2.2 圆-垂径定理（知识解读+达标检测）-2024-2025学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（苏科版）

2.2 圆-垂径定理 【考点1 利用垂径定理求值】 【考点2 利用垂径定理求平行弦问题】 【考点3 利用垂径定理求同心圆问题】 【考点4 利用垂径定理求解其他问题】 【考点5 垂径定理的实际应用】 【考点6 利用弧、弦、圆心角的关系求解】 【考点7利用弧、弦、圆心角的关系求证】 知识点1 垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； 2） 有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分 知识点2 垂径定理的应用 经常为未知数，结合方程于勾股定理解答 【考点1 利用垂径定理求值】 【典例1】如图是高铁隧道的横截面，它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面米，净高米，则的长为 ． 【变式1-1】如图，为的直径，弦于点E，已知，则的半径为 ． 【变式1-2】如图，的半径为，弦的长是，，垂足为，则的长为 ． 【变式1-3】如图，古人在计算残缺的不确定圆心的圆形物件的半径时，会采用以下的方法：在圆上找两点A，B，连接并确定的中点C，弧的中点D．若测得为20分米，为5分米，则半径为 分米． 【考点2 利用垂径定理求平行弦问题】 【典例2】⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【变式2-1】已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 【变式2-2】已知的直径为， ，是的两条弦，，，，则与之间的距离为 cm． 【变式2-3】在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是 ． 【考点3 利用垂径定理求同心圆问题】 【典例3】如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．    (1)求证：； (2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 【变式3-1】如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（ ）cm A．5 B．4 C． D． 【变式3-2】如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点． (1)求证：． (2)若，大圆的半径，求小圆的半径r． 【变式3-3】已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）． 求证：AC=BD． 【考点4 利用垂径定理求解其他问题】 【典例4】如图，的两条弦、互相垂直，垂足为E，且．    (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【变式4-1】如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点、、． (1)用直尺画出该圆弧所在圆的圆心的位置，点坐标为______； (2)求圆半径的长度； (3)若点的坐标为，请通过计算说明点与圆的位置关系． 【变式4-2】如图，的两条弦、互相垂直，垂足为E，且．    (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【变式4-3】如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点、、． (1)用直尺画出该圆弧所在圆的圆心的位置，点坐标为______； (2)求圆半径的长度； (3)若点的坐标为，请通过计算说明点与圆的位置关系． 【考点5 垂径定理的实际应用】 【典例5】“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造． 如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距离）． (1)求该圆的半径； (2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？ 【变式5-1】如图1，圆形拱门是中国古典园林建筑元素之一，圆形拱门有着圆满、完美的美好寓意、 (1)在图2中作出拱门中圆弧的圆心（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)已知拱门高（优弧中点到的距离），，，求拱门的圆弧半径． 【变式5-2】小勇要帮助船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面宽度时，拱顶高出水平面，货船宽，船舱顶部为矩形并高出水面．请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由． 【变式5-3】如图，隧道的截面由圆弧和矩形构成，矩形的长为，宽为，隧道的顶端E（圆弧的中点）高出道路（）．    (1)求圆弧所在圆的半径； (2)如果该隧道内设双行道，现有一辆超高货运卡车高，宽，通过计算问这辆货运卡车能否通过该隧道，写出理由． 【考点6 利用弧、弦、圆心角的关系求解】 【典例6】如图，在中，弦是直径，点，是上的两点，连接，，且满足．    (1)若的度数为，求的度数． (2)求证：． (3)连接，若，，求的长． 【变式6-1】如图，点A，B，C在上，顺次连结，，，且，， (1)求的度数； (2)若的半径为3．求的面积． 【变式6-2】如图，已知圆O的弦与直径交于点，且平分． (1)已知，，求圆O的半径； (2)如果，求弦所对的圆心角的度数． 【变式6-3】如图，在中，，以点C为圆心，长为半径的与相交于点．    (1)若弧的度数为，则______°； (2)若，，求线段的长． 【考点7利用弧、弦、圆心角的关系求证】 【典例7】如图，半圆中，点是的中点，点在直径上，且，半径交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式7-1】如图，在中，是直径，且交圆于，求证：． 【变式7-2】如图，在中，，求证：． 【变式7-3】是的弦，半径、分别交于点E、F，且，连接、． (1)求证：； (2)求证：． 1．如图，在半径为5的中，弦与弦互相垂直，垂足为点E，如果，那么的长为（   ） A． B．3 C．4 D． 2．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，为的直径，弦于点E，寸，寸，则的长为（    ） A．26寸 B．13寸 C．24寸 D．12寸 3．如图，把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若，则截面的半径等于（    ） A． B． C． D． 4．如图，是⊙的弦，且，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，的半径为，点为上一点，连接，以为一条直角边，使，，交于点，则的长为（    ）    A． B． C． D． 6．一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存有一些水（阴影部分），测得水面宽，水的最大深度，则此管件的直径为 ． 7．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则该圆弧的半径 ． 8．如图，在墙壁中埋着一个未知半径的圆柱形木材，现用锯子去锯这个木材，锯口深cm，锯道cm，则这根圆柱形木材的半径是 cm． 9．如图，已知是半圆O的直径，弦，，弦与之间的距离为3，则 ． 10．陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为 11．如图，、是的两条弦，与相交于点E，． (1)求证：； (2)连接 作直线求证：． 12．如图，以的边上一点为圆心的圆，经过、两点，且与边交于点，为的下半圆弧的中点，连接交于，若． (1)连接，求证：； (2)若，，求的半径． 13．如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 14．如图，是的直径，为上的点，且，过点作于点． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径长． 15．如图，某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽为，离地面的高度，拱顶最高处C离地面的高度为．若在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等，都为． (1)求圆弧形拱顶的半径的长度； (2)求的长度． 16．如图1，，是的弦，且，连接，． (1)求证：； (2)如图2，连接，若，，，求的半径． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2 圆-垂径定理 【考点1 利用垂径定理求值】 【考点2 利用垂径定理求平行弦问题】 【考点3 利用垂径定理求同心圆问题】 【考点4 利用垂径定理求解其他问题】 【考点5 垂径定理的实际应用】 【考点6 利用弧、弦、圆心角的关系求解】 【考点7利用弧、弦、圆心角的关系求证】 知识点1 垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； 2） 有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分 知识点2 垂径定理的应用 经常为未知数，结合方程于勾股定理解答 【考点1 利用垂径定理求值】 【典例1】如图是高铁隧道的横截面，它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面米，净高米，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 根据垂径定理可得，用半径表示出，再根据勾股定理即可得到答案． 【详解】解：设半径为r， ∵且经过点， ， ， ， 在中根据勾股定理可得，， 解得：． ∴， 故答案为：5． 【变式1-1】如图，为的直径，弦于点E，已知，则的半径为 ． 【答案】5 【分析】本题考查的是垂径定理、勾股定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 连接，设的半径为，根据垂径定理求出，根据勾股定理列式计算，得到答案． 【详解】解：连接， 设的半径为，则， ∵为的直径， ， 由勾股定理得，， 即， 解得，， 则的半径为5， 故答案为：5． 【变式1-2】如图，的半径为，弦的长是，，垂足为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，和勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先根据垂径定理得出，再用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵弦的长是，， ∴， 又∵半径为，， ∴， ∴， 故答案为． 【变式1-3】如图，古人在计算残缺的不确定圆心的圆形物件的半径时，会采用以下的方法：在圆上找两点A，B，连接并确定的中点C，弧的中点D．若测得为20分米，为5分米，则半径为 分米． 【答案】12.5 【分析】本题考查圆的基本性质，勾股定理的应用，解题的关键是掌握圆的基本性质，勾股定理的应用，根据题意，垂直平分，则圆心在上，连接，设半径分米，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：点为弦的中点，点D为弧的中点， ∴垂直平分，则圆心在上，则分米， 连接， 设半径分米，分米， 在中，，即：， 解得：， 即：半径为12.5分米， 故答案为：12.5． 【考点2 利用垂径定理求平行弦问题】 【典例2】⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用．作于E，于F，由垂径定理得，由于，易得E、O、F三点共线，在和中，利用勾股定理分别计算出与，然后讨论：当圆心O在弦与之间时，与的距离；当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 【详解】解：如图，作于E，于F，连， 则， ∵， ∴E、O、F三点共线， 在中，， 在中，， 当圆心O在弦与之间时，与的距离； 当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 所以与的距离是14或2． 故选：C． 【变式2-1】已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 【答案】B 【分析】由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：①当和位于圆心同侧时和②当和位于圆心异侧时，即可求解． 【详解】解：分类讨论：①当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点O作于点E，交于点F．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是2； ②当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点O作于点P，延长交于点Q．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是14． 综上可知AB与CD间的距离是2或14． 故选B． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解题关键是分两种情况讨论，作辅助线构造直角三角形． 【变式2-2】已知的直径为， ，是的两条弦，，，，则与之间的距离为 cm． 【答案】2或14 【分析】作于E，延长交于F，连接、，如图，利用平行线的性质，根据垂径定理得到，，则利用勾股定理可计算出，，讨论：当点O在与之间时，；当点O不在与之间时，． 【详解】解：作于E，延长交于F，连接、，如图       ∵，， ∴， ∴， ， 在中，， 在中，， 当点O在与之间时，如图1，， 当点O不在与之间时，如图2，， 故答案为：2或14． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论． 【变式2-3】在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是 ． 【答案】2或14 【分析】由于弦与的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦与在圆心同侧；②弦与在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：①当弦与在圆心同侧时，如图①，    过点O作，垂足为F，交于点E，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：，， ∴； ②当弦与在圆心异侧时，如图，    过点O作于点E，反向延长交于点F，连接， 同理，， ， 所以与之间的距离是2或14． 故答案为：2或14． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 【考点3 利用垂径定理求同心圆问题】 【典例3】如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．    (1)求证：； (2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，利用垂径定理构造直角三角形从而利用勾股定理求解是解题的关键． （1）过O作于点E，由垂径定理可得，，再用等式的性质即可得证； （2）连接、，利用垂径定理求出，在中，由勾股定理求出，然后在中，利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明：过O作于点E，如图， 由垂径定理可得，， ∴， ∴； （2）解：连接、，如图，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴在中，， ∴，即小圆的半径r为 【变式3-1】如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（ ）cm A．5 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】解： O为圆心的两个同心圆的圆心，大圆的弦AB与小圆相切于C点， C点是AB的中点，即AC=BC==6； 并且OC⊥AB，在中， 由勾股定理得， 所以；AO=8cm， 所以， 所以OC= 故选： 【点睛】本题考查弦心距，勾股定理，解答本题要求考生掌握弦心距的概念和性质，熟悉勾股定理的内容. 【变式3-2】如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点． (1)求证：． (2)若，大圆的半径，求小圆的半径r． 【答案】(1)证明见解析 (2)小圆的半径r为 【分析】（1）过O作于点E，由垂径定理可知E为和的中点，则可证得结论； （2）连接，由条件可求得的长，则可求得和的长，在中，利用勾股定理可求得的长，在中可求得的长； 【详解】（1）证明：过O作于点E，如图1， 由垂径定理可得 ∴ ∴ （2）解：连接，如图2， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， 在中，由勾股定理可得 ∴，即小圆的半径r为． 【点睛】本题考查了垂径定理与勾股定理的知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法． 【变式3-3】已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）． 求证：AC=BD． 【答案】证明见解析. 【分析】过圆心O作OE⊥AB于点E，根据垂径定理得到AE=BE，同理得到CE=DE，又因为AE-CE=BE-DE，进而求证出AC=BD． 【详解】过O作OE⊥AB于点E， 则CE=DE，AE=BE， ∴BE-DE=AE-CE. 即AC=BD. 【点睛】本题考查垂径定理的实际应用． 【考点4 利用垂径定理求解其他问题】 【典例4】如图，的两条弦、互相垂直，垂足为E，且．    (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作于点M，作于点N，证明四边形为矩形，可得，，，可得，证明四边形是正方形，可得．证明，从而可得结论； （2）连接，求解，可得，可得，再由勾股定理可得答案. 【详解】（1）证明：作于点M，作于点N， 又∵， ∴四边形为矩形， ∵，，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴即． （2）连接，        由（1）可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴⊙O的半径为． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，矩形，正方形的判定与性质，垂径定理的应用，弦，弧，弦心距之间的关系，熟记圆的基本性质是解本题的关键. 【变式4-1】如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点、、． (1)用直尺画出该圆弧所在圆的圆心的位置，点坐标为______； (2)求圆半径的长度； (3)若点的坐标为，请通过计算说明点与圆的位置关系． 【答案】(1)作图见解析， (2) (3)点在圆外 【分析】（1）根据垂径定理，连接，，作的垂直平分线，作的垂直平分线，直线与直线的交点即为点； （2）由（1）可得，设直线与线段的交点为，连接，在中，运用勾股定理即可求得圆半径的长度； （3）根据，，求得，由圆半径的长度为，可得点在圆外． 【详解】（1）解：如图1，连接，，作的垂直平分线，作的垂直平分线，直线与直线的交点即为点， 则． （2）解：如图2，由（1）可得，设直线与线段的交点为，连接， ∵，，， ∴， ∴， 故圆半径的长度为． （3）解：∵圆心，， ∴， ∵圆半径的长度， 又∵， ∴点在圆外． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，勾股定理、点与圆的位置关系，熟练掌握圆的基本概念与性质是解题的关键． 【变式4-2】如图，的两条弦、互相垂直，垂足为E，且．    (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作于点M，作于点N，证明四边形为矩形，可得，，，可得，证明四边形是正方形，可得．证明，从而可得结论； （2）连接，求解，可得，可得，再由勾股定理可得答案. 【详解】（1）证明：作于点M，作于点N， 又∵， ∴四边形为矩形， ∵，，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴即． （2）连接，        由（1）可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴⊙O的半径为． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，矩形，正方形的判定与性质，垂径定理的应用，弦，弧，弦心距之间的关系，熟记圆的基本性质是解本题的关键. 【变式4-3】如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点、、． (1)用直尺画出该圆弧所在圆的圆心的位置，点坐标为______； (2)求圆半径的长度； (3)若点的坐标为，请通过计算说明点与圆的位置关系． 【答案】(1)作图见解析， (2) (3)点在圆外 【分析】（1）根据垂径定理，连接，，作的垂直平分线，作的垂直平分线，直线与直线的交点即为点； （2）由（1）可得，设直线与线段的交点为，连接，在中，运用勾股定理即可求得圆半径的长度； （3）根据，，求得，由圆半径的长度为，可得点在圆外． 【详解】（1）解：如图1，连接，，作的垂直平分线，作的垂直平分线，直线与直线的交点即为点， 则． （2）解：如图2，由（1）可得，设直线与线段的交点为，连接， ∵，，， ∴， ∴， 故圆半径的长度为． （3）解：∵圆心，， ∴， ∵圆半径的长度， 又∵， ∴点在圆外． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，勾股定理、点与圆的位置关系，熟练掌握圆的基本概念与性质是解题的关键． 【考点5 垂径定理的实际应用】 【典例5】“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造． 如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距离）． (1)求该圆的半径； (2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？ 【答案】(1)该圆的半径为5米 (2)水面上涨的高度为1米 【分析】此题考查勾股定理，垂径定理． （1）过O作于点C，交于点D，根据垂径定理有米，设圆的半径为r米，则米，（米）， 在中，根据勾股定理即可构造方程，求解即可； （2）设水面升到如图，过点O作于点，交于点，根据垂径定理有米，在中，根据勾股定理求得米，则米，从而可求出水面上涨的高度． 【详解】（1）解：过O作于点C，交于点D，则， ∴（米） 设圆的半径为r米，则米，（米）， 在中，， 即， 解得， ∴该圆的半径为5米； （2）设水面升到如图，过点O作于点，交于点， ∴（米）， ∵的半径为5米， ∴米 ∴在中，（米）， ∴（米）， ∴水面上涨的高度为（米）． 【变式5-1】如图1，圆形拱门是中国古典园林建筑元素之一，圆形拱门有着圆满、完美的美好寓意、 (1)在图2中作出拱门中圆弧的圆心（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)已知拱门高（优弧中点到的距离），，，求拱门的圆弧半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，矩形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质及勾股定理是解题的关键， （1）在拱门上找任意一点，分别与相连，并做垂直平分线，利用垂径定理可确定圆心的位置； （2）先证四边形是矩形，设，再根据勾股定理求得的值，即可得到拱门的圆弧半径． 【详解】（1）解：如图，点即为所求， （2）解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， 过点 作于， 交优弧于点， 交于， 则 ，，， 设， 则， ， 在中，， ∴， ， 解得， ∴拱门的圆弧半径为． 【变式5-2】小勇要帮助船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面宽度时，拱顶高出水平面，货船宽，船舱顶部为矩形并高出水面．请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由． 【答案】此货船不能顺利通过这座拱桥，理由见解析 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理和矩形的性质，能求出圆的半径长度是解此题的关键． 设船舱顶部为矩形，交于，连接，，设的半径为，则，，根据垂径定理得出，，，根据矩形的性质得出，在中，根据勾股定理得出，求出，再在中，根据勾股定理求出，求出，再比较大小即可． 【详解】解：此货船不能顺利通过这座拱桥， 理由是：设船舱顶部为矩形，交于，连接，，设的半径为，则，， 四边形是矩形， ∴， ， ， 过圆心，， ，，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即，， 在中，， ， 此货船不能顺利通过这座拱桥． 【变式5-3】如图，隧道的截面由圆弧和矩形构成，矩形的长为，宽为，隧道的顶端E（圆弧的中点）高出道路（）．    (1)求圆弧所在圆的半径； (2)如果该隧道内设双行道，现有一辆超高货运卡车高，宽，通过计算问这辆货运卡车能否通过该隧道，写出理由． 【答案】(1) (2)这辆货运卡车不能通过该隧道，理由见解析 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理的实际应用，矩形的性质，熟练掌握垂径定理是解题关键． （1）设圆心为点O，半径为，根据垂径定理得到，再求出，在中，由勾股定理建立方程，解方程即可得到答案； （2）如图，在上取点，且使，过作交于点，连接，利用勾股定理的长，然后与车宽进行大小比较即可． 【详解】（1）解：如图，设圆弧所在圆的圆心为点O，半径为，连接交于点F，连接，    由垂径定理得：垂直平分， 四边形是矩形，，点E到的距离为 ，， ，， 在中，由勾股定理得， ∴ 解得 ∴所在圆的半径为； （2）解：这辆货运卡车不能通过该隧道，理由如下： 如图，在上取点，且使，过作交于点，连接，    依题意，圆弧所在圆的半径为，到的距离为，则点到的距离为， ∴点到的距离为， 在中，， ∵ ∴这辆货运卡车不能通过该隧道． 【考点6 利用弧、弦、圆心角的关系求解】 【典例6】如图，在中，弦是直径，点，是上的两点，连接，，且满足．    (1)若的度数为，求的度数． (2)求证：． (3)连接，若，，求的长． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了圆心角、弦、弧之间的关系，三角形内角和定理，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，根据弧的度数求出，再利用等边对等角结合三角形内角和定理即可得出的度数； （2）利用平行线的性质可得，，结合从而得出，即可得证； （3）连接，交于点，先根据勾股定理得出，再利用勾股定理求出，最后再利用勾股定理进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解：连接，   ， 的度数为， ， ， ； （2）证明：， ，， 又∵， ， ； （3）解：连接，交于点，   ， 弦是直径， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【变式6-1】如图，点A，B，C在上，顺次连结，，，且，， (1)求的度数； (2)若的半径为3．求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆中弧、弦、角的关系，垂径定理以及勾股定理等知识点，掌握相关结论即可． （1）根据即可求解； （2）求出的度数可得，过点作交于点连接，分别求出即可求解． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：， ， ， 如图，过点作交于点连接， 则过， 由（1）可得． ∴， ∵的半径为3， ∴， ∴， ∴ 【变式6-2】如图，已知圆O的弦与直径交于点，且平分． (1)已知，，求圆O的半径； (2)如果，求弦所对的圆心角的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，如图，设的半径为，则，，先根据垂径定理得到，，在中利用勾股定理得到，然后解方程即可； （2）连接，如图，先利用得到，即，再利用正弦的定义得到，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）解：连接，如图，设的半径为，则，， 平分， ，， 在中，， 解得， 即的半径为； （2）连接，如图， ， ， 即， ， ， 在中，， ， ， ， ， 即弦所对的圆心角的度数为． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和勾股定理． 【变式6-3】如图，在中，，以点C为圆心，长为半径的与相交于点．    (1)若弧的度数为，则______°； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)35 (2) 【分析】（1）先求得，再利用等边对等角以及三角形内角和定理求得，据此即可求解； （2）作于，由垂径定理和勾股定理求得，，利用等积法求得的长，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵弧的度数为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：35； （2）解：作于，如图，    由垂径定理得， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【考点7利用弧、弦、圆心角的关系求证】 【典例7】如图，半圆中，点是的中点，点在直径上，且，半径交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，垂径定理和勾股定理，正确的作出辅助线和熟练掌握这些定理是解题的关键． （1）连接，交于点，根据圆周角定理得，根据垂径定理得，所以，所以，再根据，所以，即可得出结论； （2）根据勾股定理求出，，所以，所以． 【详解】（1）证明：如图，连接，交于点， 是半圆的直径， ， ， 是 的中点，是半径， ， ∴， ， ， ， ， ； （2）解：，， ，， ，， 在中，， 是半径且， ， 在中，， ， 在中，． 【变式7-1】如图，在中，是直径，且交圆于，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、弧与圆心角关系． 连接，根据平行线的性质得出，，再根据等边对等角得出，然后根据等量代换得出，最后根据弧与圆心角关系即可得证． 【详解】证明：连接， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ． 【变式7-2】如图，在中，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了同圆或等圆中等弧所对的弦相等．熟练掌握弧与弦的关系是解题的关键． 根据同圆或等圆中等弧所对的弦相等进行证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∴． 【变式7-3】是的弦，半径、分别交于点E、F，且，连接、． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明过程见详解； (2)证明过程见详解． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能熟记等腰三角形的性质(等腰三角形顶角的平分线，底边的中线，底边上的高互相重合)是解此题的关键． (1)过O作于M，根据等腰三角形的性质求出，，再求出答案即可； (2)根据等腰三角形的性质求出，求出，再求出答案即可． 【详解】（1）证明：过O作于M， （2）证明：， ， ， 1．如图，在半径为5的中，弦与弦互相垂直，垂足为点E，如果，那么的长为（   ） A． B．3 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是正方形的判定与性质，垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练的应用垂径定理求值是解本题的关键．如图，连接 过作于 过作于 再利用垂径定理求解 再证明四边形是正方形，再利用勾股定理可得答案． 【详解】解：如图，连接 过作于 过作于 四边形是正方形， 故选A． 2．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，为的直径，弦于点E，寸，寸，则的长为（    ） A．26寸 B．13寸 C．24寸 D．12寸 【答案】A 【分析】此题考查了学生对垂径定理的运用与掌握，注意利用圆的半径，弦的一半及弦心距所构成的直角三角形来解决实际问题，连接构成直角三角形，先根据垂径定理，由垂直得到点E为的中点，由可求出的长，再设出设圆O的半径的长为x，表示出，根据勾股定理建立关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即为圆的半径，把求出的半径代入即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵ ∴， 设圆O的半径的长为x，则， ∵， ∴， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ，化简得：， 即， 解得：， ∴（寸）． 故选：A． 3．如图，把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若，则截面的半径等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用、矩形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，设球的平面投影圆心为O，过点O作于点N，延长交于点M，连接由垂径定理得设，则，然后在中，由勾股定理求出的长即可， 【详解】解：设球的平面投影圆心为O，过点O作于点N，延长交于点M，连接，如图所示∶ 则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， ∴ 在中，由勾股定理得∶ ， 即∶’， 解得∶ 即截面的半径长是． 故选∶C． 4．如图，是⊙的弦，且，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系求出，再根据等腰三角形的性质求解即可．此题考查了圆心角、弧的关系，熟练掌握圆心角、弧的关系是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D 5．如图，的半径为，点为上一点，连接，以为一条直角边，使，，交于点，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，三角形的面积，勾股定理，过点作于，由垂径定理得，由勾股定理得，利用三角形的等面积法求得，再由勾股定理得，进而得，最后根据线段的和差关系即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，则，，    ∵的半径为， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6．一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存有一些水（阴影部分），测得水面宽，水的最大深度，则此管件的直径为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．连接，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示：    由题意知，， ∵， ∴， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ∴此管件的直径为， 故答案为：． 7．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则该圆弧的半径 ． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”． 根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心．再利用网格与勾股定理求解即可． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，连接， ， 故答案为：． 8．如图，在墙壁中埋着一个未知半径的圆柱形木材，现用锯子去锯这个木材，锯口深cm，锯道cm，则这根圆柱形木材的半径是 cm． 【答案】10 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理的应用．设圆心为，连接，依题得，为的中点，则三点共线，，设圆的半径为，由，则，再用勾股定理列出等量关系求解即可． 【详解】解：如图，设圆心为，连接， 依题得，为的中点 则三点共线， 设圆的半径为，由，则 在中，由勾股定理得 解得． 故答案为：10． 9．如图，已知是半圆O的直径，弦，，弦与之间的距离为3，则 ． 【答案】10 【分析】过点O作，连接,则，结合，弦与之间的距离为3，得到，利用勾股定理，得，解答即可． 本题考查了圆的性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】过点O作，连接，则， ∵，弦与之间的距离为3， ∴， ∴， ∴． 故答案为：10． 10．陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为 【答案】/13厘米 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，设的半径为，列出关于的方程是解题的关键．首先利用垂径定理的推论得出，，再设的半径为，则．在中根据勾股定理列出方程，求出即可． 【详解】解： 是的一部分，是的中点，， ，． 设的半径为，则． 在中，， ， ， ， 即的半径为． 故答案为． 11．如图，、是的两条弦，与相交于点E，． (1)求证：； (2)连接 作直线求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，利用弧、弦、圆心角的关系求证，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据利用弧、弦、圆心角的关系得出，则； （2）因为所以，即结合，得出E、O都在的垂直平分线上，即可作答． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∴， 即． ∴． （2）证明：连接    ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴E、O都在的垂直平分线上． ∴ 12．如图，以的边上一点为圆心的圆，经过、两点，且与边交于点，为的下半圆弧的中点，连接交于，若． (1)连接，求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，圆的相关性质，等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用这些性质． （1）连接，由圆的性质可得，根据，可得，由垂径定理可得，然后借助角关系转化可得结论； （2）在由勾股定理可求解． 【详解】（1）解：连接， ， ， ， ， 为的下半圆弧的中点， ， ， ， ； （2）在中，， ， （不合题意舍去）或， 的半径为． 13．如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】 本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理等,掌握定理及性质，能用勾股定理求解是解题的关键． （1）由垂径定理得，由等腰三角形的性质得，即可求证； （2）由勾股定理得，即可求解； 【详解】（1） 证明：， 是半径， ， ， ， ， ； （2） 解：设的半径是r， ， ， ， 的半径是5． 14．如图，是的直径，为上的点，且，过点作于点． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平行线的性质得到，根据半径相等可得，等量代换得到，进而证得结论； （2）过点作于，根据垂径定理得到，再证明得到，然后利用勾股定理计算的长即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：过点作于，如下图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 即的半径长为． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质、垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键． 15．如图，某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽为，离地面的高度，拱顶最高处C离地面的高度为．若在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等，都为． (1)求圆弧形拱顶的半径的长度； (2)求的长度． 【答案】(1)13m (2)10m 【分析】本题考查了垂径定理的应用： （1）设与交于G，与交于H，根据题意和垂径定理可得，，，利用勾股定理求半径即可； （2）利用勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）解：设与交于G，与交于H． ，，，， ，，， 设圆拱的半径为r， 在中，， ， 解得， 圆弧形拱顶的半径的长度为； （2）解：， ， 在中，， ， 解得， ， ． 16．如图1，，是的弦，且，连接，． (1)求证：； (2)如图2，连接，若，，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)13 【分析】本题考查了圆心角，弧，弦之间的关系以及垂径定理，解题的关键是熟练掌握相关基本知识． （1）欲证明，只要证明即可； （2）过点O作于点E，交于点F，连接，根据 得出，在中利用勾股定理求出，设的半径为r，则，利用勾股定理求出r即可． 【详解】（1）证明：， ， ，即， ； （也可通过证明三角形全等解决） （2）解：如图，过点作于点，交于点F，连接，， ，， 又，， ， ， 在中，， 设的半径为，中，， ， 解得，即的半径为13． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$