专题12.4 角平分线的性质和判定（5个考点1个易错点）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版）

专题12.4 角平分线的性质和判定（5个考点1个易错点） 【考点1 角平分线的性质在线段中的应用】 【考点2 角平分线的性质在求角中的应用】 【考点3 角平分线的性质在实际中的应用】 【考点4角平分线的性质的判定】 【考点5 角平分线的性质的判定和性质综合】 【易错点1 角平分线的性质】 【考点1 角平分线的性质在线段中的应用】 1．如图，OC平分∠AOB，点P是射线OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是射线OA上的一个动点．若PM＝4，则PN的长度不可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于E．已知AC＝6cm，则BD+DE的和为（　　） A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm 3．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB．若DE＝3，BD＝6，则BC的长度为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠1＝∠2，BC＝16cm，点D到AB的距离为6cm，则BD的长为（　　） A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm 5．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，ED＝3，BC＝8，则BD的长为（　　） A．3 B．5 C．8 D．10 6．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝10，CD＝3，则△ABD的面积为（　　） A．12 B．10 C．15 D．30 7．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为30，40，50．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO＝　　． 8.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为64和42，则△EDF的面积为　　． 9．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是 　　． 【考点2 角平分线的性质在求角中的应用】 10．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，∠A＝64°，则∠BOC的度数为（　　） A．58° B．64° C．122° D．124° 11．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝　　°． 【考点3 角平分线的性质在实际中的应用】 12．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．的三条中线的交点 B．三边的中垂线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 13．如图，三条直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（   ）    A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 14．纵横交错的公路和铁路将A，B，C三个村庄连成一个如图所示的三角形区域.若建一个到三条道路的距离相等的物流仓储基地，则这个基地应该建在（    ） A．的三条高线的交点 B．的三条中线的交点 C．的三条角平分线的交点 D．的三边垂直平分线的交点 【考点4角平分线的性质的判定】 15．如图，在中，D是的垂直平分线上一点，过点D作，垂足为点E，F，．求证：点D在的平分线上．    16．如图，在中，，垂足为F，，求证：点D在的平分线上． 17．已知，在中，，，，，求证：平分． 18．如图，，，为垂足，，为垂足，，相交于点，连接，求证： (1)； (2) 平分． 19．如图所示，，在两边上且，是内部的一条射线且于点， (1)求证平分； (2)分别作和的平分线，相交于，求证P同时也在的平分线上． 20．如图（1），平分，于B，于C，易知：． ①探究：如图（2），平分，，，求证：． ②探究：如图（3）在四边形中，，，且，求证：平分． 【考点5 角平分线的性质的判定和性质综合】 21．如图，于于F，若， (1)求证：平分； (2)已知，求的长． 22．如图，于E，于F，若 (1)求证：平分； (2)直接写出之间的等量关系． 23．如图，已知，点B、C分别在、上，． (1)求证：； (2)求证：． 24．如图，四边形中，，点E为上一点，平分，且平分．    (1)求证：； (2)求证：点E为的中点． 【易错点1 角平分线的性质】 1．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝2，BC＝4，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果要在三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场可选的位置有（　　） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 3．如图，三条直线表示相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　） A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 4．如图，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC＝3：2，则△ABD与△ACD的面积之比为（　　） A．3：2 B．6：4 C．4：9 D．不能确定 5．如图，AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE，CF交于D，则以下结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．正确的是（　　） A．① B．② C．①② D．①②③ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12.4 角平分线的性质和判定（5个考点1个易错点） 【考点1 角平分线的性质在线段中的应用】 【考点2 角平分线的性质在求角中的应用】 【考点3 角平分线的性质在实际中的应用】 【考点4角平分线的性质的判定】 【考点5 角平分线的性质的判定和性质综合】 【易错点1 角平分线的性质】 【考点1 角平分线的性质在线段中的应用】 1．如图，OC平分∠AOB，点P是射线OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是射线OA上的一个动点．若PM＝4，则PN的长度不可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解答】解：当PN⊥OA时，PN最短， ∵OC平分∠AOB，PM⊥OB于点M，PM＝4， ∴PN最短＝4． 故选：A． 2．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于E．已知AC＝6cm，则BD+DE的和为（　　） A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm 【答案】B 【解答】解：CD＝DE， ∴BD+DE＝BD+CD＝BC＝AC＝6cm． 故选：B． 3．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB．若DE＝3，BD＝6，则BC的长度为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴ED＝DC， ∵DE＝3，BD＝6， ∴BC＝BD+CD＝BD+DE＝9． 故选：C． 4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠1＝∠2，BC＝16cm，点D到AB的距离为6cm，则BD的长为（　　） A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm 【答案】D 【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E， ∵DE⊥AB， ∴DE＝6cm， ∵∠1＝∠2， ∴AD是∠CAB的角平分线， ∵∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝CD＝6cm， ∵BC＝16cm， ∴BD＝10cm． 故选：D． 5．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，ED＝3，BC＝8，则BD的长为（　　） A．3 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【解答】解：∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，ED＝3， ∴ED＝CD＝3， ∵BC＝8， ∴BD＝BC﹣CD＝8﹣3＝5． 故选：B． 6．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝10，CD＝3，则△ABD的面积为（　　） A．12 B．10 C．15 D．30 【答案】C 【解答】解：如图所示，过点D作DE⊥AB交AB于点E， ∵∠C＝90°，AD平分∠BAC， ∴DE＝CD＝3， ∴， 故选：C． 7．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为30，40，50．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO＝　3：4：5　． 【答案】3：4：5． 【解答】解：作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F， ∵三条角平分线交于点O，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB， ∴OD＝OE＝OF， ∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝AB：BC：CA＝3：4：5， 故答案为：3：4：5． 8.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为64和42，则△EDF的面积为　11　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于H， ∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB， ∴DF＝DH， 在Rt△ADF和Rt△ADH中，， ∴Rt△ADF≌Rt△ADH（HL）， ∴SRt△ADF＝SRt△ADH， 在Rt△DEF和Rt△DGH中，， ∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL）， ∴SRt△DEF＝SRt△DGH， ∵△ADG和△AED的面积分别为64和42， ∴42+SRt△DEF＝64﹣SRt△DGH， ∴SRt△DEF＝11． 故答案为11． 9．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是 　42　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解： 过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA， ∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC， ∴OE＝OD，OD＝OF， 即OE＝OF＝OD＝4， ∴△ABC的面积是：S△AOB+S△AOC+S△OBC ＝×AB×OE+×AC×OF+×BC×OD ＝×4×（AB+AC+BC） ＝×4×21＝42， 故答案为：42． 【考点2 角平分线的性质在求角中的应用】 10．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，∠A＝64°，则∠BOC的度数为（　　） A．58° B．64° C．122° D．124° 【答案】C 【解答】解：∵点O在△ABC内，且到三边的距离相等， 即O点到BA和BC的距离相等，O点到CA和CB的距离相等， ∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB， ∵∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB， ∴∠BOC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）， ∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴∠BOC＝180°﹣（180°﹣∠A） ＝90°+∠A ＝90°+×64° ＝122°． 故选：C． 11．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝　35　°． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：作MN⊥AD于N， ∵∠B＝∠C＝90°， ∴AB∥CD， ∴∠DAB＝180°﹣∠ADC＝70°， ∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD， ∴MN＝MC， ∵M是BC的中点， ∴MC＝MB， ∴MN＝MB，又MN⊥AD，MB⊥AB， ∴∠MAB＝∠DAB＝35°， 故答案为：35 【考点3 角平分线的性质在实际中的应用】 12．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．的三条中线的交点 B．三边的中垂线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的判定，由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上，可知凉亭选在三条角平分线的交点． 【详解】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等， ∴凉亭应在三条角平分线的交点． 故选：C 13．如图，三条直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（   ）    A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理的应用．熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 根据角平分线的性质定理判断作答即可． 【详解】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴到三条公路的距离相等的点在角平分线的交点上， 如图，    三角形两个内角平分线的交点，三角形外角两两平分线的交点均为满足要求的点，共4处， 故选：D． 14．纵横交错的公路和铁路将A，B，C三个村庄连成一个如图所示的三角形区域.若建一个到三条道路的距离相等的物流仓储基地，则这个基地应该建在（    ） A．的三条高线的交点 B．的三条中线的交点 C．的三条角平分线的交点 D．的三边垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得到答案． 【详解】解：到三条道路的距离相等的物流仓储基地， 这个基地应该建在的三条角平分线的交点， 故选：C． 【考点4角平分线的性质的判定】 15．如图，在中，D是的垂直平分线上一点，过点D作，垂足为点E，F，．求证：点D在的平分线上．    【答案】见解析 【分析】本题考查了直角三角形的判定和性质，角平分线的判定，熟练掌握知识点并添加适当的辅助线是解题的关键．连接，先证明，可得，再根据角平分线的判定定理求解即可． 【详解】证明：连接，    ∵， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， 平分， ∴点D在的平分线上． 16．如图，在中，，垂足为F，，求证：点D在的平分线上． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的判定，全等三角形的判定和性质．证明，可得，再由角平分线的判定定理，即可求证． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点D在的平分线上． 17．已知，在中，，，，，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】 本题考查了角平分线的判定定理；作于点E，由三角形的面积得，从而可得，由角平分线的判定定理即可得证；掌握角平分线的判定定理“在角的内部，到角两边距离相等的点，在角的平分线上．”是解题的关键． 【详解】 解：如图，作于点E， 又 ， ， ，   ， ， 平分． 18．如图，，，为垂足，，为垂足，，相交于点，连接，求证： (1)； (2) 平分． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理 （1）根据垂直的定义和全等三角形的判定证明即可； （2）根据角平分线的判定定理证明即可． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：，，， 平分． 19．如图所示，，在两边上且，是内部的一条射线且于点， (1)求证平分； (2)分别作和的平分线，相交于，求证P同时也在的平分线上． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，熟练掌握角平分线的判定和性质是解题的关键； （1）根据等腰三角形的性质及，证得，即可得出结论 （2）过P作，，，利用角平分线的点到角两边的距离相等得，再利用角平分线的逆定理即可得结论． 【详解】（1）， ， ， 在和中 ， 平分； （2）如图：过P作，，， ，平分，平分， ，， ， 点P在的平分线上． 平分， 点P在的平分线上． 20．如图（1），平分，于B，于C，易知：． ①探究：如图（2），平分，，，求证：． ②探究：如图（3）在四边形中，，，且，求证：平分． 【答案】①见解析；②见解析 【分析】①作DN⊥AC于N，DM⊥AB于M，欲证明DB=DC，只要证明△DNC≌△DMB即可； ②作DN⊥AC于N，DM⊥AB于M，证得△DNC≌△DMB，得到DM=DN，根据角平分线的判定即可得到结论． 【详解】证明：①过点D作DN⊥AC于N，DM⊥AB于M，如图2， ∵AD平分∠BAC，DN⊥AC，DM⊥AB， ∴DM=DN， ∵∠B+∠ACD=180°，∠NCD+∠ACD=180°， ∴∠B=∠NCD， 在△DNC和△DMB中， ， ∴△DNC≌△DMB， ∴DC=DB； ②过点D作DN⊥AC于N，DM⊥AB于M，如图3， ∵∠ABD+∠ACD=180°，∠NCD+∠ACD=180°， ∴∠ABD=∠NCD， 在△DNC和△DMB中， ， ∴△DNC≌△DMB， ∴DM=DN， ∵DN⊥AC，DM⊥AB， ∴AD平分∠BAC． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形． 【考点5 角平分线的性质的判定和性质综合】 21．如图，于于F，若， (1)求证：平分； (2)已知，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)12 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，全等三角形的对应边相等，对应角相等． （1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出，根据角平分线性质得出即可； （2）根据全等三角形的性质得出，即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴平分； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 22．如图，于E，于F，若 (1)求证：平分； (2)直接写出之间的等量关系． 【答案】(1)见解析 (2)结论：，见解析部分 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，角平分线的判定，注意：全等三角形的判定定理有全等三角形的对应边相等，对应角相等． （1）根据相“”定理得出，故可得出，所以平分； （2）由（1）中可知平分，故可得出，所以，故． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∴在和中， ， ∴ ∴， ∵ ∴平分； （2）解：结论： 理由：∵ ∴ ∵ ∴ ∵， ∵ 即：． 23．如图，已知，点B、C分别在、上，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用即可证明； （2）由（1）知，则，即可得所在的直线是的角平分线，根据得，利用证明即可得； 掌握全等三角形的判定与性质，角平分线的定义是解题的关键． 【详解】（1）证明：在和中，             ∴ （2）解：由（1）知， ∴，                 ∴所在的直线是的角平分线， ∵， ∴， 在和中，                ，                              ． 24．如图，四边形中，，点E为上一点，平分，且平分．    (1)求证：； (2)求证：点E为的中点． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，再根据平行线的判定与性质可得，从而可得，再利用三角形内角和定理求得，即可得出结论； （2）过点E作于点F，根据角平分线的性质可得，，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）证明：过点E作于点F， ∵，，平分， ∴， ∵，，平分， ∴， ∴， 即点E为的中点．    【点睛】本题考查角平分线的定义及性质、平行线的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握相关性质是解题的关键． 【易错点1 角平分线的性质】 1．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝2，BC＝4，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解答】解：过点D作DE⊥BC，垂足为E， ∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DA⊥AB， ∴DA＝DE＝2， ∵BC＝4， ∴△BCD的面积＝BC•DE＝×4×2＝4， 故选：B． 2．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果要在三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场可选的位置有（　　） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】A 【解答】解：三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果要在三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场可选的位置应该在△ABC三个角的角平分线的交点处，可选的位置有1处， 故选：A． 3．如图，三条直线表示相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　） A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 【答案】D 【解答】解：如图所示，可供选择的地址有4个． 故选：D． 4．如图，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC＝3：2，则△ABD与△ACD的面积之比为（　　） A．3：2 B．6：4 C．4：9 D．不能确定 【答案】A 【解答】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点D作DF⊥AC，垂足为F， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF， ∵AB：AC＝3：2， ∴＝＝＝， 故选：A． 5．如图，AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE，CF交于D，则以下结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．正确的是（　　） A．① B．② C．①② D．①②③ 【答案】D 【解答】解：∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F ∴∠AEB＝∠AFC＝90°， ∵AB＝AC，∠A＝∠A， ∴△ABE≌△ACF（第一个正确） ∴AE＝AF， ∴BF＝CE， ∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∠BDF＝∠CDE， ∴△BDF≌△CDE（第二个正确） ∴DF＝DE， 连接AD ∵AE＝AF，DE＝DF，AD＝AD， ∴△AED≌△AFD， ∴∠FAD＝∠EAD， 即点D在∠BAC的平分线上（第三个正确） 故选：D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$