精品解析：天津市天津益中学校2023-2024学年高二下学期期中学情调研数学试卷

2023－2024－2益中学校高二年级期中学情调研数学学科 本场考试用时100分钟.本试卷分为第I卷（36分）、第Ⅱ卷（64分）两部分.第I卷为第1题至第9题，第Ⅱ卷为第10题至第_19题.试卷满分100分.答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效.考试结束后，将试卷和“答题卡”一并交回.祝您考试顺利！ 一、单选题（共9道题，每题4分） 1. 函数的导数为（ ） A. B. C. D. 2. 曲线在点处的切线方程是    A. B. C. D. 3. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 480种 4. 在的展开式中，所有二项式系数和为，则该展开式中常数项为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C D. 6. 已知的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式奇数项的二项式系数和为 A. B. C. D. 7. 若函数在上为增函数，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数恒有零点，则实数k的取值范围是（ ） A B. C. D. 二、填空题（共6道题，每题4分） 10. 在的展开式中，的系数为______. 11. 若，则______． 12. 某高中从3名男教师和2名女教师中选出3名教师，派到3个不同的乡村支教，要求这3名教师中男女都有，则不同的选派方案共有_______种. 13. 三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有___________种. 14. 若函数在区间上最大值为，最小值为，则实数__________． 15. 已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为____________． 三、解答题 16. 从1到7这7个数字中取2个偶数、3个奇数，排成一个无重复数字五位数．求： （1）共有多少个五位数？ （2）其中偶数排在一起的有多少个？ （3）其中偶数排在一起，奇数也排在一起有多少个？ （4）其中两个偶数不相邻的有多少个？ 17. 已知函数在点处切线斜率为，且在处取得极值. （1）求函数的解析式； （2）当时，求函数的最小值. 18. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若的极大值为，求的值． 19. 已知函数， （1）若，求函数的极值； （2）设函数，求函数的单调区间； （3）若存在，使得成立，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023－2024－2益中学校高二年级期中学情调研数学学科 本场考试用时100分钟.本试卷分为第I卷（36分）、第Ⅱ卷（64分）两部分.第I卷为第1题至第9题，第Ⅱ卷为第10题至第_19题.试卷满分100分.答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效.考试结束后，将试卷和“答题卡”一并交回.祝您考试顺利！ 一、单选题（共9道题，每题4分） 1. 函数的导数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的计算公式，直接判断选项. 【详解】. 故选：A 2. 曲线在点处的切线方程是    A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，求出切线方程的斜率，即可得到切线方程． 【详解】曲线，解得y′=ex+xex，所以在点(0,1)处切线的斜率为1． 曲线在点（0，1）处的切线方程是：y﹣1=x． 即x﹣y+1=0． 故选A． 【点睛】本题考查曲线的切线方程的求法，考查计算能力 3. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 480种 【答案】C 【解析】 【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得. 【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案， 故选：C. 【点睛】本题考查排列组合应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解. 4. 在的展开式中，所有二项式系数和为，则该展开式中常数项为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二项式系数和可求得的值，写出展开式通项，令的指数为零，求出参数值，代入通项即可得解. 【详解】由题意可得，则， 展开式通项为， 令，可得，因此，展开式中的常数项为. 故选：B. 5. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的性质，结合函数的定义域进行求解即可. 【详解】函数的定义域为：， ， 当时，函数单调递减，因为，所以解得， 故选：D 6. 已知的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式奇数项的二项式系数和为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题设可得，令可得所有项的二项式系数和为，令可得偶数项二项式系数的和与奇数项二项式系数的和相等，即展开式奇数项的二项式系数和为，应选答案D． 7. 若函数在上为增函数，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导数，问题转化为在恒成立，参变分离求出m的范围即可. 【详解】已知函数在上为增函数，则在恒成立， 即在恒成立，则，解得. 故选：C. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查一次函数的性质，属于基础题． 8. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，问题转化为在有解，进而求函数的最值，即可求出的范围. 【详解】∵， ∴， 若在区间内存在单调递增区间，则有解， 故， 令，则在单调递增， ， 故. 故选：D. 9. 已知函数恒有零点，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用导数求出的最大值即可求解作答. 【详解】函数的定义域为，求导得：， 令，，则，即在上单调递增，， 因此，当时，，当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减， 于是得当时，，函数的值域是， 而函数恒有零点，当且仅当，解得， 所以实数k的取值范围是. 故选：B 【点睛】思路点睛：涉及函数零点问题，可以通过转化，利用导数研究函数的单调性、最值等，借助数形结合求解. 二、填空题（共6道题，每题4分） 10. 在的展开式中，的系数为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定的系数即可. 【详解】展开式的通项公式为：， 令可得：，则的系数为：. 故答案为： 11. 若，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】利用二项式定理可知，对已知关系式中的x赋值，即可求得的值． 【详解】∵ 令x＝2得：0＝，即＝0； 故答案为0． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查赋值法的应用，属于基础题． 12. 某高中从3名男教师和2名女教师中选出3名教师，派到3个不同的乡村支教，要求这3名教师中男女都有，则不同的选派方案共有_______种. 【答案】 【解析】 【分析】本题可以用对立事件来做，即对男女性别没有要求情况数减去全是男教师的情况数可得有男有女的情况数. 【详解】如果对男女性别没有要求则共有种；全是男教师有种 则男女都有=54 故答案为：54 13. 三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有___________种. 【答案】144 【解析】 【分析】根据题意先将甲乙捆绑再与另一男生排列，再任选两名女生捆绑，与另一女生插入男生的3个空位中，最后利用分步计数原理求解. 【详解】先将甲乙捆绑再与另一男生排列有种站法， 三名女生任选两名捆绑，再与另一女生插入男生3个空位中有种站法， 所以不同的站法有种站法， 故答案为：144 14. 若函数在区间上最大值，最小值为，则实数__________． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，即可求出函数的极小值，再求出区间端点处的函数值，即可求出函数的最值，即可得解. 【详解】因为，所以，所以当时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极小值， 又，，， 因为， 所以，， 所以，， 则. 故答案为： 15. 已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由当时，不等式恒成立，得出，设函数，则，其中，由即可得出实数的取值范围． 【详解】因为当时，恒成立，两边同乘以， 得，即， 设函数，所以在上单调递增， 因为，其中， 所以，即， 因为时，， 所以， 故答案为：． 三、解答题 16. 从1到7这7个数字中取2个偶数、3个奇数，排成一个无重复数字五位数．求： （1）共有多少个五位数？ （2）其中偶数排在一起的有多少个？ （3）其中偶数排在一起，奇数也排在一起的有多少个？ （4）其中两个偶数不相邻的有多少个？ 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）首先计算取5个数字的方法，再根据排列数公式，即可计算结果； （2）（3）根据（1），结合捆绑法，即可求解； （4）根据（1），结合插空法，即可求解. 【小问1详解】 依题意，从1到7这7个数字中取2个偶数、3个奇数，共有（种）情况，共有（个）五位数． 【小问2详解】 把选出的偶数捆绑在一起，和奇数进行全排列，故其中偶数排在一起的有（个）． 【小问3详解】 把选出的偶数捆绑在一起，把选出的奇数也捆绑在一起，再全排列，故其中偶数排在一起，奇数也排在一起的有（个）． 【小问4详解】 先排3个奇数，2个偶数插空，故其中两个偶数不相邻的共有（个）． 17. 已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值. （1）求函数的解析式； （2）当时，求函数的最小值. 【答案】（1） （2）-3 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程，得到，得到解析式； （2）在（1）的前提下，得到函数的单调性，从而求出极值和最值情况. 【小问1详解】 由题意得在上，故， 的定义域为R，， 由题意得， 又，解得， 所以， 【小问2详解】 由（1）可知， 令，解得或， 令，解得， 又， 故当，时，单调递增，当时，单调递减， 故当时，函数取得极小值， 又，， 综上，当时，函数的最小值为-3. 18. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若的极大值为，求的值． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求出导数得，分、、讨论得出单调性. （2）结合（1）中结论得到函数的极大值点，再代入计算可得. 小问1详解】 因为，，且． ①当时，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． ②当时，当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． ③当时，为常数函数，不具有单调性； 综上所述：当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递减，在上单调递增； 当时，为常数函数，不具有单调性. 【小问2详解】 由（1）可得当时在处取得极大值，但，不符合题意； 当时在处取得极大值，所以，解得，符合题意， 综上可得. 19. 已知函数， （1）若，求函数的极值； （2）设函数，求函数的单调区间； （3）若存在，使得成立，求a的取值范围． 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2）单调递增区间为，单调递减区间为. （3） 【解析】 【分析】（1）研究的单调区间，进而求出的极值；（2）先求，再解不等式与，求出单调区间，注意题干中的的条件；（3）先把题干中的问题转化为在上有，再结合第二问研究的的单调区间，对a进行分类讨论，求出不同范围下的，求出最后结果 【小问1详解】 当时，，定义域为， 令得：，当时，，单调递增；当时，，单调递减，故是函数的极小值点，的极小值为，无极大值 【小问2详解】 ，定义域为 因为，所以，令得：，令得：，所以在单调递增，在单调递减. 综上：单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问3详解】 存在，使得成立，等价于存在，使得，即在上有 由（2）知，单调递增区间为，单调递减区间为，所以 当，即时，在上单调递减，故在处取得最小值，由得：，因为，故. 当，即时，由（2）知：在上单调递减，在上单调递增，在上的最小值为 令 因为，所以，则，即，不满足题意，舍去 综上所述：a的取值范围为 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$