专题01 集合的概念11种常见考法归类（79题）-2024年考点通关新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册）

2024年考点通关新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册） 专题01 集合的概念11种常见考法归类（79题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 集合概念的理解 （1） 判断元素能否构成集合 （2） 判断是否为同一集合 考点二 判断元素与集合的关系 考点三 已知元素与集合的关系求参数 考点四 集合元素互异性的应用 考点五 判断集合中元素的个数 考点六 根据集合元素个数求参数 考点七 由集合相等求参数 考点八 用列举法表示集合 考点九 用描述法表示集合 考点十 集合表示法的综合应用 考点十一 集合的新定义题 知识点1：集合的含义 一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母,,,…表示. 把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母,,,…表示集合.  知识点2：元素与集合 1.元素与集合的关系 (1)属于：如果是集合的元素，就说属于，记作 . (2)不属于：如果不是集合的元素，就说不属于，记作. 特别说明：表示一个元素，表示一个集合.它们间的关系为：. 2.集合元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性. （2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性. （3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性. 知识点3：集合的表示方法与分类 1.常用数集及其符号 常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 数学符合 或 2.集合的表示方法 （1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法 （2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注用列举法表示集合时注意： ①元素与元素之间必须用“，”隔开． ②集合中的元素必须是明确的． ③集合中的元素不能重复． ④集合中的元素可以是任何事物． （3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． （4）（韦恩图法）： 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 3.集合的分类 根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集. （1）有限集：含有有限个元素的集合是有限集，如方程的实数解组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集.有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在图中来表示. （2）无限集：含有无限个元素的集合是无限集，如不等式的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集.通常用描述法表示。 知识点4：集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.记作：,例如： ， 解题策略 1、三方面理解集合的含义 注：不是所有的对象都能构成集合，只有具有明确标准可以判定是否在集合内的对象才能组成集合． 2、判断一组对象能否构成集合的方法 (1)依据：元素的确定性是判断的依据．如果考查的对象是确定的，就能构成集合，否则不能构成集合． (2)切入点：解答此类问题的切入点是集合元素的特性，即确定性、互异性和无序性． 图示如下： 一般地，确认一组对象a1，a2，a3，…，an(a1，a2，…，an均不相同)能否构成集合的方法为： 3、元素与集合的关系解读 4、N与N＋(或N*)的区别 N＋(或N*)是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整数组成的集合，所以N比N＋(或N*)多一个元素0. 5、判断元素与集合关系的两种方法 (1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可. 此时应首先明确集合是由哪些元素构成的． (2)特征法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件．　 6、根据集合中元素的特性求值的3个步骤 7、集合中元素的特性及应用 集合中元素具有确定性、互异性、无序性．确定性用于判断一组对象能否构成集合；互异性主要是提示我们求出结果后要检验，特别是题中含有参数时，一定要检验求出的参数是否使集合中的元素满足互异性；无序性主要是方便定义集合相等，当两个集合相等时，其元素不一定依次对应相等． 8、利用集合中元素的确定性、互异性求参数的策略及注意点 (1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对求得的参数值进行检验． (2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用． 8、列举法表示集合的种类 (1)元素个数少且有限时，如{1,2,3,4}． (2)元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示．如“从1到100的所有自然数”可以表示为{1,2,3,4，…，100}． (3)元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举．如“所有的正偶数”可以表示为{2,4,6,8，…}． 9、列举法表示集合的步骤及注意点 用列举法表示集合的3个步骤 (1)求出集合的元素． (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次． (3)用花括号括起来． 注意点： 二元方程组的解集，函数的图像形成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开．如{(2,3)，(5，－1)}． 10、描述法表示集合的几点注意 (1)用描述法表示集合，应先弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示其元素． (2)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}． (3)用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，需对新字母说明其含义或取值范围．不能出现未被说明的字母．所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}． (4)多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内． (5)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}． 11、描述法表示集合的2个步骤 12、集合的三种表示方法特点 13、选用列举法或描述法的原则 要根据集合元素所具有的属性选择适当的表示方法．列举法的特点是能清楚地展现集合的元素，通常用于表示元素较少的集合，当集合中元素较多或无限时，就不宜采用列举法；描述法的特点是形式简单、应用方便，通常用于表示元素具有明显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时，就不宜采用描述法．　 14、集合表示法的综合应用 (1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题． (2)a＝0这种情况极易被忽视，对于方程“ax2＋2x＋1＝0”有两种情况：一是a＝0，即它是一元一次方程；二是a≠0，即它是一元二次方程，也只有在这种情况下，才能用判别式Δ来解决问题． 考点一 集合概念的理解 （一）判断元素能否构成集合 1．（2024秋·贵州铜仁·高一校考阶段练习）下列各组对象中，能组成集合的有___________（填序号）． ①所有的好人； ②平面上到原点的距离等于2的点； ③正三角形； ④比较小的正整数； ⑤满足不等式的的取值． 2.（2024·全国·高三专题练习）下列各对象可以组成集合的是（    ） A．与非常接近的全体实数 B．北大附中云南实验学校学年度第二学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．高一年级很有才华的老师 3．（2024秋·河南新乡·高一校考阶段练习）下列元素的全体不能组成集合的是（    ） A．中国古代四大发明 B．地球上的小河流 C．方程的实数解 D．周长为的三角形 4．（2024·河北·高三学业考试）下列各组对象不能构成集合的是（    ） A．所有直角三角形 B．抛物线上的所有点 C．某中学高一年级开设的所有课程 D．充分接近的所有实数 5．（2024·高一课时练习）下列各组对象的全体能构成集合的有（    ） （1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体. A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．（2024秋·高一单元测试）下列语言叙述中，能表示集合的是（    ） A．数轴上离原点距离很近的所有点 B．德育中学的全体高一学生 C．某高一年级全体视力差的学生 D．与大小相仿的所有三角形 （二）判断是否为同一集合 7.（2024·高一课时练习）判断下列命题是否正确． （1）集合与集合表示同一集合；( ) （2）集合与集合表示同一集合；( ) （3）集合与集合不表示同一集合；( ) （4）集合与集合表示同一集合．( ) 8.（2024秋·天津滨海新·高一校考阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．由1，2，3组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 考点二 判断元素与集合的关系 9．（2024·江苏·高一假期作业）下列关系中，正确的有（　　） ①；② ；③；④. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（2023秋·高一课时练习）下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 11．【多选】（2023秋·广西百色·高一校考阶段练习）已知集合，则下列关系式成立的是（    ） A． B． C． D． 12．（2023秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）设集合M是由不小于2的数组成的集合，a＝，则下列关系中正确的是（    ） A．a∈M B．a∉M C．a＝M D．a≠M 13．（2024·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知集合下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 14．【多选】（2023秋·高一课时练习）设为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（　　） A． B． C． D．以上都不正确 15．（2023秋·河北沧州·高一任丘市第一中学校考阶段练习）设A是整数集的一个非空子集，对于，若，且，则称k是A的一个“孤立元”，集合中的“孤立元”是___________；对给定的集合，由S中的4个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合有___________个． 考点三 已知元素与集合的关系求参数 16．（2024·江苏·高一假期作业）已知集合A含有两个元素a和a2，若2∈A，则实数a的值为________． 17．（2024·高一课时练习）若，则a的值为______. 18．（2023秋·四川泸州·高一统考期末）已知，则a的值为______． 19.（2023·全国·高三专题练习）已知集合 ，且 ，则实数的值为（    ） A．3 B．2 C．0或3 D．0或2或3 20.（2023·全国·高三专题练习）若集合，且，则实数___________. 21．（2024·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）已知集合中的最大元素为，则实数________. 22．（2024·河南·开封高中校考模拟预测）已知，若，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（2024·全国·高一假期作业）已知集合中含有两个元素和． (1)若是集合中的元素，试求实数的值； (2)能否为集合中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由． 24.（2023·全国·高三专题练习）集合中所有元素之和为，则实数________． 25．（2023秋·高一课时练习）已知集合S满足:若，则.请解答下列问题: (1)若，则S中必有另外两个元素，求出这两个元素. (2)证明:若，则. (3)在集合S中，元素能否只有一个?若能，把它求出来;若不能，请说明理由. 考点四 集合元素互异性的应用 26．（2024·全国·高一专题练习）集合中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 27．（2023秋·上海·高一专题练习）若，则a的值是___． 28.（2023·全国·高三专题练习）若，则的可能取值有（    ） A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3 29．（2024·高一课时练习）数集中的元素a不能取的值是__________. 30．（2023秋·河南濮阳·高一校考阶段练习）已知,则实数为（    ） A． B． C．或 D．或或 31．（2024·全国·高三专题练习）设集合，，已知且，则的取值集合为________. 32．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一黑龙江省哈尔滨市南岗中学校校考阶段练习）已知集合，若，求实数a的取值集合． 33．（2023秋·河南南阳·高一校联考期中）已知集合，，若，，则______. 考点五 判断集合中元素的个数 34．（2024·高一课时练习）设由“我和我的祖国”中的所有汉字组成集合，则中的元素个数为______． 35．（2024·高一课时练习）由构成的集合中，元素个数最多是______. 36．（2023秋·高一单元测试）已知集合，则集合B中有________个元素． 37．（2024·河北·高三学业考试）设集合，，，则中的元素个数为______． 38．（2024·全国·高三专题练习）已知集合，则集合B中所含元素个数为（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 39．（2023秋·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期中）设为两个非空实数集合，定义集合，若，，则中元素的个数是______． 40．（2023秋·高一课时练习）已知集合A的元素满足条件:若a∈A，则∈A(a≠1)，当∈A时，则集合A中元素的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点六 根据集合元素个数求参数 41．（2023秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）是单元素集，则实数的取值是_____． 42.（2023·全国·高一专题练习）已知集合的元素只有一个，则实数的值为（    ） A． B．0 C．或0 D．无解 43．（2024·全国·高一假期作业）已知集合. (1)若A中只有一个元素，求的值； (2)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 44．（2023秋·高一课时练习）已知集合中有两个元素，则实数满足的条件为_____. 45．（2024·江苏·高一假期作业）若集合中有2个元素，求k的取值范围． 46.（2023·高一课时练习）已知集合. （1）若中只有一个元素，求及； （2）若中至多有一个元素，求的取值范围. 47．（2024·高一课时练习）已知A为方程的所有实数解构成的集合，其中a为实数. (1)若A是空集，求a的范围； (2)若A是单元素集合，求a的范围： (3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围. 考点七 由集合相等求参数 48．（2023秋·高一课时练习）已知，则实数m等于（    ） A．2 B．－1 C．2或－1 D．4 49．（2023秋·高一单元测试）已知集合， ，若，则a等于（    ） A．－1或3 B．0或1 C．3 D．－1 50．（2024·全国·高一专题练习）已知集合，，若，则实数x的取值集合为（    ） A． B． C． D． 51．（2024·高一单元测试）已知集合， 若， 则 （    ） A．3 B．4 C． D． 52．（2023秋·重庆万州·高一校考阶段练习）已知，，若集合，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 53.（2023·江西·金溪一中校联考模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 54.（2023·高一单元测试）设，，，若，则______． 考点八 用列举法表示集合 55．（2023·山西运城·高一校考阶段练习）集合，用列举法表示为（    ） A．1 B．2 C． D． 56.（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高一校考开学考试）集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 57.（2023·河南鹤壁·高一河南省浚县第一中学校考阶段练习）方程组的解集是（    ） A． B． C． D． 58.（2023·四川·高一校考阶段练习）设集合，则用列举法表示集合为______. 59.（2023·北京海淀·高一北京市十一学校校考期中）已知集合，，用列举法表示集合_____________． 60．（2023秋·高一课时练习）直线与y轴的交点所组成的集合为（　　） A． B． C． D． 61．（2024·高一课时练习）设a，b是非零实数，那么可能取的所有值组成集合是______. 62．（2023秋·高一课时练习）若，则可用列举法将集合表示为（　　） A． B． C． D． 63．（2023秋·甘肃酒泉·高一校考期中）已知集合，试用列举法表示集合__________． 64．（2024·高一课时练习）用列举法表示下列集合 (1)以内非负偶数的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)一次函数与的图象的交点组成的集合． 65．（2024·高一课时练习）用列举法表示下列集合： （1） 满足的x值组成的集合； （2） 方程x2＋x＋1＝0的根组成的集合； （3） 不大于15的正奇数组成的集合； （4） 不大于10的正偶数组成的集合． 66．（2024·全国·高三专题练习）用列举法表示下列集合： (1){x|x是14的正约数}； (2){(x, y)|x∈{1, 2}, y∈{1, 2}}； (3){(x, y)|x＋y＝2, x－2y＝4}； (4){x|x＝(－1)n,n∈N}； (5){(x, y)|3x＋2y＝16, x∈N, y∈N}. 考点九 用描述法表示集合 67.（多选）（2024·高一课时练习）集合用描述法可以表示为（ ） A． B． C． D． 68.（2024·高一课时练习）所有正奇数组成的集合用描述当表示为_________． 69.（2023·高一课时练习）用描述法表示下列集合： （1）被3除余1的正整数的集合． （2）坐标平面内第一象限内的点的集合． （3）大于4的所有偶数． 70.（2023春·河北·高二统考学业考试）直角坐标平面中除去两点､可用集合表示为（    ） A． B．或 C． D． 71．（2024·高一课时练习）集合表示的是__________. 72．（2024·上海·高一专题练习）下面三个集合：请说说它们各自代表的含义． 73．（2024·高一课时练习）下列集合是否有区别？ （1）； （2）； （3） （4）； （5）或 考点十 集合表示法的综合应用 74．（2023秋·高一课时练习）下列集合中，不同于另外三个集合的是（    ） A． B． C． D． 75．（2024·全国·高一假期作业）用另一种方法表示下列集合: (1); (2); (3)已知，，写出集合P; (4)集合，，写出集合B. 76．（2024·高一课时练习）用适当的方法表示下列集合． （1）方程组的解集； （2）1000以内被3除余2的正整数所构成的集合； （3）直角坐标平面上的第二象限内的点所构成的集合； （4）所有三角形构成的集合． 77．（2023秋·高一课时练习）用适当的方法表示下列集合： （1）方程组的解集； （2）方程的实数根组成的集合； （3）平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合； （4）二次函数的图象上所有的点组成的集合； （5）二次函数 的图象上所有点的纵坐标组成的集合. 考点十一 集合的新定义题 78.【多选】（2023春·湖南邵阳·高一统考开学考试）若对任意，，则称为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（    ） A． B． C． D． 79.（2023秋·四川成都·高一成都实外校考期末）定义若则中元素个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 $$2024年考点通关新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册） 专题01 集合的概念11种常见考法归类（79题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 集合概念的理解 （1） 判断元素能否构成集合 （2） 判断是否为同一集合 考点二 判断元素与集合的关系 考点三 已知元素与集合的关系求参数 考点四 集合元素互异性的应用 考点五 判断集合中元素的个数 考点六 根据集合元素个数求参数 考点七 由集合相等求参数 考点八 用列举法表示集合 考点九 用描述法表示集合 考点十 集合表示法的综合应用 考点十一 集合的新定义题 知识点1：集合的含义 一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母,,,…表示. 把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母,,,…表示集合.  知识点2：元素与集合 1.元素与集合的关系 (1)属于：如果是集合的元素，就说属于，记作 . (2)不属于：如果不是集合的元素，就说不属于，记作. 特别说明：表示一个元素，表示一个集合.它们间的关系为：. 2.集合元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性. （2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性. （3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性. 知识点3：集合的表示方法与分类 1.常用数集及其符号 常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 数学符合 或 2.集合的表示方法 （1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法 （2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注用列举法表示集合时注意： ①元素与元素之间必须用“，”隔开． ②集合中的元素必须是明确的． ③集合中的元素不能重复． ④集合中的元素可以是任何事物． （3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． （4）（韦恩图法）： 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 3.集合的分类 根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集. （1）有限集：含有有限个元素的集合是有限集，如方程的实数解组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集.有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在图中来表示. （2）无限集：含有无限个元素的集合是无限集，如不等式的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集.通常用描述法表示。 知识点4：集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.记作：,例如： ， 解题策略 1、三方面理解集合的含义 注：不是所有的对象都能构成集合，只有具有明确标准可以判定是否在集合内的对象才能组成集合． 2、判断一组对象能否构成集合的方法 (1)依据：元素的确定性是判断的依据．如果考查的对象是确定的，就能构成集合，否则不能构成集合． (2)切入点：解答此类问题的切入点是集合元素的特性，即确定性、互异性和无序性． 图示如下： 一般地，确认一组对象a1，a2，a3，…，an(a1，a2，…，an均不相同)能否构成集合的方法为： 3、元素与集合的关系解读 4、N与N＋(或N*)的区别 N＋(或N*)是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整数组成的集合，所以N比N＋(或N*)多一个元素0. 5、判断元素与集合关系的两种方法 (1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可. 此时应首先明确集合是由哪些元素构成的． (2)特征法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件．　 6、根据集合中元素的特性求值的3个步骤 7、集合中元素的特性及应用 集合中元素具有确定性、互异性、无序性．确定性用于判断一组对象能否构成集合；互异性主要是提示我们求出结果后要检验，特别是题中含有参数时，一定要检验求出的参数是否使集合中的元素满足互异性；无序性主要是方便定义集合相等，当两个集合相等时，其元素不一定依次对应相等． 8、利用集合中元素的确定性、互异性求参数的策略及注意点 (1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对求得的参数值进行检验． (2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用． 8、列举法表示集合的种类 (1)元素个数少且有限时，如{1,2,3,4}． (2)元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示．如“从1到100的所有自然数”可以表示为{1,2,3,4，…，100}． (3)元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举．如“所有的正偶数”可以表示为{2,4,6,8，…}． 9、列举法表示集合的步骤及注意点 用列举法表示集合的3个步骤 (1)求出集合的元素． (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次． (3)用花括号括起来． 注意点： 二元方程组的解集，函数的图像形成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开．如{(2,3)，(5，－1)}． 10、描述法表示集合的几点注意 (1)用描述法表示集合，应先弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示其元素． (2)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}． (3)用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，需对新字母说明其含义或取值范围．不能出现未被说明的字母．所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}． (4)多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内． (5)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}． 11、描述法表示集合的2个步骤 12、集合的三种表示方法特点 13、选用列举法或描述法的原则 要根据集合元素所具有的属性选择适当的表示方法．列举法的特点是能清楚地展现集合的元素，通常用于表示元素较少的集合，当集合中元素较多或无限时，就不宜采用列举法；描述法的特点是形式简单、应用方便，通常用于表示元素具有明显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时，就不宜采用描述法．　 14、集合表示法的综合应用 (1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题． (2)a＝0这种情况极易被忽视，对于方程“ax2＋2x＋1＝0”有两种情况：一是a＝0，即它是一元一次方程；二是a≠0，即它是一元二次方程，也只有在这种情况下，才能用判别式Δ来解决问题． 考点一 集合概念的理解 （一）判断元素能否构成集合 1．（2024秋·贵州铜仁·高一校考阶段练习）下列各组对象中，能组成集合的有___________（填序号）． ①所有的好人； ②平面上到原点的距离等于2的点； ③正三角形； ④比较小的正整数； ⑤满足不等式的的取值． 【答案】②③⑤ 【分析】根据集合元素的确定性即可得到答案. 【详解】①中“好人”，④中“比较小”不满足构成集合元素的确定性，而②③⑤满足集合元素的性质，故②③⑤正确， 故答案为：②③⑤. 2.（2024·全国·高三专题练习）下列各对象可以组成集合的是（    ） A．与非常接近的全体实数 B．北大附中云南实验学校学年度第二学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．高一年级很有才华的老师 【答案】B 【详解】对于ACD，集合中的元素具有确定性，但ACD中的元素不确定，故不能构成集合，ACD错误； B中的元素满足集合中元素的特点，可以构成集合，B正确. 故选：B. 3．（2024秋·河南新乡·高一校考阶段练习）下列元素的全体不能组成集合的是（    ） A．中国古代四大发明 B．地球上的小河流 C．方程的实数解 D．周长为的三角形 【答案】B 【分析】根据集合中的元素的三要素即可判断各个选项的正误. 【详解】中国古代四大发明可以构成一个集合，故A正确； 地球上的小河流不满足集合元素的确定性， 即没有标准说多小的河流算小河流，故B错误； 方程的实数解是，可以构成一个集合，故C正确； 周长为的所有三角形可以构成一个集合，故D正确； 故选：B. 4．（2024·河北·高三学业考试）下列各组对象不能构成集合的是（    ） A．所有直角三角形 B．抛物线上的所有点 C．某中学高一年级开设的所有课程 D．充分接近的所有实数 【答案】D 【分析】根据集合所具有的性质逐一判断即可得出结论. 【详解】A，B，C中的对象具备互异性、无序性、确定性，而D中的对象不具备确定性． 故选：D． 5．（2024·高一课时练习）下列各组对象的全体能构成集合的有（    ） （1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体. A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据集合中元素的确定性判断可得答案. 【详解】（1）（3）（4）（5）中的对象是确定的，可以组成集合，（2）中的对象是不确定的，不能组成集合. 故选：C. 6．（2024秋·高一单元测试）下列语言叙述中，能表示集合的是（    ） A．数轴上离原点距离很近的所有点 B．德育中学的全体高一学生 C．某高一年级全体视力差的学生 D．与大小相仿的所有三角形 【答案】B 【分析】根据集合中元素的确定性逐个判断即可. 【详解】对A，数轴上离原点距离很近的所有点不满足集合中元素的确定性，故A错误； 对B，德育中学的全体高一学生满足集合中元素的确定性，故B正确； 对C，某高一年级全体视力差的学生不满足集合中元素的确定性，故C错误； 对D，与大小相仿的所有三角形不满足集合中元素的确定性，故D错误 故选：B （二）判断是否为同一集合 7.（2024·高一课时练习）判断下列命题是否正确． （1）集合与集合表示同一集合；( ) （2）集合与集合表示同一集合；( ) （3）集合与集合不表示同一集合；( ) （4）集合与集合表示同一集合．( ) 【答案】 正确 错误 错误 错误 【详解】（1）集合元素具有无序性，集合与集合元素相同，故表示同一集合，正确； （2）两集合为点集，和表示的点不同，所以集合与集合表示两个不同的集合，错误； （3）集合与集合均表示大于3的所有实数的集合，所以集合与集合表示同一集合，错误； （4）集合为数集，集合为点集，不是同一集合，错误； 故答案为：（1）正确；（2）错误；（3）错误；（4）错误. 8.（2024秋·天津滨海新·高一校考阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．由1，2，3组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 【答案】A 【详解】集合中的元素具有无序性，故A正确； 是不含任何元素的集合，是含有一个元素0的集合，故B错误； 集合，集合，故C错误； 集合中有两个元素，集合中只有一个元素，为方程，故D错误. 故选：A. 考点二 判断元素与集合的关系 9．（2024·江苏·高一假期作业）下列关系中，正确的有（　　） ①；② ；③；④. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】判断数所在数域，得到正确答案. 【详解】为实数，①正确；是无理数，，②正确； 是自然数，③正确；，④错误， 故选：C 10．（2023秋·高一课时练习）下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系，结合选择，逐项判定，即可求解. 【详解】由属于实数，所以A错误； 由是正整数集，因此，所以B错误； 由是有理数，所以C正确； 由于是无理数，是整数集，所以D错误. 故选：C. 11．【多选】（2023秋·广西百色·高一校考阶段练习）已知集合，则下列关系式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先计算得到，从而得到，，，. 【详解】因为，故，，，. 故选：ABC 12．（2023秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）设集合M是由不小于2的数组成的集合，a＝，则下列关系中正确的是（    ） A．a∈M B．a∉M C．a＝M D．a≠M 【答案】B 【分析】通过比较2和的平方的大小关系即可得到这两个数的大小关系，进而判定AB；根据集合与元素的关系的概念否定CD． 【详解】∵∴，∴a∉M,故A错误，B正确； 实数与实数构成的集合是元素与集合的关系，只有属于和不属于的关系，没有相等不相等的关系，故CD错误. 故选：B. 13．（2024·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知集合下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系求解. 【详解】因为， 所以A、C错误， 因为，所以，所以B错误， 又，所以，所以D正确， 故选:D． 14．【多选】（2023秋·高一课时练习）设为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（　　） A． B． C． D．以上都不正确 【答案】ABC 【分析】根据为非零实数，分四种情况分类讨论，求得的值，结合选项，即可求解. 【详解】因为为非零实数， 当时，； 当中有一个小于时，不妨设，此时； 当中有一个大于时，不妨设，此时； 当时，， 所以集合，结合选项A、B、C正确. 故选：ABC. 15．（2023秋·河北沧州·高一任丘市第一中学校考阶段练习）设A是整数集的一个非空子集，对于，若，且，则称k是A的一个“孤立元”，集合中的“孤立元”是___________；对给定的集合，由S中的4个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合有___________个． 【答案】 5 6 【分析】①根据题意，依次判断每个元素是否为“孤立元”即可； ②根据①中分析可知，不含“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素，依次写出满足不含“孤立元”的集合即可. 【详解】解：①对于1，，则1不是“孤立元”； 对于2，，且，则2不是“孤立元”； 对于3，，则3不是“孤立元”； 对于5，，且，则5是“孤立元”； ②根据①中分析可知，不含“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素， 所以由S中的4个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合有，，，，，，共6个， 故答案为：5；6. 考点三 已知元素与集合的关系求参数 16．（2024·江苏·高一假期作业）已知集合A含有两个元素a和a2，若2∈A，则实数a的值为________． 【答案】或 【分析】根据元素与集合间的关系即可求解. 【详解】因为2∈A，所以或，即或. 故答案为：或 17．（2024·高一课时练习）若，则a的值为______. 【答案】 【分析】集合中的元素依次取，求出a值，利用集合元素的性质验证作答. 【详解】因为，则当，即，此时，矛盾， 若，解得，此时，，符合题意，即， 而，即， 所以a的值为. 故答案为： 18．（2023秋·四川泸州·高一统考期末）已知，则a的值为______． 【答案】/ 【分析】根据元素与集合的关系，把点坐标代入直线方程运算即可求得a的值． 【详解】因为，所以，解得：， 故答案为：． 19.（2023·全国·高三专题练习）已知集合 ，且 ，则实数的值为（    ） A．3 B．2 C．0或3 D．0或2或3 【答案】A 【详解】解：因为，且，所以或，解得或或，当时，即集合不满足集合元素的互异性，故，当时集合不满足集合元素的互异性，故，当时满足条件； 故选：A 20.（2023·全国·高三专题练习）若集合，且，则实数___________. 【答案】或. 【详解】由题意，集合，且， 若时，可得，此时集合，符合题意； 若时，可得，此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 若时，可得或（舍去）， 当时，集合，符合题意， 综上可得，实数的值为或. 故答案为：或. 21．（2024·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）已知集合中的最大元素为，则实数________. 【答案】1 【分析】依题意可得，解得，再检验即可. 【详解】因为，所以， 所以，解得或， 显然不满足集合元素的互异性，故舍去，经检验符合题意． 故答案为： 22．（2024·河南·开封高中校考模拟预测）已知，若，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意建立不等式求解即可. 【详解】由题意，且， 解得， 故选：B 23．（2024·全国·高一假期作业）已知集合中含有两个元素和． (1)若是集合中的元素，试求实数的值； (2)能否为集合中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由． 【答案】(1)1或 (2)不能，理由见解析 【分析】（1）依题意可得或，分别求出的值，再代入检验即可； （2）依题意可得或，求出的值，再判断是否符合集合元素的互异性，即可得解. 【详解】（1）因为是集合中的元素， 所以或． 若，则， 此时集合含有两个元素，，符合要求； 若，则， 此时集合中含有两个元素，，符合要求． 综上所述，满足题意的实数的值为或． （2）不能．理由如下： 若为集合中的元素，则或． 当时，解得，此时，显然不满足集合中元素的互异性； 当时，解得，此时显然不满足集合中元素的互异性． 综上，不能为集合中的元素． 24.（2023·全国·高三专题练习）集合中所有元素之和为，则实数________． 【答案】 【详解】由得或 所以， ，当时，是方程的根，解得， 当时，若方程的一根为1，则，方程的另一根为4，不合题意； 若1不是方程的根，则方程两根，此时不满足，舍去. 故答案为：． 25．（2023秋·高一课时练习）已知集合S满足:若，则.请解答下列问题: (1)若，则S中必有另外两个元素，求出这两个元素. (2)证明:若，则. (3)在集合S中，元素能否只有一个?若能，把它求出来;若不能，请说明理由. 【答案】(1)和. (2)证明见解析 (3)不能，理由见解析 【分析】（1）由得到，进而求出，得到答案； （2），进而得到，化简得到答案； （3）令，方程无解，得到结论. 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以，循环. 所以集合S中另外的两个元素为和. （2）由题意，可知且， 由，得， 即， 所以若，则. （3）集合S中的元素不可能只有一个. 理由如下:令， 即. 因为，所以此方程无实数解，所以. 因此集合S中不可能只有一个元素. 考点四 集合元素互异性的应用 26．（2024·全国·高一专题练习）集合中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】根据集合中元素的互异性可得答案. 【详解】根据集合中元素的互异性得， 故三角形一定不是等腰三角形. 故选：A. 27．（2023秋·上海·高一专题练习）若，则a的值是___． 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系求得正确答案. 【详解】由于，所以或， 解得或. 当时，不满足集合元素的互异性； 当时，集合为，符合题意. 所以的值为. 故答案为： 28.（2023·全国·高三专题练习）若，则的可能取值有（    ） A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3 【答案】C 【详解】，则，符合题设； 时，显然不满足集合中元素的互异性，不合题设； 时，则，符合题设； ∴或均可以. 故选：C 29．（2024·高一课时练习）数集中的元素a不能取的值是__________. 【答案】0，1，2， 【分析】根据集合中的元素满足互异性即可列不等式求解. 【详解】由集合中的元素满足互异性可知，解得且且且 故答案为：0，1，2， 30．（2023秋·河南濮阳·高一校考阶段练习）已知,则实数为（    ） A． B． C．或 D．或或 【答案】C 【分析】分别将,,三种情况代入集合中,看是否满足集合的三个性质即可选出结果. 【详解】解:由题知, 当时,集合可化为,符合题意; 当时,集合可化为, 不符合元素的互异性,故舍去; 当时,解得或(舍), 若,集合可化为,符合题意, 综上: 实数为0或1. 故选:C 31．（2024·全国·高三专题练习）设集合，，已知且，则的取值集合为________. 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系以及集合的互异性可求出结果. 【详解】因为，即， 所以或， 若，则或； 若，即，则或. 由与互异，得， 故或， 又，即，所以，解得且， 综上所述，的取值集合为. 故答案为： 32．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一黑龙江省哈尔滨市南岗中学校校考阶段练习）已知集合，若，求实数a的取值集合． 【答案】 【分析】让集合中每个元素等于1，求出值，然后检验是否符合互异性即可得 【详解】解：因为，所以 ①若，解得，此时集合为，元素重复，所以不成立，即 ②若，解得或，当时，集合为，满足条件，即成立． 当时，集合为，元素重复，所以不成立，即 ③若，解得或，由①②知都不成立． 所以满足条件的实数的取值集合为 33．（2023秋·河南南阳·高一校联考期中）已知集合，，若，，则______. 【答案】 【分析】首先利用集合与元素的关系和集合元素的特征得到或，即可得到答案. 【详解】解：因为，所以或或， 解得或或， 因为，所以或或， 解得或或， 又因为，所以或，即. 故答案为： 考点五 判断集合中元素的个数 34．（2024·高一课时练习）设由“我和我的祖国”中的所有汉字组成集合，则中的元素个数为______． 【答案】5 【分析】列举出集合中的元素，即可得出中的元素个数 【详解】解：由题意 中的元素分别为：我，和，的，祖，国，共5个元素， 故中的元素个数为5 故答案为：5. 35．（2024·高一课时练习）由构成的集合中，元素个数最多是______. 【答案】2 【分析】分与讨论即可求解. 【详解】当时，，此时元素个数为1； 当时，， 所以一定与或中的一个一致，此时元素个数为2. 所以由构成的集合中，元素个数最多是2个. 故答案为:2. 36．（2023秋·高一单元测试）已知集合，则集合B中有________个元素． 【答案】6 【分析】由题意分类讨论x的取值，确定y的值，即可求得答案. 【详解】因为，所以． 当时，； 当时，或； 当时，． 故集合，即集合B中有6个元素， 故答案为：6 37．（2024·河北·高三学业考试）设集合，，，则中的元素个数为______． 【答案】4 【分析】求出所有的值，根据集合元素的互异性可判断个数. 【详解】因为集合中的元素，，，所以当时，，2，3，此时，6，7．当时，，2，3，此时，7，8． 根据集合元素的互异性可知，，6，7，8．即，共有4个元素． 故答案为：4． 38．（2024·全国·高三专题练习）已知集合，则集合B中所含元素个数为（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】B 【分析】根据的值分类讨论，即可求出集合B中所含元素个数． 【详解】当时，有，6个元素； 当时，有，5个元素； 当时，有，4个元素； 当时，有，3个元素； 当时，有，2个元素； 当时，有，1个元素， 综上，一共有21个元素． 故选：B． 39．（2023秋·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期中）设为两个非空实数集合，定义集合，若，，则中元素的个数是______． 【答案】8 【分析】根据已知条件写出中所有元素即可. 【详解】，，； ，，； ，，； ，，； ，，； ，，； ，，； ,，； ,，； 根据集合元素的互异性可知中元素的个数是8， 故答案为：8 40．（2023秋·高一课时练习）已知集合A的元素满足条件:若a∈A，则∈A(a≠1)，当∈A时，则集合A中元素的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】列举出满足集合描述的元素，即可得答案. 【详解】∵∈A，∴=2∈A.∵2∈A，∴∈A.∵∈A，∴∈A. ∵∈A，∴∈A.∴集合A中有四个元素. 故选：D 考点六 根据集合元素个数求参数 41．（2023秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）是单元素集，则实数的取值是_____． 【答案】0或 【分析】分和两种情况讨论计算即可. 【详解】当时, 符合题意; 当时, 只有一个根,所以, 即得,符合题意; 故答案为:0或. 42.（2023·全国·高一专题练习）已知集合的元素只有一个，则实数的值为（    ） A． B．0 C．或0 D．无解 【答案】C 【详解】集合有一个元素，即方程有一解， 当时，，符合题意， 当时，有一解， 则，解得：， 综上可得：或， 故选：C. 43．（2024·全国·高一假期作业）已知集合. (1)若A中只有一个元素，求的值； (2)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】(1)针对和两种情况分类讨论，再转化为一元一次方程和一元二次方程分别得出的值即可 (2)确定A中有两个元素，可转化为一元二次方程两个不相等实数根进行求解，再结合第一问一个元素 的情况即可得出的取值范围 【详解】（1）由题意，当时，，得，集合A只有一个元素，满足条件；当时， 为一元二次方程，，得，集合A只有一个元素， A中只有一个元素时或. （2）由A中至少有一个元素包含两种情况，一个元素和两个元素，A中有两个元素时，并且 ，得且，再结合A中一个元素的情况，的取值范围为. 44．（2023秋·高一课时练习）已知集合中有两个元素，则实数满足的条件为_____. 【答案】，且 【分析】根据集合的互异性，集合中有两个元素即为有两个不等实根，根据方程二次项系数不为0，判别式大于0即得. 【详解】由题意知有两个不等实根， 所以且， 解得，且. 故答案为：，且 45．（2024·江苏·高一假期作业）若集合中有2个元素，求k的取值范围． 【答案】且． 【分析】根据一元二次方程根的情况即可由判别式求解. 【详解】由题意得且，解得且. 故实数k的取值范围为且． 46.（2023·高一课时练习）已知集合. （1）若中只有一个元素，求及； （2）若中至多有一个元素，求的取值范围. 【答案】（1）时，；时，；（2）； 【详解】（1）当时，，解得： ， 所以中只有一个元素，即， 当时，，解得：， ，解得：，此时 综上可知时，时. （2）当集合时，，解得： 由（1）可知集合有1个元素时，或， 综上可知：或， 即. 47．（2024·高一课时练习）已知A为方程的所有实数解构成的集合，其中a为实数. (1)若A是空集，求a的范围； (2)若A是单元素集合，求a的范围： (3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围. 【答案】(1)； (2)或； (3)或. 【分析】（1）讨论，根据可得结果； （2）讨论，根据可得结果； （3）转化为方程至多有一个解，由（1）（2）可得结果. 【详解】（1）若A是空集，则方程无解， 当时，方程有解，不符合题意； 当时，，得. 综上所述：. （2）若A是单元素集合，则方程有唯一实根， 当时，方程有唯一解，符合题意； 当时，，得. 综上所述：或. （3）若A中至多有一个元素，则方程至多有一个解， 当方程无解时，由（1）知，； 方程有唯一实根时，由（2）知，或. 综上所述：或. 考点七 由集合相等求参数 48．（2023秋·高一课时练习）已知，则实数m等于（    ） A．2 B．－1 C．2或－1 D．4 【答案】C 【分析】根据两集合相等列出方程，解方程，检验后得到答案. 【详解】由已知得，，解得或－1，经检验符合题意． 故选：C. 49．（2023秋·高一单元测试）已知集合， ，若，则a等于（    ） A．－1或3 B．0或1 C．3 D．－1 【答案】C 【分析】根据集合相等即元素相同解出a，再根据集合元素互异性求出a值. 【详解】由有，解得，. 当时，与集合元素的互异性矛盾，舍去. 当时，，满足题意. 故选：C. 50．（2024·全国·高一专题练习）已知集合，，若，则实数x的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合元素的唯一性分类讨论即可. 【详解】因为，所以. 当时，，得； 当时，则. 故实数x的取值集合为. 故选：B 51．（2024·高一单元测试）已知集合， 若， 则 （    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得，且，即可得到和为方程的两个实数根，从而得解； 【详解】解：因为且， 所以，且， 又， 所以和为方程的两个实数根， 所以； 故选：D 52．（2023秋·重庆万州·高一校考阶段练习）已知，，若集合，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】B 【分析】结合已知条件，利用集合的互异性即可求解. 【详解】∵集合，分母， ∴，，且，解得， ∴. 故选：B. 53.（2023·江西·金溪一中校联考模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或，又根据集合互异性，可知，解得(舍)，和(舍)，所以，，则， 故选：A 54.（2023·高一单元测试）设，，，若，则______． 【答案】0或 【详解】当时，，满足，则； 当时，，满足，则； 故答案为：0或 考点八 用列举法表示集合 55．（2023·山西运城·高一校考阶段练习）集合，用列举法表示为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】 故选：C 56.（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高一校考开学考试）集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵， ∴． 又， ∴． 故选：A 57.（2023·河南鹤壁·高一河南省浚县第一中学校考阶段练习）方程组的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由方程组，解得：，集合应是点集，正确的形式是. 故选：D 58.（2023·四川·高一校考阶段练习）设集合，则用列举法表示集合为______. 【答案】 【详解】要使，则可取，又，则可取， 故答案为：. 59.（2023·北京海淀·高一北京市十一学校校考期中）已知集合，，用列举法表示集合_____________． 【答案】 【详解】由题意得，2，3，4，6，12 解得，5，4，，1， 所以集合，，1，3，4，5，． 故答案为： 60．（2023秋·高一课时练习）直线与y轴的交点所组成的集合为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线与y轴的交点坐标，再用列举法表示出这个集合. 【详解】令，得，即直线与y轴的交点坐标为， 故该集合为． 故选：B 61．（2024·高一课时练习）设a，b是非零实数，那么可能取的所有值组成集合是______. 【答案】 【分析】根据给定条件，按a，b值的正负分类计算作答. 【详解】a，b是非零实数，当时，， 当时，，当时，， 所以所求集合是. 故答案为： 62．（2023秋·高一课时练习）若，则可用列举法将集合表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系，以及集合的表示方法，即可求解. 【详解】因为集合是点集或数对构成的集合，其中均属于集合， 所以用列举法可表示为． 故选：D. 63．（2023秋·甘肃酒泉·高一校考期中）已知集合，试用列举法表示集合__________． 【答案】 【分析】根据自然数集与整数集的概念分析集合中的元素即可. 【详解】要使，必然有是4的约数， 而4的约数有共六个，则的可能取值为， 又，则为， 故． 故答案为：. 64．（2024·高一课时练习）用列举法表示下列集合 (1)以内非负偶数的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)一次函数与的图象的交点组成的集合． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据偶数的定义即可列举所有的偶数，（2）求出方程的根，即可写出集合，（3）联立方程求交点，进而可求集合. （1）以内的非负偶数有 ，所以构成的集合为 ， （2）的根为 ，所以所有实数根组成的集合为 ， （3）联立和，解得 ，所以两个函数图象的交点为 ，构成的集合为 65．（2024·高一课时练习）用列举法表示下列集合： （1） 满足的x值组成的集合； （2） 方程x2＋x＋1＝0的根组成的集合； （3） 不大于15的正奇数组成的集合； （4） 不大于10的正偶数组成的集合． 【答案】答案见解析 【分析】根据列举法的定义逐一求解即可 【详解】（1）因为满足的x值组成有1，2，3，4，5，6，7， 所以满足的x值组成的集合为{1， 2， 3， 4， 5， 6， 7}． （2）因为方程x2＋x＋1＝0无解，所以方程x2＋x＋1＝0的根组成的集合为． （3）因为不大于15的正奇数有，1，3，5，7，9，11，13，15 ， 所以不大于15的正奇数组成的集合为{1， 3， 5， 7， 9， 11， 13， 15}． （4）因为不大于10的正偶数有2，4，6，8，10， 所以不大于10的正偶数组成的集合为{2， 4， 6， 8， 10}． 66．（2024·全国·高三专题练习）用列举法表示下列集合： (1){x|x是14的正约数}； (2){(x, y)|x∈{1, 2}, y∈{1, 2}}； (3){(x, y)|x＋y＝2, x－2y＝4}； (4){x|x＝(－1)n,n∈N}； (5){(x, y)|3x＋2y＝16, x∈N, y∈N}. 【答案】(1){1, 2, 7, 14} (2){(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)} (3) (4){－1, 1} (5){(0, 8), (2, 5), (4, 2)} 【分析】根据集合的列举法的概念即得. （1） {x|x是14的正约数}={1, 2, 7, 14}. （2） {(x, y)|x∈{1, 2}, y∈{1, 2}}={(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}. （3） {(x, y)|x＋y＝2, x－2y＝4}=. （4） {x|x＝(－1)n,n∈N}={－1, 1}. （5） {(x, y)|3x＋2y＝16, x∈N, y∈N}={(0, 8), (2, 5), (4, 2)}. 考点九 用描述法表示集合 67.（多选）（2024·高一课时练习）集合用描述法可以表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】是无限集，A错误； ，B正确； ，C正确； ，D正确.故选：BCD. 68.（2024·高一课时练习）所有正奇数组成的集合用描述当表示为_________． 【答案】 【解析】因为正奇数除以，余数为， 所以所有正奇数组成的集合用描述当表示为， 故答案为： 69.（2023·高一课时练习）用描述法表示下列集合： （1）被3除余1的正整数的集合． （2）坐标平面内第一象限内的点的集合． （3）大于4的所有偶数． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【详解】（1）因为集合中的元素除以3余数为1，所以集合表示为：； （2）第一象限内的点，其横坐标、纵坐标均大于0，所以集合表示为：； （3）大于4的所有偶数都是正整数，所以集合表示为：． 70.（2023春·河北·高二统考学业考试）直角坐标平面中除去两点､可用集合表示为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【详解】直角坐标平面中除去两点、，其余的点全部在集合中， 选项中除去的是四条线； 选项中除去的是或除去或者同时除去两个点，共有三种情况，不符合题意； 选项，则且，即除去两点､，符合题意； 选项，则任意点都不能，即不能同时排除，两点． 故选：C 71．（2024·高一课时练习）集合表示的是__________. 【答案】第三象限内点的集合 【分析】由集合中的不等式，解出的取值范围，确定点所在的区域. 【详解】由，解得，则集合表示的是第三象限内点的集合. 故答案为：第三象限内点的集合 72．（2024·上海·高一专题练习）下面三个集合：请说说它们各自代表的含义． 【答案】答案见解析 【分析】根据集合的代表元素，确定集合元素的性质，为数集，为数集，为点集． 【详解】是数集，是以函数的定义域构成集合，且； 是数集，是由函数的值域构成，且； 为点集，是由抛物线上的点构成． 73．（2024·高一课时练习）下列集合是否有区别？ （1）； （2）； （3） （4）； （5）或 【答案】有区别 【分析】分别明确（1），（2），（3），（4），（5），各个集合中都有哪些元素，从而判断集合是否有区别，即可. 【详解】由题意可知： （1），表示大于或等于的全体实数构成的集合； （2），表示大于或等于的全体实数构成的集合； （3），表示曲线上所有的点构成的集合； （4），表示点构成的集合； （5）或，表示直线或直线上的点所构成的集合. 综上所述，以上5个集合有区别. 【点睛】本题考查描述法表示集合，属于较易题. 考点十 集合表示法的综合应用 74．（2023秋·高一课时练习）下列集合中，不同于另外三个集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的表示方法判断即可. 【详解】选项A、B是集合的描述法表示，选项D是集合的列举法表示，且都表示集合中只有一个元素2023，都是数集． 选项C它是由方程构成的集合，集合是列举法且只含有一个方程． 故选：C 75．（2024·全国·高一假期作业）用另一种方法表示下列集合: (1); (2); (3)已知，，写出集合P; (4)集合，，写出集合B. 【答案】(1)且 (2) (3) (4) 【分析】对于（1），（2），利用描述法表示集合；对于（3），（4），利用列举法表示集合； 【详解】（1）因为均为奇数，所以利用描述法表示为且. （2）因为均平方形式，所以利用描述法表示为. （3）因为，，所以利用列举法表示出. （4）因为集合，，所以. 76．（2024·高一课时练习）用适当的方法表示下列集合． （1）方程组的解集； （2）1000以内被3除余2的正整数所构成的集合； （3）直角坐标平面上的第二象限内的点所构成的集合； （4）所有三角形构成的集合． 【答案】（1）{（4，﹣2）}；（2）{x|x＝3k+2，k∈N且x＜1000}；（3）{（x，y）|x＜0且y＞0}；（4）{三角形}． 【分析】根据题意以及集合的表示法，选择恰当的方法表示各集合即可． 【详解】（1）解方程组，得，故解集为{（4，﹣2）}； （2）集合的代表元素是数x，用描述法表示为{x|x＝3k+2，k∈且x＜1000}． （3）集合的代表元素是点（x，y），用描述法表示为{（x，y）|x＜0且y＞0} （4）集合用描述法表示为{x|x是三角形}，简写为{三角形}． 【点睛】本题考查集合的表示方法，准确理解自然语言的表述以及方法的选取，是解题关键，属简单题. 77．（2023秋·高一课时练习）用适当的方法表示下列集合： （1）方程组的解集； （2）方程的实数根组成的集合； （3）平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合； （4）二次函数的图象上所有的点组成的集合； （5）二次函数 的图象上所有点的纵坐标组成的集合. 【答案】（1）；（2）；（3）且；（4）；（5）. 【解析】描述法或列举法表示（1）、(2)，描述法表示(3)、(4)、(5). 【详解】（1）解方程组得 故解集可用描述法表示为，也可用列举法表示为. （2）方程有两个相等的实数根1，因此可用列举法表示为，也可用描述法表示为. （3）集合的代表元素是点，可用描述法表示为且. （4）二次函数的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对，其中x，y满足，则可用描述法表示为. （5）二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素y是实数，故可用描述法表示为. 【点睛】本题考查集合的表示方法，属于基础题. 考点十一 集合的新定义题 78.【多选】（2023春·湖南邵阳·高一统考开学考试）若对任意，，则称为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】根据“影子关系”集合的定义， 可知，，为“影子关系”集合， 由，得或，当时，，故不是“影子关系”集合． 故选：ABD 79.（2023秋·四川成都·高一成都实外校考期末）定义若则中元素个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】D 【详解】因为且， 当时，可能为，此时的取值为：； 当时，可能为，此时的取值为：； 当时，可能为，此时的取值为：； 综上可知：，所以集合中元素个数为5， 故选：D. $$