专题01 集合与逻辑（考点练+模拟练）-备战2025年高考数学一轮复习《重难点题型•高分突破》（上海专用）

专题01 集合与逻辑（考点练+模拟练） 一、填空题 1．（23-24高三上·上海·期中）已如全集，集合，则 ． 2．（23-24高三上·上海黄浦·开学考试）“或”是“”的 条件. 3．（2023·上海普陀·模拟预测）已知命题p：任意正数x，恒有，则命题p的否定为 ． 4．（23-24高三上·上海·期中）已知集合，，则 ． 5．（22-23高一上·上海复旦附中分校·阶段练习）已知全集，集合，则＝ ． 6．（23-24高三上·上海奉贤·阶段练习）已知集合，集合，则 ． 7．（23-24高三上·上海松江·期中）已知，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 . 8．（23-24高三上·上海静安·开学考试）集合，，若集合中有三个元素，则实数 . 9．（23-24高一上·河北邯郸·阶段练习）若集合，，则集合的非空真子集的个数为 . 10．（20-21高三上·上海崇明·阶段练习）已知或，或，若是的必要条件，则实数的取值范围是 . 11．（20-21高一上·上海闵行·期中）已知集合M＝，若，则实数a的取值范围是 ． 12．（23-24高三上·上海浦东新·期中）是正整数集的子集，满足：，并有如下性质：若、，则，其中表示不超过实数的最大整数，则的非空子集个数为 ． 二、单选题 13．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 14．（16-17高一上·上海浦东新·期中）已知集合A，，若A不是的子集，则下列命题中正确的是（    ） A．对任意的，都有 B．对任意的，都有 C．存在，满足，且 D．存在，满足，且 15．（21-22高三上·上海浦东新·阶段练习）集合各有8个元素,有6个元素,若集合满足:,则满足条件的集合共有（    ） A．32个 B．16个 C．8个 D．4个 16．（20-21高三上·浙江·开学考试）设集合中至少两个元素，且满足：①对任意，若，则 ，②对任意，若，则，下列说法正确的是（    ） A．若有2个元素，则有3个元素 B．若有2个元素，则有4个元素 C．存在3个元素的集合，满足有5个元素 D．存在3个元素的集合，满足有4个元素 三、解答题 17．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）设全集，. (1)若，求，； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 18．（22-23高三上·上海青浦·期中）已知集合，，且． (1)若是的充分条件，求实数a的取值范围； (2)若命题“”为假命题，求实数a的取值范围． 19．（22-23高三上·上海崇明·阶段练习）已知为全集，集合，集合． (1)求集合A； (2)若，求实数的取值范围． 20．（22-23高三上·上海浦东新·阶段练习）设全集为，集合，. (1)求； (2)若，求的取值范围. 21．（23-24高一上·上海·期中）集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”． (1)判断集合、是否为“可分集合”（不用说明理由）； (2)求证：五个元素的集合一定不是“可分集合”； (3)若集合是“可分集合”，证明是奇数． 一、填空题 1．（2022·上海·模拟预测）已知集合，则用列举法表示集合 2．（2022·上海浦东新·模拟预测）已知集合，，则 . 3．（2024·上海·三模）已知集合，，则 4．（2024·上海·三模）已知集合，，若，则 ． 5．（2024·上海·三模）已知集合，，则 ． 6．（2023·上海静安·二模）若集合，，且，则 . 7．（2023·上海青浦·二模）已知集合，若，则实数的取值范围为 . 8．（2024·上海宝山·二模）已知集合，且，则实数的值为 . 9．（2017·上海奉贤·一模）已知互异实数，集合，则 ． 10．（2023·上海金山·一模）若集合，，且，则实数的取值范围是 . 11．（2022·上海青浦·二模）已知集合，其中且，函数，且对任意，都有，则的值是 ． 12．（2022·上海普陀·一模）设非空集合，当中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称是的偶子集，若集合，则其偶子集的个数为 . 二、单选题 13．（2022·上海·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 14．（2023·上海普陀·二模）设为实数，则“”的一个充分非必要条件是（    ） A． B． C． D． 15．（2023·上海普陀·一模）设、、、、是均含有个元素的集合，且，，记，则中元素个数的最小值是（    ） A． B． C． D． 16．（2021·上海青浦·一模）设函数，其中是实数集的两个非空子集，又规定，，则下列说法： （1）一定有； （2）若，则； （3）一定有； （4）若，则. 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 三、解答题 17．（2017·上海浦东新·三模）数列的前n项组成集合，从集合中任取个数，其所有可能的k个数的乘积的和为（若只取一个数，规定乘积为此数本身），例如：对于数列，当时，时，； (1)若集合，求当时，的值； (2)若集合，证明：时集合的与时集合的（为了以示区别，用表示）有关系式，其中； (3)对于（2）中集合．定义，求（用n表示）． ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合与逻辑（考点练+模拟练） 一、填空题 1．（23-24高三上·上海·期中）已如全集，集合，则 ． 【答案】 【分析】解出集合，利用补集的定义可求得集合. 【解析】由可得，解得或，则或， 又因为全集，则. 故答案为：. 2．（23-24高三上·上海黄浦·开学考试）“或”是“”的 条件. 【答案】充要 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断作答. 【解析】命题“若或，则”是真命题， 命题“若，则或”是真命题， 所以“或”是“”的充要条件. 故答案为：充要 3．（2023·上海普陀·模拟预测）已知命题p：任意正数x，恒有，则命题p的否定为 ． 【答案】存在正数，使 【分析】含有全称量词的否定，改成特称量词即可. 【解析】由全称命题的否定为特称命题知： 存在正数，使. 故答案为：存在正数，使 4．（23-24高三上·上海·期中）已知集合，，则 ． 【答案】 【分析】直接由交集的概念、区间的表示即可得解. 【解析】因为，，所以. 故答案为：. 5．（22-23高一上·上海复旦附中分校·阶段练习）已知全集，集合，则＝ ． 【答案】 【分析】根据已知条件，先求出并集与补集的定义，即可求解． 【解析】由题设或， 所以. 故答案为：． 6．（23-24高三上·上海奉贤·阶段练习）已知集合，集合，则 ． 【答案】 【分析】根据函数的定义域及值域结合交集的运算求值即可. 【解析】由题意可知， 所以. 故答案为： 7．（23-24高三上·上海松江·期中）已知，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据不等式所表示的集合的关系列出不等式，解出即可. 【解析】，解得，设，， 若是的充分不必要条件，则， 则有，且等号不会同时取到，解得， 则实数的取值范围是. 故答案为：. 8．（23-24高三上·上海静安·开学考试）集合，，若集合中有三个元素，则实数 . 【答案】或 【分析】集合中有三个元素，则或，解方程并检验即可. 【解析】集合，，若集合中有三个元素， 则或， 若，解得，其中与元素互异性矛盾舍去，满足题意； 若，解得或，舍去，满足题意， 所以或. 故答案为：或 9．（23-24高一上·河北邯郸·阶段练习）若集合，，则集合的非空真子集的个数为 . 【答案】 【分析】先用列举法把集合求出来，然后根据集合的定义求出集合，不妨设集合中有个元素，则集合的非空真子集的个数为个. 【解析】由题意知， 又定义集合， 所以集合中可能有以下元素：， ，， 根据集合的元素之间满足互异性去重得， 所以集合B中含有个元素， 所以集合B的非空真子集的个数为. 故答案为：14. 10．（20-21高三上·上海崇明·阶段练习）已知或，或，若是的必要条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】是的必要条件，即，分，两种情况讨论分析，即得解 【解析】设或，或 若是的必要条件，则 （1）当时，即，此时，成立； （2）当时，即，若，此时，无解. 综上： 故答案为： 11．（20-21高一上·上海闵行·期中）已知集合M＝，若，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分别求得a＝0，a>0，a<0三种情况下，x的解集，根据题意，列出不等式，即可求得a的范围. 【解析】由集合M＝，得(ax－5)(x2－a)<0， 当a＝0时，得，显然不满足题意， 当a>0时，原不等式可化为， 若，则解得或， 所以只需满足，解得； 若，则解得或， 所以只需满足，解得9<a≤25， 当a<0时，当时，(ax－5)(x2－a)<0恒成立，不符合题意， 综上，实数a的取值范围是． 【点睛】解题的关键是掌握高次不等式的解法，即①保证x最高次幂系数为正，②分解因式，令各个因式等于0，求得对应的x，并按从小到大的顺序，标记在数轴上，③从右上角开始，“奇穿偶回”，④结合不等号，求得解集. 12．（23-24高三上·上海浦东新·期中）是正整数集的子集，满足：，并有如下性质：若、，则，其中表示不超过实数的最大整数，则的非空子集个数为 ． 【答案】 【分析】根据题意，先判断中相邻两数不可能大于等于2，可得2，3，，，从而求出，再根据子集的个数与集合元素个数之间的关系即可得答案． 【解析】由题意可知：若，，则，，，均属于， 而事实上，若，中， 所以， 故，中有正整数， 从而中相邻两数不可能大于等于2， 故2，3，，， 若，，则有，与矛盾， 当时，， 当时，则， 所以，， 所以，2，，， 所以非空子集有个． 故答案为：． 【点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 二、单选题 13．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断集合、的包含关系，结合交集的定义可求得结果. 【解析】因为，， 集合表示的是的偶数倍构成的集合，集合表示的是的整数倍构成的集合， 即，故. 故选：B. 14．（16-17高一上·上海浦东新·期中）已知集合A，，若A不是的子集，则下列命题中正确的是（    ） A．对任意的，都有 B．对任意的，都有 C．存在，满足，且 D．存在，满足，且 【答案】C 【分析】根据子集关系结合元素与集合的关系逐项分析判断. 【解析】对于选项A、B：例如，满足A不是的子集， 但，故A错误；，故B错误； 对于选项C：对任意的，都有，则， 若A不是的子集，则存在，满足，且，故C正确； 对于选项D：例如，满足A不是的子集， 但不存在，满足，且，故D错误； 故选：C. 15．（21-22高三上·上海浦东新·阶段练习）集合各有8个元素,有6个元素,若集合满足:,则满足条件的集合共有（    ） A．32个 B．16个 C．8个 D．4个 【答案】B 【分析】根据题意设出集合,根据判断集合中元素的构成情况,根据子集和集合中元素的个数关系即可得出结果. 【解析】解:由题知各有8个元素,且有6个元素, 设,且 , 则画图如下: 因为, 所以 所以集合中至少有,6个元素, 最多有,10个元素, 只需求出的子集, 在每个子集中加入6个元素,即可得集合, 所以集合的个数,即是的子集的个数个. 故选:B 16．（20-21高三上·浙江·开学考试）设集合中至少两个元素，且满足：①对任意，若，则 ，②对任意，若，则，下列说法正确的是（    ） A．若有2个元素，则有3个元素 B．若有2个元素，则有4个元素 C．存在3个元素的集合，满足有5个元素 D．存在3个元素的集合，满足有4个元素 【答案】A 【解析】不妨设，由②知集合中的两个元素必为相反数，设，由①得，由于集合中至少两个元素，得到至少还有另外一个元素，分集合有个元素和多于个元素分类讨论，即可求解. 【解析】若有2个元素，不妨设， 以为中至少有两个元素，不妨设， 由②知，因此集合中的两个元素必为相反数，故可设， 由①得，由于集合中至少两个元素，故至少还有另外一个元素， 当集合有个元素时，由②得：，则或. 当集合有多于个元素时，不妨设， 其中， 由于，所以， 若，则，但此时， 即集合中至少有这三个元素， 若，则集合中至少有这三个元素， 这都与集合中只有2个运算矛盾， 综上，，故A正确； 当集合有个元素，不妨设， 其中，则，所以， 集合中至少两个不同正数，两个不同负数，即集合中至少个元素，与矛盾，排除C，D. 故选：A. 【点睛】解题技巧：解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素. 三、解答题 17．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）设全集，. (1)若，求，； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由已知解不等式求得集合和，由函数定义域求得集合，再利用集合的交、并运算即得结果； （2）由充分必要条件可得是的真子集，由集合之间的关系可得答案. 【解析】（1）若，则或，， 又，所以，； （2）由题意，可知是的真子集， 在上恒成立， 因为， ，即， 所以的解集为， 所以，可得，综上可得实数a的取值范围. 18．（22-23高三上·上海青浦·期中）已知集合，，且． (1)若是的充分条件，求实数a的取值范围； (2)若命题“”为假命题，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）解不等式后由题意列式求解， 【解析】（1）由得，即， 若是的充分条件，则， 由解得，则a的取值范围是， （2）若，则或，解得或， 而“”为假命题，故a的取值范围是 19．（22-23高三上·上海崇明·阶段练习）已知为全集，集合，集合． (1)求集合A； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将分式不等式化为，解出解集，得到集合A； （2）由（1）得到，根据得到，从而列出不等式，求出实数的取值范围. 【解析】（1），即，， 等价于，解得：， 故； （2）由（1）得：， 所以或， 因为，所以， 又， 因为，故， 则或， 解得：或， 综上：实数的取值范围为. 20．（22-23高三上·上海浦东新·阶段练习）设全集为，集合，. (1)求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先解不等式求出和，再求出，即可出； （2）求出在不同的取值范围内的集合，再根据，即可求得的取值范围. 【解析】（1）不等式， ∴， 不等式， ∴， ∴， ∵， ∴或. （2）不等式， ①当时，，不等式，解集为， ∴，此时成立，满足题意； ②当时，，或， ∴或， ∵或 ∴若，则有，解得， ∴此时，的取值范围是； ③当时，，或， ∴或， ∵或 ∴若，则有，解得， ∴此时，的取值范围是， 综上所述，实数的取值范围是. 21．（23-24高一上·上海·期中）集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”． (1)判断集合、是否为“可分集合”（不用说明理由）； (2)求证：五个元素的集合一定不是“可分集合”； (3)若集合是“可分集合”，证明是奇数． 【答案】(1)不是“可分集合”，为“可分集合” (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由“可分集合”的定义判断； （2）不妨设，讨论当在集合中去掉元素、后，将剩余元素构成的集合，结合“可分集合”的定义进行分拆，得出等式，推出矛盾，即可证得结论成立； （3）根据集合中元素总和与单个元素的奇偶性讨论后证明. 【解析】（1）解：对于，去掉后，不满足题中条件，故不是“可分集合”， 对于，集合所有元素之和为. 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意. 综上所述，集合是“可分集合”. （2）证明：不妨设， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有①，或者②， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有③，或者④， 由①③得，矛盾，由①④得，矛盾， 由②③得矛盾，由②④得矛盾， 故当时，集合一定不是“可分集合”． （3）设中所有元素之和为，由题意得均为偶数， 故的奇偶性相同， ①若为奇数，则为奇数，易得为奇数， ②若为偶数，此时取，可得仍满足题中条件，集合也是“可分集合”， 若仍是偶数，则重复以上操作，最终可得各项均为奇数的“可分集合”，由①知为奇数 综上，集合中元素个数为奇数. 【点睛】关键点点睛：考查新定义下的集合问题，对此类题型首先要多读几遍题，将新定义理解清楚，然后根据定义验证，证明即可，注意对问题思考的全面性. 一、填空题 1．（2022·上海·模拟预测）已知集合，则用列举法表示集合 【答案】 【分析】根据不等式的解法，求得，进而利用列举法，即可求解. 【解析】由不等式，可得，解得， 即集合且. 故答案为：. 2．（2022·上海浦东新·模拟预测）已知集合，，则 . 【答案】 【分析】直接根据并集定义求解即可. 【解析】因为，，所以， 故答案为： 3．（2024·上海·三模）已知集合，，则 【答案】 【分析】把集合中的元素代入不等式检验可求得. 【解析】当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 所以. 故答案为：. 4．（2024·上海·三模）已知集合，，若，则 ． 【答案】3 【分析】根据给定条件，利用交集的结果直接列式计算即得. 【解析】集合，，由，得，又， 因此，所以. 故答案为：3 5．（2024·上海·三模）已知集合，，则 ． 【答案】 【分析】首先解绝对值不等式与分式不等式求出集合、，再根据交集的定义计算可得. 【解析】由，即，解得， 所以， 由，即，等价于，解得或， 所以， 所以. 故答案为： 6．（2023·上海静安·二模）若集合，，且，则 . 【答案】 【分析】依题意可得且，即可求出、的值，从而求出集合、，再根据并集的定义计算可得. 【解析】因为，，且， 所以且，显然，所以且，所以， 所以，， 所以. 故答案为： 7．（2023·上海青浦·二模）已知集合，若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】求函数的定义域求得集合，根据求得的取值范围. 【解析】由解得，所以， 由于，所以， 所以的取值范围是. 故答案为： 8．（2024·上海宝山·二模）已知集合，且，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系，结合集合元素的性质求解即得. 【解析】由集合，且，得或，解得或， 当时，，符合题意， 当时，且，与集合元素的互异性矛盾， 所以实数的值为0. 故答案为： 9．（2017·上海奉贤·一模）已知互异实数，集合，则 ． 【答案】-1 【分析】分情况讨论,,或,再计算即可. 【解析】互异实数,集合, ∴,,或,,,． 由,,,,无解． 由,,,．可得,解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根据集合的互异性与集合相等求参数的问题,属于基础题型. 10．（2023·上海金山·一模）若集合，，且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】化简集合，其表示两平行线线上及其中间部分的点(如阴影部分所示)，集合表示以为圆心，为半径的圆及其圆内的点，而，即表示该圆与阴影部分有交点，可利用直线与圆的位置关系来解决此题. 【解析】因为， 所以集合是被两条平行直线夹在其中的区域，如图所示， ， 其中由，解得或， 当时，B表示点或， 当时，表示以为圆心，为半径的圆及其内部的点， 其圆心在直线上， 依题意，即表示圆应与阴影部分相切或者相交， 当时，显然满足题意，当时，不满足题意， 当时，因为， 所以，即， 所以， 所以； 当时，因为， 所以，即， 所以，无解； 综上，头数的取值范围足. 故答案为： 11．（2022·上海青浦·二模）已知集合，其中且，函数，且对任意，都有，则的值是 ． 【答案】或3. 【分析】先判断区间与的关系可得，再分析时定义域与值域的关系，根据函数的单调性可确定定义域与值域的区间端点的不等式，进而求得和即可.最后分析当时，，从而确定定义域与值域的关系，列不等式求解即可 【解析】先判断区间与的关系，因为，故或.因为当，即时，由题意，当时，，故不成立；故. 再分析区间与的关系，因为，故或. ①当，即时，因为在区间上为减函数，故当， ，因为，而，故此时，即，因为，故即，故，解得，因为，故.此时区间在左侧，在右侧.故当时，，因为，故，所以 ，此时，故，解得，因为，故； ②当时，在区间上单调递减，易得，故此时且，即且，所以，故，故，即，，因为，故； 综上所述，或3 故答案为：或3. 12．（2022·上海普陀·一模）设非空集合，当中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称是的偶子集，若集合，则其偶子集的个数为 . 【答案】 【分析】对集合中奇数和偶数的个数进行分类讨论，确定每种情况下集合的个数，综合可得结果. 【解析】集合中只有个奇数时，则集合的可能情况为：、、、、、，共种， 若集合中只有个奇数时，则集合，只有一种情况， 若集合中只含个偶数，共种情况； 若集合中只含个偶数，则集合可能的情况为、、，共种情况； 若集合中只含个偶数，则集合，只有种情况. 因为是的偶子集，分以下几种情况讨论： 若集合中的元素全为偶数，则满足条件的集合的个数为； 若集合中的元素全为奇数，则奇数的个数为偶数，共种； 若集合中的元素是个奇数个偶数，共种； 若集合中的元素为个奇数个偶数，共种； 若集合中的元素为个奇数个偶数，共种； 若集合中的元素为个奇数个偶数，共种； 若集合中的元素为个奇数个偶数，共种； 若集合中的元素为个奇数个偶数，共种. 综上所述，满足条件的集合的个数为. 故答案为：. 二、单选题 13．（2022·上海·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两点集的交集，即这两条直线的交点. 【解析】 故选：D. 14．（2023·上海普陀·二模）设为实数，则“”的一个充分非必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由充分非必要条件定义，根据不等式的性质判断各项与推出关系即可. 【解析】由，则，可得，可推出，反向推不出，满足； 由，则，推不出，反向可推出，不满足； 由，则或或，推不出，反向可推出，不满足； 由，则，推不出，反向可推出，不满足； 故选：A 15．（2023·上海普陀·一模）设、、、、是均含有个元素的集合，且，，记，则中元素个数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设、、、是集合互不相同的元素，分析可知，然后对的取值由小到大进行分析，验证题中的条件是否满足，即可得解. 【解析】解：设、、、是集合互不相同的元素，若，则，不合乎题意. ①假设集合中含有个元素，可设，则， ，这与矛盾； ②假设集合中含有个元素，可设，， ，，，满足题意. 综上所述，集合中元素个数最少为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查集合元素个数的最值的求解，解题的关键在于对集合元素的个数由小到大进行分类，对集合中的元素进行分析，验证题中条件是否成立即可. 16．（2021·上海青浦·一模）设函数，其中是实数集的两个非空子集，又规定，，则下列说法： （1）一定有； （2）若，则； （3）一定有； （4）若，则. 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】根据分段函数的定义、一次函数和反比例函数的性质，结合集合交集、并集的运算定义进行判断即可. 【解析】函数是分段函数，故一定成立，因此说法（3）正确； 对于（1）：当时，根据已知的规定，有， 显然，因此说法（1）不正确； 对于（4）：当时，显然满足成立， 根据已知的规定，有， 显然，因此说法（4）不正确； 对于（2）来说，当时，不一定成立，故当 时，显然一定成立，因此说法（2）正确， 所以只有（2）（3）说法正确. 故选：B 三、解答题 17．（2017·上海浦东新·三模）数列的前n项组成集合，从集合中任取个数，其所有可能的k个数的乘积的和为（若只取一个数，规定乘积为此数本身），例如：对于数列，当时，时，； (1)若集合，求当时，的值； (2)若集合，证明：时集合的与时集合的（为了以示区别，用表示）有关系式，其中； (3)对于（2）中集合．定义，求（用n表示）． 【答案】(1)，，； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）利用的定义可得的值； （2）时，集合的中乘积由两部分构成，一部分是乘积中含，另一部分不含，从而可得之间的关系； （3）可先证明所有非空子集中各元素的乘积和为，从而可得． 【解析】（1）时，， ∴，，． （2）时，集合的中各乘积由两部分构成， 一部分是乘积中含因数，乘积的其他因数来自集合，故诸乘积和为； 另一部分不含，乘积的所有因数来自集合，故诸乘积的和为． 故． （3）我们先证明一个性质： 所有非空子集中各元素的乘积和为． 证明：考虑的展开式，该展开式共有项， 每一项均为各因式中选取或后的乘积（除去各项均选1）． 对于的任意非空子集， 该集合中各元素的乘积为的展开式中的某一项：即第个因式选择， ，其余的因式选择1， 注意到非空子集的个数为， 故的所有非空子集中各元素的乘积均在的展开式中恰好出现一次， ∴所有非空子集中各元素的乘积和为． 故对于， . 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