2.2圆的对称性共2课时 圆心角弧弦之间的关系垂径定理 【知识点过关+ 知识拓展+探究创新】同步练习课时作业-2025-2026学年苏科版数学九年级上册

2.2 圆的对称性 第1课时 圆心角，弧，弦之间的关系 知识点1 圆的对称性 1．（2023秋•南通期中）下列说法正确的是（　　） A．直径是弦，弦是直径 B．圆有无数条对称轴 C．无论过圆内哪一点，都只能作一条直径 D．度数相等的弧是等弧 【分析】利用圆的有关性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、直径是弦，但弦不一定是直径，故错误，不符合题意； B、圆有无数条直径，故正确，符合题意； C、过圆心有无数条直径，故错误，不符合题意； D、完全重合的弧是等弧，故错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】考查了圆的认识、轴对称的性质及轴对称图形的知识，解题的关键是了解圆的有关定义、性质及定理，难度不大． 知识点2 圆心角、弧、弦之间的关系 2．（2024秋•苏州期中）如图，已知AB是⊙O的直径，D，C是劣弧EB的三等分点，∠BOC＝35°，那么∠AOE＝（　　） A．35° B．75° C．80° D．115° 【分析】根据题意先求出∠BOE＝3∠BOC＝105°，再利用邻补角即可求出∠AOE即可． 【详解】解：∵D，C是劣弧EB 的三等分点，∠BOC＝35°， ∴∠BOE＝3∠BOC＝105°， ∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝75°， 故选：B． 【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系，掌握弧与圆心角的关系是解题的关键． 3．（2025•天元区校级模拟）如图，A、B、C、D都是⊙O上的点，若CD＝BD，∠AOC＝108°，则∠AOD＝（　　） A．140° B．144° C．146° D．150° 【分析】先利用平角的定义计算出∠BOC＝72°，再根据圆心角、弧、弦的关系，由CD＝BD得到∠BOD＝∠COD＝36°，然后计算∠AOC+∠COD即可． 【详解】解：∵∠AOC＝108°， ∴∠BOC＝180°﹣108°＝72°， ∵CD＝BD， ∴∠BOD＝∠COD∠BOC＝36°， ∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝108°+36°＝144°． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 4．（2025•沈阳模拟）如图，⊙O中，点A、B、C在圆上，且弧AB长等于弧AC长的2倍，则下列结论正确的是（　　） A．AB＝2AC B．AB＞2AC C．AB＜2AC D．以上结论都不对 【分析】取的中点H，连接AH、BH，根据圆心角、弧、弦的关系得到AH＝BH＝AC，根据三角形三边关系判断即可． 【详解】解：如图，取的中点H，连接AH、BH， 则， ∵弧AB长等于弧AC长的2倍， ∴， ∴AH＝BH＝AC， 在△ABH中，AH+BH＞AB， ∴AB＜2AC， 故选：C． 【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 5．（2023秋•汝南县期中）如图，点A在半圆O上，BC是直径，，若，则AB的长为 　3　 ． 【分析】连接AC，如图，先根据圆周角定理得到∠BAC＝90°，再根据圆心角、弧、弦的关系得到AB＝AC，所以△ABC为等腰直角三角形，从而得到ABBC． 【详解】解：连接AC，如图， ∵BC为直径， ∴∠BAC＝90°， ∵， ∴AB＝AC， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴ABBC33． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了圆周角． 6．（2023秋•赣县区期末）如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，AB＝DC．求证：AC＝BD． 【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系得出，求出，再根据圆心角、弧、弦之间的关系推出答案即可． 【详解】证明：∵AB＝DC， ∴， ∴， ∴AC＝BD． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． 知识点3 弧度与圆心角 7．（2024秋•常州期中）已知⊙O半径为3，⊙O上有两点A、B，AB＝3，则弦AB所对劣弧的度数为 　60°　 ． 【分析】根据弦AB所对劣弧的度数为弦AB所圆心角的度数，即可得出答案． 【详解】解：∵⊙O半径为3，AB＝3， ∴∠AOB＝60°， ∴弦AB所对劣弧的度数为60°． 故答案为：60°． 【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系． 8．（2024秋•锡山区校级月考）如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，若∠AOC＝75°，则的度数是 　30°　 ． 【分析】连接OE，根据平行线的性质可得∠C＝∠AOC＝75°，由OC＝OE可得∠E＝∠C＝75°，再根据三角形内角和定理可求得∠COE的度数，即的度数． 【详解】解：连接OE， ∵CE∥AB， ∴∠C＝∠AOC＝75°． ∵OC＝OE， ∴∠E＝∠C＝75°， ∴∠COE＝180°﹣2×75°＝30°， ∴的度数是30°． 故答案为：30°． 【点睛】本题主要考查了弧的度数：圆中，弧的度数即弧所对的圆心角的度数，掌握这一点知识是解题的关键． 9．（2024秋•江阴市期中）如图，点A、B、C、D在⊙O上，且，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为（　　） A．42° B．44° C．46° D．48° 【分析】连接OA，根据圆心角、弧、弦的关系求得∠AOC的度数，再由三角形内角和定理及等腰三角形的性质计算∠ACO的度数即可． 【详解】解：如图，连接OA． ∵，∠BOD＝84°， ∴∠AOC＝∠BOD＝84°， ∴∠ACO+∠CAO＝180°﹣∠AOC＝96°， ∵OA＝OC， ∴∠ACO＝∠CAO， ∴∠ACO96°＝48°． 故选：D． 【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系，掌握圆心角、弧、弦的关系及三角形内角和定理及等腰三角形的性质是解题的关键． 10．（2024秋•新沂市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝67.5°，以AB为直径的半圆与BC，AC分别相交于点D，E，则弧AE的度数（　　） A．40° B．50° C．90° D．100° 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠BAC＝45°，进而求得∠AOE＝90°，即可得到弧AE的度数． 【详解】解：连接OE， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝67.5°， ∴∠BAC＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°， ∵OA＝OE， ∴∠AEO＝∠BAC＝45°， ∴∠AOE＝180°﹣2×45°＝90°， ∴弧AE的度数为90°， 故选：C． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，圆心角与弧的关系，关键是由等腰三角形的性质求出∠BAC的度数． 11．（2023秋•铜山区期中）如图点A、B、C、D在⊙O上，且，E是AB延长线上一点，且BE＝AB，F是EC中点，若BF＝6cm，则BD＝　12　 cm． 【分析】先判断出BF是△EAC的中位线，得到BFAC，再判断出BD＝AC，即可得出结论； 【详解】解：如图，连接AC， ∵F是EC的中点， ∴CF＝EF， ∵BE＝AB， ∴BF是△EAC的中位线， ∴BFAC， ∵， ∴， ∴， ∴BD＝AC， ∴BFBD， ∴BD＝2BF＝12（cm）． 故答案为：12． 【点睛】主要考查了三角形的中位线定理，同圆中等弧所对的弦相等，等弧所对的圆周角相等等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 12．（2023秋•哈尔滨校级期中）如图，在⊙O中，AB、CD是⊙O的两条弦，连接AC、BD相交于点E，弧AB＝弧CD． 求证：AE＝DE． 【分析】根据已知条件和圆周角定理证明△ABE≌△DCE即可得到AE＝DE． 【详解】证明：∵弧AB＝弧CD， ∴AB＝CD， ∵∠A＝∠D，∠B＝∠C， ∴在△ABE和△DCE中， ， ∴△ABE≌△DCE． ∴AE＝DE． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及圆心角定理：在同圆或等圆中圆心角相等，弧相等，弦相等，弦心距相等，在这几组相等关系中，只要有一组成立，则另外几组一定成立． 13．（2021秋•南昌期中）如图所示，以▱ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交AD，BC于点E，F，延长BA交⊙A于G． （1）求证：； （2）若的度数为70°，求∠C的度数． 【分析】（1）要证明，则要证明∠DAF＝∠GAD，由题干条件能够证明之； （2）根据的度数为70°，得到∠BAF＝70°，于是得到∠B＝∠AFB（180°﹣∠BAF）＝55°，根据平行四边形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接AF． ∵A为圆心，∴AB＝AF， ∴∠ABF＝∠AFB， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，∠AFB＝∠DAF，∠GAD＝∠ABF， ∴∠DAF＝∠GAD， ∴； （2）解：∵的度数为70°， ∴∠BAF＝70°， ∵AB＝AF， ∴∠B＝∠AFB（180°﹣∠BAF）＝55°， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠C＝180°﹣∠B＝125°． 【点睛】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，圆周角定理等知识点的应用，关键是求出∠DAF＝∠GAD，题目比较典型，难度不大． 14．（2022秋•无锡期中）如图，在⊙O中，点C是优弧ACB的中点，D、E分别是OA、OB上的点，且AD＝BE，弦CM、CN分别过点D、E． （1）求证：CD＝CE． （2）求证：． 【分析】（1）连接OC，只要证明△COD≌△COE（SAS）即可解决问题； （2）欲证明，只要证明∠MOD＝∠NOE即可； 【详解】（1）证明：连接OC． ∵， ∴∠COD＝∠COE， ∵OA＝OB，AD＝BE， ∴OD＝OE，∵OC＝OC， ∴△COD≌△COE（SAS）， ∴CD＝CE． （2）分别连接OM，ON， ∵△COD≌△COE， ∴∠CDO＝∠CEO，∠OCD＝∠OCE， ∵OC＝OM＝ON， ∴∠OCM＝∠OMC，∠OCN＝∠ONC， ∴∠OMD＝∠ONE， ∵∠ODC＝∠DMO+∠MOD，∠CEO＝∠CNO+∠EON， ∴∠MOD＝∠NOE， ∴． 【点睛】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 2.2 圆的对称性 第2课时 垂径定理 知识点 垂径定理 1．（2025•威远县校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是（　　） A．CM＝DM B． C．△OCM≌△ODM D．OM＝MB 【分析】利用垂径定理一一判断即可． 【详解】解：∵AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M， ∴CM＝DM，弧BC＝弧BD，故选项A，B正确， ∵OC＝OD， ∴∠OCM＝∠ODM，故选项C正确． 故选：D． 【点睛】本题考查垂径定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是掌握垂径定理． 2．（2024•武威三模）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝6，点C在弦AB上，延长CO交⊙O于点D，则CD的取值范围是（　　） A．6≤CD≤8 B．8≤CD≤10 C．9＜CD＜10 D．9≤CD≤10 【分析】过O作OH⊥AB于H，由垂径定理得到BHAB＝3，由勾股定理求出OH4，当C和H重合时，CD的最小值是4+5＝9，当CD是圆直径时，CD的值最大是5×2＝10，即可得到CD的取值范围． 【详解】解：过O作OH⊥AB于H， ∴BHAB6＝3， ∵⊙O的半径为5， ∴OB＝5， ∴OH4， ∴当C和H重合时，OC的最小值是4，CD的最小值是4+5＝9， 当CD是圆直径时，CD的值最大是5×2＝10， ∴CD的取值范围是9≤CD≤10． 故选：D． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由勾股定理，垂径定理求出OH的长． 3．（2023秋•北仑区校级期中）有下列四个命题： ①垂直于弦的直径平分这条弦； ②平分弦的直径垂直于这条弦； ③垂直平分弦的直线经过圆心， ④平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦． 其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】利用垂径定理及其推理逐一判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①垂直于弦的直径平分这条弦，正确； ②平分弦的直径垂直于这条弦，错误； ③垂直平分弦的直线经过圆心，正确， ④平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦，正确， 故选：B． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理及其推理，难度不大． 4．（2024秋•邳州市期中）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝8，点C是弦AB的一动点，若OC长为整数，则满足条件的点C有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】过点O作OD⊥AB于D，连接OA，利用垂径定理和勾股定理求出OD＝3，进而得到3≤OC≤5，再由OC长为整数进行求解即可． 【详解】解：如图所示，过点O作OD⊥AB于D，连接OA， ∴， 在Rt△AOD中，由勾股定理得， ∵点C是弦AB的一动点， ∴OD≤OC≤OA，即3≤OC≤5， ∵OC长为整数， ∴OC＝3时，有一个点满足题意；当OC＝4时，有两个点满足题意；当OC＝5时，有两个点满足题意； ∴一共有5个点满足题意， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 5．（2024•通辽）如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB＝1m，CD＝2.5m，则拱门所在圆的半径为（　　） A．1.25m B．1.3m C．1.4m D．1.45m 【分析】如图，连接OA，先证明CD⊥AB，AD＝BD＝0.5，再进一步的利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，连接OA， ∵D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，AB＝1m， ∴CD⊥AB，AD＝BD＝0.5， 设拱门所在圆的半径为rm， ∴OA＝OC＝r，而CD＝2.5m， ∴OD＝2.5﹣r， ∴r2＝0.52+（2.5﹣r）2， 解得：r＝1.3， ∴拱门所在圆的半径为1.3m； 故选B． 【点睛】本题考查的是垂径定理的实际应用、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 6．（2024秋•前郭县期末）在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球直径为10cm，在操场地上砸出一个深2cm的小坑，则该坑的直径AB为 　8　 cm． 【分析】过点O作OE⊥AB于点D，连接OA，根据勾股定理和垂径定理求解． 【详解】解：如图，过点O作OE⊥AB于点D，连接OA， 根据题意得，D在OE上，OE⊥AB，DE＝2cm， ∴AB＝2AD， ∵OA＝OE10＝5（cm）， ∴OD＝5﹣2＝3（cm）， 在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2， ∴52＝32+AD2， ∴AD＝4cm（负值已舍）， ∴AB＝8cm， 故答案为：8． 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键． 7．（2024秋•上城区校级月考）如图，⊙O的半径为5，M是圆外一点，MO＝6，∠OMA＝30°，则弦AB的长为 　8　 ． 【分析】过点O作OC⊥AB，垂足为C，连接OA，在Rt△OCM中，利用含30度角的直角三角形的性质可得OC＝3，然后在Rt△OAC中，利用勾股定理可得AC＝4，从而利用垂径定理可得AB＝8，即可解答． 【详解】解：过点O作OC⊥AB，垂足为C，连接OA， ∴∠OCA＝90°， ∵MO＝6，∠OMA＝30°， ∴OCOM＝3， 在Rt△OAC中，OA＝5， ∴AC4， ∵OC⊥AB， ∴AB＝2AC＝8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 8．（2024•江西）如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，点C在线段AB上运动，过点C的弦DE⊥AB，将沿DE翻折交直线AB于点F，当DE的长为正整数时，线段FB的长为 　或或2　 ． 【分析】根据DE≤AB，可得DE＝1或2，利用勾股定理进行解答即可． 【详解】解：∵AB为直径，DE为弦， ∴DE≤AB， ∴当DE的长为正整数时，DE＝1或2， 当DE＝2时，即DE为直径， ∴DE⊥AB， ∴将DBE沿DE翻折交直线AB于点F，此时F与点A重合， 故FB＝2； 当DE＝1时，且在点C在线段OB之间，如图，连接OD， 此时， ∵DE⊥AB， ∴， ∴， ∴， ∴； 当DE＝1时，且点C在线段OA之间，连接OD， 同理可得， ∴； 综上，可得线段FB的长为或或2， 故答案为：或或2． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 9．（2024•惠山区校级一模）“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”．问题翻译为：如图，现有圆形木材埋在墙壁里，不知木材大小，将它锯下来测得深度CD为1寸，锯长AB为10寸，则圆材的半径为 　13　 寸． 【分析】设圆材的圆心为O，延长CD，交⊙O于点E，连接OA，由题意知CE过点O，且OC⊥AB，AD＝BD＝5，设圆形木材半径为r，可知OD＝（r﹣1）寸，OA＝r寸，根据OA2＝OD2+AD2列方程求解可得． 【详解】解：设圆材的圆心为O，延长CD，交⊙O于点E，连接OA，如图所示： 由题意知：CE过点O，且OC⊥AB， 则AD＝BD＝AB＝5， 设圆形木材半径为r寸， 则OD＝（r﹣1）寸，OA＝r寸， ∵OA2＝OD2+AD2， ∴r2＝（r﹣1）2+52， 解得：r＝13， ∴⊙O的半径为13寸， 故答案为：13． 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键． 10．（2024秋•姜堰区期中）如图，在⊙O中，2且BD⊥OC，垂足为D．若AB＝8，CD＝2，则⊙O的半径为 　5　 ． 【分析】过点O作AB的垂线交AB于点E，交于点F，连接OB．根据垂径定理得，AE＝BEAB8＝4，由圆心角、弧、弦的关系和2得∠BOC＝∠BOF，由角平分线的性质得BD＝BE＝4；设⊙O的半径为r，则OB＝OC＝r，将OD用含r的代数式表示出来，在Rt△BOD中利用勾股定理列关于r的方程并求解即可． 【详解】解：如图，过点O作AB的垂线交AB于点E，交于点F，连接OB． ∵OF⊥AB，AB＝8， ∴，AE＝BEAB8＝4， ∵2， ∴AB， ∴∠BOC＝∠BOF， ∴OB是∠COF的平分线， ∵BD⊥OC， ∴BD＝BE＝4， 设⊙O的半径为r，则OB＝OC＝r， ∵CD＝2， ∴OD＝OC﹣CD＝r﹣2， 在Rt△BOD中利用勾股定理，得BD2+OD2＝OB2， ∴42+（r﹣2）2＝r2， ∴r＝5， ∴⊙O的半径为5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，掌握垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，角平分线的性质和勾股定理是解题的关键． 11．（2023秋•鼓楼区校级月考）如图，点C是AE的中点，在AE同侧分别以AC、CE为直径作半⊙B、半⊙D．直线l∥AE，与两个半圆依次相交于F、M、N、G不同的四点．若AE＝10，FG＝x，MN＝y，则y与x之间的函数表达式为 　y＝10﹣x　 ． 【分析】过B点作BQ⊥FM于Q，过D点作DH⊥NG于H点，连接BF、DG，如图，根据垂径定理得到FQ＝MQ，NH＝GH，再证明四边形BDHQ为矩形，则QH＝BD＝6，所以QM+NH＝6﹣y，接着证明FQ＝GH得到FQ＝MQ＝NH＝GH，利用等线段代换得到FG＝2（QM+NH）+MN，即x＝2（6﹣y）+y＝12﹣y，进而得解． 【详解】解：过B点作BQ⊥FM于Q，过D点作DH⊥NG于H点，连接BF、DG，如图，则FQ＝MQ，NH＝GH， ∵l∥AE， ∴BQ＝DH，BQ⊥AE，DH⊥AE， ∴四边形BDHQ为矩形， ∴QH＝BDAE＝5， 即QM+MN+NH＝5， ∴QM+NH＝5﹣y， ∵FQ，GH， 而BF＝DG， ∴FQ＝GH， ∴FQ＝MQ＝NH＝GH， ∵FG＝FM+MN+NG＝2QM+MN+2NH＝2（QM+NH）+MN， ∴x＝2（5﹣y）+y＝10﹣y， ∴y＝10﹣x， 故答案为：y＝10﹣x． 【点睛】本题考查了垂径定理，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 12．如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，求CD的长． 【分析】过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，由垂径定理得出DF＝CF，AG＝BGAB＝3，得出EG＝AG﹣AE＝2，由勾股定理得出OG2，证出△EOG是等腰直角三角形，得出∠OEG＝45°，OEOG＝2，求出∠OEF＝30°，由直角三角形的性质得出OFOE，由勾股定理得出DF，即可得出答案． 【详解】解：过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，如图所示： 则DF＝CF，AG＝BGAB＝3， ∵AE＝1， ∴EG＝AG﹣AE＝2， 在Rt△BOG中，OB， ∴OG2， ∴EG＝OG， ∴△EOG是等腰直角三角形， ∴∠OEG＝45°，OEOG＝2， ∵∠DEB＝75°， ∴∠OEF＝30°， ∴OFOE， 在Rt△ODF中，OD， ∴DF， ∴CD＝2DF＝2． 【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理以及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 13．（2024秋•沂源县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y＝kx﹣3k+4（k≠0）与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为（　　） A．10 B．12 C．18 D．24 【分析】根据直线y＝kx﹣3k+4必过点D（3，4），求出最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，再求出OD的长，再根据以原点O为圆心的圆过点A（13，0），求出OB的长，再利用勾股定理求出BD，即可得出答案． 【详解】解：连接OB， 当x＝3时，kx﹣3k+4＝4， ∴直线y＝kx﹣3k+4必过点D（3，4）， ∴最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦， ∵点D的坐标是（3，4）， ∴OD5， ∵以原点O为圆心的圆过点A（13，0）， ∴圆的半径为13， ∴OB＝13， ∴BD12， ∴BC＝2BD＝24， ∴BC的长的最小值为24； 故选：D． 【点睛】此题考查的是垂径定理，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质，关键是求出BC最短时的位置． 14．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为4． （1）求点P到弦AB的距离； （2）求a的值． 【分析】（1）观察图形，过点P作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，根据垂径定理即可得到BE的长度，进而即可得到PE的长度，即可解答； （2）由于OC＝3，PC＝a，易得D点坐标为（3，3），则△OCD为等腰直角三角形，△PED也为等腰直角三角形；接下来由PE⊥AB，根据垂径定理得AE＝BEAB，在Rt△PBE中，利用勾股定理可计算出PE，进而求出PD，据此即可求出a． 【详解】解：（1）过点P作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图， 则BEAB42（垂径定理）． 在Rt△PBE中，PB＝3， 由勾股定理得出：PE1， 即点P到弦AB的距离是1． （2）∵⊙P的圆心坐标是（3，a）， ∴OC＝3，PC＝a． ∵把x＝3代入y＝x， ∴y＝3， ∴D点坐标为（3，3）， ∴CD＝3， ∴OC＝CD， ∴△OCD为等腰直角三角形， ∴△PED也为等腰直角三角形． ∵PE⊥AB， ∴AE＝BEAB42（垂径定理）． 在Rt△PBE中，PB＝3， 由勾股定理得出PE1， ∴PDPE， ∴a＝3． 【点睛】本题侧重考查垂径定理，掌握垂径定理及推论是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2 圆的对称性 第1课时 圆心角，弧，弦之间的关系 知识点1 圆的对称性 1．（2023秋•南通期中）下列说法正确的是（　　） A．直径是弦，弦是直径 B．圆有无数条对称轴 C．无论过圆内哪一点，都只能作一条直径 D．度数相等的弧是等弧 知识点2 圆心角、弧、弦之间的关系 2．（2024秋•苏州期中）如图，已知AB是⊙O的直径，D，C是劣弧EB的三等分点，∠BOC＝35°，那么∠AOE＝（　　） A．35° B．75° C．80° D．115° 3．（2025•天元区模拟）如图，A、B、C、D都是⊙O上的点，若CD＝BD，∠AOC＝108°，则∠AOD＝（　　） A．140° B．144° C．146° D．150° 4．（2025•沈阳模拟）如图，⊙O中，点A、B、C在圆上，且弧AB长等于弧AC长的2倍，则下列结论正确的是（　　） A．AB＝2AC B．AB＞2AC C．AB＜2AC D．以上结论都不对 5．（2023秋•汝南县期中）如图，点A在半圆O上，BC是直径，，若，则AB的长为 　3　 ． 6．（2023秋•赣县区期末）如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，AB＝DC．求证：AC＝BD． 知识点3 弧度与圆心角 7．（2024秋•常州期中）已知⊙O半径为3，⊙O上有两点A、B，AB＝3，则弦AB所对劣弧的度数为 　 　 ． 8．（2024秋•锡山区 月考）如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，若∠AOC＝75°，则的度数是 　 　 ． 9．（2024秋•江阴市期中）如图，点A、B、C、D在⊙O上，且，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为（　　） A．42° B．44° C．46° D．48° 10．（2024秋•新沂市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝67.5°，以AB为直径的半圆与BC，AC分别相交于点D，E，则弧AE的度数（　　） A．40° B．50° C．90° D．100° 11．（2023秋•铜山区期中）如图点A、B、C、D在⊙O上，且，E是AB延长线上一点，且BE＝AB，F是EC中点，若BF＝6cm，则BD＝　 　 cm． 12．（2023秋•哈尔滨校级期中）如图，在⊙O中，AB、CD是⊙O的两条弦，连接AC、BD相交于点E，弧AB＝弧CD． 求证：AE＝DE． 13．（2021秋•南昌期中）如图所示，以▱ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交AD，BC于点E，F，延长BA交⊙A于G． （1）求证：； （2）若的度数为70°，求∠C的度数． 14．（2022秋•无锡期中）如图，在⊙O中，点C是优弧ACB的中点，D、E分别是OA、OB上的点，且AD＝BE，弦CM、CN分别过点D、E． （1）求证：CD＝CE． （2）求证：． 2.2 圆的对称性 第2课时 垂径定理 知识点 垂径定理 1．（2025•威远县校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是（　　） A．CM＝DM B． C．△OCM≌△ODM D．OM＝MB 2．（2024•武威三模）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝6，点C在弦AB上，延长CO交⊙O于点D，则CD的取值范围是（　　） A．6≤CD≤8 B．8≤CD≤10 C．9＜CD＜10 D．9≤CD≤10 3．（2023秋•北仑区校级期中）有下列四个命题： ①垂直于弦的直径平分这条弦；②平分弦的直径垂直于这条弦；③垂直平分弦的直线经过圆心， ④平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦． 其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（2024秋•邳州市期中）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝8，点C是弦AB的一动点，若OC长为整数，则满足条件的点C有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 5．（2024•通辽）如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB＝1m，CD＝2.5m，则拱门所在圆的半径为（　　） A．1.25m B．1.3m C．1.4m D．1.45m 6．（2024秋•前郭县期末）在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球直径为10cm，在操场地上砸出一个深2cm的小坑，则该坑的直径AB为 　 cm． 7．（2024秋•上城区校级月考）如图，⊙O的半径为5，M是圆外一点，MO＝6，∠OMA＝30°，则弦AB的长为 　 ． 8．（2024•江西）如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，点C在线段AB上运动，过点C的弦DE⊥AB，将沿DE翻折交直线AB于点F，当DE的长为正整数时，线段FB的长为 　 ． 9．（2024•惠山区校级一模）“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”．问题翻译为：如图，现有圆形木材埋在墙壁里，不知木材大小，将它锯下来测得深度CD为1寸，锯长AB为10寸，则圆材的半径为 　13　 寸． 10．（2024秋•姜堰区期中）如图，在⊙O中，2且BD⊥OC，垂足为D．若AB＝8，CD＝2，则⊙O的半径为 　 　 ． 11．（2023秋•鼓楼区校级月考）如图，点C是AE的中点，在AE同侧分别以AC、CE为直径作半⊙B、半⊙D．直线l∥AE，与两个半圆依次相交于F、M、N、G不同的四点．若AE＝10，FG＝x，MN＝y，则y与x之间的函数表达式为 　 ． 12．如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，求CD的长． 13．（2024秋•沂源县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y＝kx﹣3k+4（k≠0）与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为（　　） A．10 B．12 C．18 D．24 14．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为4． （1）求点P到弦AB的距离；（2）求a的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$