第15讲 一元二次方程 单元综合检测（难点）-【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

第15讲 一元二次方程 单元综合检测（难点） 一、单选题 1．用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可变形为（　　） A． B． C． D． 2．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（　　） A．x2﹣3x+6=0 B．x2﹣3x﹣6=0 C．x2+3x﹣6=0 D．x2+3x+6=0 3．关于x的一元二次方程（ab≠0）有两个相等的实数根，则下列选项成立的是（    ） A．若﹣1＜a＜0，则 B．若，则0＜a＜1 C．若0＜a＜1，则 D．若，则-1＜a＜0 4．若a，b，c均为非零实数，且，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．9 D．13 5．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（ ）个； ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则； ③若p、q满足，则关于x的方程是倍根方程； ④若方程是倍根方程，则必有． A．1 B．2 C．3 D．4 6．关于x的方程，给出下列四个题： ①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根       ②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根 ③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根       ④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根 其中假命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 7．已知一元二次方程，若方程有解，则 ． 8．在实数范围内分解因式：= ． 9．已知x2＝2x+15，则代数式= ． 10．已知是方程的一个根，则 ． 11．方程x4﹣2x2﹣400x=9999的解是 ． 12．若，则的值为 . 13．对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程的两个根为，则 ． 14．当 ， 时，多项式有最小值，这个最小值是 ． 15．如图是一块长方形菜地ABCD，，，面积为．现将边AB增加，边AD增加，若有且只有一个a的值，使得到的长方形面积为，则S的值是 ．    16．已知关于的方程的解都是整数，则整数的值为 ． 17．将一些棋子按如图所示的规律摆放，若在某个图中棋子的个数恰好为160个，则这个图的序号是 ． 18．观察下列方程：①x+=3；②x+=5；③x+=7，可以发现它们的解分别是①x=1或2；②x=2或3；③x=3或4．利用上述材料所反映出来的规律，可知关于x的方程x+=2n+4(n为正整数)的解x= ． 三、解答题 19．解关于x的方程： 20．用配方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 21．正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）． (1)若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？ (2)为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？ 22．阅读材料题： 我们知道，所以代数式a2的最小值为0，学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值． 例如：求的最小值问题． 解：∵， 又∵， ∴ ∴的最小值为﹣6． 请应用上述思想方法，解决下列问题： (1)探究：　 　； (2)代数式有最　 　（填“大”或“小”）值为 　 　； (3)如图，长方形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面所围成的棚栏的总长是20m，棚栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？ 23．为奠基孩子深厚的人文底蕴，某中学初一年级各班家委会准备去书店购买《乐山乐水》、《艾青诗选》和《朝花夕拾》这三本书．书店老板从图书批发市场分别以10元/本、20元/本、12元/本的价格购进《乐山乐水》、《艾青诗选》和《朝花夕拾》这三本书共4500本，已知《乐山乐水》的数量是《朝花夕拾》的数量的3倍，共花费52000元． (1)求书店老板分别购进《乐山乐水》、《艾青诗选》和《朝花夕拾》这三本书各多少本？ (2)该书店老板一开始分别以25元/本、60元/本、30元/本的价格售卖《乐山乐水》、《艾青诗选》和《朝花夕拾》这三本书，每天能售卖《乐山乐水》120本，《艾青诗选》50本，《朝花夕拾》20本，后面经调查发现，不少学生早已购买《朝花夕拾》，于是他准备在原来售价的基础上，《乐山乐水》的售价不变，《艾青诗选》的每本售价提升原来的，《朝花夕拾》每本降价元，调整售价后，《乐山乐水》每天多售卖本，《艾青诗选》每天多售卖本，《朝花夕拾》的售卖量每天保持不变，这样一天能获利6836元，求a的值． 24．阅读材料： 材料1：若关于的一元二次方程（）的两个根为，，则，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：一元二次方程的两个实数根分别为，， ，， 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则　　．　　． (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为、，求的值． (3)思维拓展：已知实数、满足，，且，求的值． 25．对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”． (1)已知一个“喜鹊数”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式 ；判断241     “喜鹊数”（填“是”或“不是”），并写出一个“喜鹊数” ； (2)利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程ax2+bx+c＝0①与cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一个根，x＝n是方程②的一个根，求m与n满足的关系式； (3)在（2）中条件下，且m+n＝﹣2，请直接写出满足条件的所有k的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 一元二次方程 单元综合检测（难点） 一、单选题 1．用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可变形为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先进行移项，然后把二次项系数化为1，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形成左边是完全平方，右边是常数的形式． 【解析】∵ax2+bx+c=0， ∴ax2+bx=−c， ∴x2+x=−， ∴x2+x+=−+， ∴(x+)2=. 故选A. 2．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（　　） A．x2﹣3x+6=0 B．x2﹣3x﹣6=0 C．x2+3x﹣6=0 D．x2+3x+6=0 【答案】B 【解析】试题分析：小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，两根之积正确；小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，两根之和正确，故设这个一元二次方程的两根是α、β，根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-，x1•x2=，可得：α•β=﹣6，α+β=3，那么以α、β为两根的一元二次方程就是x2﹣3x﹣6=0， 故选B． 3．关于x的一元二次方程（ab≠0）有两个相等的实数根，则下列选项成立的是（    ） A．若﹣1＜a＜0，则 B．若，则0＜a＜1 C．若0＜a＜1，则 D．若，则-1＜a＜0 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的根的情况利用判别式求得a与b的数量关系，再代入方程求k的值，然后结合a的取值范围和分式加减法运算法则计算求解． 【解析】解：∵关于x的一元二次方程（ab≠0）有两个相等的实数根k， ∴ ， ， 又∵， ∴a-b-1=0，即a=b+1， ∴ax2-2ax+a=0， 解得：x1=x2=1， ∴k=1， 当时，即， 即， ∴a（a-1）<0， 即或 解得0<a<1 当时，即， 即， ∴a（a-1）>0， 即或 解得：a>1或a<0． 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程根的情况求得a与b之间的等量关系是解题关键． 4．若a，b，c均为非零实数，且，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．9 D．13 【答案】C 【分析】根据，得到，，将转化为用表示的式子，构造一个以为两个根的一元二次方程，再转化为含字母的一元二次方程，根据方程有两个根，得到，求出的取值范围，即可得解． 【解析】解：∵a，b，c均为非零实数，且， ∴，， ∴， ∵b，c是方程的两根， 方程有两个实数根， 则，即 ∵， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴， 即的最小值为9； 故选：C． 【点睛】本题考查因式分解和一元二次方程的判别式．解题的关键是将待求代数式，用一个字母进行表示，构造出一元二次方程． 5．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（ ）个； ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则； ③若p、q满足，则关于x的方程是倍根方程； ④若方程是倍根方程，则必有． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】①求出方程的解，再判断是否为倍根方程；②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，而m、n之间的关系正好适合；③当p，q满足，则，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程；④用求根公式求出两个根，当，或时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可． 【解析】解：①解方程 （x-2）（x+1）=0， ∴x-2=0或x+1=0， 解得，，，得，， 方程不是倍根方程； 故①不正确； ②若是倍根方程，， 因此或， 当时，， 当时，， ， 故②正确； ③∵pq=2，则：， ，， ， 因此是倍根方程， 故③正确； ④方程的根为：，， 若，则， 即， ， ， ， ， ． 若时，则，， 则， ， ， ， ， ． 故④正确， 正确的有：②③④共3个． 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键． 6．关于x的方程，给出下列四个题： ①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根       ②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根 ③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根       ④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根 其中假命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】首先将分类讨论得到两个方程，然后根据根的判别式得出根的个数即可． 【解析】解:时，或 方程化为：① 时， 方程化为：② 当，即时， 方程①的根为： 方程②的根为： 分析可得时，即：时，有5个不相等的实根 时， 则 中，不符合题意，故有2个实数根 中，，均不符合题意 故时，有2个实数根 共有8个不相等的实数根 当，即时， 方程①的根为：， 方程②的根为：， 故共有4个不相等的实数根 当，即时， 方程没有实数根 综上，方程可能有个、个、个、个实数根 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程跟的情况，相关知识点有：根的判别式、绝对值、分类思想等，分类讨论是本题的解题关键． 二、填空题 7．已知一元二次方程，若方程有解，则 ． 【答案】 【解析】∵原方程可化为：， ∴要使原方程有解，的取值需满足：，由此解得：， 即：若原方程有解，则. 8．在实数范围内分解因式：= ． 【答案】 【分析】首先将原式等于0，解关于x的方程，进而分解因式得出即可． 【解析】解：令 解得：，， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了实数范围内分解因式，正确解方程得出是解题关键． 9．已知x2＝2x+15，则代数式= ． 【答案】或 【分析】直接将原式分解因式，再把x的值代入进而计算得出答案． 【解析】解： ＝ ＝2x× ＝． ∵， ∴， （x﹣5）（x+3）＝0， ∴x＝5或x＝﹣3． 当x＝5时，原式＝4； 当x＝﹣3时，原式＝． 【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确运用乘法公式是解题关键． 10．已知是方程的一个根，则 ． 【答案】 【分析】由方程根的定义可得，变形为．再将等号两边同时乘并变形得，代入逐步化简即可． 【解析】∵是方程的一个根． ∴，即． 将等号两边同时乘得： ，即． ∴． 故答案为：-2021． 【点睛】本题考查一元二次方程解的定义以及代数式求值．熟练掌握整体代入的思想是解答本题的关键． 11．方程x4﹣2x2﹣400x=9999的解是 ． 【答案】﹣9或11 【分析】可将9999进行适当的变形，以配合前面的式子组成已知的公式． x4-2x2-400x=9999 x4+2x2-4x2-400x=10000-1 x4+2x2+1=4x2+400x+100 即（x2+1）2=（2x+100）2，解方程即可求解． 【解析】解：由题意可得： x4﹣2x2﹣400x=9999 （x2+1）2=（2x+100）2 ①当x2+1=2x+100时，经化简可得（x﹣1）2=100 解得x=﹣9或x=11． ②当x2+1=﹣2x﹣100时，经化简可得（x+1）2=﹣100，此方程无解， 因此x的值应该是﹣9或11． 故答案是：﹣9或11． 【点睛】本题中正确的将9999进行拆分以配合前面的式子组成熟悉的公式是解题的关键． 12．若，则的值为 . 【答案】2. 【分析】因为，所以，即可转化为，解方程即可. 【解析】解：∵ ∴ ∴, 解得：(舍去) 故x=2. 【点睛】本题考查了二次根式的运算和一元二次方程的解法，正确理解题意是解题基础. 13．对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程的两个根为，则 ． 【答案】 【分析】由根与系数的关系得，，所以，则，然后代入即可求解． 【解析】由根与系数的关系得，， 所以， 则， 则 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，难度较大，关键是根据根与系数的关系求出一般形式再进行代入求值． 14．当 ， 时，多项式有最小值，这个最小值是 ． 【答案】 4 3 15 【分析】利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质进行解答． 【解析】解： = = = ∴当a=4，b=3时，多项式有最小值15． 故答案为：4，3，15． 【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 15．如图是一块长方形菜地ABCD，，，面积为．现将边AB增加，边AD增加，若有且只有一个a的值，使得到的长方形面积为，则S的值是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，一元二次方程的知识，根据已知条件，用a和S表示出矩形的面积，根据一元二次方程的解法解答即可． 【解析】解：根据题意，得起始矩形的面积，变化后矩形的面积为， ∴，， ∴， ∴， ∵有且只有一个a的值， ∴， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴S的值是． 故答案为：． 16．已知关于的方程的解都是整数，则整数的值为 ． 【答案】0或1或 【分析】分和两种情况，再分别解一元一次方程和一元二次方程，然后根据解都是整数即可得． 【解析】由题意，分以下两种情况： （1）当时， 方程为，解得，满足解是整数； （2）当时， 方程为一元二次方程， 因式分解，得， 解得， 方程的解都是整数，k也是整数， 一定是整数， 整数或； 综上，整数的值为0或1或， 故答案为：0或1或． 【点睛】本题考查了解一元一次方程、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键． 17．将一些棋子按如图所示的规律摆放，若在某个图中棋子的个数恰好为160个，则这个图的序号是 ． 【答案】12 【分析】此题主要考查了图形的规律以及解一元二次方程，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键，注意公式必须符合所有的图形．根据前4个图形中棋子的个数找出一般规律，然后利用规律求解即可． 【解析】解：∵第1个图形中棋子的个数为； 第2个图形中棋子的个数为； 第3个图形中棋子的个数为； 第4个图形中棋子的个数为； … ∴第n个图形中棋子的个数为． ∴， 解得，（舍去）， 故答案为：12． 18．观察下列方程：①x+=3；②x+=5；③x+=7，可以发现它们的解分别是①x=1或2；②x=2或3；③x=3或4．利用上述材料所反映出来的规律，可知关于x的方程x+=2n+4(n为正整数)的解x= ． 【答案】n+3或n+4 【分析】分别对三个方程式变形，并求三个方程式的解，根据方程的解发现规律即可求解. 【解析】分别对三个方程式变形，并求三个方程式的解： ①x+= x+=1+2，在等式两边同时乘以x， 移项得x2- 3x+2=0，即(x- 2)(x- 3)=0，故解得x = 1或x=2； ②x+= x+=2+3，同理解得x = 2或x =3； ③x+= x+=3+4，同理解得x =3或x =4； 以此类推，第n个方程为：x+= x+， 且解为：x =n或x =n+1； 将方程x+=2n+4两边同时减3，得（x-3）+=2n+1， 根据规律得：x-3 =n或x -3=n+1，即x =n+3或x =n+4. 故答案为：n+3或n+4. 【点睛】此题考查数字的规律，分别对三个方程式变形，并求三个方程式的解发现规律是解答此题的关键. 三、解答题 19．解关于x的方程： 【答案】当b＞1时，x＝；当b＜1时，方程无实数根 【分析】利用直接开平方法求解可得． 【解析】解：移项整理得：（b－1）x2＝1. ∵b≠1，即b－1≠0， ∴x2＝， 当b＞1时，x＝； 当b＜1时，方程无实数根． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 20．用配方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）；（2）原方程无实数根；（3）；（4）；（5）；（6）． 【分析】（1）方程两边加上1，再进行配方即可求解； （2）移项后，方程两边都加上一半的平方，再进行配方即可求解； （3）先将方程的二次项系数化为1，再进行配方即可求解； （4）先将方程的二次项系数化为1，再进行配方即可求解； （5）先将方程整理后，再进行配方即可求解； （6）先将方程整理后，再进行配方即可求解． 【解析】（1） 配方，得， ． （2） 移项，得． 配方，得． ， 原方程无实数根． （3） 移项，得． 配方，得， ． （4） 移项，得． 配方，得， ． （5） 原方程化为一般形式为． 移项，得． 配方，得， ． （6） 原方程化为一般形式为． 二次项系数化为1得． 配方，得， ． 【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方，即加上一次项系数一半的平方． 21．正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）． (1)若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？ (2)为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？ 【答案】(1)总共生产了袋手工汤圆 (2)促销时每袋应降价3元 【分析】（1）设总共生产了袋手工汤圆，利用这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套做等量关系列出方程即可； （2）设促销时每袋应降价元，利用最终获利40500元做等量关系列出方程即可． 【解析】（1）设总共生产了袋手工汤圆， 依题意得， 解得， 经检验是原方程的解， 答：总共生产了袋手工汤圆 （2）设促销时每袋应降价元， 当刚好10天全部卖完时， 依题意得， 整理得： ， ∴方程无解 ∴10天不能全部卖完 ∴第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店的利润为 ∴依题意得， 解得 ∵要促销 ∴ 即促销时每袋应降价3元． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程，需要注意分情况讨论． 22．阅读材料题： 我们知道，所以代数式a2的最小值为0，学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值． 例如：求的最小值问题． 解：∵， 又∵， ∴ ∴的最小值为﹣6． 请应用上述思想方法，解决下列问题： (1)探究：　 　； (2)代数式有最　 　（填“大”或“小”）值为 　 　； (3)如图，长方形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面所围成的棚栏的总长是20m，棚栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)大，16 (3)当长方形花圃垂直于墙的长度为5m，平行于墙的长度为10m时，花圃的面积最大，最大为 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）仿照题意利用配方法求解即可； （3）设长方形花圃垂直于墙的长度为xm，则平行于墙的长度为（20-2x）m，长方形花圃面积为S，利用长方形面积公式得到，据此求解即可． 【解析】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵， 又∵， ∴， ∴， ∴的最大值为16， 故答案为：大，16； （3）解：设长方形花圃垂直于墙的长度为xm，则平行于墙的长度为（20-2x）m，长方形花圃面积为S， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴当时，S有最大值，最大值为50， ∴当长方形花圃垂直于墙的长度为5m，平行于墙的长度为10m时，花圃的面积最大，最大为 ． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确理解题意掌握配方法是解题的关键． 23．为奠基孩子深厚的人文底蕴，某中学初一年级各班家委会准备去书店购买《乐山乐水》、《艾青诗选》和《朝花夕拾》这三本书．书店老板从图书批发市场分别以10元/本、20元/本、12元/本的价格购进《乐山乐水》、《艾青诗选》和《朝花夕拾》这三本书共4500本，已知《乐山乐水》的数量是《朝花夕拾》的数量的3倍，共花费52000元． (1)求书店老板分别购进《乐山乐水》、《艾青诗选》和《朝花夕拾》这三本书各多少本？ (2)该书店老板一开始分别以25元/本、60元/本、30元/本的价格售卖《乐山乐水》、《艾青诗选》和《朝花夕拾》这三本书，每天能售卖《乐山乐水》120本，《艾青诗选》50本，《朝花夕拾》20本，后面经调查发现，不少学生早已购买《朝花夕拾》，于是他准备在原来售价的基础上，《乐山乐水》的售价不变，《艾青诗选》的每本售价提升原来的，《朝花夕拾》每本降价元，调整售价后，《乐山乐水》每天多售卖本，《艾青诗选》每天多售卖本，《朝花夕拾》的售卖量每天保持不变，这样一天能获利6836元，求a的值． 【答案】(1)《乐山乐水》、《艾青诗选》和《朝花夕拾》的数量分别是3000本、500本、1000本． (2)12． 【分析】（1）设书店老板分别购进《艾青诗选》x本和《朝花夕拾》y本，则《乐山乐水》的数量是3y本，根据三本书共4500本，共花费52000元．即可列出方程组求解； （2）根据每天总利润=三种书每天利润和列方程即可解答． 【解析】（1）解：设书店老板分别购进《艾青诗选》x本和《朝花夕拾》y本，则《乐山乐水》的数量是3y本，根据三本书共4500本，共花费52000元．可得： ， 解得：， 《乐山乐水》的的数量是本． 答：书店老板购进《乐山乐水》、《艾青诗选》和《朝花夕拾》的数量分别是3000本、500本、1000本． （2）依题意可知：调整售价后， 《乐山乐水》的售价为25元，每本利润为（25-10）=15元，每天售卖本； 《艾青诗选》的每本售价为元，每本利润为元，每天售卖本； 《朝花夕拾》每本售价为元，每本利润为元，每天售卖20本； 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意舍去）， 答：a的值为12． 【点睛】本题考查了一元一次方程应用、一元二次方程的应用，解决本题的关键是根据题意找好等量关系． 24．阅读材料： 材料1：若关于的一元二次方程（）的两个根为，，则，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：一元二次方程的两个实数根分别为，， ，， 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则　　．　　． (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为、，求的值． (3)思维拓展：已知实数、满足，，且，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据材料1中，一元二次方程根与系数关系即可得到答案； （2）根据材料1及材料2，由一元二次方程根与系数关系，得到，，将化为，将，代入求值即可得到答案； （3）根据题意，确定与看作是方程的两个实数根，由一元二次方程根与系数关系，得到，，先求出的值，再由变形得到，将，代入求值即可得到答案． 【解析】（1）解：一元二次方程的两个根为，， ，， 故答案为：，； （2）解：一元二次方程的两根分别为、， ，， ； （3）解：实数、满足，， 与看作是方程的两个实数根， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系，以及利用根与系数关系求代数式的值，根据代数式的结构特征恒等变形为已知代数式的形式是解决问题的关键． 25．对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”． (1)已知一个“喜鹊数”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式 ；判断241     “喜鹊数”（填“是”或“不是”），并写出一个“喜鹊数” ； (2)利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程ax2+bx+c＝0①与cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一个根，x＝n是方程②的一个根，求m与n满足的关系式； (3)在（2）中条件下，且m+n＝﹣2，请直接写出满足条件的所有k的值． 【答案】(1)b2﹣4ac＝0；不是；121 (2)mn＝1 (3)121，242，363，484 【分析】（1）根据喜鹊数的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义和根的判别式解答即可； （3）求出m与n互为倒数，又m+n＝﹣2，得出m＝﹣1，n＝﹣1，求出b＝a+c，a＝c，结合喜鹊数的定义即可得出答案． 【解析】（1）∵k＝100a+10b+c是喜鹊数， ∴b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0； ∵42＝16，4×2×1＝8，16≠8， ∴241不是喜鹊数； ∵各个数位上的数字都不为零，百位上的数字与个位上的数字之积的4倍， ∴十位上的数字的平方最小为4， ∵22＝4，4×1×1＝4， ∴最小的“喜鹊数”是121． 故答案为：b2﹣4ac＝0；不是；121． （2）∵x＝m是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2+bx+a＝0的一个根， ∴am2+bm+c＝0，cn2+bn+a＝0， 将cn2+bn+a＝0两边同除以n2得：a（）2+b（）+c＝0， ∴将m、看成是方程ax2+bx+c的两个根， ∵b2﹣4ac＝0， ∴方程ax2+bx+c有两个相等的实数根， ∴m＝，即mn＝1； 故答案为：mn＝1． （3）∵m+n＝﹣2，mn＝1， ∴m＝﹣1，n＝﹣1， ∴a﹣b+c＝0， ∴b＝a+c， ∵b2＝4ac， ∴（a+c）2＝4ac， 解得：a＝c， ∴满足条件的所有k的值为121，242，363，484． 故答案为：121，242，363，484． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是弄清喜鹊数的定义． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$