精品解析：四川省成都市龙泉驿区东竞高级中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题

东竞高中3月月考数学 一、单选题 1. 已知向量如图所示，下列说法不正确的是（ ） A. 也可以用表示 B. 方向是由M指向N C. 起点是M D. 终点是M 【答案】D 【解析】 【详解】由向量的几何表示知，A、B、C正确，D不正确．故选D． 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两角差的余弦公式逆用即可求解. 【详解】由题意. 故选：C. 3. 已知，，与之间的夹角为，则=（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量数量积公式，即可求解. 【详解】. 故选：B 4. 已知函数，为了得到的图象，只需将的图象（ ） A. 向右平移个长度单位 B. 向左平移个长度单位 C. 向右平移个长度单位 D. 向左平移个长度单位 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的图象平移变化规律，即可求出结果. 【详解】因为，所以为了得到的图象，只需将的图象向左平移个长度单位，故C错误，D正确. 若把的图象向右平移个单位，则所得图象的解析式为, 若把的图象向左平移个单位，则所得图象的解析式为, AB错误. 故选：D. 5. 已知向量与且则一定共线的三点是（ ） A. A，C，D三点 B. A，B，C三点 C. A，B，D三点 D. B，C，D三点 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算及共线定理即可求解. 【详解】对于A，因为， 所以， 所以,所以A，C，D三点不共线，故A错误； 对于B，因为， 所以,所以A，B，C三点不共线，故B错误； 对于C，因为 所以， 所以，又是与的公共点， 所以A，B，D三点共线，故C正确； 对于D，因为， 所以,所以B，C，D三点不共线，故D错误. 故选：C. 6. 若函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合三角函数的的图象，分析三角函数的性质。确定函数的解析式. 【详解】如图： 易知：，，即 由，， 时，. 所以：. 故选：C 7. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正切和角公式得到，整理后得到答案. 【详解】， ， ． 故选：C 8. 已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案. 【详解】因为在区间单调递增， 所以，且，则，， 当时，取得最小值，则，， 则，，不妨取，则， 则， 故选：D. 二、多选题 9. 下列结论恒为零向量的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算逐个选项直接求解判断即可. 【详解】对于A，，A错； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD 10. 下列等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，逆用正弦倍角公式进行求解；B选项，逆用余弦二倍角公式计算；C选项，逆用正切差角公式进行求解；D选项，逆用正弦和角公式计算. 【详解】A选项，，A正确； B选项，，B错误； C选项，，C正确； D选项，，D错误. 故选：AC 11. 在中，D在边上，，是的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算可得答案. 【详解】对于选项A: 由向量得减法法则可知，故A错误; 对于选项B：,故B正确; 对于选项C：, 而，所以， 故C正确; 对于选项D：,故D正确. 故选：BCD. 12. 下列说法中正确的是（ ） A 对于向量，，，有 B. 在中，向量与满足，且，则△ABC为等边三角形 C. 若，分别表示的面积，则 D. 在中，设D是BC边上一点，且满足，则λ+μ＝0 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，由平面向量乘法的运算律即可判断； 对B，由得出的平分线垂直于BC，进而AB=AC，再根据题意求出即可判断； 对C，通过，延长OA到，使得，延长OC到，使得，可得O为的重心，进而根据重心的性质得到答案； 对D，由和即可判断. 【详解】对A，平面向量不满足乘法结合律，A错误； 对B，因为，所以的平分线垂直于BC，所以AB=AC， 又因为，所以△ABC为等边三角形，B正确； 对C，如图： 因为，延长OA到，使得，延长OC到，使得，可得O为的重心，设的面积分别为，则的面积分别为，由重心性质可知，所以，C正确； 对D，因为，而，所以, 所以，所以λ+μ=0，D正确. 故答案为：BCD. 【点睛】本题难点在于答案C，这里需要对三角形的重心性质比较熟悉，这样才能很好的进行构造，如本题，根据，我们可以构造出使得O为重心，进而解决问题，因此平常要注重对常见结论的总结. 三、填空题 13. 化简________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的线性运算求解即得. 【详解】 故答案为： 14. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据二倍角公式求解. 【详解】根据二倍角公式，. 故答案为： 15. ______． 【答案】## 【解析】 【分析】将拆成，利用两角差的正余弦公式，可将分子分母化简得到，再将拆成，计算即得. 【详解】. 故答案为：. 16. 已知函数，其中， ，恒成立，且在区间 上恰有个零点，则的取值范围是______________． 【答案】 【解析】 【分析】确定函数的，由此可得，再利用在区间 上恰有个零点得到，求得答案. 【详解】由已知得：恒成立，则 ， ， 由得， 由于在区间 上恰有3个零点， 故，则， ， 则, 只有当时，不等式组有解，此时，故， 故答案为： 四、解答题 17. 已知，． （1）若，求与的夹角； （2）若与的夹角为，求． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）借助向量夹角公式计算即可得； （2）借助向量模的平方与数量积的关系计算即可得. 【小问1详解】 设与的夹角为，则． 且，故，故与的夹角为； 【小问2详解】 因与夹角为135°，所以． 所以， 所以． 18. 已知函数. （1）求函数图像的对称轴方程和单调递增区间； （2）由的图像经过怎样的变换得到的图像. 【答案】（1）； （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的性质求解：令，可求得函数图像的对称轴方程；令，可求得函数的单调递增区间； （2）根据平移变换与伸缩变换的顺序，结合三角函数图像变换规律得出答案. 【小问1详解】 因为，而且的对称轴方程为， 令，解得， 所以函数图像的对称轴方程为； 因为的单调递增区间为， 令，，得，， 所以函数的单调递增区间为：，. 【小问2详解】 方法一： 先由的图像向右平移个单位长度得到的图像； 然后保持纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到的图像； 最后保持横坐标不变，纵坐标伸长为原来的4倍得到的图像. 方法二： 先由的图像保持纵坐标不变，横坐标缩短为原来的得到的图像； 然后向右平移个单位长度得到的图像； 最后保持横坐标不变，纵坐标伸长为原来的4倍得到的图像. 19. （1）已知是第四象限角，是第二象限角，求的值. （2）已知，且，求的值. 【答案】； 【解析】 【分析】（1）利用角的范围、同角三角函数的平方关系及三角恒等变换计算即可； （2）利用角的范围、同角三角函数的平方关系及三角恒等变换计算即可. 【详解】（1）由题意可知，， 所以； （2）由题意可知， 且， 所以 . 20. 如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上.记梯形的周长为，. （1）将表示成的函数； （2）求梯形周长的最大值. 【答案】（1）； （2）10. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用圆的性质，结合直角三角形边角关系求解即得. （2）利用二倍角的余弦公式变形函数，再利用换元法，结合二次函数求出最大值. 【小问1详解】 由是半圆的直径，得，则， 过作交于，连接，则， 因此， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 设，则，显然当时，有最大值10， 所以梯形周长的最大值是10. 21. 已知函数周期是. （1）求的解析式，并求的单调递增区间； （2）将图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移个单位，最后将整个函数图像向上平移个单位后得到函数的图像，若时，恒成立，求m得取值范围. 【答案】（1），单调递增区间为，；（2）. 【解析】 【分析】 （1）根据正弦和余弦的二倍角公式化简可得，由，解得，带入正弦函数的递增区间，化简即可得解； （2）根据三角函数的平移和伸缩变换可得，根据题意只需要，分别在范围内求出的最值即可得解. 【详解】（1） 由，解得 所以， ∵ ∴ ∴ ∴的单调递增区间为， （2）依题意得 因为，所以 因为当时，恒成立 所以只需转化为求的最大值与最小值 当时，为单调减函数 所以，， 从而，，即 所以m的取值范围是. 【点睛】本题考查了三角函数的单调性和最值，考查了三角函数的辅助角公式和平移伸缩变换，有一定的计算量，属于中档题.本题关键点有： （1）三角函数基本量理解应用； （2）三角函数图像平移伸缩变换的方法； （3）恒成立思想的理解及转化. 22. 如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别与边、交于、两点（点、与点、不重合），设，． （1）求的值； （2）求的最小值，并求此时，的值． 【答案】（1） （2），时，最小值为． 【解析】 【分析】（1）由三角形重心性质可得，结合三点共线性质即可求得结果. （2）运用“1”的代换及基本不等式求解即可. 【小问1详解】 如图所示， 因为G为重心，所以， 所以， 因为M，G，N三点共线，所以，即． 【小问2详解】 由题意可知，且， 所以 当且仅当，即时取等号， 又∵，∴，时，取得最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 东竞高中3月月考数学 一、单选题 1. 已知向量如图所示，下列说法不正确的是（ ） A. 也可以用表示 B. 方向是由M指向N C. 起点是M D. 终点是M 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知，，与之间的夹角为，则=（ ） A. 1 B. C. D. 4. 已知函数，为了得到的图象，只需将的图象（ ） A. 向右平移个长度单位 B. 向左平移个长度单位 C. 向右平移个长度单位 D. 向左平移个长度单位 5. 已知向量与且则一定共线的三点是（ ） A. A，C，D三点 B. A，B，C三点 C. A，B，D三点 D. B，C，D三点 6. 若函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 7. （ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ） A B. C. D. 二、多选题 9. 下列结论恒为零向量的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列等式中正确的是（ ） A B. C D. 11. 在中，D在边上，，是中点，则（ ） A. B. C. D. 12. 下列说法中正确的是（ ） A. 对于向量，，，有 B. 在中，向量与满足，且，则△ABC为等边三角形 C. 若，分别表示的面积，则 D. 在中，设D是BC边上一点，且满足，则λ+μ＝0 三、填空题 13 化简________. 14. 若，则______． 15. ______． 16. 已知函数，其中， ，恒成立，且在区间 上恰有个零点，则的取值范围是______________． 四、解答题 17. 已知，． （1）若，求与的夹角； （2）若与的夹角为，求． 18. 已知函数. （1）求函数图像的对称轴方程和单调递增区间； （2）由的图像经过怎样的变换得到的图像. 19. （1）已知是第四象限角，是第二象限角，求的值. （2）已知，且，求的值. 20. 如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上.记梯形的周长为，. （1）将表示成的函数； （2）求梯形周长的最大值. 21. 已知函数周期是. （1）求的解析式，并求的单调递增区间； （2）将图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移个单位，最后将整个函数图像向上平移个单位后得到函数的图像，若时，恒成立，求m得取值范围. 22. 如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别与边、交于、两点（点、与点、不重合），设，． （1）求的值； （2）求的最小值，并求此时，的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$