精品解析：浙江省宁波市镇海区镇海区尚志中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

镇海区尚志中学2023学年第二学期期中评估 初一年级 数学评估卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 如图为尚志中学的校徽图，展现出书籍与跑道的形象，体现了学校推崇阅读与运动的教育理念．以下四幅图中，能由校徽图经过平移得到的是（ ） A B. C. D. 2. 四月是柳絮飞花的时节，据测定柳絮纤维的直径约为，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，与是同位角的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C D. 6. 已知是一个完全平方式，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 一道来自课本的习题： 从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需．甲地到乙地全程是多少? 小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设未知数，，已经列出一个方程，则另一个方程正确是（　　） A. B. C. D. 8. 为增强学生体质，感受中国的传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间，小聪把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，，则∠E的度数是（ ） A. 30° B. 40° C. 60° D. 70° 9. 已知，，，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 10. 如图，在长方形中放入一个边长为大正方形和两个边长为的小正方形（正方形和正方形），其中个阴影部分的面积满足，则长方形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 已知二元一次方程，用含y的代数式表示x，则_________． 12. 因式分解：________． 13. 如图所示，将一张对边平行的等宽纸带按图折叠，形成一个的角，则等于_______ 14. 已知在的积中，含项的系数为2，不含项，则的值为_______． 15. 若,，则的值为______ 16. 如图，已知直线，点，分别在直线，上，点为，之间一点，且点在的右侧，．若与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点……以此类推，若，则的值是______． 三、解答题（本大题共8小题，第17题8分，第18题4分，第19题6分，第20题5分，第21，22题各6分，第23题7分，第24题10分，共52分．） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 分解因式： （1）； （2）． 19. 解方程组． （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，AC//EF，∠1+∠3＝180°． （1）判定∠FAB与∠4的大小关系，并说明理由； （2）若AC平分∠FAB，EF⊥BE于点E，∠4＝72°，求∠BCD的度数． 22. 为了防治“新型流感”，某班级准备用元购买医用口罩和消毒液发放给同学．若医用口罩买个，消毒液买瓶，则钱还剩余元；若医用口罩买个，消毒液买瓶，则钱恰好用完． （1）求医用口罩和消毒液的单价； （2）小杰到药店购买同款医用口罩和消毒液，两种商品共花了元．请写出所有的购买方案． 23. 我们知道：可以通过用不同的方法求解长方形面积，从而得到一些数学等式．如图1可以表示的数学等式：，请完成下列问题： （1）写出图2中所表示数学等式： ； （2）从图3可知，因式分解： ； （3）结合图4，已知，，求的值． 24. 某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．已知，为上两点，连接，，平分交于点，为上一点，连接． （1）求______ （2）如图，为上一点，连接．当时，试说明：； （3）探照灯照出的光线在铁路所在平面旋转，探照灯射出的光线以每秒度的速度逆时针转动，探照灯射出的光线以每秒度的速度逆时针转动，转至射线后立即以相同速度回转，若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当回到出发时的位置时同时停止转动，则在转动过程中，当与互相平行或垂直时，请直接写出此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 镇海区尚志中学2023学年第二学期期中评估 初一年级 数学评估卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 如图为尚志中学的校徽图，展现出书籍与跑道的形象，体现了学校推崇阅读与运动的教育理念．以下四幅图中，能由校徽图经过平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平移，据平移不改变图形的大小、形状和方向，只改变图形的位置判断即可判断求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：∵平移不改变图形的大小、形状和方向，只改变图形的位置， ∴能由校徽图经过平移得到的是， 故选：． 2. 四月是柳絮飞花的时节，据测定柳絮纤维的直径约为，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了小数的科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定小数的的方法为：从左边第一个非零的数的左边有个，则． 【详解】解：， 故选：B． 3. 下列图形中，与是同位角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同位角的定义，即两条直线被第三条直线所截，在两条被截直线的同侧，在截线的同旁的一对角．根据同位角定义，对各选项逐个分析即可得出答案． 【详解】A. 与在截线的两侧，故该选项错误，不符合题意； B. 与一条边所在直线不是被同一条截线所截，故该选项错误，不符合题意； C. 与一条边所在直线不是被同一条截线所截，故该选项错误，不符合题意； D. 与是同位角，故该选项正确，符合题意， 故选：D． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法分别计算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 故选：． 5. 下列各式从左到右变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的判定，熟练掌握和运用因式分解的定义是解决本题的关键． 根据因式分解的定义，即把一个多项式分解为几个因式的积的形式叫做因式分解，即可一一判定． 【详解】解：A. ，不是因式分解，故该选项不符合题意； B. ，不是因式分解，故该选项不符合题意； C. ，不是因式分解，故该选项不符合题意； D. ，是因式分解，故该选项符合题意； 故选：D． 6. 已知是一个完全平方式，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，熟记完全平方式的形式是解题的关键．根据完全平方式的结构：，找出公式中的和即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴公式中的，分别为，， ∴， ∴， 故选：C． 7. 一道来自课本的习题： 从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需．甲地到乙地全程是多少? 小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设未知数，，已经列出一个方程，则另一个方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据未知数，，从乙地到甲地需，即可列出另一个方程． 【详解】设从甲地到乙地的上坡的距离为，平路的距离为，已经列出一个方程，则另一个方程正确的是：． 故选B． 【点睛】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是等量关系列出方程． 8. 为增强学生体质，感受中国的传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间，小聪把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，，则∠E的度数是（ ） A. 30° B. 40° C. 60° D. 70° 【答案】A 【解析】 【分析】过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论、平行线的性质可得，然后根据角的和差即可得． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 9. 已知，，，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握配方法是解题的关键．利用配方法将配方成，再求出、和即可． 【详解】解： ， ∵，，， ∴，，， ∴， 故选：C． 10. 如图，在长方形中放入一个边长为的大正方形和两个边长为的小正方形（正方形和正方形），其中个阴影部分的面积满足，则长方形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得，，的长、宽及面积，根据，可整体求得的值，即长方形的面积，根据所给图形，数形结合，正确表示出相关图形的长度和面积是解题的关键． 【详解】解：设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得： 的长为，宽为， ∴； 的长为，宽为， ∴； 的长为，宽为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴长方形的面积为， 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 已知二元一次方程，用含y的代数式表示x，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将y看作已知数表示出x． 根据含y的代数式表示x，移项即可． 【详解】解： 移项，得 故答案为：． 12. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，根据提公因式以及平方差公式因式分解，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 如图所示，将一张对边平行的等宽纸带按图折叠，形成一个的角，则等于_______ 【答案】##75度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，由平行线的性质可得，由折叠的性质可得，进而即可求解，掌握平行线和折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，∵纸带的两边互相平行， ∴， 又由折叠可得，， ∴， 故答案为：． 14. 已知在的积中，含项的系数为2，不含项，则的值为_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了多项式的乘法，熟练掌握多项式乘多项式的方法和认识多项式的项和系数是解题的关键．将变形为，利用待定系数法求解即可． 详解】解：， ∵含项的系数为2，不含项， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：6． 15. 若,，则的值为______ 【答案】5或 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式的变形求值，求出，得到，再分两种情况进行求出的值. 【详解】解：∵,， ∴ ∴ 当时， 当时，， 即的值为5或. 故答案：5或 16. 如图，已知直线，点，分别在直线，上，点为，之间一点，且点在的右侧，．若与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点……以此类推，若，则的值是______． 【答案】4 【解析】 【分析】作EF//AB则AB//CD//EF，根据平行线的性质得出∠MEN=∠BME+∠DME=128°，同理∠ME1N=(∠BME+∠DME) =64°，∠ME2N=(∠BME1+∠DME1) =32°，可归纳规律∠MEnN=(∠BMEn-1+∠DMEn-1) =，依此建立方程=8°求解即可解答． 【详解】解：如图：作EF//AB ∵AB//CD ∴AB//CD//EF ∴∠FEM=∠BME, ∠FEN=∠DNE, ∴∠MEN=∠BME+∠DME=∠FEM +∠FEN =∠MEN= 128° 同理：ME1N=(∠BME+∠DME) =64°， ∠ME2N=(∠BME1+∠DME1) =32° … ∠MEnN=(∠BMEn-1+∠DMEn-1) = 由题意得：=8°，解得n=4． 故答案为4． 【点睛】本题考查了平行线的性质、探索图形规律、角平分线的定义等知识点，正确的识别图形、归纳图形规律是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，第17题8分，第18题4分，第19题6分，第20题5分，第21，22题各6分，第23题7分，第24题10分，共52分．） 17 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】 【分析】（）根据单项式乘以单项式的乘法法则进行计算即可； （）利用积的乘方先计算，再根据单项式除以单项式的除法法则进行计算即可； （）利用同底数幂乘法的逆运算计算即可求解； （）利用乘方的定义、零指数幂、负整数指数幂分别运算，再合并即可； 本题考查了整式的运算，实数的混合运算，掌握整式好实数的运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ， ， ； 【小问4详解】 解：原式 ． 18. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）直接提取公因式即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 19. 解方程组． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解题的关键． （1）利用加减消元法求解即可； （2）先由求出，再代入即可． 【小问1详解】 解：， 得：， 去括号，合并得：， 系数化为1，得：， 将代入①，得， 解得：， 故原方程组的解为：； 【小问2详解】 ， 由①解得：， ②变形为：， 代入， 解得：， 故原方程组的解为：． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，先根据整式的运算法则对整式进行化简，再把代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ， 当时， 原式 ， ． 21 如图，AC//EF，∠1+∠3＝180°． （1）判定∠FAB与∠4的大小关系，并说明理由； （2）若AC平分∠FAB，EF⊥BE于点E，∠4＝72°，求∠BCD的度数． 【答案】（1）∠FAB＝∠4，理由见解析；（2）54° 【解析】 【分析】（1）根据性质可得∠1+∠2＝180°，已知∠1+∠3＝180°，所以∠2＝∠3，即EF//CD，根据平行线的性质两直线平行，同位角相等即可得出答案； （2）因为AC平分∠FAB，所以∠2＝∠CAD，根据三角形外角定理，∠4＝∠3+∠CAD，可计算出∠3的度数，因为EF⊥BE，EF//AC，根据平行线的性质可得∠ACB＝90°，即可得出答案． 【详解】证明：（1）∠FAB＝∠4．理由如下： ∵AC//EF， ∴∠1+∠2＝180°， 又∵∠1+∠3＝180°， ∴∠2＝∠3， ∴EF//CD， ∴∠FAB＝∠4； （2）∵AC平分∠FAB， ∴∠2＝∠CAD， 又∵∠2＝∠3， ∴∠3＝∠CAD， 又∵∠4＝∠3+∠CAD， ∴72°＝2∠3， ∴∠3＝36°， ∵EF⊥BE，EF//AC， ∴∠FEC＝90°，∠ACB＝90°， ∴∠BCD＝∠ACB﹣∠3＝90°﹣36°＝54°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判定进行计算是解决本题的关键． 22. 为了防治“新型流感”，某班级准备用元购买医用口罩和消毒液发放给同学．若医用口罩买个，消毒液买瓶，则钱还剩余元；若医用口罩买个，消毒液买瓶，则钱恰好用完． （1）求医用口罩和消毒液的单价； （2）小杰到药店购买同款医用口罩和消毒液，两种商品共花了元．请写出所有的购买方案． 【答案】（1）医用口罩的单价为元，消毒液的单价为元； （2）共有两种购买方案：购买了医用口罩个，消毒液瓶；购买了医用口罩个，消毒液瓶． 【解析】 【分析】（）设医用口罩的单价为元，消毒液的单价为元，根据题意，列出二元一次方程组即可求解； （）设购买了医用口罩个，消毒液瓶，根据题意，列出二元一次方程，根据都为正整数解答即可求解； 本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，根据题意，正确列出二元一次方程组和二元一次方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：设医用口罩的单价为元，消毒液的单价为元， 由题意可得，， 解得， 答：医用口罩的单价为元，消毒液的单价为元； 【小问2详解】 解：设购买了医用口罩个，消毒液瓶， 则， ∵都为正整数， ∴或， ∴共有两种购买方案：购买了医用口罩个，消毒液瓶；购买了医用口罩个，消毒液瓶． 23. 我们知道：可以通过用不同的方法求解长方形面积，从而得到一些数学等式．如图1可以表示的数学等式：，请完成下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式： ； （2）从图3可知，因式分解： ； （3）结合图4，已知，，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查乘法公式、因式分解与几何图形结合的应用，熟练掌握乘法公式与几何图形的面积关系是解题的关键． （1）求出长方形中每个小长方形（或正方形）的面积即可得； （2）求出长方形中每个小长方形（或正方形）的面积，得出公式即可得； （3）补全图形并求出长方形中每个小长方形（或正方形）的面积得出，整体代入求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，求出长方形中每个小长方形（或正方形）的面积，如图： 则可得：， 故答案为：； 【小问2详解】 根据题意，求出长方形中每个小长方形（或正方形）的面积，如图： 则可得：， 则， 故答案为：； 【小问3详解】 根据题意，补全图形并求出长方形中每个小长方形（或正方形）的面积，如图： 则可得：， ∵，， ∴， ∴， ∴． 24. 某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．已知，为上两点，连接，，平分交于点，为上一点，连接． （1）求______ （2）如图，为上一点，连接．当时，试说明：； （3）探照灯照出的光线在铁路所在平面旋转，探照灯射出的光线以每秒度的速度逆时针转动，探照灯射出的光线以每秒度的速度逆时针转动，转至射线后立即以相同速度回转，若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当回到出发时的位置时同时停止转动，则在转动过程中，当与互相平行或垂直时，请直接写出此时的值． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）或或或或． 【解析】 【分析】（）利用平行线的性质和角平分线的性质解答即可； （）由可得，再利用平行线的性质可得，即可求证； （）分五种情况画图，列出关于的式子即可解答即可求解； 本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的性质，一元一次方程的应用，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：，当时，则，如图， ∵， ∴， ∴， 由题意得，，， ∴， ∴； 当时，则，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 若转射线后回旋， 当时，则，如图， ∵， ． ， ． ． 当时，则，如图， 由题意得，， ， ∴， ∴ ∴； 当时，，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，的值为或或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$