第15讲 解直角三角形（九大题型）-【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

第15讲 解直角三角形（九大题型） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（九大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、学会解直角三角形； 2、会结合其他几何知识解直角三角形； 3、掌握一般作辅助线方法构造直角三角形。 一、解直角三角形 　　在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 　　在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 　　设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： 　　①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理). 　　②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. 　　③边角之间的关系： 　　④，h为斜边上的高. 【方法规律】 　　(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值. 　　(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系). 　　(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解. 二、解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边(a，b) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， ， 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， ， 斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A， ， 【方法规律】 　　1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算； 　　2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边. 题型1：解直角三角形 1．如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 2．在中，，当已知和a时，求c，应选择的关系式是（  ） A． B． C． D． 3．在中，，，，则的长为（    ） 题型2：解一图多三角形的直角三角形问题 4．如图，在中，，点D为AB边的中点，连接CD，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． A．3 B．2 C． D． 5．如图，是的高，若，，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 6．如图，是等腰直角三角形，，点D在的延长线上，，连接，则（　　） A． B．2 C． D． 7．如图，在中，，，，于D，的平分线交于E，则的长为（    ） A． B． C． D． 题型3：在特殊平行四边形中解直角三角形 8．如图，在菱形中，，，，则的值是（ ） A． B． C．或 D．或 9．如图，在矩形中，与相交于点，于点．若，，则的长为 ． 10．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，，垂足为点E，F是的中点，连接，若，则矩形的周长是 ． 题型4：解非直角三角形 11．如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 12．如图，在等腰中，．若，，则底边(　　) A． B． C． D． 13．如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（    ） A． B．12 C． D．6 题型5：构造直角三角形 14．在△ABC中，BC＝＋1，∠B＝45°，∠C＝30°，则△ABC的面积为（    ） A． B．＋1 C． D．＋1 15．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 16．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 17．如图，，，底边BC上的高为，底边QR上的高为，则有（    ） A． B． C． D．以上都有可能 18．如图，在中，，点为的中点，于点，连接．已知.    (1)若，求的长度； (2)若，求． 19．如图，在中，，，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D．2 20．如图，在中，是斜边上的高，将得到的两个和按图、图、图三种方式放置，设三个图中阴影部分的面积分别为，，，若，则与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 题型6：网格问题 21．如图，的顶点都在方格纸的格点上，则 ． 22．如图，在的正方形网格中，点A，B，C为网格线交点，，垂足为D，则的值为 ． 23．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为（　　） A． B． C． D． 题型7：在平面直角坐标系中解直角三角形 24．如图，以的顶点O为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若，，，，则点A的坐标是（　　） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 25．如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（    ） A．（4，2）或（﹣4，2） B．（2，﹣4）或（﹣2，4） C．（﹣2，2）或（2，﹣2） D．（2，﹣2）或（﹣2，2） 题型8：函数与解直角三角形 26．如图，在平面直角坐标系中，，点B在x轴正半轴上，，若点A在反比例函数的图象上，则k的值为 ． 27．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O在坐标原点，，顶点C的坐标为，的图象与菱形对角线交于点D，连接，当轴时，k的值是（　　）    A． B． C． D． 题型9：动态问题与解直角三角形 28．如图，在矩形中，，，M、N分别是边、上的点，将四边形沿翻折至四边形，点E落在边上，且，则的长为 ．    29．折叠矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平，在上选一点P，沿折叠，使点A落在折痕上的点G处，把纸片展平，连接，，若，，则线段的长为 ． 30．如图，中，是的中线，是边上一动点，将沿折叠，点落在点处，交线段于点，当是直角三角形时， ． 一、单选题 1．在中，，，，则的长为（　　） A． B．3 C． D．12 2．在中，，，，则等于（　　） A．25 B．12 C．9 D．16 3．如图，是的高，若，，则（　　） A． B． C． D． 4．如图，菱形中，对角线，，．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在等腰中，于点，则的值（    ）    A． B． C． D． 6．如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为　　 A． +1 B．2 C． D．- 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若，则BC的长是（    ） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 8．已知△AOC，如图，建立平面直角坐标系，则点A的坐标是（　　） A．（acosα，asinα） B．（ccosα，csinα） C．（asinα，acosα） D．（csinα，ccosα） 9．如图，在中，于D，如果，E为的中点，那么的值为（　　） A． B． C． D． 10．如图，正六边形的边长为，连接，点M，N  分别在和上 ，若是等边三角形，且边长为整数，则满足上述条件的有（     ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．3  个以上 二、填空题 11．在中，，已知和b，那么 ． 12．在中，，、、为、、的对边． （1）若，，则 ， ； （2）若，，则 ， ； （3）若，，则 ， ， ； （4）若，则 ， ， ． 13．在ABC中，，，，那么的长为 ． 14．如图，已知在边长为1个单位的方格纸中，三角形的顶点在小正方形顶点位置，那么的正切值为 ． 15．如图，中，，于点D，若，，则 ．    16．如图，在中，，，，则的长为 ． 17．如图3，在中，，是边的中点，过作，垂足为点，如果，，那么 ． 18．如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8，AC⊥CD，若sin∠ACB＝，则cos∠ADC＝ ． 19．如果一个四边形的某个顶点到其他三个顶点的距离相等，我们把这个四边形叫做等距四边形，这个顶点叫做这个四边形的等距点．如图，已知梯形ABCD是等距四边形，AB∥CD，点B是等距点．若BC=10，cosA=，则CD的长等于 ． 20．如图，在中，，点在边上，点在射线上，将沿翻折，使得点落在点处，当且时，的长为 ． 三、解答题 21．如图，在中，已知，，，解这个直角三角形． 22．如图，在中，，，，D为线段上一点，并且，求及的值．    23．在中，，、、分别是、、的对边，解下列直角三角形： (1)，； (2)，． 24．如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝ （1）求BD的长； （2）求tanC的值． 25．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是边AB上一点，且tan∠BCD=    （1）试求的值； （2）试求△BCD的面积. 26．如图所示，在中，，是边上的中线，过点D作，垂足为E，若． (1)求的长； (2)求的正切值． 27．如图，在中，，，，点在边上，且，，垂足为，联结． (1)求线段的长； (2)求的正切值． 28．已知：如图，第一象限内的点在反比例函数的图像上，点在轴上，轴，点的坐标为，且．求： (1)反比例函数的解析式； (2)点的坐标； (3)的余弦值． 29．如图，在矩形中，，是边上一动点，是线段延长线上一点，且，与矩形对角线交于点． (1)当点与点重合时，如果，求的长； (2)当点在线段的延长线上， ①求的值； ②如果，求的余切值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 解直角三角形（九大题型） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（九大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、学会解直角三角形； 2、会结合其他几何知识解直角三角形； 3、掌握一般作辅助线方法构造直角三角形。 一、解直角三角形 　　在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 　　在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 　　设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： 　　①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理). 　　②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. 　　③边角之间的关系： 　　④，h为斜边上的高. 【方法规律】 　　(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值. 　　(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系). 　　(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解. 二、解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边(a，b) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， ， 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， ， 斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A， ， 【方法规律】 　　1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算； 　　2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边. 题型1：解直角三角形 1．如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用在中，，，得，代入已知条件计算即可． 【解析】解：在中，，，， ∵ ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查解直角三角形，熟练掌握是解题的关键． 2．在中，，当已知和a时，求c，应选择的关系式是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的性质求解即可． 【解析】在中，， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查解三角形，解题的关键是熟练运用三角函数的定义求解． 3．在中，，，，则的长为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】先利用直角三角形的边角间关系，用含的代数式表示出，再利用勾股定理求出． 【解析】解：在中， ， ． ， ． ． ． 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键． 题型2：解一图多三角形的直角三角形问题 4．如图，在中，，点D为AB边的中点，连接CD，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求出AB，再根据三角函数的意义，可求出答案． 【解析】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边的中点， ∴AD＝BD＝CD＝AB， ∴, 又∵CD＝3， ∴AB＝6， ， ∴＝＝， 故选：D． 【点睛】本题考查直角三角形的性质和三角函数，理解直角三角形的边角关系是得出正确答案的前提． 5．如图，是的高，若，，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理以及特殊角锐角三角函数．由，，从而求出，由勾股定理：即可求出答案． 【解析】解：是的高， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 6．如图，是等腰直角三角形，，点D在的延长线上，，连接，则（　　） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】 本题主要考查了解直角三角形，等腰直角三角形的性质，先根据等腰直角三角形的性质得到，再解直角三角形得到，则，进而得到，再根据正切的定义可得． 【解析】解：∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7．如图，在中，，，，于D，的平分线交于E，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形的知识，利用三角函数可得：，，，代入计算即可． 【解析】∵， ∴， ∴、、是直角三角形， ∵， ∴在中，， ∵， ∴在中，， ∵平分，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 题型3：在特殊平行四边形中解直角三角形 8．如图，在菱形中，，，，则的值是（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由，设，，推出，，根据，即可求解， 本题考查菱形的性质，勾股定理，锐角三角函数，解题的关键是：学会利用参数解决问题． 【解析】解：， ， ， 设，， ，， ， 故选：． 9．如图，在矩形中，与相交于点，于点．若，，则的长为 ． 【答案】1 【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，根据矩形的性质，得到，根据三线合一结合30度角的直角三角形的性质，求解即可． 【解析】解：∵矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：1． 10．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，，垂足为点E，F是的中点，连接，若，则矩形的周长是 ． 【答案】/ 【分析】矩形主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，中位线定理，解直角三角形，根据矩形的性质得出，即可求证为等边三角形，进而得出点E为中点，根据中位线定理得出，易得，求出，即可得出矩形的周长． 【解析】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴点E为中点， ∵F是的中点，若， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形的周长， 故答案为：． 题型4：解非直角三角形 11．如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可． 【解析】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键． 12．如图，在等腰中，．若，，则底边(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先如图过点A作AD⊥BC交BC于D点，据此接着利用等腰三角形性质可以得出∠BAD=∠BAC=，BC=2BD，然后在Rt△ABD中，根据求出BD，最后利用BC=2BD求出答案即可. 【解析】 如图，过点A作AD⊥BC交BC于D点，则△ABD是直角三角形， ∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC， ∴∠BAD=∠BAC=，BC=2BD， 在Rt△ABD中，， ∴， ∴， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键. 13．如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（    ） A． B．12 C． D．6 【答案】B 【分析】过点作的垂线，垂足分别为，在，中，求得的长，进而证明是等腰三角形，即可求解． 【解析】解：如图，过点作的垂线，垂足分别为， 在中，， 在中，， ∵中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选:B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形． 题型5：构造直角三角形 14．在△ABC中，BC＝＋1，∠B＝45°，∠C＝30°，则△ABC的面积为（    ） A． B．＋1 C． D．＋1 【答案】C 【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ABD中和Rt△ACD中，分别用AD表示出BD、CD，根据BC的长先求出AD，再求三角形的面积． 【解析】如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D． 在Rt△ABD中，∠B＝45°， ∴BD＝AD． 在Rt△ACD中，∠C＝30°， ∴CD＝AD． ∵BD＋CD＝BC， ∴AD＋AD＝1＋． 即AD＝1． ∴S△ABC＝×BC×AD ＝（1＋）． 故选：C． 【点睛】本题考查了一般三角形面积计算问题，关键是通过作辅助线转化为直角三角形来解决. 15．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 【答案】A 【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC，再根据进行计算即可求出结果． 【解析】解：连接，如图所示    ，， ， 四边形的面积为48 故选：A． 【点睛】本题主要考查了四边形面积，解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会巧妙添加辅助线，构造直角三角形解决问题． 16．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过B、D两点分别作AC的垂线，利用∠AOD=60°，可推出DG=DO，BH=BO，再利用四边形ABCD的面积等于△ACD的面积加上△ABC的面积，即可求出； 【解析】如图，过点D作DG⊥AC于点G，过点B作BH⊥AC于点H， ∵∠AOD=60°， ∴∠AOD=∠BOC=60°， ∴DG=DO， 同理可得：BH=BO， S四边形ABCD=×AC×DG+×AC×BH =×AC××（DO+BO） =， 故选：C． 【点睛】本题考查含30°的直角三角形的性质和四边形面积的计算，熟练掌握含30°直角三角形的性质和不规则四边形面积的计算是解决本题的关键． 17．如图，，，底边BC上的高为，底边QR上的高为，则有（    ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】B 【分析】由已知可知高所对的斜边都为5，由正弦的定义可得到高关于正弦的表达式，比较正弦值即可得到答案． 【解析】解：如图，分别作出两三角形的高 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查解直角三角形，依题意作高构造直角三角形是解题的关键． 18．如图，在中，，点为的中点，于点，连接．已知.    (1)若，求的长度； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，得到中各边长的比值关系，计算出的长度，根据中点的性质得到的长度，最后再用计算出即可． （2）过点作于点，根据，，算出的长度，根据中点的性质得到的长度，就可以算出和的长度，得到的长度，勾股定理算出，即可得到结论． 【解析】（1）， ， ，， ， ∴， ， 点为的中点， ． 在中，， ， ． （2）过点作于点，      ，， ，， 点为的中点， ， 在，， ，， ． 由勾股定理得：， ， 【点睛】本题考查了解直角三角形，主要利用锐角三角函数值，勾股定理进行长度计算，理解锐角三角函数的含义，并能运用到题目中是解题关键． 19．如图，在中，，，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】以为斜边向外作等腰直角三角形，得，当在同一直线上时，取得最小值. 在中，利用正弦函数即可求得答案. 【解析】如图，以为斜边向外作等腰直角三角形， ∵ ∴ ∴当在同一直线上时， 取得最小值. 在中，，，， ∴ ∴. 故选：B 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造辅助线得到是解题的关键. 20．如图，在中，是斜边上的高，将得到的两个和按图、图、图三种方式放置，设三个图中阴影部分的面积分别为，，，若，则与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析题意，过点作，交于点，是在各自图形中找到面积表达式，利用已知的等量关系，结合所给的图及直角三角形高线性质，找出与得关系，即可解决问题． 【解析】解：如图所示，过点作，交于点， = ， ， ， ， 由题目中所给的图及直角三角形高线性质可知： ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查对于三角形面积公式的运用，解题关键是在各自图形中找到面积表达式，利用已知的等量关系，结合所给的图及直角三角形高线性质，找出与得关系． 题型6：网格问题 21．如图，的顶点都在方格纸的格点上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的边角关系，利用网格构造直角三角形是解题的关键．利用网格构造直角三角形，根据格点线段的长度求出斜边的长，再根据三角函数的意义求出答案． 【解析】解：如图，设小正方形边长为1，连接，交于点O，则， 则， ∵， ∴ 故答案为： 22．如图，在的正方形网格中，点A，B，C为网格线交点，，垂足为D，则的值为 ． 【答案】/0.6 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，解题的关键熟记三角函数的定义并灵活运用．先利用勾股定理求出，再证明，然后利用利用解题即可． 【解析】解：如图，在中，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 23．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取格点E，连接AE、BE，利用勾股定理的逆定理可证得△ABE是直角三角形，利用三角形外角的性质可得∠APD＝∠ABE，在Rt△ABE中可求cos∠ABE，从而结论可得． 【解析】解：取格点E，连接AE、BE，如图： 设网格中的小正方形的边长为1， 则BE＝， AE＝， AB=． ∵BE2+AE2＝2+8＝10， AB2＝10， ∴BE2+AE2＝AB2． ∴∠AEB＝90°． 由题意：∠EBD＝∠CDB＝45°． ∵∠APD＝∠CDB+∠PBD＝45°+∠PBD， ∠ABE＝∠DBE+∠PBD＝45°+∠PBD， ∴∠APD＝∠ABE． 在Rt△ABE中，cos∠ABE＝． ∴cos∠APD＝． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，本题是网格问题，巧妙的构造直角三角形是解题的关键． 题型7：在平面直角坐标系中解直角三角形 24．如图，以的顶点O为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若，，，，则点A的坐标是（　　） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 【答案】B 【分析】过点A作轴，垂足为B，根据正弦和余弦的定义，求出，，从而得到坐标． 【解析】解：如图，过点A作轴，垂足为B， ∴，， ∴，， ∴点A的坐标是（，）， 故选B． 【点睛】本题考查了坐标与图形，解直角三角形，解题的关键是根据三角函数的定义求出，的长． 25．如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（    ） A．（4，2）或（﹣4，2） B．（2，﹣4）或（﹣2，4） C．（﹣2，2）或（2，﹣2） D．（2，﹣2）或（﹣2，2） 【答案】C 【分析】先求出点A的坐标，再根据旋转变换中，坐标的变换特征求解；或根据题意画出图形旋转后的位置，根据旋转的性质确定对应点A′的坐标． 【解析】过点A作于点C． 在Rt△AOC中， ． 在Rt△ABC中， ． ∴　． ∵OA＝4，OB＝6，AB＝2， ∴． ∴． ∴点A的坐标是． 根据题意画出图形旋转后的位置，如图， ∴将△AOB绕原点O顺时针旋转90°时，点A的对应点A′的坐标为； 将△AOB绕原点O逆时针旋转90°时，点A的对应点A′′的坐标为． 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形、旋转中点的坐标变换特征及旋转的性质．（a，b）绕原点顺时针旋转90°得到的坐标为（b，-a），绕原点逆时针旋转90°得到的坐标为（－b，a）． 题型8：函数与解直角三角形 26．如图，在平面直角坐标系中，，点B在x轴正半轴上，，若点A在反比例函数的图象上，则k的值为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何图形的综合，的几何意义，解直角三角形，勾股定理．熟练掌握值几何意义是关键． 先求出，，根据的几何意义，再结合，即可解题； 【解析】解：过点A作轴交于点H， ∵， ∴， ∴，， ， ， ． 故答案为：12． 27．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O在坐标原点，，顶点C的坐标为，的图象与菱形对角线交于点D，连接，当轴时，k的值是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 过点C作轴于点E，由，顶点C的坐标为，可求得的长，进而根据菱形的性质，可求得的长，且，继而求得的长，则可求得点D的坐标，又由反比例函数的图象与菱形对角线交D点，即可求得答案． 【解析】 解：过点C作轴于点E，    ∵顶点C的坐标为， ∴，， ∴， ∵菱形中，， ∴，， ∵轴， ∴， ∴点D的坐标为：， ∵反比例函数的图象与菱形对角线交于点D， ∴． 故选：C． 【点睛】 此题考查了菱形的性质，解直角三角形，反比例函数图象上点的坐标特征．注意准确作出辅助线，求出是解本题关键． 题型9：动态问题与解直角三角形 28．如图，在矩形中，，，M、N分别是边、上的点，将四边形沿翻折至四边形，点E落在边上，且，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查矩形与折叠的问题、勾股定理、解直角三角形，设与交于点，由折叠可知 ，，再根据同角的余角相等以及等角的余角相等可得，再设，则，在 中，根据勾股定理列出方程，求出则，，在中，，因此，在中，，以此计算即可求解． 【解析】解：如图，设与交于点．    ∵四边形为矩形， ， ∴，，， ∵将四边形沿翻折至四边形， ∴，，，， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ∴， 在中，，， ∴，， 在 中， ， ， 在 中， ， ， 故答案为：． 29．折叠矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平，在上选一点P，沿折叠，使点A落在折痕上的点G处，把纸片展平，连接，，若，，则线段的长为 ． 【答案】/ 【分析】根据折叠的性质得，得到，然后推出，进而得到，，然后进行计算即可求解． 【解析】解：由折叠可得，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠的性质、矩形的性质、解直角三角形、直角三角形的性质，熟练运用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键． 30．如图，中，是的中线，是边上一动点，将沿折叠，点落在点处，交线段于点，当是直角三角形时， ． 【答案】或 【分析】根据题意，运用勾股定理得的值，运用中位线的判定和性质可得的值，结合直角三角形的特点，分类讨论，当时，运用特殊四边形的判定和性质即可求解；当时，运用解直角三角形的方法即可求解． 【解析】解：在中，，，， ∴， ∵是的中线， ∴， 如图所示，当时，作于点，于点， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴四边形时正方形，即， 在中，，， ∴点是的中点，且点是中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴； 如图所示，当时，作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为或， 故答案为： 或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，特殊四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理和解直角三角形的综合，掌握折叠的性质，解直角三角形的方法，分类讨论思想是解题的关键． 一、单选题 1．在中，，，，则的长为（　　） A． B．3 C． D．12 【答案】A 【分析】根据的正切计算的长． 【解析】解：中，，， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． 2．在中，，，，则等于（　　） A．25 B．12 C．9 D．16 【答案】B 【分析】根据正弦的定义求得，进而勾股定理即可求解． 【解析】解：∵在中，，，， ∴ ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 3．如图，是的高，若，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据可得，根据求出的长度，再根据，即可求解． 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴，则， ∵，， ∴， ∴； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的方法和步骤． 4．如图，菱形中，对角线，，．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由菱形的性质得出，，，由勾股定理求出，根据锐角三角函数的定义可得出答案． 【解析】解：如图，与交于点， 四边形是菱形，，， ，，， ， ，，， 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，掌握菱形的性质是本题的关键． 5．如图，在等腰中，于点，则的值（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由，易得，由可得，进而用勾股定理分别将BD、BC长用AB表示出来，再根据即可求解． 【解析】解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， 故选：D 【点睛】本题主要考查了解三角形，涉及了等腰三角形性质和勾股定理以及三角函数的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 6．如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为　　 A． +1 B．2 C． D．- 【答案】B 【分析】作于，作于，分别解直角三角形求得，和，从而求得，设，在直角三角形中表示出，进而根据列出方程求得，进而求得结果． 【解析】如图， 作于，作于， 在Rt中，， 在Rt中，，， ， 在Rt中，设， 在Rt中，， ， 由得， ， ， ， 故答案为：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形． 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若，则BC的长是（    ） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 【答案】A 【分析】根据垂直平分线的性质得出BD=AD，再利用，即可求出CD的长，再利用勾股定理求出BC的长． 【解析】解：∵∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D， ∴BD=AD， ∴CD+BD=8cm， ∵， ∴， 解得：CD=3cm，BD=5cm， ∴BC=4cm． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及解直角三角形等知识，得出AD=BD，进而用CD表示出BD是解决问题的关键． 8．已知△AOC，如图，建立平面直角坐标系，则点A的坐标是（　　） A．（acosα，asinα） B．（ccosα，csinα） C．（asinα，acosα） D．（csinα，ccosα） 【答案】B 【分析】过A作AD⊥x轴，交x轴于点D，在直角三角形AOD中，利用锐角三角函数定义求出AD与OD，表示出A的坐标即可． 【解析】 解：过A作AD⊥x轴，交x轴于点D， 在Rt△AOD中，OA=c，∠AOD=α， ∴AD=csinα，OD=ccosα， 则A的坐标为（ccosα，csinα）， 故选B． 【点睛】此题考查了解直角三角形，以及坐标与图形性质，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键． 9．如图，在中，于D，如果，E为的中点，那么的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，求出长度，再由勾股定理求出，再由勾股定理求出，由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得，即． 【解析】解：在中，，， ∴， 由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∵E为中点， ∴， ∴， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题关键是熟练掌握解直角三角形的方法，掌握直角三角形斜边上的中线长度等于斜边的一半． 10．如图，正六边形的边长为，连接，点M，N  分别在和上 ，若是等边三角形，且边长为整数，则满足上述条件的有（     ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．3  个以上 【答案】C 【分析】本题考查的是正六边形性质及等边三角形的判定、全等三角形判定与性质、解直角三角形，连接，，作于点F，先求出等边最大时的边长，再考虑其它情况下等边三角形边长的范围确定结论即可． 【解析】解：如下图：连接，作于点F， 在正六边形中， ， ， ， 当点M、N分别与B、F重合时，在中， ， 此时，为等边三角形，且边长为18， 此时，，已为最大张角，故在左上区域中不存在其它解； 当M、N分别与中点重合时，此时由三角形中位线得： ， ， 是等边三角形，且边长为9； 当M、N左右摆动时，存在无数个等边的情况，但边长在9和之间， ，且边长为整数， 则边长只能为10， 综上所述，满足条件的有3个， 故选：C． 二、填空题 11．在中，，已知和b，那么 ． 【答案】 【分析】根据正弦的定义得到，即可得到用和表示． 【解析】解：， ， ． 故答案为：．    【点睛】本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值． 12．在中，，、、为、、的对边． （1）若，，则 ， ； （2）若，，则 ， ； （3）若，，则 ， ， ； （4）若，则 ， ， ． 【答案】 【分析】（1）利用∠A=45°，即可得出∠B的度数，进而利用锐角三角函数关系得出c的值； （2）利用∠B=30°，即可得出b，c的关系，进而利用a=10cos30°求出即可； （3）首先利用勾股定理得出b的值，进而利用锐角三角函数关系得出即可； （4）利用，得出c=2b，进而利用锐角三角函数关系得出即可． 【解析】解：（1）∵∠C=90°，∠A=45°， ∴∠B=45°， sin45°=， ∴c==5（cm）； （2）∵c=10 cm，∠B=30°， ∴b=5cm， a=10cos30°= =5（cm）； （3）∵a=4cm，c=8cm， ∴b=4cm， 则cosA==， tanA==； tanB==； （4）∵， ∴c=2b， 则sinB==， tanA==， tanB==． 故答案为：（1）45°，5cm；（2）5cm，5cm；（3），，；（4），，． 【点睛】本题考查解直角三角形，熟练利用锐角三角函数关系求解是解题的关键． 13．在ABC中，，，，那么的长为 ． 【答案】6 【分析】根据解三角形可直接进行求解． 【解析】解：∵在ABC中，，，， ∴； 故答案为6． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键． 14．如图，已知在边长为1个单位的方格纸中，三角形的顶点在小正方形顶点位置，那么的正切值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查勾股定理及三角形函数的性质等知识点，构建合适的直角三角形即可解决问题，构造出合适的直角三角形是解题的关键． 【解析】连接，如图所示， 易得是直角三角形， 由勾股定理得， ， 在中， ． 故答案为：． 15．如图，中，，于点D，若，，则 ．    【答案】 【分析】在和中利用三角函数的定义，求解即可． 【解析】解：在中，， ∴， ∵， ∴， 而， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故答案为． 【点睛】此题考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义． 16．如图，在中，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作于点，解，得出，进而解，即可求解． 【解析】解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握三角形的边角关系是解题的关键． 17．如图3，在中，，是边的中点，过作，垂足为点，如果，，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，先由线段中点的定义得到，则由勾股定理可得，则，再证明，则． 【解析】解：∵是边的中点，， ∴， ∵， ∴由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 18．如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8，AC⊥CD，若sin∠ACB＝，则cos∠ADC＝ ． 【答案】 【分析】首先在△ABC中，根据三角函数值计算出AC的长，再利用勾股定理计算出AD的长，然后根据余弦定义可算出cos∠ADC． 【解析】解：∵∠B＝90°，sin∠ACB＝， ∴＝， ∵AB＝2， ∴AC＝6， ∵AC⊥CD， ∴∠ACD＝90°， ∴AD＝＝＝10， ∴cos∠ADC＝＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，以及勾股定理的应用，关键是利用三角函数值计算出AC的长，再利用勾股定理计算出AD的长． 19．如果一个四边形的某个顶点到其他三个顶点的距离相等，我们把这个四边形叫做等距四边形，这个顶点叫做这个四边形的等距点．如图，已知梯形ABCD是等距四边形，AB∥CD，点B是等距点．若BC=10，cosA=，则CD的长等于 ． 【答案】16 【分析】如图作BM⊥AD于M，DE⊥AB于E，BF⊥CD于F．易知四边形BEDF是矩形，理由面积法求出DE，再利用等腰三角形的性质，求出DF即可解决问题． 【解析】连接BD，过点B分别作BM⊥AD于点M，BN⊥DC于点N， ∵梯形ABCD是等距四边形，点B是等距点， ∴AB=BD=BC=10， ∵= ， ∴AM=，∴BM==3， ∵BM⊥AD，∴AD=2AM=2， ∵AB//CD， ∴S△ABD=， ∴BN=6， ∵BN⊥DC，∴DN==8， ∴CD=2DN=16， 故答案为16. 20．如图，在中，，点在边上，点在射线上，将沿翻折，使得点落在点处，当且时，的长为 ． 【答案】/ 【分析】求出，勾股定理求出，根据题意，易得：，，进而求出的长，过作，过点作，过点作，交于点，延长交于点，易得四边形，四边形均为矩形，分别求出，得到，设，则：，分别用含的式子，表示出，利用勾股定理求出的值，进而得解． 【解析】解：在中，， ∴；， ∵将沿翻折，使得点落在点处，当且， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过作，过点作，过点作，交于点，延长交于点， ∵， ∴， ∴四边形，四边形均为矩形， ∴，， ∴， ∴， 设，则：， ∴，，， 连接，则：， 在中，，即：， 解得：， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形．本题难度大，综合性强，根据题意，准确的作图，构造特殊图形，是解题的关键． 三、解答题 21．如图，在中，已知，，，解这个直角三角形． 【答案】，， 【分析】根据勾股定理求出b，并求出，再由特殊角的三角函数值即可求解三角形. 【解析】 解：在中， ∵，，， ∴ ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题侧重考查了解直角三角形，掌握三角函数的定义及特殊角的三角函数值是解题的关键． 22．如图，在中，，，，D为线段上一点，并且，求及的值．    【答案】， 【分析】根据锐角三角函数关系得出的长，再利用勾股定理得出的长，即可得出的长，直接利用勾股定理得出的长，再根据锐角三角函数关系得出答案． 【解析】解：在中，， ∵， ∴，， 又∵，， ∴， 在中， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形，正确利用锐角三角函数关系求出是解题关键． 23．在中，，、、分别是、、的对边，解下列直角三角形： (1)，； (2)，． 【答案】(1)，，， (2)，，， 【分析】（1）可求，设，则，即可求解； （2）由，可求，，即可求解． 【解析】（1）解：，， ， 在中，， 设，则， ， ， ， ，，． （2）解：， ， ， 解得：； 在中，， ， ， ． 【点睛】本题考查了解直角三角形，特殊角三角函数值，三角函数定义，理解解直角三角形和三角函数定义，掌握特殊角三角函数值是解题的关键． 24．如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝ （1）求BD的长； （2）求tanC的值． 【答案】（1）12；（2） 【分析】（1）根据三角函数得出BD=12即可； （2）利用勾股定理得出AD=5，进而得出DC=8，利用三角函数解答即可． 【解析】解：（1）∵△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝ ∴ 即 解得：BD＝12； （2）∵AC＝AB＝13，BD＝12，BD⊥AC， ∴AD＝5， ∴DC＝8， ∴tan∠C＝ 【点睛】此题考查解直角三角形问题，关键是根据三角函数得出BD的值． 25．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是边AB上一点，且tan∠BCD=    （1）试求的值； （2）试求△BCD的面积. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）作AH⊥BC，则△ABH中，根据勾股定理即可求得AH的长，即可求得sinB； （2）作DE⊥BC，则根据勾股定理可以求得BE的长，求得BC=BE+EC，即4k+6k=8，求得k的值即可求△BCD的面积． 【解析】   （1）作 ，垂足为 ， ∵ ， ∴ 在 中， ∴ （2）作,垂足为, 在中， ，令 , ， 则 ， 又在中，， 则 ， 于是 ，即 ， 解得 ， ∴. 【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了直角三角形中三角函数值的计算，本题中正确求三角函数值是解题的关键． 26．如图所示，在中，，是边上的中线，过点D作，垂足为E，若． (1)求的长； (2)求的正切值． 【答案】(1)7 (2)6 【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质： （1）根据锐角三角函数可得的长，从而得到的长，再由，可得，即可求解； （2）过点A作于点F，根据，可得，即可求解． 【解析】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ， ∴． （2）解：过点A作于点F，如图所示． ∵是边上的中线， ∴． ∵， ∴ ∴， ∴． ∴， ∴． ∴． 27．如图，在中，，，，点在边上，且，，垂足为，联结． (1)求线段的长； (2)求的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形； （1）过点作于点，根据余弦的定义，求得，勾股定理求得，解得出，即可求解； （2）先求得，进而根据，求得，进而求得，根据正切的定义，即可求解． 【解析】（1）解：如图所示，过点作于点， ∵，， ∴ ∴ 在中，， ∴， （2）∵，， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ 又∵， ∴ 28．已知：如图，第一象限内的点在反比例函数的图像上，点在轴上，轴，点的坐标为，且．求： (1)反比例函数的解析式； (2)点的坐标； (3)的余弦值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的应用，涉及待定系数法求函数解析式、图形与坐标、锐角三角函数，数形结合思想的运用是解答的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）过A作于D，则，设，根据坐标与图形性质得到，，进而列方程求解t值即可； （3）先求得，再根据勾股定理求解，再根据余弦定义求解即可． 【解析】（1）解：设反比例函数的解析式为， ∵第一象限内的点在反比例函数的图像上，点的坐标为， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：过A作于D，则， 设， ∵轴， ∴，， ∴， 解得，经检验，符合所列方程， 故点C坐标为； （3）解：∵轴， ∴点B的纵坐标为1， 将代入中，得，则， ∴， 又，， ∴， ∴． 29．如图，在矩形中，，是边上一动点，是线段延长线上一点，且，与矩形对角线交于点． (1)当点与点重合时，如果，求的长； (2)当点在线段的延长线上， ①求的值； ②如果，求的余切值． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】设，根据矩形的性质即解直角三角形推出，，根据勾股定理得到，据此求解即可； （2）①交于点，连接，根据相似三角形的判定与性质推出，，，根据相似三角形的性质得出，设，则，根据勾股定理求出，据此求解即可； ②设，则，设，且，，则，根据锐角三角函数得到，根据勾股定理求出，，根据平行线的性质得出，根据相似三角形的性质得，进而求出，据此即可得解． 【解析】（1）如图，当点与点重合时，设， 四边形是矩形， ，，，，，， ，，， ， ， ， ， ， ， 即， ， ； （2）①如图，交于点，连接， 由（1）得，， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ； ②如图，连接， ， 设，则，设，且，，则， ， ， ，，， ， ， ， 即， ， 由①得，， ， ， 两边平方并整理得， ， ，， ，， ， ， ， 即的余切值． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、解直角三角形等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质、矩形的性质、解直角三角形并作出合理的辅助线是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$