精品解析：山东省青岛市2024届高三第三次适应性检测数学试题

2024青岛三模数学试题 一、选择题: 本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. i B. C. 1 D. 2. 已知命题 ，则（ ） A. B. C. D. 3. 为了得到 的图象，只要把 的图象上所有的点（ ） A. 向右平行移动 个单位长度 B. 向左平行移动 个单位长度 C. 向右平行移动 个单位长度 D. 向左平行移动 个单位长度 4. 某校高一有学生 980 人，在一次模拟考试中这些学生的数学成绩 服从正态分布 ，已知 ，则该校高一学生数学成绩在 110 分以上的人数大约为（ ） A. 784 B. 490 C. 392 D. 294 5. 定义 表示不超过 的最大整数.例如: ，则（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 是增函数 6. 在母线长为4，底面直径为6的一个圆柱中挖去一个体积最大的圆锥后，得到一个几何体，则该几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则满足不等式的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知 为坐标原点，椭圆的左，右焦点分别为，左、右顶点分 别为，焦距为，以 为直径的圆与椭圆 在第一和第三象限分别交于 两点.且，则椭圆的离心率为（ ） A B. C. D. 二、选择题: 本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分 9. 某新能源车厂家 2015 - 2023 年新能源电车产量和销量数据如下表所示 年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 产量（万台) 3.3 7.2 13.1 14.8 18.7 23.7 36.6 44.3 43.0 销量 （万台) 2.3 5.7 13.6 14.9 15.0 15.6 27.1 29.7 31.6 记“产销率” 年新能源电车产量的中位数为，则（ ） A. B. 2015 - 2023 年该厂新能源电车产销率与年份正相关 C. 从 2015 -2023 年中随机取 1 年，新能源电车产销率大于 的概率为 D. 从 2015 -2023 年中随机取2年，在这2年中新能源电车的年产量都大于 的条件下，这2年中新能源电车的产销率都大于 的概率为 10. 已知动点 分别在圆 和 上，动点 在 轴上，则（ ） A. 圆的半径为3 B. 圆和圆相离 C. 的最小值为 D. 过点作圆的切线，则切线长最短为 11. 若有穷整数数列满足：，且，则称具有性质.则（ ） A. 存在具有性质的 B. 存在具有性质的 C. 若具有性质，则中至少有两项相同 D. 存在正整数，使得对任意具有性质的，有中任意两项均不相同 三、填空题: 本题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知等差数列的公差，首项 ，是与的等比中项，记 为数列的前项和，则______ 13. 如图，函数 的部分图象如图所示，已知点为的零点，点为的极值点，，则函数的解析式为_________. 14. 已知长方体中，，点为矩形 内一动点，记二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，若 ，则三棱锥体积的最小值为_________. 四、解答题: 本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 设三角形的内角、、的对边分别为、、且． （1）求角的大小； （2）若，边上的高为，求三角形的周长． 16. 为了研究高三年级学生的性别和身高是否大于 的关联性，随机调查了某中学部分高三年级的学生，整理得到如下列联表 （单位:人): 性别 身高 合计 低于 不低于 女 14 5 19 男 8 10 18 合计 22 15 37 （1）依据 的独立性检验，能否认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联? （2）从身高不低于的15 名学生中随机抽取三名学生，设抽取的三名学生中女生人数为，求的分布列及期望. （3）若低于的8 名男生身高数据的平均数为，方差为，不低于的10名男生身高数据的平均数为，方差为 .请估计该中学男生身高数据的平均数和方差. 附: . 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3841 6.635 7.879 10.828 17. 如图所示，多面体，底面是正方形，点为底面的中心，点为的中点，侧面与是全等的等腰梯形，，其余棱长均为2. （1）证明:平面； （2）若点在棱上，直线与平面所成角的正弦值为，求. 18. 在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”，已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为的离心率为2，点为右支上一动点，直线与曲线相切于点，且与的渐近线交于两点，当轴时，直线为的等线. （1）求的方程; （2）若是四边形的等线，求四边形的面积; （3）设，点的轨迹为曲线，证明:在点处的切线为的等线 19. 已知 为坐标原点，曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处的切线平行，且两切线间的距离为，其中 . （1）求实数 的值; （2）若点 分别在曲线 上，求 与 之和的最大值; （3）若点 在曲线 上，点 在曲线 上，四边形 为正方形，其面积为，证明: 附:ln2 ≈ 0.693. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024青岛三模数学试题 一、选择题: 本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. i B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算求出复数，再根据共轭复数及复数虚部的定义即可得解. 【详解】由， 得，所以， 所以，其虚部为. 故选：D. 2. 已知命题 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可. 【详解】命题 为全称量词命题， 则为：. 故选：D 3. 为了得到 的图象，只要把 的图象上所有的点（ ） A. 向右平行移动 个单位长度 B. 向左平行移动 个单位长度 C. 向右平行移动 个单位长度 D. 向左平行移动 个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式统一函数名，再根据函数的图象变换规律，得出结论． 【详解】， 由诱导公式可知： 又 则，即只需把图象向右平移个单位. 故选：A 4. 某校高一有学生 980 人，在一次模拟考试中这些学生数学成绩 服从正态分布 ，已知 ，则该校高一学生数学成绩在 110 分以上的人数大约为（ ） A. 784 B. 490 C. 392 D. 294 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布的性质求出，即可估计人数. 【详解】因为，且， 所以， 所以， 又因为高一有学生980人， 所以该校高一学生数学成绩在110分以上的人数大约为． 故选：C． 5. 定义 表示不超过 的最大整数.例如: ，则（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 是增函数 【答案】B 【解析】 【分析】A选项，取特殊值，判断出A选项的真假；B选项，设表示不超过的最大整数，可得与的关系，可得，判断出B选项的真假；C选项，取特殊值，利用偶函数定义验证，判断出C的真假；D中，取特殊值，判断出函数不是增函数，判断出D的真假. 【详解】A选项，取，则，，显然，所以A不正确； B选项，设表示不超过的最大整数，所以， 所以，所以，所以，即， 所以，所以，故B正确； C选项，，因为， 所以，所以不是偶函数，故C错误； D选项，所以，所以不是增函数，故D错误. 故选：B. 6. 在母线长为4，底面直径为6的一个圆柱中挖去一个体积最大的圆锥后，得到一个几何体，则该几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】该几何体的表面包括原圆柱侧面，原圆柱一个底面及圆锥侧面，分别计算出各面面积即可得. 【详解】体积最大的圆锥的母线为， 则. 故选：C. 7. 已知函数，则满足不等式的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先推导出关于直线成轴对称，令，，对，求导，可得的单调性，结合单调性与对称性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可． 【详解】函数的定义域为，且， 所以， 所以关于直线成轴对称， 因为，当且仅当，时取等号， 令，， 则，， 当时，，，单调递增，单调递增， 所以，，所以， 所以在区间上单调递增，则在区间上单调递减， 又当时，，所以， 当或时，，所以，且， 所以要使得成立，则，解得， 故不等式的取值范围为． 故选：B． 8. 已知 为坐标原点，椭圆的左，右焦点分别为，左、右顶点分 别为，焦距为，以 为直径的圆与椭圆 在第一和第三象限分别交于 两点.且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得为直径的圆的方程为，与椭圆方程联立方程组可得，根据已知可是，求解即可得椭圆的离心率. 【详解】以 为直径的圆的方程为， 联立，解得， 所以， 又， 所以，， 所以， 所以，所以， 所以，所以， 解得或（舍去）. 所以. 故椭圆的离心率为. 故选：D. 二、选择题: 本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分 9. 某新能源车厂家 2015 - 2023 年新能源电车的产量和销量数据如下表所示 年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 产量（万台) 3.3 7.2 13.1 14.8 18.7 23.7 36.6 44.3 43.0 销量 （万台) 2.3 5.7 136 14.9 15.0 15.6 27.1 29.7 31.6 记“产销率” 年新能源电车产量的中位数为，则（ ） A. B. 2015 - 2023 年该厂新能源电车的产销率与年份正相关 C. 从 2015 -2023 年中随机取 1 年，新能源电车产销率大于 的概率为 D. 从 2015 -2023 年中随机取2年，在这2年中新能源电车的年产量都大于 的条件下，这2年中新能源电车的产销率都大于 的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由中位数定义可判断A；求得每年的产销率，可判断B；由B可得产销率大于的有2个年份，可得概率判断C；利用条件概率公式求解可判断D. 【详解】对于A：由中位数的定义可知，，故A正确； 对于B：2015 - 2023 年该厂新能源电车的产销率依次为： 所以2015 - 2023 年该厂新能源电车的产销率随年份的增加，有时增加，有时减少，故B错误； 对于C：由B可知，从2015 - 2023 年该厂新能源电车的产销率大于的有2个年份， 所以从2015 – 2023年中随机取1年，新能源电车产销率大于的概率为， 对于D：设事件A表示“从2015 - 2023 年中随机取2年，这2年中新能源电车的年产量都大于 m”， 事件B表示“从2015 - 2023 年中随机取2年，这2年中新能源电车的产销率大于”， 所以 所以故D正确. 故选：ACD. 10. 已知动点 分别在圆 和 上，动点 在 轴上，则（ ） A. 圆的半径为3 B. 圆和圆相离 C. 的最小值为 D. 过点作圆的切线，则切线长最短为 【答案】BD 【解析】 【分析】求出两个圆的圆心、半径判断AB；求出圆关于对称的圆方程，利用圆的性质求出最小值判断C；利用切线长定理求出最小值判断D. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 对于A，圆的半径为，A错误； 对于B，，圆和圆相离，B正确； 对于C，圆关于轴对称的圆为，，连接交于点，连接， 由圆的性质得， ，当且仅当点与重合， 且是线段分别与圆和圆的交点时取等号，C错误； 对于D，设点，过点的圆的切线长， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：BD 11. 若有穷整数数列满足：，且，则称具有性质.则（ ） A. 存在具有性质的 B. 存在具有性质的 C. 若具有性质，则中至少有两项相同 D. 存在正整数，使得对任意具有性质的，有中任意两项均不相同 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A、D：举出符合题意的例子即可得；对B：根据所给定义，借助反证法设，，，中有个，个，从而有，推出矛盾；对C：，，，，中的最大值为，则存在，使得或，若存在，使，先证：，，，可以取遍到之间所有的整数，再对分类讨论，即可得证； 【详解】对A：取数列，易得其满足题意，此时该数列具有性质，故A正确； 对B：假设存在数列具有性质，则， 且， 设中有个，则有个， 则有 ，即， 其与为整数矛盾，故假设错误，故B错误； 对C：设，，，，中的最大值为， 则存在，使得或， 若存在，使，下证：，，，可以取遍到之间所有的整数， 假设存在正整数使得，，，中各项均不为， 令集合，设是集合中元素的最大值， 则有， 这与矛盾， 所以，，，可以取遍到之间所有的整数， 若，则，，，，的取值只能为，中的数， 此时，，，，中必有两项相同， 若，则，，，，的取值只能为，，中的数， 此时，，，，中必有两项相同， 若，则，，，，中一定有异于和的正整数， 再由，，，可以取遍到之间所有的整数， 所以，，，，中必有两项相同， 当，同理可证：，，，可以取遍到之间所有整数， 从而，，，，中必有两项相同，故C正确； 对D：取数列，此时该数列具有性质， 且中任意两项均不相同，即存在，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题关键是对“性质”的定义的理解，灵活利用反证法是解答的关键. 三、填空题: 本题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知等差数列的公差，首项 ，是与的等比中项，记 为数列的前项和，则______ 【答案】105 【解析】 【分析】根据等比中项的性质得到方程，即可求出公差，再根据等差数列求和公式计算可得. 【详解】等差数列中， ，是与的等比中项，设公差为， 所以，即， 解得或（不合题意，舍去）； 所以． 故答案为：． 13. 如图，函数 的部分图象如图所示，已知点为的零点，点为的极值点，，则函数的解析式为_________. 【答案】 【解析】 【分析】结合正弦函数的周期及向量数量积公式计算可得，再由函数零点可得，即可得解析式. 【详解】由图可得，又，则，， ，则，， 则，化简得， 又，则，则有， 解得，又，则， 即. 故答案为：. 14. 已知长方体中，，点为矩形 内一动点，记二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，若 ，则三棱锥体积的最小值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，判断得的轨迹为抛物线一部分，建立平面直角坐标系，写出直线和抛物线段的方程，由题意，计算点到线段的最短距离，再由等体积法计算三棱锥最小体积. 【详解】如图，作平面，垂足为，再作，垂足为， 连接，则，，由，则， 又、平面，故，，则， 由抛物线定义可知，的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线一部分， 所以的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线一部分， 当点到线段距离最短时，三角形面积最小，即三棱锥体积最小， 取中点为原点，建立如图所示平面直角坐标系， 则，，， 则直线的方程为：，即， 抛物线的方程为，则， 由题意，令，得，代入，得， 所以点的坐标为，所以到直线的最短距离为： ，因为， 所以， 所以三棱锥体积的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键是能判断出点的轨迹为抛物线一部分，再建立平面直角坐标系，求解到直线的最短距离，利用等体积法求解三棱锥的最小体积. 四、解答题: 本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 设三角形的内角、、的对边分别为、、且． （1）求角的大小； （2）若，边上的高为，求三角形的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用内角和为化简，利用二倍角公式化简，再利用辅助角公式化简即可求得； （2）由面积公式和余弦定理，联立方程组求解三角形即可. 【小问1详解】 因为，，为的内角，所以， 因为，所以可化为：， 即，即， 因为，解得：，即． 【小问2详解】 由三角形面积公式得，代入得：， 所以，由余弦定理得：， 解得：或舍去，即， 所以的周长为. 16. 为了研究高三年级学生的性别和身高是否大于 的关联性，随机调查了某中学部分高三年级的学生，整理得到如下列联表 （单位:人): 性别 身高 合计 低于 不低于 女 14 5 19 男 8 10 18 合计 22 15 37 （1）依据 的独立性检验，能否认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联? （2）从身高不低于的15 名学生中随机抽取三名学生，设抽取的三名学生中女生人数为，求的分布列及期望. （3）若低于的8 名男生身高数据的平均数为，方差为，不低于的10名男生身高数据的平均数为，方差为 .请估计该中学男生身高数据的平均数和方差. 附: . 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）可以认为性别与身高有关联 （2）分布列见解析，1 （3）平均数为174，方差为59 【解析】 【分析】（1）根据列联表中的数据，求得，结合附表，即可求解；根据小概率值 的独立性检验，可以认为性别与身高有关联 （2）根据题意，得到变量的可能取值为，求得相应的概率，得出分布列，结合期望的公式，即可求解； （3）根据题意，求得18名男生身高数据的平均数和方差，结合分层抽样的方差的计算公式，即可求解. 【小问1详解】 解：零假设：该中学高三年级学生的性别与身高无关联 根据列联表中的数据，经计算得， 由此可知根据小概率值 的独立性检验，零假设不成立， 可以认为性别与身高有关联 【小问2详解】 解：由题意，可得随机变量的可能取值为， 可得 所以随机变量的分布列为: 0 1 2 3 所以，期望为， 【小问3详解】 解：由题意知，18名男生身高数据的平均数， 18 名男生身高数据的方差 ， 所以，该中学男生身高数据的平均数为174，方差为59. 17. 如图所示，多面体，底面是正方形，点为底面的中心，点为的中点，侧面与是全等的等腰梯形，，其余棱长均为2. （1）证明:平面； （2）若点在棱上，直线与平面所成角的正弦值为，求. 【答案】（1）证明见解析 （2）1 【解析】 【分析】（1）分别取中点，通过证明平面，平面平面，得证平面. （2) 以为原点，建立空间直角坐标系，设，由直线与平面所成角的正弦值为，利用向量法求出的值即可. 【小问1详解】 分别取中点，连接，则为的中点， 因为侧面是等腰梯形，所以，又，所以， 和都是边长为2的等边三角形，得，所以四边形为等腰梯形， 因为点为的中点，为的中点，所以. 因为是等边三角形，所以， 又，平面，， 所以平面，平面，所以平面平面， 平面平面，平面，， 故平面. 【小问2详解】 在梯形中，，等腰梯形中由勾股定理得， 取中点，由（1）知，两两垂直， 以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则，得 设，， 设直线与平面所成角为， 所以. 解得（负值舍去)，所以点为棱的中点，所以的长为1. 18. 在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”，已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为的离心率为2，点为右支上一动点，直线与曲线相切于点，且与的渐近线交于两点，当轴时，直线为的等线. （1）求的方程; （2）若是四边形的等线，求四边形的面积; （3）设，点的轨迹为曲线，证明:在点处的切线为的等线 【答案】（1） （2）12 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用已知等量关系建立方程，求解各个元素，得到双曲线方程即可. （2）利用给定定义，求解关键点的坐标，最后得到四边形面积即可. （3）利用给定条件和新定义证明即可. 【小问1详解】 由题意知，显然点在直线的上方， 因为直线为的等线，所以， 解得，所以的方程为 【小问2详解】 设，切线，代入得: 故， 该式可以看作关于的一元二次方程， 所以，即方程为 当的斜率不存在时，也成立 渐近线方程为，不妨设在上方， 联立得，故， 所以是线段的中点，因为到过的直线距离相等， 则过点的等线必定满足:到该等线距离相等， 且分居两侧，所以该等线必过点，即的方程为， 由，解得，故 . 所以， 所以， 所以，所以 【小问3详解】 设，由，所以， 故曲线的方程为 由（*）知切线为，也为，即，即 易知与在的右侧，在的左侧，分别记到的距离为， 由（2）知， 所以 由得 因为， 所以直线为的等线 . 【点睛】关键点点睛：本题考查解析几何，解题关键是利用给定定义和条件，然后结合前问结论，得到，证明即可． 19. 已知 为坐标原点，曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处的切线平行，且两切线间的距离为，其中 . （1）求实数 的值; （2）若点 分别在曲线 上，求 与 之和的最大值; （3）若点 在曲线 上，点 在曲线 上，四边形 为正方形，其面积为，证明: 附:ln2 ≈ 0.693. 【答案】（1） ， （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解； （2）（法一）由（1）知：，记直线的倾斜角分别为，斜率分别为，则，则,利用导数可求得的最大值，同理求得的最值；（法二）由（1）知：，点在圆，再证直线与圆和曲线均相切，结合直线与圆的位置关系求解； （3）由对称性可知和分别关于直线对称，设，其中，所以，令，求导得到的单调性，进而证得. 【小问1详解】 因为，所以，又因为，所以， 解得，所以在处的切线方程为:， 所以在处的切线方程为:， 所以，解得. 【小问2详解】 （法一）由（1）知：，记直线的倾斜角分别为， 斜率分别为，所以，设且， 所以, 令，则， 当时，设函数，则， 所以在单调递增，所以，即， 所以， 所以在均单调递减，且， 当时，，所以在单调递增， 所以.当时，;当时，， 所以，当点坐标为时，最大为. 同理，函数与的图象关于直线对称， 且也关于直线对称，所以最大为， 所以与之和的最大值为. （法二）由（1）知:，点在圆上. 下面证明：直线与圆和曲线均相切， 因为圆圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切， 即，除点外，圆上的点均在直线下方, 又因为，则， 所以在单调递减，在单调递增， 所以， 即，除点外，曲线上的点均在直线上方. 所以，当点坐标为时，最大为， 同理，函数与的图象关于直线对称， 且也关于直线对称，所以最大为， 综上知:与之和的最大值为. 【小问3详解】 因为曲线与与曲线与有唯一交点，且关于对称， 并分居两侧， 所以曲线的上的点到曲线上的点的最小距离，且此时这两点只能为， 假设函数与函数图象关于直线对称， 则点关于的对称点在上， 点关于的对称点在上， 因为，所以与重合，与重合， 所以是函数与函数的图象的唯一对称轴，所以和分别关于直线对称， 设，其中， 所以， 即， 又因为， 即， 所以为方程的根，即的零点为， 因为， 所以在单调递增， 故，， 所以，令， 则，所以在单调递增， 所以 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是得到的表达式，从而有，则为方程的根，再利用导数和零点存在性定理即可证明不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$