第09讲 一般的一元二次方程的解法-配方法（九大题型）-【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

第09讲 一般的一元二次方程的解法-配方法（九大题型） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（九大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、 学会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程； 2、 掌握用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程； 3、 了解配方法的应用。 Ⅰ、用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 一、情境导入，初步认识 前面我们已经学习了直接开平方法解一元二次方程，你会解下列一元二次方程吗？ （1）x2=5； （2）（x+2）2=5； （3）x2+12x+36=5. 第（3）题的左边是个什么式子？ 二、思考探究，获取新知 1.填上适当的数，使下列等式成立. （1）x2+6x+_____=（x+_____）2； （2）x2-6x+_____=（x-_____）2； （3）x2+6x+4=x2+6x+_____-_____+4=（x+_____）2-_____. 【答案】 （1）9 3（2）9 3（3）9 9 3 5 【方法规律】当二次项系数为1时，配方的关键就是加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使含未知数的项在一个完全平方式里. 2.解方程x2+4x=12 我们已知，如果把方程x2+4x=12写成（x+n）2=d的形式，那么就可以根据平方根的意义来求解.那么，如何将左边写成（x+n）2的形式呢？ 我们学过完全平方式，你能否将左边x2+4x添上一项使它成为一个完全平方式？请相互交流. 写出解题过程. 【方法规律】一般地，像上面这样，在方程x2+4x=12的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫作配方.配方、整理后就可以直接根据平方根的意义来求解了.这种解一元二次方程的方法叫作配方法. 3.用配方法解方程：x2+2x-1=0. 解：移项，得x2+2x=1. 配方，得x2+2x+=1+， 即（x+1）2=2. 开平方，得x+1=±. 解得x1=-1，x2=-1. 【方法规律】用配方法解一元二次方程时，应按照步骤严格进行，以免出错.配方添加时，记住方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方. Ⅱ、用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 一、情境导入，初步认识 如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个部分作为耕地，要使得耕地的面积为5000m2，道路的宽为多少？ 二、思考探究，获取新知 1.如何用配方法解方程25x2+50x-11=0呢？ 如果二次项系数为1，那就好办了！那么怎样将二次项的系数化为1呢？同伴之间可以相互交流. 试着写出解题过程. 2.通过上面配方法解一元二次方程的过程，你能总结用配方法解一元二次方程的步骤吗？ 【方法规律】用配方法解一元二次方程的步骤： （1）把方程化为一般形式ax2+bx+c=0； （2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边； （3）若方程的二次项系数不为1时，方程两边同时除以二次项系数a； （4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方； （5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解． 【方法规律】通过这一过程，学生发现能用直接开平方法求解的方程都可以转化成一般形式，一般形式的方程也能用配方法转化为可以直接开平方的形式，所以总结出解一元二次方程的基本思路是将一元二次方程转化为（x+n）2=d(d≥0)的形式. 三、运用新知，深化理解 1.解方程 （1）x2-10x+24=0； （2）(2x-1)(x+3)=5； （3）3x2-6x+4=0. 解：（1）移项，得x2-10x=-24， 配方，得x2-10x+25=-24+25， 由此可得(x-5)2=1， x-5=±1， ∴x1=6，x2=4； （2）整理，得2x2+5x-8=0， 移项，得2x2+5x=8， 二次项系数化为1得x2+x=4， 配方，得x2+x+()2=4+()2 (x+)2=， 由此可得x+=±， x1=，x2=； （3）移项，得3x2-6x=-4， 二次项系数化为1，得x2-2x=， 配方，得x2-2x+12=+12, (x-1)2= 因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x-1)2都是非负数，上式不成立，即原方程无实数根. Ⅲ、配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 特别说明： “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同时对后期学习二次函数有着重要的作用，同学们一定要把它学好． 题型1：配方法解一元二次方程 1．用配方法解一元二次方程，此方程可化为（    ） A． B． C． D． 2．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 3．关于y的方程，用 法解，得 ， ． 4．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（    ） A．化为 B．化为 C．化为 D．化为 5．用配方法解方程，正确的是（    ） A． B． C．，原方程无实数解 D．，原方程无实数解 6．用配方法解方程ax2+bx+c＝0（a≠0），四个学生在变形时得到四种不同结果，其中配方正确的是（　　） A． B． C． D． 7．用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型2：配方法的应用—求参数（范围） 8．珍珍将方程化为的形式时，得到p的值为2，q的值为6，则珍珍所得结果（    ） A．正确 B．不正确，p的值应为 C．不正确，q的值应为2 D．不正确，q的值应为4 9．已知，，满足，，，则的值为（    ） A． B．5 C．6 D． 10．已知实数，，满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型3：配方法的应用—在二次根式中的应用 11．无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．已知，则 题型4：配方法的应用—在分式中的应用 13．若，则的值为（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 14．关于代数式，有以下几种说法， ①当时，则的值为-4. ②若值为2，则. ③若，则存在最小值且最小值为0. 在上述说法中正确的是（　　） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 题型5：配方法的应用—比较代数式的大小 15．若M=2-12x+15，N=-8x+11，则M与N的大小关系为（　　） A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N 16．已知、是实数，，．则、的大小关系是（　　） A． B． C．＜ D．＞ 题型6：配方法的应用—代数式的值恒大于（或小于）某数 17．代数式的值的值一定（    ） A．大于3 B．小于3 C．等于3 D．不小于1 18．不论x，y为什么数，代数式4x2+3y2+8x﹣12y+7的值（　　） A．总大于7 B．总不小于9 C．总不小于﹣9 D．为任意有理数 题型7：配方法的应用—最值问题 19．已知与互为倒数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 20．代数式的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 21．若，则x2+y2+z2可取得的最小值为（　　） A．3 B． C． D．6 22．阅读材料：数学课上，老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作这样的变形：，因为，所以，当时，，因此的最小值是1．类似地，代数式有（    ） A．最小值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最大值为 题型8：配方法的应用—几何应用 23．的三边分别为、、，若，，按边分类，则是 三角形 24．如果一个三角形的三边均满足方程，则此三角形的面积是 25．已知三角形的三条边为，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是（    ） A．c＞8 B．5＜c＜8 C．8＜c＜13 D．5＜c＜13 题型9：配方法的应用—新定义题 26．新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”，现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是（   ） A．2023 B．2024 C．2018 D．2019 一、单选题 1．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 2．小明解方程的过程如图所示，他在解答过程中开始出错的步骤是（    ） 解：……① ……② ……③ ，…④ A．① B．② C．③ D．④ 3．方程的左边是一个完全平方式，则m等于（　 ） A． B．或4 C．或 D．4 4．下列各式：①；②；③；④；⑤变形中，正确的有（    ） A．①④ B．① C．④ D．②④ 5．某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．将一个关于x的一元二次方程配方为，若是该方程的两个根，则p的值是（    ） A．2 B．4 C． D．3 7．代数式的最小值为（    ）． A． B．0 C．3 D．5 8．对于方程，下列各配方式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 9．若，则p的最小值是（    ） A．2021 B．2015 C．2016 D．没有最小值 10． 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用． 例：已知x可取任何实数，试求二次三项式的值的范围． 解： ． ∵无论x取何实数，总有，∴． 即无论x取何实数，的值总是不小于的实数． 问题：已知x可取任何实数，则二次三项式的最值情况是（ ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值1 D．有最小值1 二、填空题 11．将一元二次方程变形为的形式为 12．方程的解是 ． 13．将化成的形式 ． 14．若x2+4x+6＝（x+1）2+a（x+1）+b，则2a+b＝ ． 15．已知：a、b、c是的三边，且，的形状是 ． 16．已知多项式A＝x2﹣x+(3)，若无论x取何实数，A的值都不是负数，则k的取值范围是 ． 17．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若，，则此三角形面积的最大值是 ． 18．已知,,若的值为2014,则n的值为 . 三、解答题 19．用配方法解下列方程： (1)． (2)． 20．用配方法解下列方程： (1)． (2)． 21．用配方法解下列方程： (1)． (2)． 22．用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 23．用配方法解下列方程： (1)． (2)． 24．阅读以下材料：配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式； 再例如：求代数式的最小值，．可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)代数式的最大值为________； (2)已知：，，求代数式的值． 25．综合与探究 【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】 （）请用上述方法比较下列代数式的大小（用“、、”填空）： ______； ______； （）试比较与与的大小，并说明理由； 【类比运用】 （）图（）是边长为的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加得到如图（）所示的长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图（）所示的大正方形，此正方形的面积为．请先判断与的大小关系，并说明理由． 26．教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：分解因式：． 解：原式 再如：求代数式的最小值． 解：， 当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：（应用配方法） (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)利用配方法，尝试求出等式中，的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 一般的一元二次方程的解法-配方法（九大题型） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（九大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、 学会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程； 2、 掌握用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程； 3、 了解配方法的应用。 Ⅰ、用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 一、情境导入，初步认识 前面我们已经学习了直接开平方法解一元二次方程，你会解下列一元二次方程吗？ （1）x2=5； （2）（x+2）2=5； （3）x2+12x+36=5. 第（3）题的左边是个什么式子？ 二、思考探究，获取新知 1.填上适当的数，使下列等式成立. （1）x2+6x+_____=（x+_____）2； （2）x2-6x+_____=（x-_____）2； （3）x2+6x+4=x2+6x+_____-_____+4=（x+_____）2-_____. 【答案】 （1）9 3（2）9 3（3）9 9 3 5 【方法规律】当二次项系数为1时，配方的关键就是加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使含未知数的项在一个完全平方式里. 2.解方程x2+4x=12 我们已知，如果把方程x2+4x=12写成（x+n）2=d的形式，那么就可以根据平方根的意义来求解.那么，如何将左边写成（x+n）2的形式呢？ 我们学过完全平方式，你能否将左边x2+4x添上一项使它成为一个完全平方式？请相互交流. 写出解题过程. 【方法规律】一般地，像上面这样，在方程x2+4x=12的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫作配方.配方、整理后就可以直接根据平方根的意义来求解了.这种解一元二次方程的方法叫作配方法. 3.用配方法解方程：x2+2x-1=0. 解：移项，得x2+2x=1. 配方，得x2+2x+=1+， 即（x+1）2=2. 开平方，得x+1=±. 解得x1=-1，x2=-1. 【方法规律】用配方法解一元二次方程时，应按照步骤严格进行，以免出错.配方添加时，记住方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方. Ⅱ、用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 一、情境导入，初步认识 如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个部分作为耕地，要使得耕地的面积为5000m2，道路的宽为多少？ 二、思考探究，获取新知 1.如何用配方法解方程25x2+50x-11=0呢？ 如果二次项系数为1，那就好办了！那么怎样将二次项的系数化为1呢？同伴之间可以相互交流. 试着写出解题过程. 2.通过上面配方法解一元二次方程的过程，你能总结用配方法解一元二次方程的步骤吗？ 【方法规律】用配方法解一元二次方程的步骤： （1）把方程化为一般形式ax2+bx+c=0； （2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边； （3）若方程的二次项系数不为1时，方程两边同时除以二次项系数a； （4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方； （5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解． 【方法规律】通过这一过程，学生发现能用直接开平方法求解的方程都可以转化成一般形式，一般形式的方程也能用配方法转化为可以直接开平方的形式，所以总结出解一元二次方程的基本思路是将一元二次方程转化为（x+n）2=d(d≥0)的形式. 三、运用新知，深化理解 1.解方程 （1）x2-10x+24=0； （2）(2x-1)(x+3)=5； （3）3x2-6x+4=0. 解：（1）移项，得x2-10x=-24， 配方，得x2-10x+25=-24+25， 由此可得(x-5)2=1， x-5=±1， ∴x1=6，x2=4； （2）整理，得2x2+5x-8=0， 移项，得2x2+5x=8， 二次项系数化为1得x2+x=4， 配方，得x2+x+()2=4+()2 (x+)2=， 由此可得x+=±， x1=，x2=； （3）移项，得3x2-6x=-4， 二次项系数化为1，得x2-2x=， 配方，得x2-2x+12=+12, (x-1)2= 因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x-1)2都是非负数，上式不成立，即原方程无实数根. Ⅲ、配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 特别说明： “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同时对后期学习二次函数有着重要的作用，同学们一定要把它学好． 题型1：配方法解一元二次方程 1．用配方法解一元二次方程，此方程可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后可得答案． 【解析】解：， ， 则， 即， 故选：A． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法． 2．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案． 【解析】解：∵， ∴，， 则，即， ∴，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． 3．关于y的方程，用 法解，得 ， ． 【答案】 配方 102 【分析】利用配方法解一元二次方程即可得． 【解析】， ， ， ， ， ， 故答案为：配方，102，． 【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程即可得，熟练掌握配方法是解题关键． 4．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（    ） A．化为 B．化为 C．化为 D．化为 【答案】B 【分析】根据配方的步骤计算即可解题． 【解析】 故B错误．且ACD选项均正确， 故选：B 【点睛】考查了用配方法解一元二次方程，配方步骤：第一步平方项系数化1；第二步移项，把常数项移到右边；第三步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第四步左边写成完全平方式；第五步，直接开方即可． 5．用配方法解方程，正确的是（    ） A． B． C．，原方程无实数解 D．，原方程无实数解 【答案】D 【分析】方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，变形后开方即可求出解． 【解析】方程移项得：x2-x=-1， 配方得：x2-x+=-，即（x-）2=-， 则原方程无实数解， 故选D． 【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 6．用配方法解方程ax2+bx+c＝0（a≠0），四个学生在变形时得到四种不同结果，其中配方正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据配方法的步骤：先把二次项系数化为1，然后把常数项移到右边，两边同时加上一次项系数的一半的平方，即可得到答案． 【解析】解：∵ ， ∴， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了配方法，解题的关键在于能够熟练掌握配方法． 7．用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】利用配方法求解即可． 【解析】（1）解：3x2−5x=2 移项得：x2-x=， 配方得：x2-x+=+， 合并得：（x-）2=， 解得：x1=+=2，x2=-=-； （2）解：x2+8x=9 配方得：x2+8x +16=9+16， 合并得：（x+4）2=25， 解得x1=1，x2=-9； （3）解：x2+12x−15=0 移项得：x2+12x+36=15+36， 配方得：（x+6）2=51 解得x1=-6＋，x2=-6- （4）解：x2−x−4=0 去分母得：， 移项得：， 配方得：x2-4 x+4=16+4， 合并得：（x-2）2=20， 解得：x1=2＋2，x2=2－2； （5）解：2x2+12x+10=0 系数化为1得：， 移项得：， 配方得：x2+6x+9=-5+9， 合并得：（x+3）2=4， 解得：x1=-1，x2=--5； （6）解：x2+px+q=0， 移项得：， 配方得：x2+px+=-q+， 合并得：(x+)2=， 解得x=． 【点睛】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟知配方法是解题的关键． 题型2：配方法的应用—求参数（范围） 8．珍珍将方程化为的形式时，得到p的值为2，q的值为6，则珍珍所得结果（    ） A．正确 B．不正确，p的值应为 C．不正确，q的值应为2 D．不正确，q的值应为4 【答案】B 【分析】本题考查配方法的应用．按照一移，二配，三变形的方法，进行配方后，判断即可．掌握配方法，是解题的关键． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴； ∴到p的值为，q的值为6， 故选B． 9．已知，，满足，，，则的值为（    ） A． B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】首先把，，，两边相加整理成，分解因式，利用非负数的性质得出、、的数值，代入求得答案即可． 【解析】解：，，， ， ， ，，， ． 故选：B． 【点睛】此题考查了配方法，解题的关键是掌握完全平方公式是解决问题的关键． 10．已知实数，，满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由变形得，代入中得到，再进行配方，根据非负数的性质即可得到答案． 【解析】 故选：A． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，涉及非负数的性质、偶次方，熟练运用上述知识是解题的关键． 题型3：配方法的应用—在二次根式中的应用 11．无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，即可求解． 【解析】解：∵，且无论x取任何实数，代数式都有意义， ∴， ∴． 故选：A 12．已知，则 【答案】20 【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b、c的值，代入所求代数式计算即可． 【解析】将等式整理配方, ∴ 则=0，=0，=0 ∵a-1≥0，b-2≥0，c-3≥0， ∴∴a=2，b=6，c=12， ∴a+b+c=20. 故填：20. 【点睛】此题主要考查配方法的应用，解题的关键是熟知完全平方公式的变形应用. 题型4：配方法的应用—在分式中的应用 13．若，则的值为（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】A 【分析】 本题考查了配方法的应用、已知式子的值，求代数式的值，先整理，以及把化为，再把，代入计算化简，即可作答． 【解析】解：∵ ∴， 则 把，代入上式，得 故选：A 14．关于代数式，有以下几种说法， ①当时，则的值为-4. ②若值为2，则. ③若，则存在最小值且最小值为0. 在上述说法中正确的是（　　） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】①将代入计算验证即可；②根据题意=2，解得a的值即可作出判断；③若a＞-2，则a+2＞0，则对配方，利用偶次方的非负性可得答案． 【解析】解：①当时， ． 故①正确； ②若值为2， 则， ∴a2+2a+1=2a+4， ∴a2=3， ∴． 故②错误； ③若a＞-2，则a+2＞0， ∴= = =≥0． ∴若a＞-2，则存在最小值且最小值为0． 故③正确． 综上，正确的有①③． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的加减法、分式的值的计算及最值问题等知识点，熟练运用相关公式及运算法则是解题的关键． 题型5：配方法的应用—比较代数式的大小 15．若M=2-12x+15，N=-8x+11，则M与N的大小关系为（　　） A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N 【答案】A 【解析】∵M=2-12x+15，N=-8x+11， ∴M-N= . ∵， ∴M-N0， ∴MN. 故选A. 点睛：比较两个含有同一字母的代数式的大小关系时，当无法直接比较两者的大小关系时，可以通过求出两者的“差”，再看“差”的值是“正数”、“负数”或“0”来比较两者的大小. 16．已知、是实数，，．则、的大小关系是（　　） A． B． C．＜ D．＞ 【答案】B 【分析】判断、的大小关系，把进行整理，判断结果的符号可得、的大小关系．考查了配方法的应用；关键是根据比较式子的大小进行计算；通常是让两个式子相减，若为正数，则被减数大；反之减数大． 【解析】解：， ，， ， ， 故选：B 题型6：配方法的应用—代数式的值恒大于（或小于）某数 17．代数式的值的值一定（    ） A．大于3 B．小于3 C．等于3 D．不小于1 【答案】D 【分析】利用配方法把所给代数式变形为，根据偶次方的非负性推出，由此即可得到答案． 【解析】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的值一定不小于1， 故选D． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确将所给代数式变形为是解题的关键． 18．不论x，y为什么数，代数式4x2+3y2+8x﹣12y+7的值（　　） A．总大于7 B．总不小于9 C．总不小于﹣9 D．为任意有理数 【答案】C 【分析】先将原式配方，然后根据偶次方的非负性质，判断出代数式的值总不小于−9即可． 【解析】解：4x2+3y2+8x﹣12y+7 ＝4x2＋8x＋4＋3y2−12y＋3 ＝4（x2＋2x＋1）＋3（y2−4y＋1） ＝4（x＋1）2＋3（y2−4y＋4−4＋1） ＝4（x＋1）2＋3（y−2）2−9， ∵（x＋1）2≥0，（y−2）2≥0， ∴4x2+3y2+8x﹣12y+7≥−9． 即不论x、y为什么实数，代数式4x2+3y2+8x﹣12y+7的值总不小于−9． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了配方法的应用，以及偶次方的非负性质的应用，要熟练掌握．解决本题的关键是掌握配方法． 题型7：配方法的应用—最值问题 19．已知与互为倒数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了倒数的定义，配方法的应用，由倒数的定义可得，进而得到，把代入，配方可得，再根据非负数的即可求出的最小值，由倒数的定义得到是解题的关键． 【解析】解：∵与互为倒数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 20．代数式的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先将原式变形为，再分解因式，然后根据配方法得到，然后利用非负数的性质即可求解． 【解析】解：原式 ， 当，时，原式有最小值， 此时最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查了因式分解，配方法的应用，以及非负数的性质，得出是解题的关键． 21．若，则x2+y2+z2可取得的最小值为（　　） A．3 B． C． D．6 【答案】B 【分析】设，把x，y，z用k的代数式表示，则x2+y2+z2转化为关于k的二次三项式，运用配方法求其最小值． 【解析】设， 则，，， ∴x2+y2+z2 =14k2+10k+6， ． 故最小值为：． 故选：B． 【点睛】本题考查了完全平方公式，配方法的应用，关键是把x2+y2+z2转化为关于k的二次三项式，运用配方法求其最小值． 22．阅读材料：数学课上，老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作这样的变形：，因为，所以，当时，，因此的最小值是1．类似地，代数式有（    ） A．最小值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最大值为 【答案】D 【分析】本题考查的是配方法的应用，把化为，再结合可得答案，掌握配方法的步骤与方法是解本题的关键． 【解析】解： ； ∵， ∴， ∴代数式有最大值． 故选D 题型8：配方法的应用—几何应用 23．的三边分别为、、，若，，按边分类，则是 三角形 【答案】等腰 【分析】将，代入中得到关系式，利用完全平方公式变形后，根据非负数的性质求出a与c的值，进而求出b的值，即可确定出三角形形状． 【解析】解：∵ ∴ ， ∴， ∴， 即， 整理得：， ∵，， ∴，即；，即， ∴， 则△ABC为等腰三角形． 故答案是：等腰． 【点睛】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及等腰三角形的判定，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 24．如果一个三角形的三边均满足方程，则此三角形的面积是 【答案】 【解析】解方程：，得 ， ∴. ∵一个三角形的三边均满足方程 ， ∴此三角形是以5为边长的等边三角形， ∴三角形的面积=°=. 故答案是：. 25．已知三角形的三条边为，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是（    ） A．c＞8 B．5＜c＜8 C．8＜c＜13 D．5＜c＜13 【答案】C 【分析】先利用配方法对含a的式子和含有b的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a和b的值，然后根据三角形的三边关系可得答案． 【解析】解：∵a2-10a+b2-16b+89=0， ∴（a2-10a+25）+（b2-16b+64）=0， ∴（a-5）2+（b-8）2=0， ∵（a-5）2≥0，（b-8）2≥0， ∴a-5=0，b-8=0， ∴a=5，b=8． ∵三角形的三条边为a，b，c， ∴b-a＜c＜b+a， ∴3＜c＜13． 又∵这个三角形的最大边为c， ∴8＜c＜13． 故选：C． 【点睛】本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键． 题型9：配方法的应用—新定义题 26．新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”，现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是（   ） A．2023 B．2024 C．2018 D．2019 【答案】D 【分析】本题考查了配方法的应用，一元二次方程的定义，理解题目中的新定义是解题的关键；利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【解析】与是“同族二次方程”， ， ， ，解得：， ， 当时，能取的最小值是2019， 故选：． 一、单选题 1．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可做出判断． 【解析】解：， 移项得：， 配方得：， 整理得：， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 2．小明解方程的过程如图所示，他在解答过程中开始出错的步骤是（    ） 解：……① ……② ……③ ，…④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】根据配方法解一元二次方程即可确定出错的步骤． 【解析】解：出错的步骤是③， 应该是在②步的基础上，两边同时加上4， 得， 故选：C． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键． 3．方程的左边是一个完全平方式，则m等于（　 ） A． B．或4 C．或 D．4 【答案】B 【分析】根据完全平方式的结构，而，即可求解． 【解析】解：根据题意得：， 解得， 故选：B． 【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 4．下列各式：①；②；③；④；⑤变形中，正确的有（    ） A．①④ B．① C．④ D．②④ 【答案】A 【分析】利用配方法进行变形，逐个判断 【解析】解：；①正确 ，②错误； ，③错误； ，④正确 ，⑤错误 故选：A． 【点睛】本题考查配方法的应用，掌握配方法的步骤正确计算是本题的解题关键． 5．某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤即可得出结果． 【解析】解： ∴ 解得：, 丁同学是错的， 故选：D． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 6．将一个关于x的一元二次方程配方为，若是该方程的两个根，则p的值是（    ） A．2 B．4 C． D．3 【答案】D 【分析】继续解一元二次方程即可求解． 【解析】解：将一个关于x的一元二次方程配方为， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键． 7．代数式的最小值为（    ）． A． B．0 C．3 D．5 【答案】A 【分析】利用配方法对代数式做适当变形，通过计算即可得到答案． 【解析】代数式 ∵， ∴即代数式， 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式和不等式的知识；解题的关键是熟练掌握完全平方公式和不等式的性质，从而完成求解． 8．对于方程，下列各配方式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方得出即可． 【解析】解： ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的正确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 9．若，则p的最小值是（    ） A．2021 B．2015 C．2016 D．没有最小值 【答案】C 【分析】将等式右边分组，配成两个完全平方式，即可根据平方的非负性进行解答． 【解析】解： ， ∵，， ∴p的最小值为2016， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，解题的关键是将原式分组配方． 10． 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用． 例：已知x可取任何实数，试求二次三项式的值的范围． 解： ． ∵无论x取何实数，总有，∴． 即无论x取何实数，的值总是不小于的实数． 问题：已知x可取任何实数，则二次三项式的最值情况是（ ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值1 D．有最小值1 【答案】C 【分析】把化为，再利用非负数的性质可得答案． 【解析】解： ； ∵， ∴，即代数式有最大值为1． 故选C 【点睛】本题考查的是利用配方法求解代数式的最值，熟记配方法的步骤是解本题的关键． 二、填空题 11．将一元二次方程变形为的形式为 【答案】 【分析】将方程常数项移到方程右边，左右两边都加上，左边化为完全平方式，右边合并即可得到所求的结果． 【解析】解： 移项得 ， 配方得，即 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移到方程右边，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个常数，开方即可求出解． 12．方程的解是 ． 【答案】 【分析】利用配方法解方程即可． 【解析】解： ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了利用配方法解一元二次方程，正确掌握配方的方法是解题的关键． 13．将化成的形式 ． 【答案】 【分析】原式提取，利用完全平方公式配方即可得到结果． 【解析】解：原式＝ ＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方的方法是解答本题的关键． 14．若x2+4x+6＝（x+1）2+a（x+1）+b，则2a+b＝ ． 【答案】7 【分析】利用配方法得到x2+4x+6＝x2+2x+1+2x+2+3＝（x+1）2+2（x+1）+3，然后利用已知的等量关系可确定a、b、c的值． 【解析】解：x2+4x+6＝x2+2x+1+2x+2+3＝（x+1）2+2（x+1）+3， 而x2+4x+6＝（x+1）2+a（x+1）+b， 所以a＝2，b＝3， 故2a+b＝2×2+3＝7． 故答案为：7． 【点评】本题考查了配方法的应用：理解配方法的理论依据是公式a2+2ab+b2＝（a+b）2是解题的关键． 15．已知：a、b、c是的三边，且，的形状是 ． 【答案】直角三角形 【分析】等式配方成，利用非负数性求得a、b、c的长，再利用勾股定理的逆定理即可求解． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴的形状是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 【点睛】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 16．已知多项式A＝x2﹣x+(3)，若无论x取何实数，A的值都不是负数，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据配方法可进行求解． 【解析】解：∵A＝x2﹣x+（3）＝x2﹣x+（3）＝（x）2（3）， 若x取任何实数，A的值都不是负数， ∴（3）≥0， 解得：； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键． 17．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若，，则此三角形面积的最大值是 ． 【答案】 【分析】根据公式算出a+b的值，代入公式，根据完全平方公式的变形即可求出解． 【解析】解：∵，p=3，c=2， ∴， ∴a+b=4， ∴a=4−b， ∴ ∴当b=2时，S有最大值为． 【点睛】本题考查了二次根式与完全平方公式的应用，解答本题的关键是明确题意，表示出相应的三角形的面积． 18．已知,,若的值为2014,则n的值为 . 【答案】8或 【分析】首先把变形为,再根据值为2014可得,再利用直接开平方法解方程即可. 【解析】解：, , , , , . , ,, 解得：,, 故答案为8或. 【点睛】此题主要运用直接开平方法解一元二次方程,以及求代数式的值,关键是正确利用完全平方公式把变形. 三、解答题 19．用配方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据配方法解一元二次方程； （2）根据配方法解一元二次方程即可求解． 【解析】（1）解：， ， 即， ∴， 解得：； （2）解：， ， 即， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 20．用配方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将二次项系数化为1，然后按照配方法解一元二次方程； （2）先将二次项系数化为1，然后按照配方法解一元二次方程即可求解． 【解析】（1）解：， ， ∴， 即， ∴， 解得:； （2）解：， ， ， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键． 21．用配方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把二次项系数化为1，再根据题意，利用配方法解一元二次方程； （2）先化为一般形式，然后根据题意，利用配方法解一元二次方程即可求解． 【解析】（1）解： 二次项系数化为1，， ， ∴， ∴， 解得：； （2）解：， 化为一般形式，， 二次项系数化为1，， ， 即， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键． 22．用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据题意，利用配方法解一元二次方程； （2）根据题意，利用配方法解一元二次方程； （3）根据题意，利用配方法解一元二次方程； （4）根据题意，利用配方法解一元二次方程即可求解． 【解析】（1）解：， ， ， ∴， 解得：； （2）解：， ， 即， ∴， 解得：； （3）解：， ∴， ∴， 即， 解得：； （4）解：， ， ， ， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键． 23．用配方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1） 先化简，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得； （1） 先化简，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得． 【解析】（1） 或 ，． （2）化成 即 ， 【点睛】考查解一元二次方程-配方法，解题关键是掌握配方法的步骤：①将常数项移到方程的右侧．②将二次项系数化为1．③结合直接开方法求解． 24．阅读以下材料：配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式； 再例如：求代数式的最小值，．可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)代数式的最大值为________； (2)已知：，，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解的应用、非负数的性质、完全平方公式的应用， （1）先配方，然后根据完全平方式的非负性求最大值即可； （2）由完全平方公式可得，代入可得，然后由完全平方式的非负性可得，，即可得解． 掌握非负数性质及完全平方公式是解题的关键，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值． 【解析】（1）解：∵ ， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴代数式的最大值为， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴代数式的值为． 25．综合与探究 【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】 （）请用上述方法比较下列代数式的大小（用“、、”填空）： ______； ______； （）试比较与与的大小，并说明理由； 【类比运用】 （）图（）是边长为的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加得到如图（）所示的长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图（）所示的大正方形，此正方形的面积为．请先判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】（），；（），理由见解析；（），理由见解析． 【分析】（）利用作差法即可求解； （）利用作差再结合配方法法即可求解； （）利用作差即可求解； 本题考查了整式和实数的大小比较，掌握作差法是解题的关键． 【解析】（）∵， ∴， 故答案为：； ∵， ∴， 故答案为：； （）． 理由如下： ， ∵， ∴， ∴； （），理由如下： ∵，， ∴， ∴． 26．教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：分解因式：． 解：原式 再如：求代数式的最小值． 解：， 当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：（应用配方法） (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)利用配方法，尝试求出等式中，的值． 【答案】(1) (2)当时，多项式有最大值，最大值是7 (3)， 【分析】本题考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握利用配方法和分组法分解因式． （1）利用配方法，把所求整式写成一个完全平方式和一个常数差的形式，再利用平方差公式进行分解因式即可； （2）利用配方法把所求整式写成一个完全平方式与一个常数和的形式，然后根据偶次方的非负性，求出答案即可； （3）利用分组法把等式的左边分解因式，然后根据偶次方非负性，列出关于的方程，求出的值即可． 【解析】（1）解：原式； （2）解：， ， 当时，多项式有最大值，最大值是7； （3）解：， ， ， ，， 解得，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$