江苏省南京市中华中学2023-2024学年高一下学期期末学情调研数学试卷

江苏省南京市秦淮区2023-2024学年第二学期期末学情调研试卷 高一数学 本卷调研时间：120分钟 总分：150分 一、单选题（共8小题，每题5分，共40分） 1. 设为虚数单位，若复数 满足，则在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知为锐角，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 在 中，已知，，，则 角的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 4. 已知，，若在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. 60° B. 120° C. 135° D. 150° 5. 设样本数据的均值和方差分别为1和2，若，则的方差为（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 8 6. 已知，是两个不同的平面，m，l是两条不同的直线，若，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 如图，在正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，平行四边形 中，， .现将 沿 起，使二面角大小为120°，则折起后得到的三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，共18分.双选题选对一个得3分，三选题选对一个得2分；选错得0分） 9. 已知m，n是不同的直线，，是不重合的平面，则下列命题中，真命题有（     ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 10. 2023年10月26日，神舟十七号载人飞船成功发射，中国航天再创辉煌.为普及航天知识，弘扬航天精神，某市举办了一次航天知识竞赛.为了解这次竞赛成绩情况，从中随机抽取了50名参赛市民的成绩作为样本进行统计（满分:100分），得到如下的频率分布直方图，则（ ） 注:同一组中的数据用该组区间中点值代表. A. 图中 的值为0.004 B. 估计样本中竞赛成绩的众数为70 C. 估计样本中竞赛的平均成绩不超过80分 D. 估计样本中竞赛成绩的第75百分位数为76.75 11. 已知正三棱台，，，下列说法正确的是（ ） A. 正三棱台体积为 B. 侧棱与底面 所成角的余弦值为 C. 点A到面的距离为2 D. 三棱台的外接球的表面积为 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 已知向量，的夹角为，，，则______. 13. 在 中，内角 ， ， 所对的边，， 满足，则_______，三角形 为锐角三角形，则的取值范围是_______. 14. 如图，在长方体中，，，为的中点，过的平面分别与棱，交于点E，F，且，则截面四边形的面积为______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知：，且，． （1）求的值； （2）求的值． 16. 如图，AB是圆O的直径，点P在圆O所在平面上的射影恰是圆O上的点C，且，点D是PA的中点，点F为PC的中点. （1）求异面直线 和所成角的大小； （2）求二面角的大小. 17. 在 中，角 ， ， 所对的边分别为，， ，已知，，其中为 的面积. （1）求角 的大小； （2）设 是边 的中点，若，求 的长. 18. 如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面 为矩形，且平面平面 ， ， 分别为 ， 的中点，二面角的正切值为2. （1）求四棱锥的体积； （2）证明： （3）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式为：设，，，…，，，，，…，，，当且仅当（）或存在一个数，使得（）时，等号成立. （1）请你写出柯西不等式的二元形式； （2）设 是棱长为的正四面体 内的任意一点，点 到四个面的距离分别为、、、，求的最小值； （3）已知正数数列满足：①存在，使得（）；②对任意正整数 、（），均有.求证：对任意，，恒有. 江苏省南京市秦淮区2023-2024学年第二学期期末学情调研试卷 高一数学 本卷调研时间：120分钟 总分：150分 一、单选题（共8小题，每题5分，共40分） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 二、多选题（本大题共3小题，共18分.双选题选对一个得3分，三选题选对一个得2分；选错得0分） 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 ①. ②. 【14题答案】 【答案】 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）证明：由（1）知，平面 ，平面 ， ∴ 在正方形 中，易知 ∴ 而， ∴∴ ∵，∴平面 ∵平面， ∴. （3） 【19题答案】 【答案】（1）柯西不等式的二元形式为： 设，则， 当且仅当时等号成立. （2） （3）对，记是的一个排列， 且满足, 由条件②得：. 于是，对任意的， 都有， 由柯西不等式得 ， 所以 ， 从而，对任意，，恒有， 因为对任意，，， 所以，对任意，，恒有， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $