2.3 实数（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版）

2.3 实数 【考点1：无理数】 【考点2： 实数的相关概念及分类】 【考点3：实数的性质】 【考点4： 实数与数轴】 【考点5： 实数的大小比较】 【考点6：估算无理数大小】 【考点7：无理数整数部分或小数部分的有关计算】 【考点8： 实数运算】 【考点9： 程序设计与实数的运算】 【考点10： 新定义下的实数运算】 【考点11： 实数中的实际应用题】 知识点1：有理数与无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 注意： （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 【考点1：无理数】 【典例1】（2023秋•肃州区校级期末）下列实数，|﹣3|，中，无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】（2023秋•桐乡市期末）下列实数中，属于无理数的是（　　） A． B． C．1.732 D．2π 【变式1-2】（2023秋•酒泉期末）下列各数：0.456，，3.14，0.80108，0.1010010001…（邻两个1之间0的个数逐次加1），，．其中是无理数的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1-3】（2022秋•阜宁县期末）下列各数中，是无理数的是（　　） A． B．1.5 C．面积为2的正方形的边长 D．3.1415926 知识点2 ：实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 【考点2： 实数的相关概念及分类】 【典例2】（2023春•宁国市期中）下列说法中，正确的是（　　） A．无理数包括正无理数、零和负无理数 B．无限小数都是无理数 C．正实数包括正有理数和正无理数 D．实数可以分为正实数和负实数两类 【变式2-1】（2023秋•沈丘县期中）下列数是有理数的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023秋•文成县期中）在实数9.3，﹣1，，中，属于整数的是（　　） A．9.3 B．﹣1 C． D． 【变式2-3】（2023春•讷河市期末）下列说法正确的有（　　） （1）带根号的数都是无理数； （2）立方根等于本身的数是0和1； （3）﹣a一定没有平方根； （4）实数与数轴上的点是一一对应的； （5）两个无理数的差还是无理数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点3：实数的性质】 【典例3】（2023秋•威远县校级期中）的相反数是 　　，的绝对值是 　﹣　． 【变式3-1】（2023•西峡县二模）下列各数中，绝对值最大的数是 （　　） A．3 B．0 C． D． 【变式3-2】（2023春•西青区期末）的绝对值是（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】（2023秋•哈尔滨期末）实数﹣1的相反数是　 　． 【考点4： 实数与数轴】 【典例4】（2023秋•桐乡市期末）如图，实数在数轴上的对应点可能是（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【变式4-1】（2023秋•沈河区期末）如图，已知正方形ABCD的面积为5，顶点A在数轴上，且表示的数为1．现以A为圆心，AB为半径画圆，与数轴交于点E（E在A的左侧），则点E表示的数为（　　） A．﹣3.2 B． C． D． 【变式4-2】（2023秋•兰州期末）如图，在数轴上点B表示的数为1，在点B的右侧作一个边长为1的正方形BACD，连接BC，点M在点B的左侧的数轴上，BM＝BC，则点M表示的数是 　 ． 【变式4-3】（2023秋•昌平区期末）如图所示，为了在数轴上找到表示无理数π的点，小王同学制作了一个以A为圆心，m为半径的圆，并在此圆上标记一个点B，将点B与原点重合．若让此圆在数轴上向右滚动一周后，点B就是数轴上表示无理数π的点，则m＝　 　． 【考点5： 实数的大小比较】 【典例5】（2023秋•深圳期末）比较大小： 　　．（填“＞”或“＜”）． 【变式5-1】（2023秋•榆阳区期末）下列四个实数中，最大的数是（　　） A． B．2 C．0 D．﹣3 【变式5-2】（2023•和平区模拟）实数﹣π，﹣3.14，0，四个数中，最小的是（　　） A．﹣π B．﹣3.14 C． D．0 【变式5-2】（2022秋•唐山期末）若M＝，N＝，则M，N的大小关系是（　　） A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．无法比较 【考点6：估算无理数大小】 【典例6】（2023秋•长春期末）估算的值是在（　　） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【变式6-1】（2023秋•龙岗区期末）估计的值在（　　） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【变式6-2】（2023秋•金凤区校级期末）整数a，满足，则a＝　　． 【变式6-3】（2023春•路桥区期末）估算﹣1的值在（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【考点7：无理数整数部分或小数部分的有关计算】 【典例7】（2022秋•驿城区期末）已知的小数部分为a，的小数部分为b，则（a+b）2023的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．10 D．36 【变式7-1】（2023秋•六盘水期中）已知a，b分别是的整数部分和小数部分，那么2a﹣b的值是（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】（2023秋•南关区校级期中）的小数部分是（　　） A．﹣1 B． C． D． 【变式7-3】（2023秋•南皮县期中）设的小数部分是m，的整数部分是n，则（m+1）n的值是（　　） A．3 B．7 C．9 D．一个无理数 知识点3：实数运算 1．注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。 2．运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 【考点8： 实数运算】 【典例8】（2023秋•盐田区期末）计算： （1）； （2）． 【变式8-1】（2023秋•白银期末）计算：． 【变式8-2】（2023秋•沈丘县期末）计算： （1）×﹣； （2）﹣+|﹣3|+． 【变式8-3】（2023秋•二道区期末）计算：． 【考点9： 程序设计与实数的运算】 【典例9】（2023春•庐阳区校级期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是 　 　． 【变式9-1】（2023春•滑县期中）如图是一个简单的数值运算程序．当输入x的值为64时，输出的数值为 　　． 【变式9-2】（2022秋•温州期末）按如图所示的程序计算，若输入的a＝3，b＝4，则输出的结果为 　　． 【变式9-3】（2022秋•商水县月考）如图，小明设计了一个计算程序，当输入x的值为﹣5时，则输出的值为（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．3 【考点10： 新定义下的实数运算】 【典例10】（2022春•沙依巴克区期中）新定义一种运算@，其运算法则是x@，则2@（6@8）＝　　． 【变式10-1】（2023秋•渝北区期末）对于实数a，b定义运算“☆”如下：a☆b＝ab2﹣ab，例如3☆2＝3×22﹣3×2＝6，则方程x☆（﹣2）＝48，则x＝　　． 【变式10-2】（2023秋•金华期中）在实数范围内定义运算“⊗”：a⊗b＝2a﹣b，例如：3⊗2＝2×3﹣2＝4．若代数式1﹣4b+2a的值是17，则b⊗a的值为（　　） A．2 B．4 C．8 D．﹣8 【变式10-3】（2023秋•金华期中）在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：ab＝ab﹣2a．如：15＝1×5﹣2×1＝3，则不等式3x≥x﹣2的解集为是（　　） A．x＞2 B．x≥2 C．x＞﹣2 D．x≥﹣2 【变式10-4】（2022秋•金塔县期末）若a※b＝|﹣b|﹣（+b），则3※2的值为（　　） A．4 B． C．﹣4 D． 【考点11： 实数中的实际应用题】 【典例11】（2023秋•市中区校级期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为6和9． （1）小正方形的边长为 　　，它在 　　和 　　这两个连续整数之间； （2）请求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号） 【变式11-1】（2023•丰南区一模）如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8． （1）求出这个魔方的棱长； （2）图①中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长． （3）把正方形ABCD放到数轴上，如图②，使得点A与﹣1重合，那么点D在数轴上表示的数为　 　． 【变式11-2】（2023春•无为市期末）（1）在数学活动课上，老师要求同学利用手中纸片剪出一块面积为25cm2的正方形，试求出这个正方形的边长； （2）小强的手中有两块边长都为4cm的正方形纸片，他想将这两块正方形纸片沿对角线剪开，拼成如图所示的一个大正方形，请求出这个大正方形的面积．它的边长是整数吗？若不是整数，那么请你估计这个边长的值在哪两个整数之间． 【变式11-3】（2023春•鄂城区期中）观察：∵4＜7＜9，∴2＜＜3∴的整数部分为2，小数部分为﹣2． （1）的整数部分是 　　，10﹣的小数部分是 　　； （2）小明将一个长为10cm，宽为8cm的长方形纸片按与边平行的方向进行裁剪，裁剪出两个大小不一的正方形，使它们的边长之比为4：3，面积之和为75cm2，小明能否裁剪出这两个正方形？若能，请说明理由并求出这两个正方形的面积；若不能，也说明理由． 1．下列四个数中：，，0，，其中无理数的是（　） A． B． C．0 D． 2．估算的值是（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 3．的相反数为（    ） A．6 B． C． D． 4．如图所示，数轴上表示1、的点分别为A、B，点C到点A的距离与点B到点A的距离相等，则点C所表示的数是（　　）    A． B． C． D． 5．小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入x的值是有理数64时，输出的y值是（    ） A．8 B．±8 C．2 D． 6．如图，面积为3的正方形的顶点C在数轴上，且表示的数为．若将正方形绕点C逆时针旋转，使点D落到数轴上的点P处，则点P在数轴上所对应的数为（   ） A． B． C． D． 7．若的整数部分是a，小数部分是b，则 ． 8．比较大小： （填“＞”或“＜”）． 9．计算下列各题． (1) (2) 10．计算： (1)； (2)． 11．已知正数x的两个不等的平方根分别是和，的立方根为，c是的整数部分． (1)求x和b的值； (2)求的平方根． 12． 阅读下列材料∶ 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小诚和小乐分别用自己的方法进行了验证： 小诚：而，， ，即． 小乐：，，这就说明， 与都是 的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以 ． 回答以下问题： (1)结合材料直接写出当，时， 和 之间存在怎样的关系？ (2)运用以上结论，计算： ； ； (3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为 ，求这个长方形的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3 实数 【考点1：无理数】 【考点2： 实数的相关概念及分类】 【考点3：实数的性质】 【考点4： 实数与数轴】 【考点5： 实数的大小比较】 【考点6：估算无理数大小】 【考点7：无理数整数部分或小数部分的有关计算】 【考点8： 实数运算】 【考点9： 程序设计与实数的运算】 【考点10： 新定义下的实数运算】 【考点11： 实数中的实际应用题】 知识点1：有理数与无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 注意： （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 【考点1：无理数】 【典例1】（2023秋•肃州区校级期末）下列实数，|﹣3|，中，无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：是分数，属于有理数； |﹣3|＝3，＝2，＝﹣2，是整数，属于有理数； 0.4040404…（每相邻两个4之间一个0）是循环小数，属于有理数； 故在实数﹣，，|﹣3|，，，，0.4040404…（每相邻两个4之间一个0）中，无理数有﹣，，共2个． 故选：B． 【变式1-1】（2023秋•桐乡市期末）下列实数中，属于无理数的是（　　） A． B． C．1.732 D．2π 【答案】D 【解答】解：A．是分数，属于有理数，故不符合题意； B．，是整数，属于有理数，故不符合题意； C．1.732是有限小数，属于有理数，故不符合题意； D．2π是无理数，故符合题意． 故选：D． 【变式1-2】（2023秋•酒泉期末）下列各数：0.456，，3.14，0.80108，0.1010010001…（邻两个1之间0的个数逐次加1），，．其中是无理数的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【解答】解：＝2， 在所列实数中，无理数有，0.1010010001…（邻两个1之间0的个数逐次加1），，共有3个， 故选：B． 【变式1-3】（2022秋•阜宁县期末）下列各数中，是无理数的是（　　） A． B．1.5 C．面积为2的正方形的边长 D．3.1415926 【答案】C 【解答】解：是分数，1.5、3.1415926是有限小数，均为有理数，故A、B、D不符合要求； 面积为2的正方形的边长为，是无理数，故C符合要求； 故选：C． 知识点2 ：实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 【考点2： 实数的相关概念及分类】 【典例2】（2023春•宁国市期中）下列说法中，正确的是（　　） A．无理数包括正无理数、零和负无理数 B．无限小数都是无理数 C．正实数包括正有理数和正无理数 D．实数可以分为正实数和负实数两类 【答案】C 【解答】解：（A）无理数包括正无理数和负无理数，故A错误； （B）无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，故B错误； （D）实数可分为正实数，零，负实数，故D错误； 故选：C． 【变式2-1】（2023秋•沈丘县期中）下列数是有理数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：是有理数，故选项A符合题意； ，，是无理数，故选项B，C，D不符合题意． 故选：A． 【变式2-2】（2023秋•文成县期中）在实数9.3，﹣1，，中，属于整数的是（　　） A．9.3 B．﹣1 C． D． 【答案】B 【解答】解：， 整数是：﹣1， 故选：B． 【变式2-3】（2023春•讷河市期末）下列说法正确的有（　　） （1）带根号的数都是无理数； （2）立方根等于本身的数是0和1； （3）﹣a一定没有平方根； （4）实数与数轴上的点是一一对应的； （5）两个无理数的差还是无理数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解答】解：（1）无限不循环小数都是无理数，故（1）不符合题意； （2）立方根等于本身的数是0和1、﹣1故（2）不符合题意； （3）﹣a可能有平方根，故（3）不符合题意； （4）实数与数轴上的点是一一对应的，故（4）符合题意； （5）两个无理数的差可能是无理数、可能是有理数，故（5）不符合题意； 故选：A． 【考点3：实数的性质】 【典例3】（2023秋•威远县校级期中）的相反数是 　2﹣　，的绝对值是 　2﹣　． 【答案】2﹣，2﹣． 【解答】解：﹣2的相反数是2﹣，的绝对值是2﹣， 故答案为：2﹣，2﹣． 【变式3-1】（2023•西峡县二模）下列各数中，绝对值最大的数是 （　　） A．3 B．0 C． D． 【答案】D 【解答】解：∵|3|＝3，|0|＝0，|﹣|＝，|﹣|＝， ∴＞3＞＞0， 故选：D． 【变式3-2】（2023春•西青区期末）的绝对值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵≈1.414， ∴1.5﹣＞0． ∴1.5﹣的绝对值是它本身． 故选：A． 【变式3-3】（2023秋•哈尔滨期末）实数﹣1的相反数是　1﹣　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：﹣1的相反数是1﹣， 故答案为：1﹣． 【考点4： 实数与数轴】 【典例4】（2023秋•桐乡市期末）如图，实数在数轴上的对应点可能是（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】B 【解答】解：∵1＜2＜4， ∴， ∴， ∴， ∴实数在数轴上的对应点可能是B点， 故选：B． 【变式4-1】（2023秋•沈河区期末）如图，已知正方形ABCD的面积为5，顶点A在数轴上，且表示的数为1．现以A为圆心，AB为半径画圆，与数轴交于点E（E在A的左侧），则点E表示的数为（　　） A．﹣3.2 B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵正方形ABCD的面积为5，且AD＝AE， ∴AD＝AE＝， ∵点A表示的数是1，且点E在点A的右侧， ∴点E表示的数为1+． 故选：D． 【变式4-2】（2023秋•兰州期末）如图，在数轴上点B表示的数为1，在点B的右侧作一个边长为1的正方形BACD，连接BC，点M在点B的左侧的数轴上，BM＝BC，则点M表示的数是 　　． 【答案】． 【解答】解：由勾股定理得正方形对角线BC的长度为：， ∴BC＝BM＝， ∴OM＝， 又∵点M在原点O的左侧， ∴点M表示的数为：， 故答案为：． 【变式4-3】（2023秋•昌平区期末）如图所示，为了在数轴上找到表示无理数π的点，小王同学制作了一个以A为圆心，m为半径的圆，并在此圆上标记一个点B，将点B与原点重合．若让此圆在数轴上向右滚动一周后，点B就是数轴上表示无理数π的点，则m＝　　． 【答案】． 【解答】解：根据题意得，2mπ＝π， ∴m＝， 故答案为：． 【考点5： 实数的大小比较】 【典例5】（2023秋•深圳期末）比较大小： 　＜　．（填“＞”或“＜”）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：因为﹣ ＝ ＝ 因为2﹣＝﹣＜0， 所以＜0 即＜ 故答案为：＜ 【变式5-1】（2023秋•榆阳区期末）下列四个实数中，最大的数是（　　） A． B．2 C．0 D．﹣3 【答案】B 【解答】解：∵﹣3＜0＜＜2， ∴四个实数中最大的是2； 故选：B． 【变式5-2】（2023•和平区模拟）实数﹣π，﹣3.14，0，四个数中，最小的是（　　） A．﹣π B．﹣3.14 C． D．0 【答案】A 【解答】解：∵|﹣π|＝π，|﹣3.14|＝3.14， ∴﹣π＜﹣3.14， ∴﹣π，﹣3.14，0，这四个数的大小关系为﹣π＜﹣3.14＜0＜． 故选：A． 【变式5-2】（2022秋•唐山期末）若M＝，N＝，则M，N的大小关系是（　　） A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．无法比较 【答案】A 【解答】解：﹣＝＝， ∵10＞9， ∴＞3， ∴﹣3＞0， ∴＞0， ∴＞． ∴M＞N． 故选：A． 【考点6：估算无理数大小】 【典例6】（2023秋•长春期末）估算的值是在（　　） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】C 【解答】解：∵3＜＜4， ∴5＜+2＜6， 即+2在5和6之间， 故选：C． 【变式6-1】（2023秋•龙岗区期末）估计的值在（　　） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】B 【解答】解：∵32＝9，42＝16，而9＜15＜16， ∴3＜＜4， 故选：B． 【变式6-2】（2023秋•金凤区校级期末）整数a，满足，则a＝　2　． 【答案】2． 【解答】解：∵， ∵a为整数且， ∴， 故答案为：2 【变式6-3】（2023春•路桥区期末）估算﹣1的值在（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【解答】解：∵9＜13＜16， ∴3＜＜4， 则2＜﹣1＜3， 故选：B 【考点7：无理数整数部分或小数部分的有关计算】 【典例7】（2022秋•驿城区期末）已知的小数部分为a，的小数部分为b，则（a+b）2023的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．10 D．36 【答案】A 【解答】解：∵， ∴， ∴的小数部分为，的小数部分为， ∴ ∴， 故选：A． 【变式7-1】（2023秋•六盘水期中）已知a，b分别是的整数部分和小数部分，那么2a﹣b的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵＜＜，即3＜＜4， ∴﹣4＜﹣＜﹣3， ∴3＜7﹣＜4， ∴7﹣的整数部分a＝3，小数部分b＝7﹣﹣3＝4﹣， ∴2a﹣b＝6﹣4+＝2+． 故选：D． 【变式7-2】（2023秋•南关区校级期中）的小数部分是（　　） A．﹣1 B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵＜＜， ∴3＜＜4， ∴的整数部分是3， ∴的小数部分是﹣3， 故选：C． 【变式7-3】（2023秋•南皮县期中）设的小数部分是m，的整数部分是n，则（m+1）n的值是（　　） A．3 B．7 C．9 D．一个无理数 【答案】A 【解答】解：∵1＜＜2，2＜＜3， ∴m＝，n＝2， ∴（m+1）n＝（+1）2＝3． 故选：A． 知识点3：实数运算 1．注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。 2．运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 【考点8： 实数运算】 【典例8】（2023秋•盐田区期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0； （2）﹣2． 【解答】解：（1）原式＝4﹣2﹣4× ＝2﹣2 ＝0； （2）原式＝﹣1﹣1 ＝﹣2． 【变式8-1】（2023秋•白银期末）计算：． 【答案】1． 【解答】解： ＝7﹣4﹣2 ＝1． 【变式8-2】（2023秋•沈丘县期末）计算： （1）×﹣； （2）﹣+|﹣3|+． 【答案】（1）﹣2；（2）﹣． 【解答】解：（1）×﹣ ＝﹣×﹣2 ＝﹣2； （2）﹣+|﹣3|+ ＝﹣5+3﹣+ ＝﹣． 【变式8-3】（2023秋•二道区期末）计算：． 【答案】6． 【解答】解：原式＝﹣1+4+（﹣6）÷（﹣2） ＝﹣1+4+3 ＝6． 【考点9： 程序设计与实数的运算】 【典例9】（2023春•庐阳区校级期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是 　　． 【答案】． 【解答】解：∵9＜10＜16， ∴，即， 输入，则， 输入，则， 输入，则， 故输出． 故答案为：． 【变式9-1】（2023春•滑县期中）如图是一个简单的数值运算程序．当输入x的值为64时，输出的数值为 　5　． 【答案】5． 【解答】解：÷2+1 ＝8÷2+1 ＝4+1 ＝5． 故答案为：5． 【变式9-2】（2022秋•温州期末）按如图所示的程序计算，若输入的a＝3，b＝4，则输出的结果为 　5　． 【答案】5． 【解答】解：当a＝3，b＝4时， ＝＝＝5， 所以输出的结果为5． 故答案为：5． 【变式9-3】（2022秋•商水县月考）如图，小明设计了一个计算程序，当输入x的值为﹣5时，则输出的值为（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．3 【答案】C 【解答】解：由题意可得：（﹣5+9）×（﹣2）＝﹣8， ﹣8的立方根为﹣2， 故﹣2﹣1＝﹣3． 故选：C． 【考点10： 新定义下的实数运算】 【典例10】（2022春•沙依巴克区期中）新定义一种运算@，其运算法则是x@，则2@（6@8）＝　　． 【答案】． 【解答】解：由题意得：， ∴， 故答案为：． 【变式10-1】（2023秋•渝北区期末）对于实数a，b定义运算“☆”如下：a☆b＝ab2﹣ab，例如3☆2＝3×22﹣3×2＝6，则方程x☆（﹣2）＝48，则x＝　8　． 【答案】8． 【解答】解：由题意可得：x☆（﹣2）＝x×（﹣2）2﹣x×（﹣2）＝48， 则4x+2x＝48， 故6x＝48， 解得：x＝8． 故答案为：8． 【变式10-2】（2023秋•金华期中）在实数范围内定义运算“⊗”：a⊗b＝2a﹣b，例如：3⊗2＝2×3﹣2＝4．若代数式1﹣4b+2a的值是17，则b⊗a的值为（　　） A．2 B．4 C．8 D．﹣8 【答案】D 【解答】解：∵a⊗b＝2a﹣b， ∴b⊗a＝2b﹣a， ∵代数式1﹣4b+2a的值是17， ∴1﹣4b+2a＝17， ∴4b﹣2a＝1﹣17＝﹣16， ∴2b﹣a＝﹣8， ∴b⊗a＝2b﹣a＝﹣8． 故选：D． 【变式10-3】（2023秋•金华期中）在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：ab＝ab﹣2a．如：15＝1×5﹣2×1＝3，则不等式3x≥x﹣2的解集为是（　　） A．x＞2 B．x≥2 C．x＞﹣2 D．x≥﹣2 【答案】B 【解答】解：由题意得，3x﹣2×3≥x﹣2， 解得x≥2， 故选：B． 【变式10-4】（2022秋•金塔县期末）若a※b＝|﹣b|﹣（+b），则3※2的值为（　　） A．4 B． C．﹣4 D． 【答案】D 【解答】解：由a※b＝|﹣b|﹣（+b）可得： 3※2＝|﹣2|﹣（+2） ＝2﹣﹣﹣2 ＝﹣2． 故选：D． 【考点11： 实数中的实际应用题】 【典例11】（2023秋•市中区校级期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为6和9． （1）小正方形的边长为 　　，它在 　2　和 　3　这两个连续整数之间； （2）请求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号） 【答案】（1）；2；3；（2）． 【解答】解：（1）∵小正方形的面积为6， ∴小正方形的边长为， ∵4＜6＜9， ∴， ∴它在2和3这两个连续整数之间． 故答案为：；2；3． （2）阴影部分的面积为：． 【变式11-1】（2023•丰南区一模）如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8． （1）求出这个魔方的棱长； （2）图①中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长． （3）把正方形ABCD放到数轴上，如图②，使得点A与﹣1重合，那么点D在数轴上表示的数为　﹣1﹣　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设魔方的棱长为x， 则x3＝8，解得：x＝2； （2）∵棱长为2， ∴每个小立方体的边长都是1， ∴正方形ABCD的边长为：， ∴S正方形ABCD＝＝2； （3）∵正方形ABCD的边长为，点A与﹣1重合， ∴点D在数轴上表示的数为：﹣1﹣， 故答案为：﹣1﹣． 【变式11-2】（2023春•无为市期末）（1）在数学活动课上，老师要求同学利用手中纸片剪出一块面积为25cm2的正方形，试求出这个正方形的边长； （2）小强的手中有两块边长都为4cm的正方形纸片，他想将这两块正方形纸片沿对角线剪开，拼成如图所示的一个大正方形，请求出这个大正方形的面积．它的边长是整数吗？若不是整数，那么请你估计这个边长的值在哪两个整数之间． 【答案】（1）5cm； （2）面积为32cm2，边长为cm，不是整数，5＜＜6． 【解答】解：（1）面积为25cm2的正方形，其的边长为＝5cm， 答：面积为25cm2的正方形，这个正方形的边长为5cm； （2）由拼图可知，大正方形的面积为32cm2， 所以边长为cm， ∵52＝25，62＝36，而25＜32＜36， ∴5＜＜6， 答：这个大正方形的面积为32cm2，边长为cm，不是整数，5＜＜6． 【变式11-3】（2023春•鄂城区期中）观察：∵4＜7＜9，∴2＜＜3∴的整数部分为2，小数部分为﹣2． （1）的整数部分是 　6　，10﹣的小数部分是 　7﹣　； （2）小明将一个长为10cm，宽为8cm的长方形纸片按与边平行的方向进行裁剪，裁剪出两个大小不一的正方形，使它们的边长之比为4：3，面积之和为75cm2，小明能否裁剪出这两个正方形？若能，请说明理由并求出这两个正方形的面积；若不能，也说明理由． 【答案】（1）6，7﹣；（2）小明无法裁剪这两个正方形． 【解答】解：（1）∵36＜47＜49， ∴6＜＜7， ∴的整数部分是6， ∴10﹣的整数部分是3，10﹣的小数部分是7﹣， 故答案为：6，7﹣； （2）设小正方形的边长为3x cm，则大正方形的边长为4x cm， 根据题意得：（4x）2+（3x）2＝75， 解得：x＝或x＝﹣（舍）， ∴小正方形的边长为3cm，大正方形的边长为4cm， ∵3+4＝7＝＞＝10， ∴小明无法裁剪这两个正方形． 1．下列四个数中：，，0，，其中无理数的是（　） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A．是无理数，符合题意； B．是负整数，属于有理数，不符合题意； C．0是有理数，属于有理数，不符合题意； D．是分数，属于有理数，不符合题意； 故选：A． 2．估算的值是（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】D 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键．根据算术平方根的定义，估算无理数的大小即可． 【详解】解： ， 即， 即介在4和5之间， 故选：D 3．的相反数为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数，a的相反数是进行解答即可． 【详解】解：的相反数为， 故选：C． 4．如图所示，数轴上表示1、的点分别为A、B，点C到点A的距离与点B到点A的距离相等，则点C所表示的数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是数轴上两点间的距离，关键是理解距离的含义，就是用右边的数减去左边的数． 利用数轴上两点间的距离公式，根据距离相等列方程，求解即可． 【详解】解：设C所表示的数是x， ∵， ∴， ∴， 答案：C． 5．小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入x的值是有理数64时，输出的y值是（    ） A．8 B．±8 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的判断和求一个数的算术平方根和立方根，正确按照流程图顺序计算即可． 【详解】解：64的算术平方根是8，是有理数， 故将8取立方根为2，是有理数， 将2取算术平方根得，是无理数， 故选：D． 6．如图，面积为3的正方形的顶点C在数轴上，且表示的数为．若将正方形绕点C逆时针旋转，使点D落到数轴上的点P处，则点P在数轴上所对应的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，根据正方形的面积求出正方形的边长，即可得出的长，从而求得点P在数轴上所对应的数． 【详解】解：∵正方形的面积为3， ∴正方形的边长为， 即， ∵点C表示的数为，点P在点C的左边， ∴点P表示的数为， 故选：C． 7．若的整数部分是a，小数部分是b，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了无理数估算，代数式求值，根据题意可得，从而得到，，代入求值即可． 【详解】解：， ， 的整数部分为，小数部分为， ， 故答案为：． 8．比较大小： （填“＞”或“＜”）． 【答案】＜ 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，能够判断出两个数的符号是解题的关键． 根据实数的大小比较法则进行比较即可． 【详解】解：，， ∵， ∴． 故答案为：＜． 9．计算下列各题． (1) (2) 【答案】(1) (2)7 【分析】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用平方根、立方根定义计算即可得到结果； （2）原式利用平方根、立方根定义，以及绝对值的代数意义化简即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及算术平方根，立方根，有理数的乘方，化简绝对值等知识．熟练掌握算术平方根，立方根，有理数的乘方，化简绝对值是解题的关键． （1）先分别求算术平方根，立方根，有理数的乘方，然后进行加减运算即可； （2）先分别计算立方根，化简绝对值，求算术平方根，然后进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 11．已知正数x的两个不等的平方根分别是和，的立方根为，c是的整数部分． (1)求x和b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)x和b的值分别为和 (2) 【分析】本题考查了平方根，立方根，无理数的整数部分等知识．熟练掌握平方根，立方根，无理数的整数部分是解题的关键． （1）由题意知，，，可求，则，然后作答即可； （2）由，可得，根据的平方根为，代值求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，，， 解得，， ∴， ∴x和b的值分别为和； （2）解：∵， ∴， ∴的平方根为， ∴的平方根为． 12． 阅读下列材料∶ 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小诚和小乐分别用自己的方法进行了验证： 小诚：而，， ，即． 小乐：，，这就说明， 与都是 的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以 ． 回答以下问题： (1)结合材料直接写出当，时， 和 之间存在怎样的关系？ (2)运用以上结论，计算： ； ； (3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为 ，求这个长方形的面积． 【答案】(1) (2)； (3)20 【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根的应用，熟练掌握实数的混合运算法则是解题的关键． （1）由题意可得当，时，； （2）根据法则计算； ； （3）由长方形的面积可知． 【详解】（1）当，时， ； （2）； ， （3）根据题意得：长方形的面积为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$