对向车辆车灯的强光射向驾驶员，存在安全隐患．目前主要措施是设置防眩装置遮挡车辆灯光，避免强光射向对向车道的驾驶员． 如图所示，一条东西方向的双向笔直道路，中央隔离带中轴线l垂直平分每块遮光板，遮光板宽度是米，即米．一辆摩托车自西向东行驶，车灯位于点A时，车灯发出的光线AC经过相邻2个遮光板外侧的点Q和点M，光线经过遮光板外侧的点P，点D和点C在对向车道驾驶员行驶路线上．于点B，两侧驾驶员行驶路线之间的距离米，光线和行驶路线的夹角，点A，B，C，D，P，Q，M，N在同一平面内．（参考数据： ） (1)的长度是多少米？ (2)相邻遮光板的距离是多少米？ 23．如图1是光的反射规律示意图，是入射光线，是反射光线，法线平面镜，入射角等于反射角． 如图2，水平桌面上从左至右分别竖直放置了挡板、挡板、平面镜，在挡板的正上方有一可上下移动的挡板（挡板的厚度都忽略不计），已知厘米，当从点发出的光线经平面镜反射后恰好经过点时，测得入射角为.（参考数据：，，） (1)点到平面镜的距离是______厘米． (2)移动挡板，使空隙的长度是厘米，当从点发出的光线经平面镜反射后恰好经过点时，求入射角的度数． (3)在（2）的条件下，如果从点发出的光线经平面镜反射后通过空隙落到挡板上的最高点为，最低点为，那么的长度是_____厘米． 一、单选题 1．如果斜坡的坡度为，那么这条斜坡的坡角为（　　） A．75度 B．60度 C．45度 D．30度 2．进博会期间，从一架离地米的无人机上，测得地面监测点的俯角是，那么此时无人机与地面监测点的距离是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层，“飞梯”的截面如图，的长为50米，与的夹角为，则高是（） A．米 B．米 C．米 D．米 4．如图，已知直线为水平线，，从甲楼的楼顶处观测乙楼的楼顶处的俯角是（    ） A． B． C． D． 5．如图，为了测量学校教学楼的高度，在操场的处架起测角仪，测角仪的高米，从点测得教学大楼顶端的仰角为，测角仪底部到大楼底部的距离是米，那么教学大楼的高是（    ） A． B． C． D． 6．如图，一艘船从处向北偏东的方向行驶千米到处，再从处向正西方向行驶千米到处，这时这艘船与的距离（　　） A．千米 B．千米 C．1千米 D．千米 7．如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动．已知细绳从悬挂点O到球心的长度为50厘米，小球在左、右两个最高位置时，细绳相应所成的角∠AOB为40°，那么小球在最高位置和最低位置时的高度差为（    ） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 8．如图，为测量一条河的宽度，分别在河岸一边相距米的、两点处，观测对岸的标志物，测得、，那么这条河的宽度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 9．共享单车为市民出行提供了便利．图1为单车实物图，图2为单车示意图，与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线方向调节．已知，，，车轮半径为，，小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为时骑着比较舒适，此时的长约为（    ）（结果精确到，参考数据：，，） A． B． C． D． 10．某同学利用数学知识测量建筑物的高度，他从点出发沿着坡度为的斜坡步行米到达点处，用测角仪测得建筑物顶端的仰角为，建筑物底端的俯角为．若为水平的地面，点在同一平面内，建筑物和测角仪与水平方向垂直，若米，则此建筑物的高度约为（　　）（精确到米，参考数据：，，） A．米 B．米 C．米 D．米 二、填空题 11．已知斜坡坡度为，如果斜坡长为米，那么斜坡的高为 米． 12．如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B的仰角为，看这栋楼底部C的俯角为，热气球A处与楼的水平距离为m米，那么这栋楼的高度为 米．（用含的式子表示） 13．如图是屋架设计图的一部分，立柱垂直于横梁，如果，，那么立柱的长度是 米． 14．如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物M的俯角为α，tanα＝，水平飞行900米后，到达点B处，又测得标志物M的俯角为β，tanβ＝，那么此时飞机离地面的高度为 米． 15．如图，某兴趣小组用无人机对大楼进行测高，无人机从距离大楼30米（PB＝30米）垂直起飞，飞到A处悬停，测得大楼底部俯角α＝45°，大楼顶部仰角β＝60°，则大楼的楼高BC＝ 米．（结果保留根号） 16．如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面米的处，无人机测得操控者的俯角为，测得点处的俯角为．又经过人工测量操控者和教学楼距离为米，则教学楼的高度为 ．(点都在同一平面上，结果保留根号)    17．如图，已知斜坡长为，坡角（即）为，，现计划在斜坡中点处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线的平台和一条新的斜坡．若修建的斜坡的坡角为，则平台的长为 ．（参考数据：） 18．一款闭门器按如图1所示安装，支点，分别固定在门框和门板上，门宽，摇臂，连杆，闭门器工作时，摇臂、连杆和长度均固定不变．如图2，当门闭合时，，则的长为 cm．如图3，门板绕点旋转，当时，点到门框的距离，则的长为 cm． 三、解答题 19．如图，梯形ABCD是某水库大坝的横断面，其坝顶宽5米，坝底宽33米，坝的迎水坡度是i1=1:2，背水坡的坡度i2=2:3，求：水坝横截面的面积． 20．如图，小明一家从家所在地自驾前往古镇游玩，古镇在小明家的正北方向千米处，由于道路清障，小明一家先从沿西北方向行驶至地，再从地沿北偏东方向行驶至古镇，求小明一家从地到地实际行驶的路程是多少千米？（结果精确到千米） （参考数据：，，，） 21．如图，在东西方向的海岸线l上有长为300米的码头AB，在码头的最西端A处测得轮船M在它的北偏东方向上；同一时刻，在A点正东方向距离100米的C处测得轮船M在北偏东方向上．（参考数据：，，，．） (1)求轮船M到海岸线l的距离；（结果精确到0.01米） (2)如果轮船M沿着南偏东的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB靠岸？请说明理由． 22．如图，在数学综合实践活动课上，两名同学要测量小河对岸大树的高度，甲同学在点测得大树顶端的仰角为，乙同学从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点处，在此处测得大树顶端的仰角为，且斜坡的坡度为，于点，点、、在一条直线上． (1)求乙同学从点到点的过程中，上升的竖直高度； (2)依据他们测量的数据求出大树的高度．（参考数据：） 23．如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动．已知细绳从悬挂点O到球心的长度为50厘米，小球在A、B两个位置时达到最高点，且最高点高度相同（不计空气阻力），在C点位置时达到最低点．达到左侧最高点时与最低点时细绳相应所成的角度为，细绳在右侧达到最高点时与一个水平放置的挡板所成的角度为．（参考数据：）    (1)求小球达到最高点位置与最低点位置时的高度差． (2)求这段细绳的长度． 24．如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC、CD与AB始终在同一平面上． （1）转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE． （2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，经试验后发现，如图3，当∠BCD＝150°时台灯光线最佳．求此时连杆端点D离桌面l的高度比原来降低了多少厘米？    25．图1是某区规划建设的过街天桥的侧面示意图，等腰梯形ABCD的上底BC表示主跨桥，两腰AB，CD表示桥两侧的斜梯，A，D两点在地面上，已知AD＝40m，设计桥高为4m，设计斜梯的坡度为1：2.4．点A左侧25m点P处有一棵古树，有关部门划定了以P为圆心，半径为3m的圆形保护区． (1)求主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和； (2)为了保证桥下大货车的安全通行，桥高要增加到5m，同时为了方便自行车及电动车上桥，新斜梯的坡度要减小到1：4，新方案主跨桥的水平位置和长度保持不变．另外，新方案要修建一个缓坡MN作为轮椅坡道，坡道终点N在左侧的新斜梯上，并在点N处安装无障碍电梯，坡道起点M在AP上，且不能影响到古树的圆形保护区．已知点N距离地面的高度为0.9m，请利用表中的数据，通过计算判断轮椅坡道的设计是否可行． 表：轮椅坡道的最大高度和水平长度 坡度 1：20 1：16 1：12 1：10 1：8 最大高度（m） 1.20 0.90 0.75 0.60 0.30 水平长度（m） 24.00 14.40 9.00 6.00 2.40 26．钓鱼伞设计：户外钓鱼是一项独特的休闲娱乐活动，已经吸引了越来越多的人． 图解：图1是某钓鱼俱乐部设计了一款新型钓伞，伞面可近似看成弧线．图2是其侧面示意图．已知遮阳伞由伞面弧、支架和支架组成，D为两个支架的连接点，其中支架垂直于且可在D处任意旋转，C为中点，支架垂直于地面且可以适当调整长度．传统的钓伞在连接点D处需要手动旋转支架，使弦与光线垂直以达到最大遮阳目的．新型遮阳伞在D处设置了光线传感器，自动旋转支架以保持始终与光线垂直．图3-5为在不同太阳高度下的情况，其中为光线方向，为在地面形成的影子．仅考虑光线由右上到左下的情况． 定义变量：设米，米，米，太阳高度角定义为光线与地面夹角（为锐角）． 问题一：如图4，若，当伞面端点的影子刚好与点重合时，求影子的长度． 问题二：根据图3-图5，为了最大程度利用遮阳伞，假设钓鱼人坐在点，面朝阳光方向，设的距离为米，请利用相关变量表示． 问题三：在图5中，该俱乐部的某场钓鱼比赛定在上午九点，此时太阳光线与地面夹角为，俱乐部选择，型号的钓伞．假设点刚好在岸边，座椅在处，为了满足最大舒适性，选手距离岸边距离（在点左侧）不超过米，且为了满足视野不影响比赛，要求点离地面的垂直距离不小于米，根据此要求，该俱乐部应如何设置的高度以满足比赛，求的取值范围．（精确到0.1米，参考数据：） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$