第10讲 特殊的一元二次方程的解法—因式分解法（十一大题型）-【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

第10讲 特殊的一元二次方程的解法—因式分解法（十一大题型） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（十一大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、理解并掌握用因式分解法解方程的依据. 2、会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程. 3、掌握因式分解法的应用 一、情境导入，初步认识 我们知道如果ab=0，那么a=0或b=0，类似的解方程（x+1）（x-1）=0时，可转化为两个一元一次方程x+1=0或x-1=0来解，你能求（x+3）（x+5）=0的解吗？ 二、思考探究，获取新知 1.解方程 x2-3x=0 可用因式分解法求解 方程左边提取公因式x，得x(x-3)=0 由此得x=0或x-3=0 即x1=0， x2=3 与公式法相比，哪种更简单？ 【归纳结论】利用因式分解来解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 2.用因式分解法解下列方程； (1)x(x-5)=3x； (2)2x(5x-1)=3(5x-1)； (3)(35-2x)2-900=0. 3.你能总结因式分解法解一元二次方程的一般步骤吗？ 【归纳结论】把方程化成一边为0，另一边是两个一次因式的乘积的形式，然后使每一个一次因式等于0，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解. 4.说一说：因式分解法适用于解什么形式的一元二次方程. 【归纳结论】因式分解法适用于解一边为0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程. 三、常用的因式分解法 　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 【方法规律】 （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次 因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 题型1：因式分解法解一元二次方程 1．方程的根为(   ) A． B． C． D．或 2．方程的解是（     ） A． B． C． D． 3．解下列方程 (1) (2) 4．用适当的方法解下列方程： (1) (2) 5．用适当的方法解方程： (1)． (2)． 6．一元二次方程的根是 ． 题型2：因式分解法解一元二次方程易错题 7．方程(x＋1)(x－3)＝5的解是    (    ) A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝4， x2＝－2 C．x1＝－1， x2 ＝3 D．x1＝－4， x2＝2 8．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（    ） A．(2x－2)(3x－4)=0 ， ∴2x－2=0或3x－4=0 B．(x+3)(x－1)=1 ，∴x+3=0或x－1=1 C．(x－2)(x－3)=2×3 ， ∴x－2=2或x－3=3 D．x(x+2)=0 ，∴x+2=0 题型3：分析解答过程 9．解方程：，小滨的解答如下： 解：原方程可化简为：⋯第一步 方程两边同时除以，得：⋯第二步 你认为小滨的解答是否正确？如不正确，第 步出错，请你写出正确的解答过程。 10．下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题． 解一元二次方程： 解：原方程可以化为：第一步 两边同时除以得：第二步 系数化为1，得：第三步 任务： (1)小明的解法是不正确的，他从第_________步开始出现了错误； (2)请你继续用因式分解法完成这个方程的正确解题过程． 题型4：解“看错题” 11．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　） A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0 题型5：因式分解法解一元二次方程的代数应用 12．如果代数式与的值相等，那么x= ． 13．已知关于x的一元二次方程（a，b，c为常数，且），此方程的解为，．则关于x的一元二次方程的解为 ． 14．已知一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣a﹣2＝0的一个根与方程（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的一个根互为相反数，那么（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的根是（  ） A．0，﹣ B．0， C．﹣1，2 D．1，﹣2 题型6：因式分解法解一元二次方程的几何应用 15．已知三角形其中两边之和为10，第三边长是是方程的一个根，则该三角形的周长为（    ） A．11 B．21 C．11或21 D．11或1 16．三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（    ） A．15 B．13 C．11或8 D．11和13 17．已知三角形两边长分别为7和4，第三边是方程的一个根，则这个三角形的周长是 ． 题型7：因式分解法解一元二次方程与二次根式问题 18．若，则的值可以是（    ） A．0 B． C． D． 19．已知m，n是一元二次方程的两根，则的值是（    ） A．2 B． C． D． 题型8：换元法 20．已知，则的值是（    ） A．3或 B．或2 C．3 D． 21．解方程：(x-2013)(x-2014)＝2015×2016． 题型9：分类讨论 22．关于 的一元二次方程 的两实根都是整数，则整数 p的取值可以有（ ） A．2个 B．4个 C．6个 D．无数个 23．解方程的解是（    ） A． B． C． D． 题型10：程序流程图 24．如图，是一个闭环运算游戏，即：给x一个值，把它代入中得到一个y值，再把得到的y值代入中，又求出一个新的x值．如：把代入中得到；再把代入中求得． （1）把代入中，最后求出的x值为 ； （2）小明发现，给x一个整数并把它代入中后，最后求出的x值竟然是它自身，这个整数是 ． 题型11：新定义题 25．对于实数m，n，定义一种新运算“※”如下： （1）若，，则 ； （2）若，则实数x的值为 ． 26．如图，“杨辉三角”是我国古代奉献给人类伟大的数学遗产之一，从图中取一列数1，3，6，10，…，记，，，…，那么，则的值是（    ） A．13 B．10 C．8 D．7 一、单选题 1．方程的根是（   ） A． B． C． D． 2．方程的根是（    ） A． B． C． D． 3．用因式分解法解方程，下列方法正确的是（    ） A．∵，∴或 B．∵，∴或 C．∵，∴或 D．∵，∴ 4．下列方程适合用因式分解法解的是（    ） A． B． C． D． 5．设，则的值为（　　） A．或3 B．或5 C．3 D．5 6．若x，y都是负数，且，则的值是（    ） A． B． C．5 D． 7．已知3是关于的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰的两条边的边长，则的周长为（    ） A．7 B．10 C．10或11 D．11 8．已知关于的一元二次方程的两根为，，则一元二次方程的根为(　　) A．0，4 B．－3，5 C．－2，4 D．－3，1 9．阅读理解：解方程．解：（1）当时，原方程可以化为，解得（不合题意，舍去）；（2）当时，原方程可以化为，解得（舍去），∴原方程的解为．那么方程的解为（    ） A． B． C． D． 10．对于二次三项式（m为常数），下列结论正确的个数有（    ） ①当时，若，则 ②无论x取任何实数，等式都恒成立，则 ③若，，则 ④满足的整数解共有8个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．方程的根是 ． 12．一元二次方程的解是 ． 13．一元二次方程的解是 ． 14．一元二次方程的解为 ． 15．关于x的方程（k+1）x2+（k+3）x+2＝0的根为整数，则所有整数的和为 ． 16．若方程和的解相同，则的值为 ． 17．已知正整数满足：，则值为 ． 18．定义新运算“”，规则：，如，．若的两根为，则 ． 三、解答题 19．用因式分解法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 20．用因式分解法解下列关于x的方程 （1）                （2） （3）                  （4） 21．用因式分解法解下列关于x的方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 22．以下是小滨在解方程时的解答过程． 解原方程可化为， 解得原方程的解是． 小滨的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 23．数学项目化学习课上，小白和小青在讨论许老师出的一道求值问题： 已知非零实数a，b同时满足等式，求的值． 小白：哈哈！结果为正数．          小青：x，y不一定相等哦． 结合他们的对话，请解答下列问题： (1)当时，①求x的值．②求的值． (2)若，则_____________． 24．观察下列各等式： ① ② ③ ④ (1)按以上等式规律，请完成第⑤个等式　　； (2)按以上等式规律，请完成第n个等式　　，并证明这个等式的正确性； (3)直接写出等式右边等于20201的等式． 25．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”，如图所示： 根据排列规律，解答下列问题． (1)第8行第4个数是 　　；第15行第3个数是 　　； (2)数“190”在第几行？请说明理由． 26．阅读下面材料： 材料一：分解因式是将一个多项式化为若干个整式积的形式的变形，“十字相乘法”可把某些二次三项式分解为两个一次式的乘积，具体做法如下：对关于，的二次三项式，如图1，将项系数，作为第一列，项系数，作为第二列，若恰好等于项的系数，那么可直接分解因式为： 示例1：分解因式： 解：如图2，其中，，而； ∴； 示例2：分解因式：． 解：如图3，其中，，而； ∴； 材料二：关于，的二次多项式也可以用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积．如图4，将作为一列，作为第二列，作为第三列，若，，，即第1、2列，第1、3列和第2、3列都满足十字相乘规则，则原式分解因式的结果为：；     示例3：分解因式：． 解：如图5，其中，，； 满足，； ∴ 请根据上述材料，完成下列问题： （1）分解因式： ； ； （2）若，，均为整数，且关于，的二次多项式可用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积，求出的值，并求出关于，的方程的整数解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 特殊的一元二次方程的解法—因式分解法（十一大题型） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（十一大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、理解并掌握用因式分解法解方程的依据. 2、会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程. 3、掌握因式分解法的应用 一、情境导入，初步认识 我们知道如果ab=0，那么a=0或b=0，类似的解方程（x+1）（x-1）=0时，可转化为两个一元一次方程x+1=0或x-1=0来解，你能求（x+3）（x+5）=0的解吗？ 二、思考探究，获取新知 1.解方程 x2-3x=0 可用因式分解法求解 方程左边提取公因式x，得x(x-3)=0 由此得x=0或x-3=0 即x1=0， x2=3 【归纳结论】利用因式分解来解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 2.用因式分解法解下列方程； (1)x(x-5)=3x； (2)2x(5x-1)=3(5x-1)； (3)(35-2x)2-900=0. 3.你能总结因式分解法解一元二次方程的一般步骤吗？ 【归纳结论】把方程化成一边为0，另一边是两个一次因式的乘积的形式，然后使每一个一次因式等于0，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解. 4.说一说：因式分解法适用于解什么形式的一元二次方程. 【归纳结论】因式分解法适用于解一边为0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程. 三、常用的因式分解法 　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 【方法规律】 （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次 因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 题型1：因式分解法解一元二次方程 1．方程的根为(    ) A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】由提公因式法进行因式分解，既而可解一元二次方程． 【解析】解： 故选：D． 【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，涉及提公因式法，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 2．方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将方程移项后，再运用因式分解法求解即可． 【解析】解： ∴ 故选：B 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用一元二次方程的解法是解答本题的关键． 3．解下列方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用因式分解法解答，即可求解； （2）先整理，再利用因式分解法解答，即可求解． 【解析】（1）解：， ∴， 解得：； （2）解：， 整理得：， ∴， 解得： 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法——直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法是解题的关键． 4．用适当的方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可． 【解析】（1）解： 解得， （2）解： 解得， 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 5．用适当的方法解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)，； (2)， 【分析】将左边利用十字相乘法因式分解，继而可得两个关于的一元一次方程，分别求解即可得出答案； 先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于的一元一次方程，分别求解即可得出答案． 【解析】（1）解：， ， 则或， 解得，， 所以，原方程的解为，； （2）解： ， 则， 或， 解得，． 所以，原方程的解为，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握和运用一元二次方程的解法是解决本题的关键． 6．一元二次方程的根是 ． 【答案】， 【分析】方程变形为x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0，然后利用因式分解法解方程． 【解析】解：x（2x﹣5）＝4x﹣10， x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0， （x﹣2）（2x﹣5）＝0， x﹣2＝0或2x﹣5＝0， 所以，． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想），掌握因式分解解方程的方法是解题的关键． 题型2：因式分解法解一元二次方程易错题 7．方程(x＋1)(x－3)＝5的解是    (    ) A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝4， x2＝－2 C．x1＝－1， x2 ＝3 D．x1＝－4， x2＝2 【答案】B 【分析】先把一元二次方程展开合并，再根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【解析】∵， ∴， ∴， ∴x-4=0或x+2=0， ∴． 故选B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，掌握十字相乘因式分解，是解题的关键． 8．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（    ） A．(2x－2)(3x－4)=0 ， ∴2x－2=0或3x－4=0 B．(x+3)(x－1)=1 ，∴x+3=0或x－1=1 C．(x－2)(x－3)=2×3 ， ∴x－2=2或x－3=3 D．x(x+2)=0 ，∴x+2=0 【答案】A 【分析】用因式分解法时，方程的右边为0，才可以达到化为两个一次方程的目的． 【解析】A：等式右边为0，分解正确，符合题意； B：等式右边≠0，不符合题意； C：等式右边≠0，不符合题意； D：x(x+2)=0 ，∴x+2=0或x=0； 故答案为：A 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，用因式分解法时，方程的右边必须为0，根据两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个为0，才能将方程降次为两个一元一次方程． 题型3：分析解答过程 9．解方程：，小滨的解答如下： 解：原方程可化简为：⋯第一步 方程两边同时除以，得：⋯第二步 你认为小滨的解答是否正确？如不正确，第 步出错，请你写出正确的解答过程。 【答案】二 【分析】此题考查了解一元二次方程一因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 方程解答不正确，两边除以时，没有考虑为的情况，写出正确过程即可． 【解析】解：不正确． 正确的解答过程如下：， ⋯第一步， ⋯第二步 则或， 解得，， ∴第二步出错， 故答案为：二． 10．下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题． 解一元二次方程： 解：原方程可以化为：第一步 两边同时除以得：第二步 系数化为1，得：第三步 任务： (1)小明的解法是不正确的，他从第_________步开始出现了错误； (2)请你继续用因式分解法完成这个方程的正确解题过程． 【答案】(1)二 (2)或，过程见解析 【分析】本题考查了解一元二次方程——因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法． （1）第二步不符合等式的性质； （2）先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程． 【解析】（1）解：他从第二步开始出现了错误， 故答案为：二； （2）解： 或， 解得：或． 题型4：解“看错题” 11．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　） A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0 【答案】B 【分析】分别按照看错的情况构建出一元二次方程，再舍去错误信息，从而可得正确答案. 【解析】解： 小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1， 所以此时方程为： 即： 小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4， 所以此时方程为： 即： 从而正确的方程是： 故选： 【点睛】本题考查的是根据一元二次方程的根构建一元二次方程，掌握利用一元二次方程的根构建方程的方法是解题的关键. 题型5：因式分解法解一元二次方程的代数应用 12．如果代数式与的值相等，那么x= ． 【答案】2 【分析】由题可得，整理得到即解出即可． 【解析】解：根据题意得 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解此题的关键． 13．已知关于x的一元二次方程（a，b，c为常数，且），此方程的解为，．则关于x的一元二次方程的解为 ． 【答案】或/或 【分析】将和分别代入，可求得，，之间的等量关系，代入一元二次方程即可消去参数，从而解一元二次方程即可． 【解析】解：一元二次方程的解为，， ，解得， 一元二次方程可化为， ， ， 解得，． 一元二次方程的解为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，解决本题的关键是利用一元二次方程的解求得，，之间的等量关系，从而代入求解． 14．已知一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣a﹣2＝0的一个根与方程（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的一个根互为相反数，那么（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的根是（  ） A．0，﹣ B．0， C．﹣1，2 D．1，﹣2 【答案】A 【分析】将x0、﹣x0分别代入已知的两个方程，求出a的值，再将a的值代入要求解的方程，解方程即可. 【解析】设x0为方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣a﹣2=0的一个根，则﹣x0为方程（a+1）x2+ax﹣a2+a+2=0的一个根， ∴（a+1）x02﹣a x0+a2﹣a﹣2=0①， （a+1）x02﹣a x0﹣a2+a+2=0②， ∴①﹣②得：2a2﹣2a﹣4=0，即a2﹣a﹣2=0， 解得a=2或﹣1， 当a=2时，3x2+2x=0，解得x=0或﹣； ②当a=﹣1时，﹣x﹣1﹣1+2=0，解得x=0. ∴方程的解是0或﹣. 故选A. 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的定义. 题型6：因式分解法解一元二次方程的几何应用 15．已知三角形其中两边之和为10，第三边长是是方程的一个根，则该三角形的周长为（    ） A．11 B．21 C．11或21 D．11或1 【答案】A 【分析】先求出方程的根，然后分x＝1和x＝11两种情况，利用三角形三边关系进行判断即可． 【解析】解：由可得， ∴或， 解得x＝1或x＝11， 当x＝1时，因为10＞1，所以能组成三角形，此时该三角形的周长为11； 当x＝11时，因为10＜11，所以不能组成三角形， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系的应用，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 16．三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（    ） A．15 B．13 C．11或8 D．11和13 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程，三角形三边关系．根据题意解出方程，继而利用三边关系判断能否组成三角形，即可得出答案． 【解析】解：∵， ∴，解得：， ∵三角形两边长分别为3和6， ∴当第三边长为时，不符合构成三角形三边关系，故此种情况舍去， 当第三边长为时，符合构成三角形三边关系，则周长为：， 故选：B． 17．已知三角形两边长分别为7和4，第三边是方程的一个根，则这个三角形的周长是 ． 【答案】20 【分析】本题考查解一元二次方程及三角形的三边关系，利用因式分解法解一元二次方程，再利用三角形的三边关系确定符合题意的x的值，然后计算其周长即可． 【解析】 因式分解得： 解得： ∵ ∴舍去 ∴这个三角形的周长是 故答案为：20 ． 题型7：因式分解法解一元二次方程与二次根式问题 18．若，则的值可以是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．先把原式变形为，解出方程，即可求解． 【解析】解：∵， ∴， 整理得：， 解得：， 由题意得：， ∴， ∴． 故选：D 19．已知m，n是一元二次方程的两根，则的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，二次根式的化简，先解方程可得，，再由，从而可得答案． 【解析】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故选：D． 题型8：换元法 20．已知，则的值是（    ） A．3或 B．或2 C．3 D． 【答案】C 【分析】设，则原方程变为解出关于a的方程，取非负值值即为的值． 【解析】解：设， ∵， ∴，即， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握换元思想可以使做题简单，但需注意． 21．解方程：(x-2013)(x-2014)＝2015×2016． 【答案】x1＝4029，x2＝-2 【分析】设x-2013 = t，则x-2014=t-1，可得t2-t-2015×2016=0，再利用因式分解法可得t1=2016，t2=-2015，再代入，即可求解． 【解析】解：设x-2013 = t，则x-2014=t-1， ∴t（t-1）=2015×2016，即t2-t-2015×2016=0， ∴（t-2016）（t+2015）=0 解得：t1=2016，t2=-2015， ∴x－2013 =2016或x－2013 =-2015， 解得：x1＝4029或-2， ∴原方程的解为x1＝4029，x2＝-2． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 题型9：分类讨论 22．关于 的一元二次方程 的两实根都是整数，则整数 p的取值可以有（ ） A．2个 B．4个 C．6个 D．无数个 【答案】D 【分析】求得和为，积为p的所有整数解，也就求得了p的个数． 【解析】解：由；；；；；，…， 可得或或或或；或；或，…， 则p的个数无数个， 故选：D． 【点睛】本题考查求有整数解的一元二次方程系数的问题；用到的知识点为：有整数解的一元二次方程的常数项分解的2个数的和应等于一次项是系数，积等于常数项． 23．解方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论：当x≥0时，原方程化为：x2-x-2=0；当x＜0时，原方程化为：x2+x-2=0，然后分别利用因式分解法解两一元二次方程即可． 【解析】解：当x≥0时，原方程化为x2-x-2=0， 因式分解得(x-2)(x+1)=0， 解得：x1=2或x2=-1（不合题意舍去）； 当x≤0时，原方程化为x2+x-2=0， 因式分解得(x+2)(x-1)=0， 解得：x1=-2或x2=1（不合题意舍去）； 所以，原方程的根是x1=2，x2=-2． 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，绝对值的代数意义，以及解一元二次方程-分解因式法，分类讨论是解本题的关键． 题型10：程序流程图 24．如图，是一个闭环运算游戏，即：给x一个值，把它代入中得到一个y值，再把得到的y值代入中，又求出一个新的x值．如：把代入中得到；再把代入中求得． （1）把代入中，最后求出的x值为 ； （2）小明发现，给x一个整数并把它代入中后，最后求出的x值竟然是它自身，这个整数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，和分式方程． （1）根据题意运算法则计算即可求解； （2）设这个数为，依题意得，解一元二次方程求得整数解即可． 【解析】解：（1）把代入中，， 再把代入中，求得； 经检验是原方程的解， 故答案为：； （2）设这个数为，依题意得， 整理得， 解得（舍去），， 故答案为：． 题型11：新定义题 25．对于实数m，n，定义一种新运算“※”如下： （1）若，，则 ； （2）若，则实数x的值为 ． 【答案】 3 2 【分析】本题考查的是新定义运算，一元二次方程的解法，理解新定义的含义是解本题的关键； （1）由，再利用新定义的运算法则列式计算即可； （2）分两种情况：当时，当时，再列方程求解即可． 【解析】解：（1）当，，可知， ∴． （2）当时，， 即． 解得．（舍去）； 当时，， 解得（舍去）， ∴x的值为2． 26．如图，“杨辉三角”是我国古代奉献给人类伟大的数学遗产之一，从图中取一列数1，3，6，10，…，记，，，…，那么，则的值是（    ） A．13 B．10 C．8 D．7 【答案】D 【分析】由已知数列得出an＝1+2+3+…+n，再求出a9、ai、a11的值，代入计算可得． 【解析】解：由a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，…，知an＝1+2+3+…+n， ∴a945、ai、a1166， 则a9+a11﹣ai＝83， 可得：45+6683， 解得：i＝7，（负根舍去） 故选：D． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知数列得出an＝1+2+3+…+n， 一、单选题 1．方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用因式分解法解方程即可得到正确选项． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴x+7=0，x-8=0， ∴x1=-7，x2=8． 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了． 2．方程的根是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】移项，得，因式分解，得，则或，解得或． 3．用因式分解法解方程，下列方法正确的是（    ） A．∵，∴或 B．∵，∴或 C．∵，∴或 D．∵，∴ 【答案】A 【解析】∵，∴或，A选项正确，符合题意；由于使用因式分解法解方程时方程右边须为0，故B，C选项错误；∵，∴或，故D选项错误． 4．下列方程适合用因式分解法解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可将选项先化简成，看是否可以配成两个相乘的因式，满足则方程适用因式分解． 【解析】A、，适用公式法，不适合用因式分解法来解题； B、，即，适用公式法，不适合用因式分解法来解题； C、，即，则，故适合用因式分解法来解题； D、，适用公式法，不适合用因式分解法来解题； 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 5．设，则的值为（　　） A．或3 B．或5 C．3 D．5 【答案】C 【分析】由已知的方程进行换元转化为一元二次方程，再利用因式分解法解一元二次方程即可 【解析】解：设，则原方程可化为， ∴， 解得：或， 又∵， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，解此题的关键在于利用换元法将原方程简化.换元法：解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化． 6．若x，y都是负数，且，则的值是（    ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】将x+y看作一个整体，把已知等式进行因式分解即可求出x+y的值． 【解析】解：， ∴， 即， 可得或． ∵x，y都是负数， ∴x+y＜0， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是利用整体思想，掌握因式分解法． 7．已知3是关于的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰的两条边的边长，则的周长为（    ） A．7 B．10 C．10或11 D．11 【答案】C 【分析】把x＝3代入已知方程求得m的值，然后求出该方程的两根，即等腰△ABC的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可． 【解析】解：把x＝3代入方程得：， 解得m＝6， 则原方程为， 解得：x1＝3，x2＝4， 因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长， ①当△ABC的腰为4，底边为3时，符合三角形三边关系，△ABC的周长为4＋4＋3＝11， ②当△ABC的腰为3，底边为4时，符合三角形三边关系，△ABC的周长为3＋3＋4＝10， 综上所述，△ABC的周长为10或11． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了解一元二次方程、等腰三角形的性质以及三角形三边关系． 8．已知关于的一元二次方程的两根为，，则一元二次方程的根为(　　) A．0，4 B．－3，5 C．－2，4 D．－3，1 【答案】B 【分析】先将，代入一元二次方程得出与的关系，再将用含的式子表示并代入一元二次方程求解即得． 【解析】∵关于的一元二次方程的两根为， ∴或 ∴整理方程即得： ∴ 将代入化简即得： 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了含参数的一元二次方程求解，解题关键是根据已知条件找出参数关系，并代入要求的方程化简为不含参数的一元二次方程． 9．阅读理解：解方程．解：（1）当时，原方程可以化为，解得（不合题意，舍去）；（2）当时，原方程可以化为，解得（舍去），∴原方程的解为．那么方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据绝对值的定义当x≥1时方程为x2-x+1-1=0，求出方程的解；当x＜1时方程为x2+x-1-1=0，求出方程的解，即可求出答案． 【解析】当x≥1时，方程为x2-x+1-1=0， ∴x1=0（舍去），x2=1； 当x＜1时，方程为x2+x-1-1=0， ∴x1=-2，x2=1（舍去）， ∴方程的解是x1=-2，x2=1． 故选：B． 【点睛】此题考查绝对值，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能正确去绝对值符号是解题的关键． 10．对于二次三项式（m为常数），下列结论正确的个数有（    ） ①当时，若，则 ②无论x取任何实数，等式都恒成立，则 ③若，，则 ④满足的整数解共有8个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】①代入求值后因式分解计算即可；②提取公因式x后根据恒成立找关系即可； ③两个方程相加后因式分解即可解题；④去括号后因式分解判断即可． 【解析】①当时，若，则 ∴或者，故①错误； ②等式化简后为 ∵无论x取任何实数，等式都恒成立， ∴，即 ∴，故②正确； ③若，，则两个方程相加得：， ∴ ∴ ，故③错误； ④整理得： ∴ ∵整数解 ∴，，， ∴，， ，， ，，，，， ∴ 整数解共9对，故④错误； 综上所述，结论正确的有②； 故选：A． 【点睛】本题综合考查因式分解的应用，熟练的配方是解题的关键，题目还考查了因式分解法解一元二次方程． 二、填空题 11．方程的根是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握解一元二次方程因式分解法是解题的关键．注意：不要忽视x的取值范围，将方程两边同时除以x，导致漏掉这个实数根． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【解析】解：， ， ， 或， ，， 故答案为：，． 12．一元二次方程的解是 ． 【答案】 【解析】原方程可转化为，∴或，解得． 13．一元二次方程的解是 ． 【答案】 【解析】∵，∴．∴．∴或，解得． 14．一元二次方程的解为 ． 【答案】， 【分析】利用因式分解法解一元二次方程，提取公因式． 【解析】解： ，． 故答案是：，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法． 15．关于x的方程（k+1）x2+（k+3）x+2＝0的根为整数，则所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】分两种情况讨论，当时，方程为一元一次方程时，或当时，根据因式分解法解题即可． 【解析】当时，原方程可化为 解得为整数； 当时，原方程是关于x的一元二次方程，可化为 根据题意根为整数，或， 解得 所有整数的和为： 故答案为：-5． 【点睛】本题考查方程的解，涉及解一元一次方程、解一元二次方程等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 16．若方程和的解相同，则的值为 ． 【答案】4 【分析】根据方程解相同，得到常数项相等即可求出b的值． 【解析】解：根据题意得：b2-16=-3b+12，即b2+3b-28=0， 分解因式得：（b-4）（b+7）=0， 解得：b=4或-7， 当b=-7时，两方程为x2+3x+33=0无解，舍去， 则b=4． 故答案为：4． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 17．已知正整数满足：，则值为 ． 【答案】146 【分析】将xy+x+y=71，x2y+xy2=880稍作变化，变为xy+（x+y）=71，xy（x+y）=880．此时x+y、xy可以看做一元二次方程t2-71t+880=0的两个解．解出该方程的解即为x+y，xy的值．再将x+y，xy代入x2+y2=（x+y）2-2xy求值即可． 【解析】解：∵xy+x+y=71，x2y+xy2=880， ∴xy（x+y）=880，xy+（x+y）=71， ∴x+y、xy可以看做一元二次方程t2-71t+880=0的两个解， 解得t=55或16， ∴x+y=55、xy=16（此时不能满足x、y是正整数，舍去）或x+y=16、xy=55， 当x+y=16、xy=55时，x2+y2=（x+y）2-2xy=162-2×55=146． 故x2+y2的值为146． 故答案为146. 【点睛】本题考查因式分解的应用、一元二次方程，难度较大，解决本题的关键是将x+y、xy可以看做一元二次方程t2-71t+880=0的两个解，解出t即可知x+y、xy的值． 18．定义新运算“”，规则：，如，．若的两根为，则 ． 【答案】或 【分析】首先解方程求得方程的两个解，根据，可以得到的值是两个根中的较大的一个． 【解析】解：解方程， ， 或， 解得：，或，， ， 当，时， ． 当，时， . 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，关键是理解． 三、解答题 19．用因式分解法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【解析】解：（1）∵， ∴． 则或 解得． （2）∵， ∴． 则， 解得． （3）∵， ∴． 则， ∴或． 解得． （4）∵， ∴． ∴或． 解得． 20．用因式分解法解下列关于x的方程 （1）                （2） （3）                  （4） 【答案】（1），；（2），；（3），；（4）， 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【解析】解：（1） 解得：， （2） 解得：， （3） 解得：， （4） 解得：， 【点睛】此题考查的是解一元二次方程，掌握利用因式分解法解一元二次方程是解决此题的关键． 21．用因式分解法解下列关于x的方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1），；（2），；（3），；（4），． 【分析】（1）移项后提取公因式； （2）使用平方差公式； （3）等式右边用平方差公式分解，然后移项提取公因式； （4）前面三项可以用完全平方公式分解，然后用平方差公式． 【解析】解：（1）， ， ， 则有或， 解得：，； （2）， ， ， 则有或， 解得：，； （3）， ， ， ， 则有或， 解得：，； （4）， ， ， 则有或， 解得：，． 【点睛】本题考查用因式分解法解一元二次方程，需要先将等式右边变成0，然后观察等式左边，采用适当的方法进行因式分解，最后由每个因式等于0求出方程的根． 22．以下是小滨在解方程时的解答过程． 解原方程可化为， 解得原方程的解是． 小滨的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 【答案】有，正确的过程见解析 【分析】有错误，忽略了的情况，根据解一元二次方程的方法写出正确的解答过程即可． 【解析】解：小滨的解答有错误，忽略了的情况， 正确的解答为： 方程可化为：， 移项得：， 分解因式得：， 所以或， 解得：，． 【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及公式法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键． 23．数学项目化学习课上，小白和小青在讨论许老师出的一道求值问题： 已知非零实数a，b同时满足等式，求的值． 小白：哈哈！结果为正数．          小青：x，y不一定相等哦． 结合他们的对话，请解答下列问题： (1)当时，①求x的值．②求的值． (2)若，则_____________． 【答案】(1)①，② (2) 【分析】 （1）将代入方程，然后解一元二次方程求解； （2）联立方程组，运用加减消元法并结合完全平方公式，求得和的值，然后将原式通分化简，代入求解． 【解析】（1）解：①当时，， 整理得， ， 解得， ②； （2）当时，联立方程组得 将，得： 整理，得：， ， 又∵ ∴， 将①+②，得：， 整理，得：， ∴ ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式的化简求值及完全平方公式的运用，解一元二次方程，掌握完全平方公式的公式结构和分式的化简计算法则准确计算是解题关键． 24．观察下列各等式： ① ② ③ ④ (1)按以上等式规律，请完成第⑤个等式　　； (2)按以上等式规律，请完成第n个等式　　，并证明这个等式的正确性； (3)直接写出等式右边等于20201的等式． 【答案】(1)61 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）由前4个等式可直接得出； （2）根据完全平方公式和二次根式的性质解答即可； （3）利用（2）中的规律解答即可． 【解析】（1）． 故答案为：61； （2）． 证明：左边 ． 由题意可知n为大于或等于1的整数， ∴， ∴， ∴左边右边，即成立． 故答案为：； （3）等式右边等于20201的等式为：． 理由：由题意得：， ∴， ∴， ∴（舍）． ∴等式右边等于20201的等式为：． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简与计算，完全平方公式的应用，数字的变化规律．观察数字的变化发现规律和掌握二次根式的性质是解题关键． 25．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”，如图所示： 根据排列规律，解答下列问题． (1)第8行第4个数是 　　；第15行第3个数是 　　； (2)数“190”在第几行？请说明理由． 【答案】(1)35，91 (2)190在第20行或191行 【分析】（1）杨辉三角基本规律是第n行第m个数是第n-1行第m-1个数与第n-1行第m个数之和(n>2,1<m<n)，第n行第3个数的规律是，根据这两个规律推导即可． （2）根据每行第二个数的规律和第三个数的规律，可得190在第20行或191行． 【解析】（1）解： 根据杨辉三角的规律特点可知： 第8行第4个数是第7行第3个数与第7行第4个数之和，即15与20之和， ∴第8行第4个数是20+15＝35， 第3行第3个数是1； 第4行第3个数是3=1+2； 第5行第3个数是6=1+2+3； 第6行第3个数是10=1+2+3+4； 第7行第3个数是15=1+2+3+4+5； …… ∴第15行第3个数是1+2+3+…+13＝91， 故答案为：35，91； （2）根据（1）总结的规律可知： 第n行第3个数是： 令， 解得：（舍去）， ∴190是第21行第3个数，或者第21行倒数第三个． 又∵第n行第2个数n﹣1， ∴190是第191行第2个数， ∴190在第20行或191行． 【点睛】本题通过杨辉三角考查数字规律问题，仔细观察其中规律是解题的关键．熟记公式会起到事半功倍的效果． 26．阅读下面材料： 材料一：分解因式是将一个多项式化为若干个整式积的形式的变形，“十字相乘法”可把某些二次三项式分解为两个一次式的乘积，具体做法如下：对关于，的二次三项式，如图1，将项系数，作为第一列，项系数，作为第二列，若恰好等于项的系数，那么可直接分解因式为： 示例1：分解因式： 解：如图2，其中，，而； ∴； 示例2：分解因式：． 解：如图3，其中，，而； ∴； 材料二：关于，的二次多项式也可以用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积．如图4，将作为一列，作为第二列，作为第三列，若，，，即第1、2列，第1、3列和第2、3列都满足十字相乘规则，则原式分解因式的结果为：；     示例3：分解因式：． 解：如图5，其中，，； 满足，； ∴ 请根据上述材料，完成下列问题： （1）分解因式： ； ； （2）若，，均为整数，且关于，的二次多项式可用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积，求出的值，并求出关于，的方程的整数解． 【答案】（1），；（2），和 【分析】（1）①直接用十字相乘法分解因式；②把某个字母看成常数用十字相乘法分解即可； （2）用十字相乘法把能分解的集中情况全部列出求出m值． 【解析】解：（1）①1=1×1，2=1×2，3=1×1+1×2， ∴原式=； ②1=1×1，6=（-2）×（-3），-20=5×（-4） 满足（-5）=1×（-2）+1×（-3），1=1×5+1×（-4），2=（-2）×5+（-3）×（-4） ∴原式=； （2）①   ②     ∴ ∴ 当时， 或，（舍）， 当时， 或，或（舍） 综上所述，方程的整数解有和； 方法二： 或． 【点睛】本题考查了因式分解的方法——十字相乘法，弄清题目中的十字相乘的方法是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$