精品解析：河北省沧州市部分学校2023-2024学年高一下学期5月联考数学试题

河北省沧州市部分学校2023-2024学年高一下学期5月联考数学试题 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将合案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章~第九章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数，则（ ） A. B. 10 C. D. 20 2. 已知直线与平面没有公共点，直线，则与的位置关系是（ ） A. 平行 B. 异面 C. 相交 D. 平行或异面 3. 已知一组数据：55，64，92，76，88，67，76，90，则这组数据的第百分位数是（ ） A. 90 B. 88 C. 82 D. 76 4. 若向量，，则在上的投影向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 若一组数据的平均数为4，方差为3，那么数据的平均数和方差分别是（ ） A. 10，12 B. 10，14 C. 4，3 D. 6，3 6. 已知正四棱台的上、下底面的边长分别为1和3，若该正四棱台的体积为，则侧棱长为（ ） A. B. 2 C. D. 7. 设向量，的夹角的余弦值为，，，则（ ） A. -23 B. 23 C. -27 D. 27 8. 在三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，，则该三棱锥的外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数（为虚数单位），复数的共轭复数为，则下列结论正确的是（ ） A. 在复平面内复数所对应的点位于第四象限 B. C. D. 10. 为了研究“同时处理多任务时男女的表现差异”课题，研究组随机抽取男、女志愿者各150名，要求他们同时完成“解题、读地图、接电话”等任务，志愿者完成任务所需时间的分布如图所示，则下列表述正确的是（ ） A. 总体上女性处理多任务平均用时较短 B. 处理多任务的能力存在性别差异 C. 男性的用时中位数比女性用时中位数大 D. 女性处理多任务的用时为正数，男性处理多任务的用时为负数 11. 在棱长为1的正方体中，为侧面内的一个动点（含边界），则下列说法正确的是（ ） A. 随着点移动，三棱锥的体积有最小值为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 直线与平面所成角的余弦值为 D. 作体对角线的垂面，则平面截此正方体所得截面图形的面积越大，其周长越大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知z1,z2∈C,|z1+z2|=2,|z1|=2,|z2|=2,则|z1-z2|为________. 13. 在正方体中，直线与所成角的大小为___________．（用角度表示） 14. 在三棱锥中，已知平面OAB，，，与平面所成的角为，与平面所成的角为，则______．（用角度表示） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角的大小； （2）若的面积为，，求的周长. 16. 如图，在三棱锥中，是线段的中点，是线段上的一点. （1）若平面，试确定在上的位置，并说明理由； （2）若，证明：. 17. 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）在锐角中，角所对的边分别为，，且，求面积的取值范围. 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，，为的中点，，． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求二面角的大小． 19. 如图1，在矩形中，点在边上，，将沿进行翻折，翻折后点到达点位置，且满足平面平面，如图2． （1）若点在棱上，平面，求证：； （2）求点到平面的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省沧州市部分学校2023-2024学年高一下学期5月联考数学试题 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将合案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章~第九章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数，则（ ） A. B. 10 C. D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数模的定义求解. 【详解】． 故选：A． 2. 已知直线与平面没有公共点，直线，则与的位置关系是（ ） A. 平行 B. 异面 C. 相交 D. 平行或异面 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间线面、线线的位置关系直接判断即可. 【详解】依题意可知，而，所以a，b没有公共点，a与b可能异面或平行. 故选：D 3. 已知一组数据：55，64，92，76，88，67，76，90，则这组数据的第百分位数是（ ） A. 90 B. 88 C. 82 D. 76 【答案】A 【解析】 【分析】根据百分位数计算规则计算可得. 【详解】将数据从小到大排列为：55，64，67，76，76，88，90，92， 又， 所以这组数据的第百分位数是. 故选：A 4. 若向量，，则在上的投影向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算可得，再结合投影向量的定义运算求解. 【详解】因为，，则， 所以在上的投影向量. 故选：B. 5. 若一组数据的平均数为4，方差为3，那么数据的平均数和方差分别是（ ） A. 10，12 B. 10，14 C. 4，3 D. 6，3 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数、方差的性质计算可得. 【详解】因为一组数据的平均数为4，方差为3， 所以数据的平均数为，方差为. 故选：A 6. 已知正四棱台的上、下底面的边长分别为1和3，若该正四棱台的体积为，则侧棱长为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意画出图形，根据棱台的体积公式结合条件即得. 【详解】如图，在正四棱台中，，，连接，， 则，， 设侧棱长为，则棱台的高为， 所以该正四棱台的体积为， 解得． 故选：B． 7. 设向量，的夹角的余弦值为，，，则（ ） A. -23 B. 23 C. -27 D. 27 【答案】B 【解析】 【分析】由数量积的定义以及运算律直接计算即可求解. 【详解】设与的夹角为，则， 又，，所以， 所以． 故选：B. 8. 在三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，，则该三棱锥的外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点，设和的外接圆的圆心，分别在，上，过，分别作两个半平面的垂线，交于，可得为三棱锥的外接球的球心，且可得，由等边三角形的边长为2，可得，及的值，进而求出外接球的半径的值，再求出外接球的表面积． 【详解】由题意如图所示：设为的中点，连接，设，分别为，的外接圆的圆心， 过，分别作两个半平面的垂线，交于，则可得为该三棱锥的外接球的球心， 连接，，则为外接球的半径， 由与均为边长为2的等边三角形，则 又，则由余弦定理可得，所以，， 因为，分别为，的外接圆的圆心，所以，， 可得，可得，而，所以， 在中：， 所以外接球的表面积， 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数（为虚数单位），复数的共轭复数为，则下列结论正确的是（ ） A. 在复平面内复数所对应的点位于第四象限 B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复数的乘方以及除法运算化简复数，即可结合选项逐一求解. 【详解】,在复平面内复数所对应的点为，位于第四象限，A正确， ，B错误， ，C正确， ，故D错误， 故选：AC 10. 为了研究“同时处理多任务时男女的表现差异”课题，研究组随机抽取男、女志愿者各150名，要求他们同时完成“解题、读地图、接电话”等任务，志愿者完成任务所需时间的分布如图所示，则下列表述正确的是（ ） A. 总体上女性处理多任务平均用时较短 B. 处理多任务的能力存在性别差异 C. 男性的用时中位数比女性用时中位数大 D. 女性处理多任务的用时为正数，男性处理多任务的用时为负数 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据志愿者完成任务所需时间的分布图逐项判断即可. 【详解】对于A，由图可知，女性处理多任务平均用时集中在2~3分钟，男性处理多任务平均用时在3~4分钟，A正确； 对于B，由A的分析可知B正确； 对于C，根据分布的特点，可知男性的用时中位数比女性用时中位数大，C正确； 对于D，女性和男性处理多任务的用时均为正数，D错误. 故选：ABC. 11. 在棱长为1的正方体中，为侧面内的一个动点（含边界），则下列说法正确的是（ ） A. 随着点移动，三棱锥的体积有最小值为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 直线与平面所成角的余弦值为 D. 作体对角线的垂面，则平面截此正方体所得截面图形的面积越大，其周长越大 【答案】BC 【解析】 【分析】求出可判断A；当点P在上时，求出三棱锥即的体积可判断B；根据线面垂直的判定定理可得平面，则为直线与平面所成角，求出余弦值可判断C；平面时，根据截面从A点到的变化过程中可判断D. 【详解】对于A，为定值，故A错误； 对于B，在正方体中，当点P在上时，三棱锥即的体积取最大值，，故B正确； 对于C，根据题意作图如下，在正方体中，， 平面，平面，， 因为，平面， 所以平面，平面，即， 因为，平面，平面，所以， 且，平面， 所以平面，平面，即， 因为，所以平面，设， 连接，设，则为直线与平面所成角， 在中，， 因为，所以直线与平面所成角的余弦值为，故C正确； 对于D，如下图，平面时，截面从A点到面过程中， 截面面积和周长都越来越大；从面到面过程中， 设，则，， 所以，，所以截面周长为， 所以面积先变大后变小而周长不变；从面到过程中，面积和周长越来越小， 故D错误. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：求线面角的方法，1定义法：在直线上取一点，过该点作平面的垂线，与平面交于另一点，直线斜足与这一点连接起来，形成的角就是所求的直线和平面的夹角；2向量方法：求出平面的一个法向量，与该直线的方向向量点乘，数量积除以两个向量模的数量积为夹角的正弦值. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知z1,z2∈C,|z1+z2|=2,|z1|=2,|z2|=2,则|z1-z2|为________. 【答案】2 【解析】 【详解】由复数加法、减法的几何意义知,以复平面上对应的向量为邻边的平行四边形为正方形,所以. 13. 在正方体中，直线与所成角的大小为___________．（用角度表示） 【答案】 【解析】 【分析】构造两条异面直线所成的角，再求角的大小. 【详解】如图： 连接，，易知，所以即为与所成的角或其补角， 易知为等边三角形，所以. 故答案为： 14. 在三棱锥中，已知平面OAB，，，与平面所成的角为，与平面所成的角为，则______．（用角度表示） 【答案】 【解析】 【详解】因为平面OAB， 所以在平面上的投影为， 所以与平面所成的角的平面角为。 所以，是直角三角形，，又， 所以， 因为平面OAB， 所以在平面上的投影为， 所以与平面所成的角的平面角为。 所以，是直角三角形，，又， 所以，又， 所以在中，，所以． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角的大小； （2）若的面积为，，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，余弦定理边化角，利用同角三角函数的商数关系化简，再由正弦定理边化角，得，可得角的大小； （2）由的面积求出，再由余弦定理求出，可得的周长. 【小问1详解】 中，由，得， 由余弦定理得， 即， 由正弦定理得， ，，得， ，则. 【小问2详解】 若的面积为，则，得， ，由余弦定理，得， 解得， 的周长为. 16. 如图，在三棱锥中，是线段的中点，是线段上的一点. （1）若平面，试确定在上的位置，并说明理由； （2）若，证明：. 【答案】（1） 是的中点，理由如下： 若平面，由平面，平面平面， 得，又是的中点，在上， 所以是的中点； （2） 取的中点，连接，， 因为，为中点， 所以，， 因为，平面，所以平面， 因为平面， 所以． 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质定理得，从而根据是线段的中点即可确定点的位置； （2）通过等腰三角形的性质证得，，从而利用线面垂直的判定定理得平面，最后利用线面垂直的性质定理即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）在锐角中，角所对的边分别为，，且，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用降幂及辅助角公式化简得到，利用正弦型函数的单调性即可解决; （2）利用得到，根据三角形的面积公式得到，再利用正弦定理表示出边，结合三角函数的性质即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以， 即. 令,解得， 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 结合（1）问，因为 所以,即， 所以，即. 因为在锐角中，,所以. 因为，所以. 在中,由正弦定理可得，即， 在中易得, , 因为为锐角三角形，且，且易得， 所以，得，所以， 易得，即， 所以. 故面积的取值范围为. 【点睛】方法点睛：求三角形有关代数式的取值范围是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，，为的中点，，． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求二面角的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，推出平面，从而是直线与平面所成角，由此能求出直线与平面所成角的正弦值. （2）取的中点，连接，取的中点，连接，，由，，可得，并由已知条件推出平面，根据线面垂直性质推出，可得是二面角的平面角，在中，由已知条件即可求出. 【小问1详解】 取的中点，连接，， 在中，，，，， 平面，平面，， ，分别为，的中点，， ，，又，平面， 直线与平面所成角为， 在中，，， ， 故直线与平面所成角的正弦值为． 【小问2详解】 取的中点，连接，取的中点，连接，， 由，，可得， ，，， 又，平面， 又平面，， 是二面角的平面角， 在中，，， ，， 故二面角的大小为． 19. 如图1，在矩形中，点在边上，，将沿进行翻折，翻折后点到达点位置，且满足平面平面，如图2． （1）若点在棱上，平面，求证：； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） 因为，平面，平面， 所以平面， 又平面，平面，所以平面平面， 平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）首先证明平面，再由线面平行的性质证明即可； （2）取的中点，连接，即可得到，再由面面垂直的性质得到平面，再由设点到平面的距离为，则，利用等体积法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，依题意，所以且， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 连接、，则，所以， 又，，，， 所以 ， 又平面，平面，所以， 所以， 则， 则， 所以， 设点到平面的距离为，则， 解得，即点到平面的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $