第11讲 一元二次方程的求根公式（七大题型）-【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

第11讲 一元二次方程的求根公式（七大题型） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（七大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能的训练. 2、会用公式法解简单系数的一元二次方程. 3、通过由配方法推导求根公式，培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思想． 一、情境导入，初步认识 1.用配方法解方程： （1）x2+3x+2=0；（2）2x2-3x+5=0. 2.由用配方法解一元二次方程的基本步骤知：对于每个具体的一元二次方程，都使用了相同的一些计算步骤，这启发我们思考，能不能对一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）使用这些步骤，然后求出解x的公式？ 二、思考探究，获取新知 1.用配方法解方程：ax2+bx+c=0（a≠0） 分析：前面具体数字已做了很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去. 解：移项，得：ax2+bx=-c 因为a≠0，所以方程两边同除以a得： x2+x= 配方，得：x2+x+（）2=+（）2 即（x+）2= ∵a≠0,∴4a2>0 当b2-4ac≥0时，≥0 ∴x+=± 即x= ∴x1=， x2=. 当b2-4ac＜0时，方程无解. 【归纳结论】由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此： （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a、b、c代入式子 x=（b2-4ac≥0） 就可求出方程的根． （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式． （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 【强调】用公式法解一元二次方程时，必须注意两点：（1）将a、b、c的值代入公式时，一定要注意符号不能出错.（2）式子b2-4ac≥0是公式的一部分. 2.确定a，b，c的值时，先要将一元二次方程式化为一般形式，注意a，b，c的符号. 3.你能总结出用公式法解一元二次方程的一般步骤吗？ 【归纳结论】首先要把原方程化为一般形式，从而正确地确定a，b，c的值；其次要计算b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，再用求根公式求解. 题型1：公式法解一元二次方程及其逆用 1．用公式法解方程时，求根公式中a，b，c的值分别是（    ）． A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】将一元二次方程化为一般形式，即可求得的值 【解析】解：化为一般形式为： ，， 故选C 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 2．用求根公式解方程，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先把化成一般式，直接运用公式法解题即可． 【解析】解：， 则一般式是， 则，，， 那么， 把，，都代入中， 得， 故选：D． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，正确掌握公式法是解题的关键． 3．已知某一元二次方程的两根为，则此方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据一元二次方程的求根公式进行判断即可． 【解析】解：A. 的两根为，故选项A不符合题意； B. 的两根为，故选项B不符合题意； C. 的两根为，故选项C不符合题意； D. 的两根为，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了运用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解答本题的关键． 4．若方程是一元二次方程，则方程的根是（　　） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义，列出关于的式子，解出的值，代入原方程，求解一元二次方程即可． 【解析】解：方程是一元二次方程， , 解得：， 即， ， ， 方程有两个不相等的实数根 ； 故选：B． 【点睛】此题考查了一元二次方程的概念与解法，熟练掌握一元二次方程的概念与用公式法、因式分解法或配方法求解一元二次方程是解题的关键． 5．当时，下列一元二次方程中两个根是实数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据公式法，判断选项中的一元二次方程的实数根是否是题目中给出的那个． 【解析】一元二次方程，当，的时候，它有两个实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法——公式法，解题的关键是掌握求根公式． 6．用公式法解方程，其中求得的值是（    ）. A．16 B． C．32 D．64 【答案】D 【分析】先将方程化为一般形式，然后计算即可. 【解析】解：方程整理得：， ∴，，， ∴， 故选D. 【点睛】此题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解此题的关键． 7．方程中，的值为 ，根是 ． 【答案】 12 【分析】确定a、b、c的值后，直接计算△的值即可． 【解析】解：变形为： ， ∵a=2，b=2，c=-1， ∴△=b2-4ac=22-4×2×(-1)=4+8=12>0， ∴x==， ∴ 故答案为：12，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程和根的判别式，掌握一元二次方程求根公式及掌握ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式的公式△=b2-4ac是解题的关键． 8．解下列方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)， (2)， (3)方程无解 【分析】先将方程化为一般式，再用公式法直接求解． 【解析】（1）解：，， ∵， ∴， ∴，； （2）解：，， ∵Δ=>0， ∴ ∴，； （3）解：， ∵ ∴方程无解． 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用直接开方法、公式法、配方法、因式分解法求解一元二次方程是解题的关键． 9．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用解一元二次方程中的公式法计算即可； （2）利用解一元二次方程中的公式法计算即可． 【解析】（1）解：由公式法可知： ∴ 即：， （2）解：移项得： 由公式法可知： ∴ 即： 【点睛】本题考查了解一元二次方程的相关知识点，重点要掌握配方法，公式法，因式分解法等． 10．解方程：5x+2＝（3x﹣1）（2x+2）（公式法）． 【答案】x1=，x2=． 【分析】把方程整理成一般式，找出a，b，c的值，计算出根的判别式大于0，代入求根公式即可求出解． 【解析】解：原方程整理得：6x2-x-4=0， ∵a=6，b=-1，c=-4， ， ∴， ∴x1=，x2=． 【点睛】本题考查了解一元二次方程－公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键． 11．关于x的一元二次方程的两根分别为，，下列判断一定正确的是（    ） A．a=-1 B．c=1 C．ac=-1 D． 【答案】C 【分析】根据求根公式对照求解即可． 【解析】解：∵关于x的一元二次方程的求根公式是，， 又∵关于x的一元二次方程的两根分别为，， ∴= ∴ac=-1． 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的求根公式，熟记求根公式是解题的关键． 题型2：选择适当的方法解一元二次方程 12．解下列方程：①2x2－18＝0；②9x2－12x－1＝0；③3x2＋10x＋2＝0；④2(5x－1)2＝2(5x－1)．用较简便的方法依次是(    ) A．①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法 B．①直接开平方法，②公式法，③、④因式分解法 C．①因式分解法，②公式法，③配方法，④因式分解法 D．①直接开平方法，②、③公式法，④因式分解法 【答案】D 【解析】①2x2=18，所以利用直接开平方法.②9x2－12x－1＝0，公式法.③3x2＋10x＋2＝0，公式法. ④ 2(5x－1)2-2(5x－1)=0,利用因式分解法. 所以选D. 13．解方程① 9(x -3)2 = 25，② 6x2 -x = 1，③ x2 +4x -3596 = 0，④ x(x -1) = 1.较简便的方法依次是（      ）； A．开平方法、因式分解法、公式法、配方法 B．因式分解法、公式法、公式法、配方法 C．配方法、因式分解法、配方法、公式法 D．开平方法、因式分解法、配方法、公式法 【答案】D 【分析】对于第①个方程，由于左右两边是某个数或式子的平方，据此选择开平方法解方程；对于方程②可结合因式分解中的基本方法分析即可得解; 对于方程③二次项系数为1可考虑配方法; 对于方程④利用公式法求解比较简便. 【解析】解：方程①符合直接开方法的形式，因此选择开平方法比较简便； 方程②等号左边含有公因式x，则可利用因式分解法比较简便； 方程③等号左边二次项系数为1，则可利用配方法比较简便； 方程④等号左边展开，移项，然后利用公式法求解比较简便. 故选D. 【点睛】本题是解一元二次方程的题目，关键是知道如何合理的选择解一元二次方程的方法. 14．已知下列方程，请把它们的序号填在最适当的解法后的横线上． ①；②；③；④；⑤． (1)直接开平方法： ； (2)配方法： ； (3)公式法： ； (4)因式分解法： ． 【答案】 ① ④⑤ ③ ② 【分析】根据方程的特征逐一判断即可. 【解析】解: ① x-1= x=1. 故①用直接开平方法解更简单. ②原方程可变形为:； ∴此方程用因式分解法解更简单. ③ -5x+6=3 -5x+3=0 ∴此方程用公式法求解更好. ④ ∴此方程用配方法解更好. ⑤． =100 ∴此方程用配方法解更好. 故答案为:  (1). ①    (2). ④⑤    (3). ③    (4). ② 【点睛】本题考查了选择适当的解法求解一元二次方程. 题型3：比较一元二次方程根的大小 15．一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根中较大的根是(    ) A．1+ B． C． D． 【答案】B 【分析】利用公式法解方程求得方程的解，比较即可解答. 【解析】解：, a=1，b=-1，c=-1， △=1+4=5＞0， x=， ∵， ∴较大的实数根为. 故选B. 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法——公式法，正确利用公式法解方程是解本题的关键． 16．方程ax2+bx+c=0（a＜0）有两个实根，则这两个实根的大小关系是（  ） A．≥ B．＞ C．≤ D．＜ 【答案】A 【解析】因为,且 a＜0,所以≥,故选A. 17．设x1为一元二次方程2x2﹣4x＝较小的根，则（　　） A．0＜x1＜1 B．﹣1＜x1＜0 C．﹣2＜x1＜﹣1 D．﹣5＜x1＜﹣ 【答案】B 【分析】先求出方程的解，再求出方程的最小值，即可求出答案． 【解析】2x2-4x=， 8x2-16x-5=0， x=， ∵x1为一元二次方程2x2-4x=较小的根， ∴x1=， ∵5＜＜6， ∴-1＜x1＜0． 故选B． 【点睛】本题考查了求一元二次方程的解和估算无理数的大小的应用，关键是求出方程的解和能估算无理数的大小． 题型4：分析解答过程是否有误 18．小明在解方程时出现了错误，解答过程如下： ∵，，（第一步）， ∴（第二步）， ∴（第三步）， ∴，（第四步）． 小明解答过程开始出错的步骤是（　　） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 【答案】C 【分析】根据公式法，可得第三步为，即可解答． 【解析】解：根据公式法可得， 故第三步为， 所以第三步开始出错， 故选：C． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟知一元二次方程的解的公式是解题的关键． 19．下面是小明同学解方程的过程： ∵，，（第一步） ∴（第二步） ∴，（第三步） ∴，（第四步） 小明是从第 步开始出错． 【答案】一 【分析】根据一元二次方程的解法步骤即可解答． 【解析】解：原方程化为：， ∴． 故答案为：一． 【点睛】本题主要考查用公式法解一元二次方程，将一元二次方程化成一般式是运用公式法解一元二次方程的关键． 题型5：公式法解一元二次方程的代数应用 20．若是关于的一元二次方程的一个根，下面对的值估计正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、解一元二次方程、实数大小估算等知识，利用公式法解关于的方程是解题关键．将代入方程并整理，获得关于的方程，然后估计的大小即可． 【解析】解：将代入方程， 可得， 整理可得， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴，即． 故选：B． 21．己知，求代数式 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元二次方程，求代数式的值；由已知消去字母a，得到关于b的一元二次方程，解之求得b的值，即可求得a的值，从而求得结果． 【解析】解：由得：，代入中，整理得， 解得：， 对应地：； 当时，； 当时，； 综上，代数式的值为或； 故答案为：或． 22．已知关于方程的根都是整数，且满足等式，则满足条件的所有整数的和是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，利用二次根式有意义的条件可得出，然后分或两种情况解方程，可得出所有符合条件的整数的值，最后求和即可． 【解析】解：∵， ∴，即， 当时，原方程为， 解得：， 当时，， ∵ ∴， ∴，， ∵方程的根都是整数，且为整数， ∴或或或， ∴或或或， 又∵， ∴可取或或， 综上所述，满足条件的整数为：或或或， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的有意义的条件，一元二次方程的解法，整除性．运用了分类讨论的解题方法．熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 题型6：公式法解一元二次方程的几何应用 23．已知2，3，a分别是等腰三角形三边的长，且a是关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣x+k2+1＝0的根，则k的值为 ． 【答案】-5或或 【分析】根据等腰三角形的定义，分a=2和a=3，分别代入方程，解之可得k值． 【解析】解：∵2，3，a分别是等腰三角形三边的长， 当a=2时，即x=2，代入， 得：， 解得：k=-5，或k=1（舍）， 当a=3时，即x=3，代入， 得：， 解得：k=，或k=， 故答案为：-5或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，解一元二次方程，解题的关键是要注意根据等腰三角形的定义进行分类讨论． 24．如图，中，，于点D，，于点B，且，作于点F，若，则的长为（    ） A．2 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查的是等腰直角三角形性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键，先借助面积求出，，再证明即可求出结论． 【解析】解：中，，于点D，，， ，即， 解得：或（不合题意，舍去）， ， ，，， ， ， ， 又， ， ， ， 故选：B． 题型7：新定义题 25．将关于x的一元二次方程 变形为 ，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如． 我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知： ，且， 则 的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据降次法，求出，再解一元二次方程，求出的值，即可得出结果． 【解析】解：∵， ∴， ∴ ； ∵，且， 解得：， ∴的值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查代数式求值，解一元二次方程．理解并掌握降次法，是解题的关键． 26．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．若关于的方程是“邻根方程”，令，则的最大值是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查一元二次方程的知识，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义．根据“邻根方程”的定义求出，代入进行配方求出最大值即可． 【解析】解：设、是方程的两根， 解得，， ∵原方程是“邻根方程”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为9． 故答案为：9． 一、单选题 1．用公式法解方程时，，，的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将一元二次方程转化为一般式，再对二次项系数、一次项系数、常数项进行判断即可得解． 【解析】解：∵ ∴ ∴，，． 故选：D 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式、利用公式法解一元二次方程的步骤，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 2．若一元二次方程的根为，则该一元二次方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据求根公式逐一列出每个方程根的算式即可得出答案． 【解析】解：A、， 方程的解为，不符合题意； B、、 方程的解为，不符合题意； C、， 方程的解为，不符合题意； D、， 方程的解为，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了公式法解一元二次方程的能力，对于一元二次方程()，求根公式为． 3．用公式法解方程4y2﹣12y﹣3＝0，得到（　　） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 【答案】C 【分析】按照公式法求解一元二次方程的步骤，求解即可． 【解析】解： 判别式 故选：C 【点睛】此题考查了公式法求解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法求解一元二次方程的步骤． 4．解方程时，下面说法正确的是（    ） A．只能用公式法 B．不能用配方法 C．只能用配方法 D．公式法、配方法都能用 【答案】D 【分析】公式法和配方法适用于任何有实根的一元二次方程． 【解析】解：∵有实根， 任何有实根的一元二次方程都可用配方法和公式法求解． 故选：D 【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法，熟悉每种方法的适用条件是解题的关键． 5．用公式法解方程，其中求得的值是（    ）. A．16 B． C．32 D．64 【答案】D 【分析】先将方程化为一般形式，然后计算即可. 【解析】解：方程整理得：， ∴，，， ∴， 故选D. 【点睛】此题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解此题的关键． 6．利用公式解可得一元二次方程式的两解为、，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，利用公式法求出一元二次方程的解，再根据即可求解，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键． 【解析】解：依题意得：，，， ， 、是原方程的两个解，且， ， 故选A． 7．解下列方程：①；②；③；④．用较简便的方法依次是（　　） A．①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法 B．①直接开平方法，②公式法，③、④因式分解法 C．①因式分解法，②公式法，③配方法，④因式分解法 D．①直接开平方法，②、③公式法，④因式分解法 【答案】A 【分析】根据不同方程的结构特点逐一判断． 【解析】解：①，利用直接开平方法最简便； ②，即，利用配方法最简便； ③，利用公式法求解最简便； ④，利用因式分解法最简便． 故选：A． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 8．如果实数分别满足，，则的值不可能是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】由，，求出，，然后计算求解即可． 【解析】解：∵，， ∴，， 当，时， ， 当，时， ， 当，时， ， 当，时， ， ∴的值不可能是， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 9．探讨关于x的一元二次方程总有实数根的条件，下面三名同学给出建议：甲：a，b同号；乙：；丙：．其中符合条件的是（    ） A．甲，乙，丙都正确 B．只有甲不正确 C．甲，乙，丙都不正确 D．只有乙正确 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的判别式求解，然后根据各种说法的条件逐项验证即可． 【解析】解：关于x的一元二次方程根的判别式为：， 甲：当a，b同号时，若两数均为负数，就不能确保的符号为正，不符合题意； 乙：当时，得到，从而，总有实数根，符合题意； 丙：当时，得到，从而，总有实数根，符合题意； 综上所述，甲的建议不能满足题意、乙和丙的建议满足题意， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程有实数根的条件，根据题中所给条件，结合一元二次方程根的判别式讨论是解决问题的关键． 10．定义新运算：对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：．因此，；按照这个规定，若，则的值是（    ） A．－1 B．－1或 C． D．1或 【答案】B 【分析】分x>0和0x<0两种情况分析，利用公式法解一元二次方程即可． 【解析】解：当x>0时，有，解得， (舍去)， x<0时，有，解得，x1=−1，x2=2(舍去)． 故选B. 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解法，解题的关键是掌握新定义以及掌握因式分解法以及公式法解方程的方法步骤，掌握降次的方法，把二次化为一次，再解一元一次方程． 二、填空题 11．把方程化为一般形式是 ，其中 ， ， ， ，方程的根是 ， . 【答案】 3 －5 －2 49 2 【分析】方程整理为一般形式，找出一般形式中a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解． 【解析】解：方程化为一般形式是：， ∴a＝3，b＝−5，c＝−2， ∵b2−4ac＝25＋24＝49， ∴x＝， 则方程的解为x1＝，x2＝2． 故答案为；3，−5，−2，49；，2． 【点睛】此题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解题关键． 12．方程的解为 ． 【答案】或 【分析】首先把方程转化为一般形式，再利用公式法求解． 【解析】（x-1）（x+3）=12 x2+3x-x-3-12=0 x2+2x-15=0 x=, ∴x1=3，x2=-5 故答案是:3或-5． 【点睛】考查了学生解一元二次方程的能力，解决本题的关键是正确理解运用求根公式． 13．一元二次方程的根是 ． 【答案】． 【分析】先计算判别式的值，然后利用求根公式解方程． 【解析】， a=1，b=－1，c=－1， ， ， 所以， 故答案为． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键． 14．认真观察下列方程，指出使用何种方法求解比较适当． （1），应选用 法； （2），应选用 法； （3），应选用 法； （4），应选用 法． 【答案】 直接开平方 配方 因式分解 公式 【分析】（1）将方程的二次项系数化为1得到，用直接开平方法求解； （2）根据配方法在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，左边得到完全平方式，右边为常数，选用配方法； （3）先移项，然后提出公因式，用因式分解法； （4）二次项系数不为1，不易用配方法和因式分解法，选公式法． 【解析】解：（1）可直接开平方，故选择直接开平方法； （2）的两边都加上64，易配方得，故选配方法； （3）方程，移项得，直接提公因式求解即可，故选因式分解法； （4），二次项系数不为1，不易用配方法和因式分解法，故应选用公式法求解． 故答案为：直接开平方；配方；因式分解；公式 【点睛】本题考查的是解一元二次方程，根据方程的不同结构特点，选择适当的方法解方程． 15．已知代数式与代数式的值互为相反数，则 ． 【答案】或． 【分析】根据代数式与代数式的值互为相反数列方程求解即可， 【解析】解：∵7x（x+5）+10与代数式9x-9的值互为相反数， ∴， 解得x1=，x2= 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，掌握公式法解一元二次方程是解题的关键． 16．方程（）的根是 ． 【答案】 【分析】利用公式法解一元二次方程即可得出结论． 【解析】解： ∴x= 解得： 故答案为：． 【点睛】此题考查的是解一元二次方程，掌握利用公式法解一元二次方程是解决此题的关键． 17．已知则的值= 【答案】或 【分析】依题意解后，分a=b与进行讨论即可． 【解析】解：依题意得a,b是方程的解， 解得：， 当时，a+b=， 当时，a+b=， 当时，， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的问题，掌握一元二次方程的解以及分类讨论是解题的关键． 18．设，，都是实数，且满足，，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】运用配方法把原式变形，根据非负数的性质求出a、b、c的值，代入方程解方程求出x的值，把x的值代入代数式计算即可． 【解析】原式可化为（a−2）2＋＋|c＋8|＝0， 则a−2＝0，a2＋b＋c＝0，c＋8＝0， 解得，a＝2，c＝−8，b＝4， 则2x2＋4x−8＝0， x＝−1±， 则x2＋x＋1＝6±． 故答案为6±． 【点睛】本题考查的是配方法的应用、非负数的性质和一元二次方程的解法，掌握配方法的一般步骤、当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键． 三、解答题 19．解方程： (1)（2x﹣1）2＝（3﹣x）2； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）先移项，用平方差公式进行因式分解，然后求解即可； （2）先配方，然后直接开平方计算求解即可． 【解析】（1）解： ∴或 解得或 ∴方程的解为或． （2）解： ∴或 解得或 ∴方程的解为或． 【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于用适当的方式进行求解． 20．用公式法解下列一元二次方程： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据求根公式代入即可解得． （2）根据求根公式代入即可解得． （3）根据求根公式代入即可解得． 【解析】（1） ∴ ∴ （2） ∴ （3） ∴ ∴ 【点睛】此题考查了公式法解一元二次方程，解题关键是熟悉求根公式． 21． 【答案】， 【分析】利用公式法求解，． 【解析】解： ，， ． 【点睛】本题考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的各个解法，选择合适的解法求解． 22．用公式法解下列方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据题意，先化为一般形式，然后根据公式法解一元二次方程； （2）根据题意，利用公式法解一元二次方程即可求解； （3）根据题意，利用公式法解一元二次方程即可求解； （4）根据题意，利用公式法解一元二次方程即可求解． 【解析】（1） 化为一般形式得，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） ∵， ∴， ∴， ∴； （3）， ∵， ∴， ∴， ∴； （4）， 系数化为整数得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，掌握公式法是解题的关键． 23．观察下列方程： ①；②；③； ④；⑤；… 上面每一个方程的二次项系数都是2，各个方程的解都不同，但每个方程的值均为1． （1）请你写出两个方程，使每个方程的二次项系数都是2，且每个方程的的值也都是1，但每个方程的解与已知的5个方程的解都不相同． （2）对于一般形式的一元二次方程（a≠0，≥0），能否作出一个新方程，使与相等？若能，请写出所作的新的方程（，需用a，b，c表示），并说明理由；若不能，也请说明理由． 【答案】（1）答案不唯一，如；（2）能，见解析. 【分析】（1）先根据已知条件每个方程的二次项系数都是2，且每个方程的的值也都是1，但每个方程的解与已知的5个方程的解都不相同这个条件，再根据根的判别式即可求出答案. （2）根据（1）可得出一个新方程，使与相等. 【解析】（1）答案不唯一，如 ； （2）能，所作的新方程为 ． 通过观察可以发现． 【点睛】本题主要考查了根的判别式，解题时要找出规律，得出新的方程是此题的关键. 24．如图，是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有个点，第二行有个点……第行有个点……．设前行的和为， 则 ．    (1)甲同学说，能取；而乙同学说，也能取．甲、乙的说法对吗？若对，求出；若不对，请试用一元二次方程说明理由． (2)如果把图的三角点阵中各行的点数一次换为，，，……，…… ①此时前行的点数的和是 ； ②这个三角点阵中前行的点数的和能是吗？若果能，求出；若果不能，请试用一元二次方程说明理由． 【答案】(1)甲的说法正确，，乙的说法错误，理由见解析； (2)①；②，理由见解析 【分析】本题考查了图形类规律探索和一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． （1）根据题意可前行的点数和为 ，构造方程，，计算即可； （2）①根据题意可得前行的点数和为 ；②前行的点数和是，则，求解即可． 【解析】（1）解：甲的说法正确，乙的说法错误，理由如下： 根据题意可得前行的点数和为 能取时，得， ，或（舍去） ∴时，取， 能取时，得， 解得（舍去），（不是整数，不符合题意，舍去）， ∴甲的说法正确，乙的说法错误； （2）解：①根据题意可得前行的点数和为 ， 故答案为：； ②当前行的点数和是，则， ，或（舍去） ∴时，这个三角点阵中前行的点数的和能是 25．如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x2＋x＝0是“差1方程”． (1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由； ①x2﹣5x﹣6＝0； ②x2﹣x＋1＝0； (2)已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“差1方程”，求m的值； (3)若关于x的方程ax2＋bx＋1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差1方程”，设t＝10a﹣b2，求t的最大值． 【答案】(1)①不是“差1方程”，理由见解析；②是“差1方程”，理由见解析 (2)或 (3)时，的最大值为9 【分析】（1）根据解一元二次方程的方法解出已知方程的解，再比较两根的差是否为1，从而确定方程是否为“差1方程”； （2）先解方程求得其根，再根据新定义列出的方程，注意有两种情况； （3）根据新定义得方程的大根与小根的差为1，列出与的关系式，再由，得与的关系，从而得出最后结果． 【解析】（1）解：①解方程得：， 或， ， 不是“差1方程”； ②， ∴， ， 是“差1方程”； （2）解：方程得：， 或， 方程是常数）是“差1方程”， 或， 或； （3）解：由题可得： ∴解方程得， 关于的方程、是常数，是“差1方程”， ， ， ， ， ， 时，的最大值为9． 【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“差1方程”的定义，本题属于中等题型． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！31 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 一元二次方程的求根公式（七大题型） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（七大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能的训练. 2、会用公式法解简单系数的一元二次方程. 3、通过由配方法推导求根公式，培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思想． 一、情境导入，初步认识 1.用配方法解方程： （1）x2+3x+2=0；（2）2x2-3x+5=0. 2.由用配方法解一元二次方程的基本步骤知：对于每个具体的一元二次方程，都使用了相同的一些计算步骤，这启发我们思考，能不能对一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）使用这些步骤，然后求出解x的公式？ 二、思考探究，获取新知 1.用配方法解方程：ax2+bx+c=0（a≠0） 分析：前面具体数字已做了很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去. 解：移项，得：ax2+bx=-c 因为a≠0，所以方程两边同除以a得： x2+x= 配方，得：x2+x+（）2=+（）2 即（x+）2= ∵a≠0,∴4a2>0 当b2-4ac≥0时，≥0 ∴x+=± 即x= ∴x1=， x2=. 当b2-4ac＜0时，方程无解. 【归纳结论】由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此： （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a、b、c代入式子 x=（b2-4ac≥0） 就可求出方程的根． （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式． （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 【强调】用公式法解一元二次方程时，必须注意两点：（1）将a、b、c的值代入公式时，一定要注意符号不能出错.（2）式子b2-4ac≥0是公式的一部分. 2.确定a，b，c的值时，先要将一元二次方程式化为一般形式，注意a，b，c的符号. 3.你能总结出用公式法解一元二次方程的一般步骤吗？ 【归纳结论】首先要把原方程化为一般形式，从而正确地确定a，b，c的值；其次要计算b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，再用求根公式求解. 题型1：公式法解一元二次方程及其逆用 1．用公式法解方程时，求根公式中a，b，c的值分别是（    ）． A．，， B．，， C．，， D．，， 2．用求根公式解方程，正确的是（　　） A． B． C． D． 3．已知某一元二次方程的两根为，则此方程可能是（    ） A． B． C． D． 4．若方程是一元二次方程，则方程的根是（　　） A． B． C． D．以上答案都不对 5．当时，下列一元二次方程中两个根是实数的是（   ） A． B． C． D． 6．用公式法解方程，其中求得的值是（    ）. A．16 B． C．32 D．64 7．方程中，的值为 ，根是 ． 8．解下列方程： (1) (2) (3) 9．解方程： (1)； (2)． 10．解方程：5x+2＝（3x﹣1）（2x+2）（公式法）． 11．关于x的一元二次方程的两根分别为，，下列判断一定正确的是（    ） A．a=-1 B．c=1 C．ac=-1 D． 题型2：选择适当的方法解一元二次方程 12．解下列方程：①2x2－18＝0；②9x2－12x－1＝0；③3x2＋10x＋2＝0；④2(5x－1)2＝2(5x－1)．用较简便的方法依次是(    ) A．①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法 B．①直接开平方法，②公式法，③、④因式分解法 C．①因式分解法，②公式法，③配方法，④因式分解法 D．①直接开平方法，②、③公式法，④因式分解法 13．解方程① 9(x -3)2 = 25，② 6x2 -x = 1，③ x2 +4x -3596 = 0，④ x(x -1) = 1.较简便的方法依次是（      ）； A．开平方法、因式分解法、公式法、配方法 B．因式分解法、公式法、公式法、配方法 C．配方法、因式分解法、配方法、公式法 D．开平方法、因式分解法、配方法、公式法 14．已知下列方程，请把它们的序号填在最适当的解法后的横线上． ①；②；③；④；⑤． (1)直接开平方法： ； (2)配方法： ； (3)公式法： ； (4)因式分解法： ． 题型3：比较一元二次方程根的大小 15．一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根中较大的根是(    ) A．1+ B． C． D． 16．方程ax2+bx+c=0（a＜0）有两个实根，则这两个实根的大小关系是（  ） A．≥ B．＞ C．≤ D．＜ 17．设x1为一元二次方程2x2﹣4x＝较小的根，则（　　） A．0＜x1＜1 B．﹣1＜x1＜0 C．﹣2＜x1＜﹣1 D．﹣5＜x1＜﹣ 题型4：分析解答过程是否有误 18．小明在解方程时出现了错误，解答过程如下： ∵，，（第一步）， ∴（第二步）， ∴（第三步）， ∴，（第四步）． 小明解答过程开始出错的步骤是（　　） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 19．下面是小明同学解方程的过程： ∵，，（第一步） ∴（第二步） ∴，（第三步） ∴，（第四步） 小明是从第 步开始出错． 题型5：公式法解一元二次方程的代数应用 20．若是关于的一元二次方程的一个根，下面对的值估计正确的是（    ） A． B． C． D． 21．己知，求代数式 ． 22．已知关于方程的根都是整数，且满足等式，则满足条件的所有整数的和是（　　） A． B． C． D． 题型6：公式法解一元二次方程的几何应用 23．已知2，3，a分别是等腰三角形三边的长，且a是关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣x+k2+1＝0的根，则k的值为 ． 24．如图，中，，于点D，，于点B，且，作于点F，若，则的长为（    ） A．2 B．6 C．7 D．8 题型7：新定义题 25．将关于x的一元二次方程 变形为 ，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如． 我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知： ，且， 则 的值为 ． 26．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．若关于的方程是“邻根方程”，令，则的最大值是 ． 一、单选题 1．用公式法解方程时，，，的值为（     ） A． B． C． D． 2．若一元二次方程的根为，则该一元二次方程为（    ） A． B． C． D． 3．用公式法解方程4y2﹣12y﹣3＝0，得到（　　） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 4．解方程时，下面说法正确的是（    ） A．只能用公式法 B．不能用配方法 C．只能用配方法 D．公式法、配方法都能用 5．用公式法解方程，其中求得的值是（    ）. A．16 B． C．32 D．64 6．利用公式解可得一元二次方程式的两解为、，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．解下列方程：①；②；③；④．用较简便的方法依次是（　　） A．①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法 B．①直接开平方法，②公式法，③、④因式分解法 C．①因式分解法，②公式法，③配方法，④因式分解法 D．①直接开平方法，②、③公式法，④因式分解法 8．如果实数分别满足，，则的值不可能是（    ） A．1 B． C． D． 9．探讨关于x的一元二次方程总有实数根的条件，下面三名同学给出建议：甲：a，b同号；乙：；丙：．其中符合条件的是（    ） A．甲，乙，丙都正确 B．只有甲不正确 C．甲，乙，丙都不正确 D．只有乙正确 10．定义新运算：对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：．因此，；按照这个规定，若，则的值是（    ） A．－1 B．－1或 C． D．1或 二、填空题 11．把方程化为一般形式是 ，其中 ， ， ， ，方程的根是 ， . 12．方程的解为 ． 13．一元二次方程的根是 ． 14．认真观察下列方程，指出使用何种方法求解比较适当． （1），应选用 法； （2），应选用 法； （3），应选用 法； （4），应选用 法． 15．已知代数式与代数式的值互为相反数，则 ． 16．方程（）的根是 ． 17．已知则的值= 18．设，，都是实数，且满足，，则代数式的值为 ． 三、解答题 19．解方程： (1)（2x﹣1）2＝（3﹣x）2； (2)． 20．用公式法解下列一元二次方程： (1)． (2)． (3)． 21． 22．用公式法解下列方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 23．观察下列方程： ①；②；③； ④；⑤；… 上面每一个方程的二次项系数都是2，各个方程的解都不同，但每个方程的值均为1． （1）请你写出两个方程，使每个方程的二次项系数都是2，且每个方程的的值也都是1，但每个方程的解与已知的5个方程的解都不相同． （2）对于一般形式的一元二次方程（a≠0，≥0），能否作出一个新方程，使与相等？若能，请写出所作的新的方程（，需用a，b，c表示），并说明理由；若不能，也请说明理由． 24．如图，是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有个点，第二行有个点……第行有个点……．设前行的和为， 则 ．    (1)甲同学说，能取；而乙同学说，也能取．甲、乙的说法对吗？若对，求出；若不对，请试用一元二次方程说明理由． (2)如果把图的三角点阵中各行的点数一次换为，，，……，…… ①此时前行的点数的和是 ； ②这个三角点阵中前行的点数的和能是吗？若果能，求出；若果不能，请试用一元二次方程说明理由． 25．如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x2＋x＝0是“差1方程”． (1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由； ①x2﹣5x﹣6＝0； ②x2﹣x＋1＝0； (2)已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“差1方程”，求m的值； (3)若关于x的方程ax2＋bx＋1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差1方程”，设t＝10a﹣b2，求t的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$