第14讲 一元二次方程 单元综合检测（重点）-【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

第14讲 一元二次方程 单元综合检测（重点） 一、单选题 1．下列方程一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．已知一元二次方程，用配方法解该方程，配方后的方程是（　　） A． B． C． D． 3．关于的方程（为常数）有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 4．已知为等腰三角形，已知它的两条边的长度分别是方程的两个根，那么该三角形的周长是（    ） A．或6 B． C．5 D．6 5．如图，从一个长10分米、宽8分米的铁片中间截去一个面积为60平方分米的小长方形，使剩下长方形框四周宽度一样．如果设这个宽度为分米，那么所列出的方程是（     ） A．； B．； C．； D．． 6．有关于x的两个方程：ax2+bx+c=0与ax2-bx+c=0，其中abc＞0，下列判断正确的是（    ） A．两个方程可能一个有实数根，另一个没有实数根 B．若两个方程都有实数根，则必有一根互为相反数 C．若两个方程都有实数根，则必有一根相等 D．若两个方程都有实数根，则必有一根互为倒数 二、填空题 7．写出一个一元二次方程，使得它的两个根分别是3和， 8．已知一元二次方程有一个根是3，那么 ． 9．关于x的方程是一元二次方程，则a＝ ． 10．如果的值与的值相等，则 ． 11．一元二次方程的根的判别式的值是 ． 12．在实数范围内分解因式： ． 13．已知为方程的一个根，则代数式 ． 14．某服装原价为1000元，如果连续两次以同样的百分率降价后价格是640元，设两次降价的百分率为，根据题意可列出方程 ． 15．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 16．已知，则的值等于 ． 17．有2个人患了流感，经过两轮传染后共有72人患了流感，若设平均每轮传染x人，则可列方程为 ． 18．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程的参数同时满足和，且该方程与互为“同伴方程”，则 ． 三、解答题 19．解方程： (1) (2) 20．用适当方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 21．关于的一元次方程的两根为，，且满足，求的值． 小明同学的解题过程如下； 解：，， 又已知， ， 整理得：， 解得：，， 的值为或4． (1)已知小明同学的解答是错误的，错误的原因是______； (2)请写出正确的解答过程． 22．已知关于x的一元二次方程． (1)如果方程有两个实数根，求m的取值范围； (2)如果等腰的一条边长为7，其余两边的边长恰好是该方程的两个根，求m的值． 23．已知：关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根． （2）m为何整数时，此方程的两个实数根都为正整数． 24．去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%． （1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额； （2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率． 25．如图，小明家要建一个面积为平方米的养鸡场，养鸡场的一边靠墙，另三边（门除外）用竹篱笆围成．这堵墙长米，在与墙平行的一边，要开一扇米宽的门．已知围建养鸡场的竹篱笆总长为米（没有剩余材料，接头忽略不计），那么小明家养鸡场的长和宽应分别为多少米？ 26．在国家积极政策的鼓励下，环保意识日渐深入人心，新能源汽车的市场需求逐年上升． (1)某汽车企业2020年到2022年这两年新能源汽车的销售总量增长了96%．求该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率； (2)某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 27．综合与探究 【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】 （）请用上述方法比较下列代数式的大小（用“、、”填空）： ______； ______； （）试比较与与的大小，并说明理由； 【类比运用】 （）图（）是边长为的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加得到如图（）所示的长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图（）所示的大正方形，此正方形的面积为．请先判断与的大小关系，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 一元二次方程 单元综合检测（重点） 一、单选题 1．下列方程一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【解析】因为是二元方程，所以A不符合题意； 因为是一元二次方程，所以B符合题意； 因为当时不是一元二次方程，所以C不符合题意； 因为整理得，即，所以D不符合题意． 故选：B． 2．已知一元二次方程，用配方法解该方程，配方后的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 移项后两边都加上一次项系数一半的平方即可． 【解析】 解：， ， 则，即， 故选：C． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 3．关于的方程（为常数）有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程（）的根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 根据一元二次方程的根的判别式的意义得到，解不等式即可． 【解析】解：∵关于的方程（为常数）有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得， ∴k的取值范围为． 故选：B． 4．已知为等腰三角形，已知它的两条边的长度分别是方程的两个根，那么该三角形的周长是（    ） A．或6 B． C．5 D．6 【答案】D 【分析】先求得的两个根，根据等腰三角形分类计算即可． 【解析】∵， 解得， ∴为等腰三角形三边长为或（不存在，舍去）， ∴为等腰三角形周长为， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，等腰三角形的性质，三角形的存在性，熟练掌握解方程，等腰三角形的分类是解题的关键． 5．如图，从一个长10分米、宽8分米的铁片中间截去一个面积为60平方分米的小长方形，使剩下长方形框四周宽度一样．如果设这个宽度为分米，那么所列出的方程是（     ） A．； B．； C．； D．． 【答案】C 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设这个宽度为分米，根据中间小长方形面积为60平方分米，列出方程即可． 【解析】解：设这个宽度为分米，则中间小长方形的长为分米，宽为分米，根据题意得： ， 故选：C． 6．有关于x的两个方程：ax2+bx+c=0与ax2-bx+c=0，其中abc＞0，下列判断正确的是（    ） A．两个方程可能一个有实数根，另一个没有实数根 B．若两个方程都有实数根，则必有一根互为相反数 C．若两个方程都有实数根，则必有一根相等 D．若两个方程都有实数根，则必有一根互为倒数 【答案】B 【分析】分别求出两个方程的根的判别式，由此可判断选项A；设方程的一个实数根为，则，先根据可得，从而可得，再分别将、和代入方程的左边，检验是否等于0即可判断选项B、C、D，由此即可得出答案． 【解析】解：方程根的判别式为， 方程根的判别式为， 所以若一个方程有实数根，则另一个方程也一定有实数根，选项A错误； 若两个方程都有实数根， 设方程的一个实数根为，则，即， ， ， ， 将代入方程的左边得：， 即是方程的根， 所以此时两个方程必有一根互为相反数，选项B正确； 将代入方程的左边得：， 即不是方程的根，选项C错误； 将代入方程的左边得： ， 则只有当时，才是方程的根， 所以此时两个方程不一定有一根互为倒数，选项D错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 二、填空题 7．写出一个一元二次方程，使得它的两个根分别是3和， 【答案】 【分析】本题考查方程的根，因式分解法解一元二次方程等知识，根据题意得到，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程． 【解析】∵一个一元二次方程的两个根分别是3和， ∴ 整理得，． 故答案为：． 8．已知一元二次方程有一个根是3，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根，解题的关键是把代入原方程，求出的值． 【解析】解：∵一元二次方程有一个根是3， ∴，解得， 故答案为：． 9．关于x的方程是一元二次方程，则a＝ ． 【答案】1 【分析】根据一元二次方程的定义，令二次项次数为2，二次项系数不等于0，解答即可． 【解析】解：∵方程是一元二次方程， ∴a²+1＝2且a+1≠0， ∴a＝±1且a≠﹣1， ∴a＝1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 10．如果的值与的值相等，则 ． 【答案】或1 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元一次方程，等式的性质等知识，根据题意得到方程，求出方程的解即可． 【解析】解：根据题意得：， ∴， 分解因式得：， ∴，， 解方程得：，． 故答案为：或1． 11．一元二次方程的根的判别式的值是 ． 【答案】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出，此题得解． 【解析】解：∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记根的判别式并根据其符号确定一元二次方程的根的情况是解题的关键． 12．在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，掌握配方法和平方差法因式分解是解题的关键．先配方再用平方差公式法，进行因式分解即可． 【解析】解：． 故答案为：． 13．已知为方程的一个根，则代数式 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，代数式求值，解题的关键是根据方程的根可得，整体代入即可解题． 【解析】解：∵为方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：． 14．某服装原价为1000元，如果连续两次以同样的百分率降价后价格是640元，设两次降价的百分率为，根据题意可列出方程 ． 【答案】 【分析】设两次降价的百分率为，根据原价降价后售价，即可列出方程． 【解析】解：设两次降价的百分率为x， 根据题意可列出方程为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找出等量关系，列出方程． 15．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟知“一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根”是解题的关键． 【解析】解：∵方程有两个实数根， ∴， 解得：且， 故答案为：且． 16．已知，则的值等于 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握换元法是解答本题的关键，设，则原方程化为关于a的一元二次方程，解这个方程得，，再根据是非负数即可得到答案． 【解析】设， 则原方程化为， 整理得， 解得，， ， 故答案为：4． 17．有2个人患了流感，经过两轮传染后共有72人患了流感，若设平均每轮传染x人，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】有2个人患了流感，平均每轮传染x人，得到第一轮传染中有个人被传染，第二轮中有个人被传染，所有人数求和即可． 【解析】解：∵有2个人患了流感，平均每轮传染x人， ∴第一轮传染中有个人被传染，第二轮中有个人被传染， ∴ 整理得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意正确列出方程是解题的关键． 18．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程的参数同时满足和，且该方程与互为“同伴方程”，则 ． 【答案】1或2 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及新定义，解题的关键是由和，可得关于x的方程两个实数根为，，由，可得的根为或，根据与互为“同伴方程”，即得或． 【解析】解：∵同时满足和， ∴关于x的方程两个实数根为，， ∵， ∴或， ∴的根为或， ∵与互为“同伴方程”， ∴或， 故答案为：1或2． 三、解答题 19．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据配方法解一元二次方程，即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【解析】（1）解：， ， ∴， ∴， 解得：； （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：． 20．用适当方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， (5) (6)， 【分析】利用直接开平方法，配方法、因式分解法，公式法解出方程的解． 【解析】（1）解： 直接开平方可得：， 或 ∴原方程的解为：，； （2）解： 因式分解得：， ∴原方程的解为：，； （3）解：， 平方差因式分解得：， 整理得：， ∴原方程的解为：，； （4）， 提取公因式可得：， 整理得：， ∴原方程的解为：，； （5）解：∵方程， ， ∴原方程的解为：； （6）， ， 因式分解得：， ∴原方程的解为：， 【点睛】本题主要考查利用恰当的方法求解一元二次方程，解题时注意对方法的合理选择． 21．关于的一元次方程的两根为，，且满足，求的值． 小明同学的解题过程如下； 解：，， 又已知， ， 整理得：， 解得：，， 的值为或4． (1)已知小明同学的解答是错误的，错误的原因是______； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)没有验证是否符合题意 (2)见解析 【分析】（1）的值需要代入，看是否可使方程由两个实数根， （2）将代入验证，即可求解， 本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是：熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系． 【解析】（1）解：的值需要代入，看是否可使方程有两个实数根， 故答案为：没有验证是否符合题意， （2）解：，， 又已知， ， 整理得：， 解得：，， 当时，代入，得：，， 不符合题意，舍去， 当时，代入，得：，解得：，， 符合题意， 所以的值为． 22．已知关于x的一元二次方程． (1)如果方程有两个实数根，求m的取值范围； (2)如果等腰的一条边长为7，其余两边的边长恰好是该方程的两个根，求m的值． 【答案】(1) (2)m的值为4 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围； （2）分7为等腰三角形的底或腰两种情形，讨论求解即可． 【解析】（1）解：依题意得：， ∴， ， 解得：， ∴m的取值范围为． （2）解：当7为底时，由题意得，， 则， 解得， 此时一元二次方程， 解得，因为，舍去； 当7为腰时，将代入得： ， 解得或， 当时，得三边长为7、7、15，因为（舍去）， 当时，算得三边长为3、7、7，可以构成三角形， 故m的值为4． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是学会利用一元二次方程的根与系数的关系，把问题转化为方程解决． 23．已知：关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根． （2）m为何整数时，此方程的两个实数根都为正整数． 【答案】（1）见解析；（2）m=2或m=3 【分析】（1）根据根的判别式求出△的值，再进行判断即可； （2）利用公式法求出方程的两个根，再根据方程的两个实数根都为正整数，即可求出m的值． 【解析】解：（1）∵△=（-2m）2-4（m+1）（m-1）=4＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根． （2）∵△=（-2m）2-4（m+1）（m-1）=4＞0，m-1≠0， ∴x=， ∴，， ∵方程的两个实数根都为正整数，且m＞1， ∴是正整数， ∴m=2或m=3． 【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 24．去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%． （1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额； （2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率． 【答案】（1）504万元；（2）20%． 【分析】(1)根据“前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%”即可求解； (2)设去年8、9月份营业额的月增长率为x，则十一黄金周的月营业额为350(1+x)2，根据“十一黄金周这七天的总营业额与9月份的营业额相等”即可列方程求解． 【解析】解：(1)第七天的营业额是450×12%=54(万元)， 故这七天的总营业额是450+450×12%=504(万元)． 答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元． (2)设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x， 依题意，得：350(1+x)2=504， 解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2(不合题意，舍去)． 答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的增长率问题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 25．如图，小明家要建一个面积为平方米的养鸡场，养鸡场的一边靠墙，另三边（门除外）用竹篱笆围成．这堵墙长米，在与墙平行的一边，要开一扇米宽的门．已知围建养鸡场的竹篱笆总长为米（没有剩余材料，接头忽略不计），那么小明家养鸡场的长和宽应分别为多少米？ 【答案】小明家养鸡场的长和宽应分别为米，10米 【分析】设垂直于墙的一边长为米，结合题意可得到平行于墙的一边长为米，再通过面积平方米列出方程，从而计算得到答案． 【解析】设垂直于墙的一边长为米，则平行于墙的一边长为米， 由题意得 ∴ ∴， 当时， 当时，（不符合题意，舍去） ∴这个养鸡场与墙垂直的一边应长10米． 则米 ∴小明家养鸡场的长和宽应分别为米，10米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用；求解的关键是熟练掌握一元二次方程的解法并运用到实际问题的求解过程中，即可得到答案． 26．在国家积极政策的鼓励下，环保意识日渐深入人心，新能源汽车的市场需求逐年上升． (1)某汽车企业2020年到2022年这两年新能源汽车的销售总量增长了96%．求该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率； (2)某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【答案】(1)该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为 (2)下调后每辆汽车的售价为21万元 【分析】（1）设该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x，然后根据题意可得方程，进而问题可求解； （2）设下调后每辆汽车的售价为m万元，则销售量为辆，然后可得方程为，进而求解即可． 【解析】（1）解：由题意可把2020年新能源汽车的销售总量看作单位“1”，则设该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x，则有： ， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为． （2）解：设下调后每辆汽车的售价为m万元，由题意得： 解得：， ∵尽量让利于顾客， ∴； 答：下调后每辆汽车的售价为21万元． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 27．综合与探究 【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】 （）请用上述方法比较下列代数式的大小（用“、、”填空）： ______； ______； （）试比较与与的大小，并说明理由； 【类比运用】 （）图（）是边长为的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加得到如图（）所示的长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图（）所示的大正方形，此正方形的面积为．请先判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】（），；（），理由见解析；（），理由见解析． 【分析】（）利用作差法即可求解； （）利用作差再结合配方法法即可求解； （）利用作差即可求解； 本题考查了整式和实数的大小比较，掌握作差法是解题的关键． 【解析】（）∵， ∴， 故答案为：； ∵， ∴， 故答案为：； （）． 理由如下： ， ∵， ∴， ∴； （），理由如下： ∵，， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$