第2章 实数基础过关测试卷-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版新教材）

第2章 实数基础过关测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在实数，，，中，无理数有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（    ） A． B． C． D．3 4．计算的结果是（   ） A．6 B． C． D．36 5．一个数的平方为25，则这个数是（　　） A．5或 B． C．4 D．8或 6．若，化简的正确结果为（   ） A． B．1 C． D． 7．下列说法错误的是（ ） A．的立方根是 B．是的算术平方根 C．的平方根是 D．的平方根是 8．已知，那么（    ） A． B．1 C．2 D． 9．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（   ） A． B． C． D． 10．对于任意的正数、定义运算“※”为计算的结果为（    ） A． B． C． D． 11．若最简二次根式与是同类二次根式，则的值为（   ） A．3或 B．3 C． D． 12．当时，代数式 （      ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．的算术平方根是 ． 14．比较大小 （填“”，“”或“”） 15．我们用表示不大于a的最大整数，例如：．若，则x的取值范围是 ． 16．若 的整数部分为a，小数部分为b，则 ， 三、解答题（本题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）计算：． 18．（10分）解方程 (1)； (2)． 19．（10分）已知：，，分别求下列代数式的值： (1) (2) 20．（10分）如图，把两张小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一张面积为的大正方形纸片． (1)小正方形纸片的边长为 ； (2)若沿此大正方形纸片边的方向剪出一张长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为？若能，试求出剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 21．（10分）阅读理解，然后解决问题 例如： 上面的做法都可以把分母中的二次根号去掉，简称分母有理化．请你完成下列化简： (1) (2)分母有理化： 22．（12分）学习完“二次根式”后，小美在数学拓展活动中，和启智小组的同学们遇到一道题： 已知，求的值． 她是这样解答的： 解：， ， ， ． 请你根据小美的解题过程，解答下列问题． (1)计算：_______． (2)计算：． (3)已知，求的值． 23．（12分）阅读材料： 材料一：定义表示不大于的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对，若满足，则称该有序数对为“望一”数对；若满足，则称该有序数对为“望音”数对． (1)计算： ． (2)下列数对是“望一”数对的有 ，是“望音”数对的有 ．（填序号） ； ； ； ； ． (3)计算的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 实数基础过关测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在实数，，，中，无理数有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无理数的定义． 根据无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数．对所给的数逐一分析，再作判断． 【详解】解：是分数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； 根据无理数的定义可知，无理数有，，共2个． 故选：． 2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 利用进行化简即可． 【详解】解：． 故选：B． 3．计算的结果是（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的加法，掌握算法是解决问题的关键．合并同类二次根式即可． 【详解】解：． 故选：C． 4．计算的结果是（   ） A．6 B． C． D．36 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根，熟记算术平方根的定义是解题的关键．根据算术平方根的定义计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 5．一个数的平方为25，则这个数是（　　） A．5或 B． C．4 D．8或 【答案】A 【分析】本题考查了平方根，熟知平方根的概念是解题的关键． 先设这个数为，根据题意得出，从而求出的值． 【详解】解：设这个数为，则， ， 故选：A． 6．若，化简的正确结果为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式的化简，化简绝对值，先判断，，再利用二次根式的性质与绝对值的性质化简，再合并即可． 【详解】， ， 故选B． 7．下列说法错误的是（ ） A．的立方根是 B．是的算术平方根 C．的平方根是 D．的平方根是 【答案】D 【分析】根据平方根，算术平方根，立方根的定义解答即可． 本题考查了平方根，算术平方根，立方根，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A. 的立方根是，正确，不符合题意；     B. 是的算术平方根，正确，不符合题意； C. 的平方根是，正确，不符合题意；     D. ，4的平方根是，即的平方根是，故选项错误，符合题意； 故选：D． 8．已知，那么（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根的非负性和代数式求值，正确求出的值是解题的关键． 先根据算术平方根的非负性得到，求出，再代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 9．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴与实数及勾股定理，能求出的长是解此题的关键．根据图示，可得：点A是以为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，再进一步确定a的值为多少即可． 【详解】解：由勾股定理得：， ∴， ∴点A是以为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，且在左侧， ∴． 故选：C． ． 10．对于任意的正数、定义运算“※”为计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了对新定义运算的理解与运用，以及二次根式的加减运算．熟练掌握新定义运算的规则和二次根式的加减法则是解题的关键． 本题给出了一种新定义的运算“※”，需要根据该运算规则，先分别计算出与的值，再将这两个值相加得到最终结果．解题思路是先依据新运算规则判断与的大小关系，然后选择对应的运算公式进行计算． 【详解】解： ， 故选：B． 11．若最简二次根式与是同类二次根式，则的值为（   ） A．3或 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式．根据同类二次根式的定义，被开方数必须相同且二次根式为最简形式．通过解方程并验证被开方数的有效性和最简性，确定最终答案． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴． 化简，得． ． 解得或． 时，，不是最简二次根式，排除， 时，，为最简二次根式，符合条件． ∴． 故选：C． 12．当时，代数式 （      ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，直接利用完全平方公式将原式变形，进而代入已知数据求出答案． 【详解】解：当时， ． 故选：B． 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义，先化简，再计算即可． 【详解】解：因为， 所以的算术平方根是； 故答案为：． 14．比较大小 （填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了无理数的大小比较． 估算出的大小，进而得到，即可作答． 【详解】∵， ∴，， ∴ ∴． 故答案为：． 15．我们用表示不大于a的最大整数，例如：．若，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，根据题意可得，再由新定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16．若 的整数部分为a，小数部分为b，则 ， 【答案】 1 【分析】本题重点考查​无理数的估算和实数的整数部分与小数部分的确定​，​准确估算无理数的大小并正确计算表达式的值是解题的关键​． 先估算出整数部分，再利用无理数减去整数部分即得小数部分，即得答案． 【详解】因为， 所以， 所以整数部分，小数部分， 故答案为：1；． 三、解答题（本题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先利用完全平方公式和平方差公式计算，然后算加减法即可． 【详解】解： ． 18．（10分）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了平方根的定义、立方根的定义． （1）整理后，利用平方根的定义求解即可； （2）整理后，利用立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 19．（10分）已知：，，分别求下列代数式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了代数式求值、二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． （1）将a，b的值代入，利用二次根式的加减运算法则进行计算即可得； （2）将a，b的值代入，利用平方差公式进行计算即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴． 20．（10分）如图，把两张小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一张面积为的大正方形纸片． (1)小正方形纸片的边长为 ； (2)若沿此大正方形纸片边的方向剪出一张长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为？若能，试求出剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查算术平方根的应用， （1）先根据小正方形的面积是大正方形面积的一半求得小正方形的面积，进而求得小正方形的边长即可； （2）根据剪出的大长方形的面积为，列方程求得长方形的长，再与大正方形的边长进行比较即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，小正方形的面积是大正方形面积的一半， ∴小正方形的面积为， 设小正方形的边长为a， 则， ∴（负值舍去）， 故答案为：； （2）解：不能，理由如下： 大正方形的边长为：， ∵长方形的长宽之比为， ∴设长方形的长和宽分别是，， ∴， ， ∵， ， ∴长方形的长为， ，， ∵， ∴沿着大正方形边的方向不能裁出符合要求的长方形． 21．（10分）阅读理解，然后解决问题 例如： 上面的做法都可以把分母中的二次根号去掉，简称分母有理化．请你完成下列化简： (1) (2)分母有理化： 【答案】(1)9 (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化，熟练掌握分母有理化的一般步骤，是解题的关键． （1）根据分母有理化的运算过程解答即可； （2）根据分母有理化的运算过程解答即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 22．（12分）学习完“二次根式”后，小美在数学拓展活动中，和启智小组的同学们遇到一道题： 已知，求的值． 她是这样解答的： 解：， ， ， ． 请你根据小美的解题过程，解答下列问题． (1)计算：_______． (2)计算：． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2026 【分析】(1)仿照阅读资料中的化简解答即可． (2) 仿照阅读资料中的化简解答即可． (3) 仿照阅读资料中的化简解答即可． 本题考查了二次根式的分母有理化，平方差公式，化简求值，熟练掌握新方法是解题的关键． 【详解】（1）解： ， 故答案为：． （2）解： ． （3）解：， ， ， ， 故 ． ． 23．（12分）阅读材料： 材料一：定义表示不大于的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对，若满足，则称该有序数对为“望一”数对；若满足，则称该有序数对为“望音”数对． (1)计算： ． (2)下列数对是“望一”数对的有 ，是“望音”数对的有 ．（填序号） ； ； ； ； ． (3)计算的值． 【答案】(1)； (2)；； (3)． 【分析】本题主要考查了新定义运算，算术平方根，无理数大小的估算，解题的关键是理解题意，熟练掌握相关的定义． （）根据题干中给出的信息进行计算即可； （）根据“望一”数对和“望音”数对的定义进行求解即可； （）根据题干中的信息找出规律，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， ∴是“望音”数对； ， ∴既不是“望一”数对，也不是“望音”数对； ， ∴是“望一”数对； ∴是“望一”数对； ， ∴是“望音”数对； 故答案为：；； （3）解：由，，； ，，，，； ，，，， ，； ； ，， ∴ ， 设， ∴当不是完全平方数时，存在整数使得，此时，则该项的值为； 当是完全平方数时，设（为正整数），则， ∵是偶数， ∴必为偶数， 此时， ∴该项的值为， 因此，我们只需计算原式中值为的项的个数， ∵ 且 ， ∴ ， 又∵为偶数， ∴可取，的个数为个， ∴原式的值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $